CC

égal à — r— 7p. Msiîs OC* est infiniment petit, car est

infiniment voisin de C et de C (6). Donc l'angle C est infiniment petit, ce qui démontre la proposition.

8. Avant de passer à la seconde propriété des développées nous établirons quelques lemmes.

I. Menons la tangente en un point Jf (fig. 5) d'une courbe, et par un point M^ infiniment voisin tirons une droite qui coupe la tangente en un point Q* Nous ne supposons pas la direction Jf'O invariable, mais seulement que l'angle qu'elle fait avec la tangente en M tende vers une limite finie, c'est-à-dire différente de zéro et de deux droits. Nous voulons établir qu'alors M'Q est infiniment petit par rapport à l'arc MM' , et que les longueurs arc MM' et MQ

' sont des infiniment petits égaux Puisque l'arc MM' et sa corde sont des infiniment petits égaux , on pourra dans la démonstration substituer la corde à l'arc.

Le triangle MM'Q donne

M'Q 8in M » MM' "" êin Q '

or l'angle M tendant vers zéro et l'angle Q vers une limite

finie, le rapport — : — ^ tend vers zéro, et par suite aussi

M'O —mMTf— I^onc M'Q est infiniment petit par rapport à Tare MM' .

Il résulte immédiatement de là que MM' et MQ sont des infiniments petits égaux, puisque, formant deux côtés du triangle MM'Q, leur différence est plus petite que M'Q, qui forme le troisième.

II. Soit une seconde courbe tangente à la première en M, et soit M'i (fig. 6) le point où elle est rencontrée par la droite M'Q. L'angle en Q tendant vers une limite finie, la longueur M'M'i est infiniment petite par rapport à MQ ou à l'un des arcs MM', MM'x, puisqu'elle elle est la somme ou la différence de longueurs qui remplissent cette condition.

III. Supposons qu'on sache que arc MM' et MQ sont des infiniment petits égaux; alors MQ et corde MM' seront aussi des infiniment petits égaux. Si l'on ignore l'ordre de la difiérence entre MQ et corde MM' y on ne peut pas affirmer que les angles Q et M' du triangle HH'Q sont finis à la

limité, mais on peut prouver que M'Q est îuiiniineDt petit par rapport à arc MM'. 11 suffit de montrer qu'il Test par rapport à MQ ou à corde MM\ Nous pouvons dans la démonstration écarter le cas où les angles en et en ikf seraient finis à la limite, car alors la proposition résulterait immédiatement de Tégalité

M'Q 8in M .

MM' "^ «m ' supposons donc qu'ils tendent, Tun vers zéro, Tautre vers deux droits, et pour fixer les idées , soit M* celui qui tend vers zéro.

Alors, MQ étant le plus grand des côtés du triangle, on a

MQ = MM'cosM + QM'cosQ , d'où

MQ — MM'cosM = QM'cosQ,

Maintenant MM' et MM'cosM sont des infiniments petits égaux ; cela résulte de ce que cosM tend vers l'unité ; donc, puisque MQ et MM' sont égaux en tant qu'infiniment petits, il en est de même de MQ et MM'cosM. II résulte de là et de la dernière égalité que QM'cosQ est infiniment petit par rapport à MQ, Mais cosQ tendant d'après l'hypothèse vers l'unité, QM' et QM'cosQ sont des infiniment petits égaux; donc, QM'cosQ étant infiniment petit par rapport à MQ^ QM' l'est aussi, ce qu'on voulait démontrer.

Ces lemmes établis, nous retournons à la développée.

9. Si sur la développée on fait rouler sa tangente ^ cette droite, qui dans son mouvement reste toujours normale à la courbe primitive, est toujours traversée par elle au même point.

Considérons deux points infiniment voisins M et M* de la courbe primitive. Nous ferons voir premièrement que si la tangente à la développée , d'abord normale en Jlf, roule Jusqu'à devenir normale enikf' , le point Jlf, considéré comme

«4H>9i*toi^i^^ à la tangeale el c^mme entrataé daas son mouveipn^m, se trouve alors à une disjtanoe de M^ iafioàmw(\ petUe par rapport à Tare MIT'. Nous regarderons oeê are eomme du premier ordre.

Soient C et Ç' (fig. 7) les points où les normales à la couii>e en M et en M' touchent la développée , et soit leur point de rencontre. Prenons, sur la normale en Jlf, CQ égal à Parc CC' de la (développée; Q est le point de cette normale qui s^appltquera sur C' lorsqu'elle sera arrivée en M\ Nous suivons (8. III) que CQ est d'un ordre supérieur à celui de Tare ce, et comme Tare CC est du même ordre que l'are MM^j ainsi que nous Tavons déjà fait obiserver (7), CQ est d'un ordre supérieur à celui de MM\ c'est-à-dire d'un ordre supérieur au premier.

Gela posé, nous allons faire exécuter à la normale en M deux mouvements consécutifs dont l'ensemble équivaudra au roulement de cette normale sur la 'développée. Nous voulons dire par là que, ces deux mouvements accomplis, chaque point de cette normale occupera exactement la môme position que si elle était venue coïncider avec la normale en M' en roulant sur la développée. Le premier de ces mouvements sera un mouvement de rotation autour de l'intersection 0, qui amènera la normale en Jlf à s'appliquer sur celle en M\ Le second sera nn mouvement de translatiofi qui amènera le point Q, actuellement situé sur la normale en M', à co^ifncider avec le point C, et en vertu duquel tous les points de la normale en 3f , qui actuellement coïncide avec celle en M\ décriront des droites égales et parallèles.

