GS
G tend vers zéro quand on se rapproche He centre © car vers 0. 6
À l'extérieur du corps p—0, G——3, Si la masse est homogène p—=D—const., à l'intérieur, elG— 0. Dans ce dernier cas, la formule (140) montre que a’ est nul, puisque do est identiquement nul et D constant. L’aplatissement pour une masse homogène est constant et les couches d’égale pression sont homothétiques.
63. Discussion des variations de l’aplatissement. — Je m’'exprimerai comme si l’axe polaire était décrit de l’infini au centre du corps, done, dans le sens des { décroissants. C’est plus commode. Quand je dirai qu'une fonction croît, il faut entendre quelle augmente quand t diminue.
Reprenons alors l’équation de Radau valable partout, à l'extérieur comme à l’intérieur :
tn=—n(n+5)—2G(1+n).
Les relations o = — G<3 impliquent les propositions suivantes :
Si n < — 5, alors n 0; n croîtrait;
Si — 2 <n <o, alors n' > 0; n décroîtrait.
En conséquence, si n est sur l'intervalle &, : — © <n<—o, n se rapproche de l'intervalle 29 : — 5 << n<<— 2 et le point n resterait sur £2 s'il s’y trouvait déjà ou s'il y parvenait. L'intervalle #, est attractif, peut-on dire, sur l'intervalle z,. Il en résulte que si n était négatif pour une valeur € de t, on aurait
NA L— A pour 0 <<,
2 de : ; ; a x étant une constante positive. La signification de n : n— t— montre
que l’on aurait aussi
a A Loi a (TA a FN DES PA d'ou pure ee à
et 4 augmenterait en valeur absolue au delà de toute limite quand £ tend vers zéro. L’aplatissement deviendrait infini au voisinage du centre, ce qui est exclu. On a donc
n 20 pour 0 LÉ <L+ 0.
A l'extérieur de l’astre, les fonctions «& et {a sont données par les for-
mules (134) et (135)
a=XA(BHUT?), La = A(SE—autr?),
Pour { — + , «a et ta’ sont positives, elles ne peuvent changer de signe
en même temps; leur rapport n'étant pas négauf, elles devraient cependant changer de signe en même temps; elles ne changent donc pas de signe de { = 0 à t — 1. Sur la surface libre, on a encore
ai20, da, 20,
A l’intérieur du corps également a et (a! devraient changer de signe en même temps; mais cela est impossible en vertu de la relation (13)
TT rs Ë 15 :
(141) Da) +3 f o & dt, \ OL
car, la première fois que & et a’ s’annuleraient, le premier membre serait nul et le second positif.
En résumé : on a, quelle que soit la valeur de £,
Les couches sont aplaties ou peut-être sphériques (repos) et l’aplatissement ne croît jamais de l'infini au centre de l’astre. C’est un théorème de Clairaut. Enfin, les relations « 2 o et do 2 o donnent, en vertu de la formule (140), le résultat classique (Da)'<o. Le produit Da ne décroit Jamais de la surface au centre. On en déduit
ce qui revient à dire que n ne surpasse pas — G. En définiuve, on a, pour toute valeur de #,
(142) 0£n<—GSS3.
A l'extérieur de l’astre, on peut écrire
345—9ou ; (143) À =) 9 S5+u d’où D) - D À:
(144) D eh, 2 + Mi
et l’on déduit de (142) les inégalités suivantes pour w : (145) 7 ITR ET R
La première limite est atteinte si la masse est tout entière au centre, la seconde si le fluide est homogène. Enfin, la formule (141) permet
…. d'écrire au centre de l’astre 1) I
É DEN RE DRE (146) a(o)2 S xt D(o)
C’est une limite inférieure de Paplatissement et cette limite est atteinte pour la masse homogène.
64. Variation de la pesanteur avec la latitude et avec l'altitude. — Soient comme précédemment 2, la pesanteur au pôle de la surface t et g la pesanteur en un point quelconque M de la même surface de niveau. Si dn représente l'élément de normale en M à la surface € arrêté à la surface { + dt,ona
à dt * dn dR di % QE ee OP — — = — e .
o ol Un dt dt dt
Un calcul simple donne ensuite, pour une surface { quelconque et à la
latitude = —6,
(147) g = £8Pp(1—/6sm?0) h avec D (148) F = w2£œ + ta").
— À l'extérieur de l’astre, les formules (134) et (135) permettent d'écrire D no) B = WA ut).
Enfin, calculons la déviation de la verticale le long d’une normale à une
surface d’égale densité. Cette déviation dY est, pour un déplacement d1, donnée comme suit, la figure (2), page 53 permet de l’apercevoir :
À dn £p < : À — = 4 5 7 1 ddn dt dt Ci er ee: £ : [4 A PEL == F3SS ° 10 Re eo de D où.
à — et l’on trouve, tout calcul fait :
ESS ACIDE (PRES = 3 sin20.
Les formules (145) et (151) sont encore de Clairaut.
65. La différence des moments d'inertie. — Soient S, la surface libre du corps puis À et C les moments d'inertie par rapport à un diamètre équatorial Ox et par rapport à l'axe polaire Oz. Une formule (45) du paragraphe 26 donne, en négligeant le dernier terme qui est d'ordre
quatre, CE g(x?— 3?) dS:.
A TL ; Le calcul du second membre à parur des expressions (147) et (149) s'effectue sans grande difficulté et donne
tu)?
(152) CSA EST 1 | / 31 La constante w est donc proportionnelle à la différence des moments d'inertie.
Il est clair que l’on peut calculer directement ces moments eux-mêmes
C = feta+y) LYS Aie fe (y2+ 32) dV,
la répartition des densités étant supposée connue, on trouve : os CG 8x F.
ñ 8 T à : 5 4 pt des x f e d(atÿ),
4 convient à C et 3 à A. Ces expressions, valables en première approximation, ont déjà été données par Clairaut. La différence donne
ô T (154) C— A — of. p d(atÿ).
Elle est de l’ordre de w? bien entendu et, comme C — A ne dépend, on le sait ($ 26), que de la surface libre S,, de w, et de la masse totale M, l'intégrale précédente ne dépend, elle aussi, que de ces éléments. On peut écrire
fe d(ats) = F|Si, », MI.
C'est un invariant intégral pour toutes les répartitions des densités qui laissent inaltérés les éléments stokiens : S,, w, M.
66. L’artifice de Radau. — Dans les expressions de la déformation et des variations de la pesantéur, la constante w est toujours multiphiée par &?. Il suffira de connaître w à w? près pour connaître e et g à w' près, donc en première approximation.
Rappelons la relation
