RAS VE AS

D'autre part, la courbure de (78) est, au maximum négatif qui nous intéresse seul ici,

qd TAB Pi (79) VASE

: 3 s : ë ; soit les 3 de la courbure de la poutre isostatique. La vitesse cri-

tique v. (9), page 8, sera donc augmentée dans la proportion

La formule (12) en donnera alors la conséquence qui, pour v assez petit devant w, se traduira par un effet centrifuge réduit dans la pro-

portion :

GR ( ) Nr 0,87 ce qui est appréciable.

En résumé, on peut dire que l’encastrement réduit l’effet centrifuge

au tiers de sa valeur et l'effet oscillatoire à ses deux tiers. La formule (77), révisée pour ce cas, deviendra donc ici :

On n’aura guère l’occasion d’appliquer cette formule dans les ponts, même dans le cas des longerons qui ne sont pas des pièces parfaitement encastrées mais des poutres à rotation gênée sur appuis. [Il est prudent de conserver pour ces derniers un coefficient dynamique élevé du fait qu’ils reçoivent des chocs dont l’effet s’ajoute à ceux que nous venons d’analyser. L’importance éventuelle de ce nouvel effet (effet d’impact) mérite d’ailleurs un examen particulier.

1 L9. Effet d’impact.

Nous appellerons ainsi l'effet d’un choc normal à l’axe de la poutre.

On ne peut tenir compte d’un tel effet dans l’établissement d’un coefficient dynamique parce qu’il n’est pas systématique, comme les effets centrifuge et de mise en charge, maïs accidentel.

Lorsqu’on doit prévoir un choc, il y a lieu d’en faire le calcul direct comme dans le cas d’une charge statique donnée. On opérera pour cela de la manière suivante :

Soit une poutre horizontale en repos (fig. 7), de masse totale Mh, heurtée par une masse M1 animée d’une vitesse w1. Dès que le contact

s'établit entre ces deux éléments, le point de la poutre touché par la charge prend immédiatement la vitesse de celle-ci tandis que les parties voisines ne sont entraînées qu'après une déformation élastique qui se propage depuis le point d’impact jusqu’aux extrémités maintenues fixes. Il ÿ a ainsi deux ondes, l’une de tension normale, l’autre de cisaillèment,

qui se propagent avec des vitesses différentes, VE et VE —, assez

grandes CUBE pour que l’ensemble de la poutre soit ébranlé avant

a dm A Mo) (2 Fig. 7.

la fin de l’acte de choc qui distribue l’impulsion de la masse incidente entre celle-ci et la poutre.

A la fin de cet acte, chacun des points de la poutre, de masse dm — QSdx, possède une vitesse verticale w, le point d’impact qui accompagne la masse frappante ayant la vitesse particulière u.

Le principe de conservation de la quantité de mouvement donne alors :

(81) Mu =M x + wdm.

La distribution des vitesses w (x) est inconnue maïs on sait que les vitesses sont proportionnelles aux déformations infinitésimales du premier instant. BARRÉ DE SAINT-VENANT qui, le premier, a traité de cette question, a admis que ces déformations sont homothétiques à celles de la flexion statique sous une charge concentrée au point d'impact. Mais si la masse de la poutre est prédominante nous savons, d’après les résultats du paragraphe L5, que la déformation est surtout sinusoïdale. Dans

ces conditions, on posera :

TX (82) W— CU SIN

avec c = 1 quand le point d’impact est au milieu de la portée, ce que nous supposerons tout d’abord. On aura alors :

(83) ['wdm—ps [° de = 26 u

CNRS La ou, puisque SZ — Mo est la masse totale de la poutre,

[dm =2Mu.

0 T (0 La condition (81) donnera donc :

Mu,—(M, +2 M) d’où l’on tirera :

: 2 : 157 C’est la formule de SAINT-VENANT avec le coefhcient x au lieu de 35

fourni par l’hypothèse de la déformation statique. Elle représente la vitesse de la masse incidente et de la poutre au point d’impact à l’origine de la flexion dynamique qui va résulter du choc. On reconnaîtra,

dans le rapport = qu’on en déduit, la forme du dernier terme du coefficient dynamique du règlement français de 1927 dont nous avons parlé. Ce rapport mesure bien l’effet réducteur de la masse de la poutre, mais la vitesse d’impact w1 est accidentelle et n’est nullement attachée à la structure du système. En supprimant toute cause de choc, on aura ui D;

La vitesse u (84) n’est autre que la vitesse qui, au paragraphe L.6, p- 23, caractérise la vitesse initiale à l’origine de l’oscillation. Le calcul de cette oscillation et de ses conséquences pourra donc se poursuivre ici comme nous l’avons indiqué dans les paragraphes précédents.

Si le point d’impact n’était pas le milieu de la portée mais un point d’abscisse x1 — a, on en tiendrait compte en prenant pour le coefficient c de (82) l’expression :

TA sin Se + £

€ étant un correctif de l’ordre de 0,1 qui tient compte de la déformation locale autour du point d’impact (sorte d’empreinte élastique n’intéressant pas la flexion). C’est cette déformation qui absorbe la plus grande partie de l’énergie du choc au voisinage des appuis. Elle peut être négligée dans l’intervalle :

En reprenant le calcul ci-dessus, on trouverait alors que plus la poutre est choquée loin de son milieu, plus sa masse réagit fortement et

(£ La L . . 2 atténue, par suite, sa flexion dynamique : le coefficient = de (84) est

un minimum.

Dans le cas du choc au joint des rails, on appliquera facilement les formules en remarquant qu’une roue de diamètre D (fig. 8) franchissant à vitesse v un joint d'ouverture e donne une vitesse verticale d’impact : ve

La formule (84) donnera alors la vitesse 4 (ou wo) communiquée à

la poutre qui prendra un mouvement oscillatoire :

(86) ÿ= = sin vf