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D3. Le principe des approximations. — Dans leurs remarquables travaux sur les figures d'équilibre d'une masse fluide hétérogène, Clairaut, Laplace, Poincaré, ont négligé systématiquement les termes d’un ordre supérieur au carré de la vitesse angulaire. Ce procédé, tout à fait légitime pour des rotations lentes comme celle du Soleil, n’est déjà plus suffisant pour le cas de la Terre où l'influence des termes d’ordre 4 commence à se faire sentir, et c’est jusqu'à l’ordre 6 qu'il conviendrait de poursuivre les approximations dans le cas de Jupiter et de Saturne, si l’on voulait comparer avec précision les chiffres relatifs à la forme et à la rotation de ces astres, et expliquer en plus les anomalies du mouvement des satellites.

J’appellerai « première approximation » celle où l’on tuent compte des termes de l’ordre de w? et où l’on néglige les termes d'ordre supérieur. La deuxième approximation consistera à tenir compte des termes en w? et w' mais à négliger les termes d’ordre supérieur, etc. ; w étant, comme toujours, la vitesse angulaire.

Le système fondamental (103) s'écrit, y compris l’équation de Poin-

caré, M Si g=—1I.

| D Sig = 0, (107) RÉ NN eue :

3 0? X(cÙ) SL A, + SET AS SAS à

Mettons en évidence, dans l’expression du rayon vecteur, le rayon { de la sphère de même pôle que la surface de niveau à

La fonction e de 4, 8 et d s'appellera la déformation à partr de la sphère {. La quantité te représente l’excès du rayon vecteur sur le rayon de la sphère. La déformation sera toujours nulle sur l’axe polaire.

Développons e formellement en série de puissance de w?

(109) e=uwell+uwtetl+wies)+,..+orem+,...

IH n'ya pas lieu d'introduire un terme en w° car pour 6 = 0 la stratification est sphérique en vertu du théorème de M. Lichtenstein. Le potentiel de la pesanteur se développera d’une manière analogue

(110) D = Po) + Di) + ptD2+.. +ownbirie....

Quant à la fonction (1), elle sera considérée comme donnée, les inconnues étant e({, 9, 4) et D(t). Si maintenant l’on substitue les développements (109) et (110) aux fonctions e et ® dans le système (105), on obtiendra une expression formelle que l’on pourra ordonner suivant les puissances de w? et relauvement à toute valeur de g. Ces équations revétiront la forme symbolique