QU ME E PER RE
Les fonctions F ne dépendent plus de w. Il est à remarquer que F” ne peut contenir que ®(° et p(t); F} ne peut contenir que ®'0, dt), M D)(t); Fe ne peut contenir que D(0), Di), Di?) eût), el) et p (1), etc. Par équation à °" près, nous entendons les relations
(112) dE + GED +... + w2-2FU- DE 0,
dans lesquelles sont négligés les termes en w?* ainsi que ceux d'ordre supérieur. Revenons à l'expression symbolique (111). Nous considérerons « comme une nouvelle variable et la relation (111) devra avoir lieu quelles que soient «, €, 0, 4. Ceci nous oblige à annuler toutes les foncüons F/°. L'approximation d'ordre zéro consiste à poser F} — 0. Ces relations établiront simplement les formules connues pour des couches sphériques concentriques et le potentiel ®:° qu’elles créent; potentiel qui se confond, dans ce cas, avec celui de Newton.
L’approximation d’ordre 1 consistera à écrire F — 0. Ces équations lieront les fonctions el! et D) aux fonctions (0 et p(t). Elles indiqueront la déformation de l’ordre w? et l’altération 1 du champ de la pesanteur, qui proviennent toutes deux du fait que l’astre est supposé tourner lentement. Le système F}' — o résume, comme on le verra, la
théorie classique.
L'approximation d’ordre 2 consistera à écrire F7 — 0. Ces relations lieront les fonctions e°? et D? aux fonctions ett?, D11), Do et (1) obtenues par les approximations précédentes, elles indiqueront la correction
84 CHAPITRE V. | à faire subir à la première approximation, correction de l'ordre de w‘; etc.
Après la première approximation, la déformation e et le potentiel D
s'écriront e = w?eli) et D — D(0) + w2 PU) + wi pl),
Après la seconde approximation, ces fonctions s’écriront
e = w? el) + wt el?) et D — (0) + 62 PU) À wi pl.
34. Remarques. — Les approximations successives constituent un procédé itératif ou plus exactement récurrent, dans ce sens que les fonctions el”) et D? seront déterminées par les fonctions de rang moins élevé el), el2),,..., ef) et bo): pb), . 7, DAT!) obtenues précédeme, ment. Les approximations d'ordre 0, 1, 2, ne fourniront que des surfaces de révolution et il en sera de même des suivantes. Mais cela ne veut pas dire que la résolution simultanée des équations (111) ou même des équations (112) ne fournissent également que des surfaces de révolution. Car le procédé récurrent employé revient à considérer tout d'abord la vitesse angulaire comme nulle, puis à animer la masse d’une petite rotation, telle que les termes en w? puissent être seuls pris en considération, puis une rotation un peu plus forte qui mette en jeu les termes en w', etc. Le principe de raison suffisante vient confirmer cette proposition, en effet, dans cet astre qui est supposé. partir du repos absolu et de l’état sphérique et qui s’anime d’une rotation croissante, il n'y a aucune raison pour qu'une dissymétrie se manifeste à une longitude plutôt qu'à une autre. Cette remarque devait être faite, et les figures d'équilibre que nous trouverons répondent d'avantage à un astre primitivement assez étendu (nébuleuse), qui s’est concentré petit à petit, en tournant de plus en plus vite pour que le moment cinétique reste constant, qu’à une planète dont la rotation aurait diminué au cours des siècles à cause d’un freinage comme celui que les marées exercent.
Nous dirons par exemple qu’en première et seconde approximation, les figures sont de révolution. Mais cela n'exclut pas absolument que la Terre ait une forme légèrement polyédrale; cela montre simplement que si cette forme, d'ailleurs invraisemblable, existe réellement, c’est que la Terre a diminué de vitesse angulaire sous l'influence d'astres perturbateurs comme la Lune et le Soleil. |
L'étude de la stratification au voisinage de l’ensemble de densité maximum est fort délicate si l’on se refuse à admettre quelques hypothèses supplémentaires sur la répartition des densités.
