VN > VM

Le théorème est ainsi démontré.

Corollaire. Considérons un point d'une courbe et le cercle de courbure en ce point II résulte immédiatement de notre théorème qu'il n'est pas possible de tracer un cercle qui, à partir du point considéré, passe entre la courbe et le cercle de courbure.

14. Le cercle de courbure esl la limite du cercle tangent à la courbe au point considéré et passant par un second point de la courbe infiniment voisin.

Soit MX (fig. 1 1] un arc de la courbe donnée et M le point considéré Supposons que le rayon de courbure commence par croître à partir de M quand on marche dans le sens MX. Soit My un arc du cercle de courbure en M situé du même côté de la normale en M que Tare JlfX; Tare MX est, dans les environs de if, situé entre l'arc MY et la tangente (12).

Soit C le centre de courbure au point M, et F un point silué sur MC au-delà de C par rapport à Jlf ; le cercle dé-

crit de F comme centre avec VM comme rayon passe, dans les environs du point M, entre l'arc MX et ta tangente (13], et, par suite, dans le voisinage du point M, Tare MX passe entre ce cercle et le cercle de courbure, et cela a lieu quelque petite que soit la distance CV.

Si maintenant on suppose que le point F se rapproche indéfiniment de C de manière à se confondre avec lui à la limite, le cercle dont ce point est le centre se rapprochera indéfiniment du cercle de courbure. Puis donc que ces deux cercles sont, dans le voisinage de M et du côté MX, situés de part et d'autre de la courbe, il faut que celui dont le centre est F la coupe en un point qui aille se rapprochant indéfiniment de M lorsque F tend vers C. De là résulte la proposition.

Si Ton avait supposé que le rayon de courbure commençât par décroître à partir de if, on aurait pris le point y entre M et C, et la démonstration eût été la même.

15. Du cercle osculateur. De même que l'on considère la limite de la droite qui passe par un point fixe d'une courbe et par un second point infiniment voisin, de même on considère la limite du cercle qui passe par un point fixe d'une courbe et par deux autres qui s'en rapprochent indéfîiiiment. Ce cercle limite est nommé cercle otculaleur. Nous allons voir qu'il est identique avec le cercle de courbure

Remarquons à cet effet que la proposition établie au numéro précédent peut être énoncée comme suit: Le centre, de courbure en un point (Tune courbe est la limite de Vintersection de la normale en ce point et de la perpendiculaire élevée sur le milieu de la corde qui le joint à un point infiniment voisin.

Cela posé , soit M (fig. 12) un point pris sur la courbe donnée, M' et M'* deux points de cette courbe infiniment

voisins de M. Soit  rintersection des perpendiculaires élevées sar les milieux des cordes MM\ M*M'*; À est le centre du cercle conduit par les points Jtf, ilf', M" , et il s'agit de démontrer qu'il se confond à la limite avec le centre de courbure au point M.

Menons la normale au point M' et soient F et 6 les points en lesquels elle est coupée par les perpendiculaires élevées sur les milieux des cordes MM\ M'M'\ D'après la proposition du numéro précédent, énoncée comme on Ta vu tout à l'heure, les points F et ^ sont infiniment voisins du centre de courbure au point Jtf' , d'où il résulte que la longueur ¥G est infiniment petite. Mais dans le triangle ÀFG le côté FQ est le plus grand côté, puisque l'angle en A est le plus grand angle; dès lors les côtés À¥, AG sont aussi infiniment petits, et par conséquent le point A est, de même que les points F et G, infiniment voisin du centre de courbure au point M\ Or le centre de courbure au point M' est infiniment voisin du centre de courbure au point ilf ; donc A se confond à la limite avec le centre de courbure au point M, et c'est ce qu'on voulait démontrer.

16. Les angles que font avec la corde d'un arc infiniment petit les tangentes en ses extrémités^ sont des infiniment petits égaux.

