CN > CM

Le point N est donc extérieur au cercle de courbure en Jf. On a ensuite

DM < CM + arc CD, et, par conséquent, à cause de CM + arc CD =r DN,

DM < DN.

Le point M est denc situé ilms rintérietir du cerole de eotirbnre en N,

Corollaire. Le eereU de courbure traveree en général la eowrbe au point de contact. En effet, le cercle de courbure en un point quelconque  de Tare Jlfi^ comprend dans son intérieur l'arc àM et laisse en dehors de lui Parc AN.

Pour que le cercle de courbure ne traverse pas la courbe au point de contact, il faut qu'en ce point le rayon de courbure cesse de croître pour commencer à décroître, ou qu'il cesse de décroître pour commencer à croître. Dans le premier cas, la courbe est située dans l'intérieur du cercle de courbure de part et d'autre du point de contact; dans le second cas elle est, de part et d'autre du point de contact, extérieure à ce cercle. Mais de tels points, lorsqu'une courbe en présente, sont nécessairement isolés. On a un exemple des premiers dans les extrémités du petit axe de l'ellipse, et des seconds dans les extrémités du grand axe.

13. Parmi les cercles tangents à une courbe en un poûU donnée Oêteun ne la traverse en ce point, â part le cercle de courbure.

Soit M le point donné, et C le centre de courbure en ce point; Cilf est le rayon de courbure. Le rayon d'un cercle tangent à la courbe au point M peut être plus grand ou plus petit que CM. Nous montrerons que dans le premier cas ce cercle est situé, dans le voisinage de M et de part et d'autre de ce point, «itre la courbe et la tangente , et que dans le second, c'est au contraire la courbe qui est située, dans le voisinage de M et de part et d'autre de ce point, entre le cercle et la tangente. La proposition énoncée résultera de là. En veitu de la proposition précédente, il suffira dans le premier cas de considérer le côté où le rayon de courbure va croissant à partir de ilf , et dans le

saeond de oonsidérer le cdté où le rayon de courbare va décroiasant.

1» cas. Soit V (fig. 9), situé sur la normale MC au delà de C par rapport à If, le centre du cercle considéré. Nous supposons que le rayon de courbure commence par aller croissant, lorsque , partant de Jlf , on marche dans le sens MX.

Par un point situé sur la normale entre C et F menons une seconde tangente à la développée. Soit D le point de contact et N le point où elle coupe Tare MX. Nous allons montrer qu'on a, en supposant assez voisin de C pour que Tare CD soit convexe :

VN < VM, et, par conséquent, que le point N est situe dans Tintérieur du cercle considéré. Il résultera de là que ce cercle passe entre la tangente et Tare MN.

Puisque l'arc CD est convexe, on a

arc CD < D0+ OC, d'où

are CD + CM < DO + OM, ou

DN < PO + OM, d'où