ENS PAU

L’oscillation doit donc s’éteindre dès la première période. C’est pourquoi les ponts en béton armé dont la prise est insuffisante oscillent très peu. C’est là un signe caractéristique auquel on doit prêter attention car un tel amortissement ne va pas sans une altération interne du béton qui peut nuire à la bonne tenue ultérieure de l’ouvrage. L'expérience nous permet de dire que la durée de prise réglementaire de 90 jours est à peine suffisante pour permettre la mise en service d’un pont-rail en béton armé.

IIL2. Résonance.

Avant de donner l’analyse classique de la résonance, nous ferons une étude mécanique élémentaire de ce phénomène,

Considérons un système oscillant autour d’un point 0 avec une amplitude a.

Portons en ordonnées les forces F et en abscisses les déplacements y (fig. 17).

Fa EP

Une force de rappel F — — ky ramène sans cesse la masse vers le point © après l’élongation a. Dans une demi-période, le travail de la force F, de — a à + a, est évidemment nul.

Mais si, à partir du passage en O, vers les y positifs, on applique chaque fois une force auxiliaire P constante qui n’agira pas au retour, alors le travail de cette force au bout de l’amplitude a laissera au système un surcroît de force vive qui le conduira au delà de a malgré la force de rappel croissante — kw.

Le système s’arrêtera après une élongation (a + y1), facile à calculer. En effet, le travail de la force P,

P(a+y); est alors absorbé par le surcroît de travail résistant de F qui est SE(a+rŸ—#]

de sorte qu’on a :

c’est-à-dire

d’où

le radical négatif n’ayant pas de sens ici.

Dr à L à LE Mais 7; — f n’est autre que la flèche statique sous la force P. On

ieme

a donc, en désignant par @ la n°°° amplitude,

a —=f+VP +.

ce qui permet de calculer par récurrence toutes les amplitudes successives.

En particulier, si an-1 —0 (la poutre en repos étant chargée instantanément de P), on a

résultat bien connu et déjà rencontré.

On calculera facilement qu’à partir de av — 0, les amplitudes suc-

na

cessives obtenues en appliquant la force P pendant le seul quart de période descendant sont :

dy = O. Lo = 2f. \ di 0,291.

La croissance est. continue mais de moins en moins rapide et elle devient minimum quand a est grand devant f. À ce moment, on peut

développer en série . + f” ce qui donne la formule approchée : À pe Ce TE |

et le phénomène se réduit alors à une simple addition des flèches partielles égales f jusqu’à rupture de la pièce porteuse. C’est là l’effet si dangereux de la résonance. |

Nous aurions pu raisonner aussi sur le cas d’une force sinusoïdale, mais le calcul différentiel nous en dira davantage.

Reprenons notre masse oscillante M rappelée par une force élastique

amortissement de . h. pt du mouvement sera :

(180). Mo T4 MT + ky— F sin yt.

Prise sans second membre, cette équation admet la solution (176) du paragraphe précédent qui CO le mouvement propre du

(181) Ve “sin (wt+@®) avec :

œ étant un déphasage constant lié aux conditions initiales. Mais la force périodique du second membre impose au système un mouvement forcé de la forme :

(182) ji sin (yt+Y) qui répond bien à l’équation (180) sous les conditions suivantes : (aÿ — y?) sin Ÿ + 2hy cos Ÿ — o db [(awÿ — y?) cos Ÿ — 2hy sim Ÿ] =)

On en déduit que :

to’ HAS 9 Ni. j cos Ÿ La art Re CE NN en di + by ou (= y)°