Soient JH, M' (fig. 1) les deux extrémités de l'arc, et L l'intersection des tangentes en ces extrémités; il s'agit de démontrer que les angles LMM'y LM'M sont des infiniment petits égaux.

Concevons qu'on ait tracé le cercle tangent à la courbe au point M et passant par M' ; soit A son rayon et a l'arc infiniment petit qu'interceptent sur ce cercle les points ikf, Jlf' ; on a

angle LMM' = -^«-

Concevons encore qu'on ait tracé le cercle tangent à la

courbe au point M' et passant par M; soit JR' son rayon

et o' Tare infiniment petit qu'interceptent sur ce cercle les

points M et iti'; on a

a* angle LM'L =^ "^W'

a La question est ainsi ramenée à démontrer que ^ ^

a* et ^ sont des infiniment petits égaux, ou, en d'autres

termes, à démontrer que le rapport de ces quantités, qui

est égal à — rX-5- > a pour limite l'unité, a R

Le premier cercle diffère infiniment peu du cercle de courbure au point M (14), et le second diffère infiniment peu du cercle de courbure au point ilf', donc aussi de celui au

point M. Par conséquent, le rapport — «— a pour limite

l'unité. Comme il en est de môme du rapport — ;- , puisque les arcs a et a' ont la même corde , la proposition se trouve démontrée.

Corollaire I. Posons

LMM' - LM'M == (o ; d'après la proposition qu'on vient de démontrer, (f> est d'un ordre supérieur à celui de nos deux angles. D'un autre côté on a , en désignant , comme nous en sommes déjà convenus, par e l'angle de contingence :

LMM' + LM'M = €.

De ces deux égalités on tire

LMM' == -i-(é + w), LM'M ~ ~-(e + a>).

On a donc la proposition que voici: Langle que fait la corde d'un are infiniment petit avec la tangente en Vune de ses

extrémités a pour expression -y-e, en négligeant une quantité

infiniment petite par rapport à lui.

Nous verrons plus loin que <o est de Tordre du carré de l'arc, et nous en donnerons Texpression.

Corollaire IL Le triangle MM*L donne

JtL sin LM'M ML "" sin LMM' ' et comme le second membre tend vers l'unité, il en est de même du premier; ML et M*L sont donc des infiniment petits égaux.

On a démontré (3) que

ML + ML et corde MM' sont des infiniment petits égaux; il en est a fortiori de même de

ML + ML et arc MM* ; si donc on désigne par o une quantité d'ordre supérieur à celui de Tare MM' ^ et qu'on désigne, comme nous le ferons dorénavant, cet arc par /iSy on aura

ML + ML := Js + (a.

D'un autre côté, ML et M*L étant des infiniment petits égaux, on a, en désignant par o/ une quantité d'ordre su* périeur au leur, et par suite à celui de Js,

ML — M'L = (ù\ De ces deux égalités on tire:

ML = -i-(^/# + œ + wO, ML = -1- (^« + œ-^œ'),

et comme les quantités w + œ'^ ai — co' sont d'un ordre supérieur à celui de Js^ on a cette proposition: La partie de la tangente en une extrémité d^un arc infiniment petit, comprise entre cette extrémité et son intersection avec la tangente en

Vautre extrémité, a pour eûcpression-^Js, en négligeant unequan^

tité infininunt petite par rapport à elle-même.

Nous verrons plus loin que la diflérence entre cette partie de la tangente et -j-zis est de Tordre du carré de

Tare, et nous en donnerons Texpression.

17. Eocpression de la perpendiculaire abaissée d*une exlrémilé éCun arc infiniment petit sur la tangente en Vautre extrémité.

Soit L (fig. 13) le point de rencontre des tangentes aux extrémités M et M' de Tare infiniment petit que Ton considère, et P le pied de la perpeadiculaire abaissée de M' sur la tangente en M; on a

M'P = ML sin M'LP ~ ML sin e.