Examinons Tefiet de chacun de ces mouvements sur le point ikf, coQSiidéré comme appartenant à la normale en M.

Le premier mouvement fait décrire au point M un arc de cercle tangent à la courbe primitive au point de départ, d'où il suit qu'en vertu de ce mouvement le point If vient

Di^iifiér xme position qui e^t distante &e M* d'tine lot^eur dont l'ordre Barpasse celui de Taro JIHf' (8. II).

Le secMid mouvedaeut est destin à amener 4e p6\ni if en C, mais il faut avant tout rechercher quelle Influenfoè le premier mouyement a eue sur la position de ee point 0*

L^ani^ dont la normale en JT a tourné étant du même ordre que l'arc MM% c'est-è-^dire du premier, et la distance 00 étant iillKniment petite, ie premier mouvement a fait décrire au poi^nt Q un arc de cercle d'un crére supérietir au premier. Puis donc qu'un arc de cercle et sa corde sont des infibimetit petits égaux , ce premier mouvement n'a déplacé le poitat Q que d'une longueur d'un ordre supérieur au premier. Dès lors , la longueur OC, qui était d'un ordre supérieur au premier avant l'exécution du* premier mouvement, est encore d'un ordre supérieur au premier, une fois ce mouvement effectué.

Mamienant le deuxième mouvement ayant pour eflét de déplacer tous les points de la normale en M, actuellement appliquée sur celle en M\ d'une longueur égale à 0^} le point M se trouvera encore, après ce mouvement, à une distance de M' infiniment petite par rapport à l'arc MM* de la courbe primitive.

GomMe les deux mouvements que nous avons fait exécuter a l'a normale en M sont exactement équivalents au roulement sor la développée qui amènerait la normale en .ftf à cofïacider avec celle en J(f , la proposition préliminarre que nous avions en vue se trouve démontrée.

Ce point acquis , la démonstration s'achève facilement. Considérons un arc fini, dont la première extrémité sera designée par Jf , -et décomposons le en n parties terminées -en des points Jlf' , Jlf", Jif'",...., Jfcf^»), ce dernier étant la seconde extrémité de l'arc fini considéré. Nous supposerons ces parties infiniment petites et croissant en nombre indé-

fiDÎBieat. Goncevoos mainteuani que la normale roule sur la développée à partir de la posUîon où elle coupe la courbe priiDÎiive au point M jusqu^à celle où elle la coupe au point lf(")» et qu'elle emporte successivement les points M, M\ H",...., if("~i). Quand elle sera arrivée en M\ le point M se trouvera à une distance de M' infiniment petite par rapport à Tare MM* ; quand elle sera arrivée en M*\ le point M* se trouvera à une distance de M" infiniment petite par rapport à Tare M' M** ; ; quand elle sera arrivée en M^") , le point MC«-i) se trouvera à une distance de ifc») infiniment petite par rapport à Tare lf(»-*)ifw. Or la distance à laquelle M sera de Jtfc»), lorsque la normale coupera la courbe en ce dernier point , est au plus égale à la somme de toutes ces distances infiniment petites par rapport aux arcs qui leur correspondent sur la courbe primitive; donc cette distance est infiniment petite par rapport à la somme de ces arcs, c^est -à-dire par rapport à Tare fini considéré IfJIfC»), donc elle est nulle.

Il est ainsi démontré que si Ton fait rouler sa tangente sur la développée, cette droite est toujours coupée par la courbe primitive au même point.

10. Concevons un fil enroulé sur la développée jusqu^à un certain point quelconque à partir duquel il s'en sépare tangentiellement et se prolonge jusqu'au point où il coupe la courbe primitive ; qu'ensuite on développe la partie enroulée en tenant toujours le fil tendu: son extrémité sera toujours sur la courbe primitive, et la partie rectiligne sera toujours la longueur même du rayon de courbure au point où elle la touche. Le lieu des centres de courbure d'une courbe peut donc servir à décrire cette courbe par son déveh)ppement en ligne droite, et c'est de là que lui vient le nom de développée.

U résulte de là qa'tm are fni de la déwloppée d>une courbe quelconque eet égai à la différence des rayons de courlmre correspondants aux deux extrémités de cet are.

11. Oa déduit de cette proposition que si le rayon de courbure a la même longueur en tous les points d'un arc, la partie de la développée qui correspond à cet arc se réduit à un point. Donc, lorsque le rayon de courbure a la même longueur en tous let points d'un arcj cet arc est un arc de cercle.

12. Un arc est situé en dehors du cercle de courbure en Vune de ses extrémitésj lorsque le rayon de courbure va croissant dans toute son étendue à partir de cette extrémité; il est situé dans Vintérieur de ce cercle, si au cortraire le rayon de courbure va décroissant.

Soit MN(^g, 8) un arc dans lequel le rayon de courbure va croissant toujours quand on marche de M en N; comme il va décroissant quand on marche de N en 3f , il suffit, pour que la proposition soit démontrée, de faire voir que le point N est en dehors du cercle de courbure en If, et que le point M est en dedans du cercle de courbure en N.

Soit CD Tare de la* développée qui correspond à Parc MN, C étant le centre de courbure au point Jtf, et D celui au point iV; on a

CN + arc CD > DN; d'où,

CN ::> DN ^ arc CD ; et par conséquent, à cause de DN — arc CD = CM,