LES: APPROXIMATIONS SUCCESSIVES. 85 Dans son livre sur les figures d'équilibre, Poincaré rejette & priori
que la déformation des couches puisse devenir infinie. Cette hypothèse est nécessaire si l’on veut que la méthode des approximations s'applique, car si la déformation et devenait infinie au voisinage du centre, le
… terme w?el!) ne pourrait être envisagé comme de l’ordre de w?. Nous rejetons également «a priori qu’un de coefficients e(*) puisse devenir
infini au voisinage du centre.
S'il s'agit d’une recherche des figures stables, cette hypothèse est encore plus légitime, car la forme générale de lastre ne peut pas dépendre de la manière dont se comportent les densités dans un volume plus petit qu’une tête d’ épingle placée au centre de l’astre.
Pour les figures instables, il est bon de remarquer que l’on exclut ainsi le cas où la stratification tendrait en forme vers un segment de droite, ou encore un cercle, quand on se rapproche du centre.
99. L’approximation d’ordre 7. — Dans le tableau (105) remplaçons R par {(1+e) et développons e et ® en série procédant suivant les puissances de w? comme nous l’indiquions au paragraphe 53. La fonction et) apparaît pour la première fois à l’approximation d'ordre »
où elle figure linéairement. Nous poserons
CE
| as) je)=du-r(ge +1) + Ti l o d(et?—1),
Le système fondamental s'écrit alors, 1l n’y a pas de grande difficulté le vérifier, sous la forme suivante pour n > 2 :
ddr {= SI 4 = —]I di 1 À : (114) Len ig=— {Ras fe , ab" p a a SI q 0) dt :
Q AG Et a à (FR
Dans l’accolade en R du second membre, l'indice inférieur 7 —1 … rappelle qu'il faut remplacer R par sa valeur après la (n — 1)°"° approxiÿ mation é Ru tli+ oo elER se; Rouet)
… et l'indice supérieur 272 indique qu’il ne faut considérer dans cette | accolade que le coefficient de w°?”.
La fonction el” peut être développée en une série de fonctions sphériques, mais seule la fonction sphérique d'indice 4 interviendra dans
l’accolade du premier membre; il faut poser
ERP ex tel) =) ep XP (cb )cpy 5e el, XP) (C0) spŸ: DE DEA Le tableau doit être satisfait quelles que soient les valeurs de Ü et 4. On peut donc procéder à une identification suivant chaque fonction sphérique fondamentale. Le système s'écrit, toujours pour n > 2,
, dr :
S] Ca EAN | 0 di q ? P ) = MAS Ne au T \an dr | (15) legpi=— {Ras ip té Dr+s 7 Si 7 —=0, pP—0, 0 pour toutes les autres
combinaisons.
Les équations sont les mêmes avec — p.
L’accolade en R d'indice q, p indique qu’il faut prendre le coefficient de la fonction sphérique 4, p dans le coefficient de w?*. EVE Il importerait de démontrer que les fonctions e{” sont dominées par
des nombres w:°" à partir d’un certain rang
(116) el) } Lu?
pour prouver la convergence des approximations successives. Si, en effet, la relation (116) pouvait être établie, la série
e= w'ell+uwrell+,,,.+w2relnt)+,,,
serait convergente pour 0 ds w << w.4. Je n'ai pas recherché cette démonstralion.
Les tableaux (114) et (115) ont l’avantage d’expliciter le procédé récurrent dont il était question au paragraphe 54.
00. Un raisonnement par récurrence. — Désirant réunir en tête de ce Chapitre ce qui concerne l’approximation d'ordre quelconque, j'invoquerai un résultat qui ne sera démontré qu'au paragraphe 59; c’est d’ailleurs un théorème de Laplace. En première approximation, la
déformation est ei) — ef (4) Xo + es)(t) X> 2(C0);
elle ne dépend que de t et de 8 et n'introduit que les polynomes X, ét Xs:
Voici ensuite quatre remarques ;
1° La déformation el?) se calcule à partir de et), Les seconds membres
| Æ Hi des équations seront indépendants de la longitude Ÿ et par conséquent tous les termes du premier membre avec p < 0 correspondront à des | - seconds membres nuls.
