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PRE GT ENT MT US PRIE à

LES RÉSULTATS CLASSIQUES. 101 et posons C—A=CY,

J est une valeur qui sera fournie, entre autres, par les mesures précessionnelles. La constante est comme CG — A de l’ordre de w?. Nous poserons en conséquence Ÿ — w° Ÿ'. La constante w s'écrit alors

(155) Hit;

Il suffira d'avoir C à ©? près pour connaître w à w? près, el c'est ce que l’on cherche. Mais la formule (153) se réduit, dans ces circonstances, à

AE | Ce = | pi dé, Ne)

Cette constante GC n'est pas stokienne et dépend de la manière dont les densités se répartissent à l’intérieur de l’astre. Mais Radau, par un artifice fort habile, a montré que l'intégrale

(137) f pti dt Q

est cependant quasi stokienne; c’est-à-dire qu’elle peut être calculée avec une faible erreur, sans faire intervenir la répartition des densités à l’intérieur de la Terre. En effet, remplaçons p par sa valeur en D

I ' ®) et intégrons le second terme par partie, on trouve

(158) à, biidi = ED L Di" dt.

Or, l'équation de Clairaut-Radau (139) s'écrit, on le vérifie directement,

SCIRS)

ni" I+ - — —

è TS re M + 262 10 (159) (Dé VT+n) =5D# Y(n) avec L(n) = —— :.

Vin

En intégrant les deux membres de (159) entre { —0o et (—=1 puis en appliquant au second la formule de la moyenne, on trouve

(160) Dir eme yCnt) f° Dé dt, à 0

n* étant une valeur convenable de ñ qui correspond à une valeur (*Ÿ

comprise entre zéro et un. Les formules (158) et (160) donnent ensuite

Qt] ©

I PORTES BCnt) Vi mi) :

L et di = Di (1—

La valeur n, est liée à la constante w par la relation (143)

167 = ———"* (161) di I+u

La fonction L() varie très peu lorsque n varie de zéro aux valeurs 7; qui répondent aux figures planétaires peu aplaties. En passant de n, à

u on trouve donc 1 5 LACET TA I DL — (162) + étldl= In 1/2 }:

à 3 : JU Sum

et les expresssions (155), (196), (162) donnent, en définitive :

ST u

(163) Se -LDie AD aveu, AU) Cie

4—-u À pont À 2

tee J

Pour la Terre, la quantité Y sera égale à lunité à moins d’un millième près. La formule (162) montre bien que l'intégrale (157) est, à peu de chose près, stokienne, puisqu'elle ne dépend que des éléments D,, w et Ÿ. |

67. Loi de Lipschitz et hypothèse d’un noyau central. -- Soient p, la densité au centre, puis æ et n deux nombres positifs, et posons

DU Do(i— alt).

C'est la loi de Lipschitz de variation des densités, à trois paramètres 9,, æ, n. Dans le cas particulier r = 2, elle se réduit à la loi de Roche. La

densité moyenne s'écrit

D = po(i— : “1” DL

et l’équation de Clairaut (138) s'intègre dans ce cas par la série hypergéométrique, comme Tisserand l’a démontré.

Envisageons maintenent une distribution des densités correspondant à un noyau central homogène entouré d’une écorce homogène et de densité moindre. L’aplatissement se calculera facilement, à partir de la formule (140) |

{ (164) CHOSE Van e aiÿ do.

RTS RE EC RE NT I RON CRT, IL re

rs

Soit, en effet, {, la valeur de { pour laquelle la densité subit le saut, Po pis Po étant la densité du noyau et », la densité de l'écorce. Il est clair que l’on peut supposer ici une sorte de « polissage des fonctions » comme celui qu'on envisage dans le calcul des variations, et dire que seules les valeurs voisines de £, fournissent un db différent de zéro. On

a donc : do à{. |

ÉD 0 Dao ai:

ttdé st 1,

(Da) = 3/Maot$ (pi — 00).

De cette dernière relation, on déduit, en posant 0—#.(°!,

ww) 3 NS < é Da = podo + z dope pi ANR cures

On a d’autre part

bo) D = p1+(eo— 1)07#, d’où

=) C0 Pour OST, et

I Jde 0 Or de. AU PH M rar) (166) D on tr 5 Bi + Che pa} Le

Enfin, 1l nous sera utile de former ta’ qui s’écrit

ñ 3 g 2.0p + 3pi—- 5010 2— 9(po— p3)0—5 )

(165) CO EE ne ae OT ne on Re ne SOU 20 Ps pr) EtPos- pi) 0

S1 la densité subissait deux sauts brusques ou À sauts brusques séparant des régions d'homogénéité, la formule (164) permettrait d'obtenir par des expressions semblables à (166) les valeurs de l’aplatissement des différentes couches. On retrouverait ainsi les résultats de la thèse de Hamy qui envisageait le cas d'une superposition d’un nombre fin d’ellipsoiïdes homogènes.

68. Sur la dérivée de l’aplatissement. — Nous aurons besoin, dans la suite, de quelques renseignements sur la manière dont varie la fonction u, — «a {”. |

, Montrons tout d’abord que w, croît toujours avec £. En effet, on a

Midi ant, tu, = al(tn +3n +n)=2at(—n—G—Gr)

et cette dernière expression n’est jamais négative, puisque l’on à

O < di <—- G.

Montrons en plus que pour la Terre et les lois des densités admises

au paragraphe précédent, la fonction w, — ta'— an est louJours croissante du centre à la surface.

En effet :

t(an) = an(tn + n?); posons, alors,

(168 ) H —=4tr+ 12, d’où (168') H=—(5+2G)n —26G,

en vertu de l'équation de Radau (139). Pour t— 0, H est nul, pour que H devienne négatif, il faudrait avoir à la fois H — o et H'<o. Gela impliquerait, on Le vérifie aisément, à partir des deux expressions (168) et (169) de H que l’on eût

(170) TR AL — = 2 ; ÿ a Joue Il faudrait que la fonction — G, ou encore 1 — ne füt décroissante et

avec une certaine rapidité du centre vers la surface sur un certain intervalle.

La relation (150) ne peut être sausfaite par une loi des densités telle que celle de Lipschitz. Cette dernière donnerait, en effet, au heu

de (170)

qui est une absurdité, puisque & et n sont tous les deux posilifs.

La loi de Lipschitz implique donc l'inégalité (£a) > 0.

Démontrons maintenant la proposition suivante : dans l'hypothèse d’un noyau central et d’une écorce homogène, la fonction £a’ est également toujours croissante si densité moyenne et densité superficielle ont des valeurs voisines de leur valeur pour la Terre.

En effet, pour que ta’ fût décroissante il faudrait que le dénominateur de la formule (165) fût croissant avec 9. Pour cela, il faudrait avoir