RAR 2 CETTE

Ainsi, le système est entraîné par la force Mj sin y£ avec un déphasage Ÿ donné par (183) et l’amplitude de son mouvement oscillatoire doit prendre la valeur bien déterminée Lt indispensable à l’équilibre des forces. Ceci distingue le mouvement forcé du mouvement propre (181) dont l’amplitude, indéterminée par ae dépend de conditions initiales arbitraires.

L'examen de Re st (184) conduit mnediete à cette remarque que, s’il n’y avait pas d’amortissement (4 —0), l’amplitude < devrait prendre une valeur infinie pour y — o. C’est ainsi que . se décèle par l’analyse le phénomène de résonance.

En fait, l'équation (184) ne donne que la valeur de <b correspondant à un équilibre final. Cette amplitude ne peut évidemment être obtenue à partir de zéro qu'après une période transitoire pendant laquelle le milieu extérieur, par le travail de la force F, apporte progressivement l'énergie nécessaire. C’est d’ailleurs à cette période que se rapporte le mécanisme que nous avons exposé plus haut.

Grâce au facteur d’amortissement h, l’amplitude b est tout de même limitée à la valeur maximum :

(185) him. k = 2hy

et comme, par l’étude faite au paragraphe précédent, nous connaissons une limite inférieure de h donnée par le rayonnement acoustique des appuis, nous sommes en mesure de connaître la valeur maximum de l’amplitude qui sera donnée, à la résonance, par une force alternative d'amplitude F — Mj.

Pour appliquer ceci aux ponts de chemins de fer, on observera que les forces périodiques qu’ils supportent sont dûes à l’inertie des contrepoids tournants des machines et aux chocs des roues sur les joints de rails.

Mais, nous l’avons dit, le déplacement des machines et l’engagement progressif du train sur le pont changent assez la période propre de

celui-ci pour que la résonance ne puisse s’établir. Seul subsiste le danger possible du martèlement d’un joint de rails par un long train à essieux équidistants.

Pour grossière que soit l’assimilation de ces chocs à une force sinusoïdale simple, on peut cependant obtenir une évaluation sommaire de la limite d'amplitude en prenant pour valeur de l’amplitude d’accélération ; de (185) celle qui correspond au mouvement oscillatoire (86) donné au paragraphe [9 comme résultant du choc d’un essieu sur un ioint, La formule (88) dudit paragraphe donne l’amplitude + que nous appellerons ici-bo, de ce mouvement en fonction de la vitesse du train, du diamètre de ses roues et de l’ouverture du joint choqué. Si v est la pulsation propre du système, l’accélération sera

1 ELONIER Alors, (185) donnera :

(186) nl

limite de l’amplitude finale <b en fonction de l’amplitude élémentaire a de chaque impulsion. '

Nous pouvons maintenant tenter une évaluation :

Soit un pont de 30 m de longueur, pesant 150 t et portant un train de 250 t donc, en tout, 400 t. Sa pulsation sera, environ

et on aura par conséquent, pour k — 0,30,

RTE = 940.

L’amplitude élémentaire oo se calculera par la formule (88) du paragraphe [9 où l’on aura pour le choc d’un essieu de 20 t sur le pont

de 400 t, le rapport de masses ;; — 20. Cette formule conduira donc, z dans l’hypothèse d’un joint de 1 cm d’ouverture et d’une roue de 1 m de diamètre, à l’amplitude élémentaire :

LR, 901 XE 1 v BELLES 2 -- 25000

v étant la vitesse de passage.

Quant à la pulsation y, elle est également proportionnelle à cette vitesse de passage et vaut, pour un écartement 6 des essieux,

SE 27 ra Il s’ensuit que Jo) Cx is #6 (188). no nono DPI o.

Les valeurs (187) et (188) portées dans (186) nous donnent maintenant pour limite de l’amplitude fournie par la résonance :

lim, te 313% 10 0.

Pour un écartement de 6 — 10 m entre essieux, on pourra donc avoir dans le cas actuel :

him. %— 35 mm.

C’est encore, comme dans l’exemple du paragraphe L9, une surflèche du même ordre que la flèche elle-même (ici 30 à 40 mm). C’est dire que la résonance peut tout au plus, dans les conditions habituelles d'amortissement, doubler l’effet des charges statiques. Ceci suppose. d’ailleurs que cet état se maintient assez longtemps pour permettre lPaccumulation des impulsions successives, ce dont les chiffres donnés au début de ce paragraphe donnent une idée. Pareille condition implique, à vitesse constante, une parfaite équidistance des essieux du train ce qui n’est, pratiquement, jamais réalisé.

Aussi peut-on se demander si l’on doit tenir compte de cet effet exceptionnel dans l’établissement des ponts. Nous ne le pensons pas car les limites de fatigue actuellement imposées, tous autres effets dynamiques compris, sont au plus égales à la moitié de la limite d’élasticité du matériau. Si cette dernière était atteinte ou légèrement dépassée, il n’en résulterait qu’une faible déformation permanente et un peu d’écrouissage sans autre inconvénient. Le point de vue opposé conduirait à de grosses dépenses sans grande utilité au regard de la rareté du phénomène. : |

Néanmoins, il faudrait s’occuper de savoir, dans l’étude des grands ouvrages, si certaines compositions de trains bien homogènes, du type « express », ne pourraient amener ce phénomène, auquel cas on devrait interdire à ces trains les vitesses critiques de résonance.