ÉD + PRES
Lu € VIE = U > ï a € f
En posant n —t= l’éq iation (119) s'écrit d'autre part
4 de
D (119) 2 Dés e(q + n) — f pii-qe(n — g+2)dt.
‘ 4 pe
M On sait qu'on peut faire t > 1 et que p est nul de 1 à #, dans ce cas. A l'extérieur de l’astre la relation se réduit donc à
ef(g+n)=0:
1° Sie —=o, on a e/=0 à l'extérieur et sur la surface libre 4 — 1,
mais alors l'équation différentielle (x 18) n’admet pas d'autre solution à - l'intérieur { < r que e = 0 qui réponde à ces conditions de Cauchy aux limites.
…. Rappelons que c’est la dérivée seconde seule qui subit une disconti-
… nuité au travers de la surface libre.
2° Sig+n—=o, alors posons n=—9+n* et l’on a n*— 0 pour 5 — 1. Dans ce cas e n’est pas nul pour {—1. L’équation (119) s'écrit ;
5 D 42-49 Fees pii-Je(nt+2—2q)dl.
Si g —1 l'équation n’admet pas d’autre solution que n*=0, en effet,
si n° s’annule pour é — 1 comme ({ — 1)” dans le second membre, elle
S’annulerait comme ({ —1}”"*! dans le premier, ce qui est absurde.
k … Sig >1, la parenthèse du second membre est négative pour £ voisin
de 1: ; 1l en sera de même de n° puisque D est positif et cela quel que —coit le signe de e qui figure en facteur dans les deux membres. La fonction n restant négative lorsque { diminue, la parenthèse restera néga- “ tive et cela jusqu’à & — 0. On aurait donc
€ ES Oo; nñ £— q; = £— — d’où l’on déduit
quand on se rapproche du centre de l’astre.
[1 ne reste que la possibilité 1° qui implique e = 0.
58. L’approximation d'ordre zéro. — Identifions les termes indépendants de w dans le système (115). Il ne subsiste que deux équations, celles relatives à g = —1 et g — 0. Ge sont :
db, At CE BE = iMért f. pt dt,
{œ(0) Le Po + 4° = rio) pt dl.
du
La déformation est nulle et la pesanteur s'écrit
VE do) OT SEL £ (120) gl = — TE ArUT? pi? dt.
Si D est la densité moyenne des sphères intérieures à la sphère #,
On a vs
(121) D | pt? dt.
En rapprochant (120) et (121), on trouve les expressions que nous uti= liserons plus tard :
(122) UE 3 *üD,
Lo) o = D + -iD°.
59. L’approximation d’ordre un. — L'identification des termes en w? donne le système suivant qui domine la théorie classique :
/ Der , dû) ; | A NU LAS Si g —=—1etp=0, | DU dl) / (124) ele — © + + À TE ORNE D ED
SÈ g 2 et p— 0;
pour tous les autres coefficients el}.
La dernière ligne exprime le théorème de Laplace, l’avant-dernière« n’est autre que l'équation fondamentale de Clatraut, enfin les deux» premières qui ne seront reprises que plus tard, fournissent une équation de d’ Alembert . E
La déformation s'écrit donc, puisque les e,}, sont nuls pour p £o et DOUL 9-0 eos
en = ehh+el)X,(cb).
‘ve à e
. La déformation s'écrit 1 (5) el a(t}s20.
… On vérifie aisément par la géométrie élémentaire qu'il n’y a que des ‘1e de pie qui répondent à cette déformation.
En pr emière approximation, la stratification est composée a ’ellipsoides de révolution. C'est le théorème de Laplace.
- L’équation relative à g — 2 donne en & M (126) Fa DIGG sf o a dt.
- Cette relation dérivée par rapport à & fournit l'équation de Clairaut liant les variations de l’aplatissement à la densité :
DGr27) 2D'a + 604 +1Da"— 0.
RS: l’on remplace p par sa valeur (122), on retrouve l'équation en D du paragraphe 38. La discussion de l'équation (126) sera entreprise au Chapitre suivant.