2° La fonction
Ce
est un polynome d'ordre g en c?8 et par conséquent 1l s'exprime à son tour par une somme de polynomes de Legendre d'ordre pair X,, ay
3° Les seconds membres de (11) ne contiendront que des termes pars en cÿ convertibles à leur tour en polynomes d’ordre pair X,,
. X,(c0), .... Dans le tableau (115), les seconds membres seront donc nuls pour toutes les valeurs impaires de g.
4° On sait qu'un produit de polynomes de Legendre d'ordre gi, > :.., In est un polynomé d'ordre gi; + g>—+...—+qn en cô qui sexprime à son tour par une somme de polynomes de Legendre jusqu'à Pordre qi + g2—+...+ qn au plus. Ceci étant, supposons que les fonctons et), e(2), ..., et—1 soient respectivement des sommes de polynomes de Legendre d'ordre 2, 4, ..., 27 — 2 au plus. Je dis que e(” sera une somme de polynomes d’ordre 27 au plus. En effet, reportons-nous au tableau (115) du paragraphe précédent. Dans le second membre, R doit être remplacé par
R=t{i1i+uwteltl+...+uw?1-2e(2-1)]
et dans l’accolade en R, il ne faudra retenir que le coefficient de w?*. k Dans les différents termes qui le constituent, les fonctions elt),el2),.,., … el71) ne peuvent figurer que multipliées par les puissances de ? cor-
respondantes,; la somme des indices de ces fonctions dans un produit
ù ne pourra dépasser 27.
; 0X4 1 gÙ Mu reront dans l’accolade en R par l'intermédiaire de H, paragraphe 49. …. Alors, en vertu de la remarque 4°, les seconds membres de e") ne
Et cela est vrai, même si l’on tient compte des termes en qui figu-
contiendront aucune fonction sphérique d'ordre supérieur à 27.
En résumé, les seconds membres du tableau (115) seront nuls si l'une M dés circonstances suivantes se produit p =< 0; q impair à party —=—1 et kb q Ds 2 nr.
. Les équations revêtent alors la forme
Nous ferons voir au pur suivant que ces équations n’admettent pas d’autres solutions que er Fer:
Dès lors, tous les coeflicients e, ON A DE—0,7 — De es ot La déformation e!* s'écrit
seront nuls identiquement, sauf si
ces ee Xo + es X, +. + en XS A, et la déformation totale est, après la n°"° approximation,
ie. ur es ?X,] +wi[e?+erX,+eR)xX,]
+ot[elt+ es X, +.,.,+ en sn |.
Laplace et Poincaré ont établi que la déformation est en première approximation e=w?[ef" +esl x].
En plus, Legendre ea indiqué pour la seconde approximation la forme
générale e = fo Xo re jo X, + ur X, Ë
L'analyse précédente permet de conclure :
La déformation, après la n°" approximation, procède suivant les polynomes de Legendre X,5(c0), X:(cô), X,(c0) jusqu'à Xsn(c0).
Nous avons démontré en même temps que les surfaces sont de révolution et présentent le plan de symétrie 9 — = Ce dernier résultat pou-
vait être d’ailleurs prévu par le théorème de M. Lichtenstein.
57. L’équation homogène. — L'équation | e/ , | — 0 s'écrit en supprimant les indices :
Posi—g(ge +te') +1 si f pd(el?74) —0.
La dérivée ®, n’est autre que la pesanteur changée de signe, créée par des sphères concentriques. Soit D(+t) la densité moyenne de u matière intérieure à la sphère de rayon {. On a (voir $ 58)