On n^altèrera le second membre que d'une quantité infiniment petite par rapport à lui même si Ton remplace

M'L et sin a par d'autres infiniment petits qui leur soient

respectivement égaux; or M'L et -k-^s sont des infiniment petits égaux (16. Cor. II) , et il en est de môme de «m é et f, comme on le démontre en trigonométrie. Sub-

stituant -^z/5 et £ à M'L et sins^ le second nombre

devient -y-£z/5, et Ton a la proposition suivante: La

perpendiculaire abaissée d'une extrémité d'un arc infiniment petit sur la tangente en Vautre extrémité est égale à la moitié du prO' duit de Varc par l'angle de contingence, en négligeant une quantité infiniment petite par rapport à elle même.

Si Ton considère Tare comme du premier ordre, M*P est du second, puisque € et Js sont du même ordre. En d'autres termes, M'P est de l'ordre du carré de l'arc.

Le produit -j-sJs peut s'écrire -^ — T^-^*' ? ^^ ^^ ^^ l'altérera que d'une quantité infiniment petite par rap-

port à lui même si Pon remplace -—- par sa limite, c'est-

à-dire par la réciproque du rayon de courbure au point Jf. Désignant, comme nous le ferons dorénavant, par ç le rayon de courbure au point M, on a donc, à un infiniment petit près d'ordre supérieur au second,

Corollaire I. La distance de M' à la tangente en M comptée suivant une direction quelconque faisant avec cette tangente un angle fini à la limite est aussi du second ordre; en effet, soit M'Q cette distance, on a:

MO i

MP ~" iin M'QP* '

et — : — M'OP ^®^^» ®^ vertu de Thypothèse, vers une

limite finie.

Corollaire IL Si la direction M'Q tend à devenir perpendiculaire à la tangente en itf, ou, en d'autres termes, si l'angle PMQ est infiniment petit, non seulement M'Q est du second ordre , mais il a pour expression, de même

que M'P, -^B^i et —5 — , en négligeant une quantité d'ordre

supérieur au second. En efiet, MP et M'Q sont, dans l'hypothèse actuelle, des infiniment petits égaux.

18. Expression de la distance de deux courbes tangenîeê l'une à V autre f dans U voisinage du point de contact.

Soit M (fig. 14) le point de contact, et soient M', M\ et Q les points en lesquels les deux courbes et la tangente commune sont coupées par une droite que nous supposerons faire avec cette tangente un angle qui devienne droit à la limite. Désignons par ç et (>i les rayons de courbure

-Sodés deux courbes au point M. On a, en négligeant des quantités infiniment petites par rapport à M'Q et à M\Q,

M'Q = g- , M'iQ = g (17. Cor. il;.

Les trois longueurs arc MM% artyMM'i et MQ sont des infiniment petits égaux ; les valeurs précédentes de M'Q et M'iQ ne seront donc altérées que de quantités infiniment petites par rapport à elles mêmes si l'on y remplace arc MM' et arc MM'i par MQ\ on obtient ainsi:

MQ ^, ^ MQ M'Q = -TT ' ^^^ ~

MQ

Considérant arc MM' , are MM'\ et MQ comme du premier ordre, les quantités négligées sont d'ordre supérieur au second ; on a alors, à un infiniment petit près d'ordre supérieur au second :

M'M'i = MQ - M\Q = ±.l±.^±\

Lors donc que les deux courbes n'ont pas le même rayon de courbure au point de contact, leur distance, comptée sur une droite qui tend à devenir perpendiculaire à la tangente commune, est du second ordre.

Comptée sur toute droite faisant avec la tangente au point de contact un angle fini à la limite, la distance des deux courbes est encore du second ordre. Soit en efiet M'R une telle droite, et m'i le point où elle coupe la courbe à laquelle appartient le point M*i ; les longueurs arc MM% arc Mm'i et ^JR sont encore des infiniment petits égaux, et si Ton tire la corde Jlf'i»i'i, le triangle M'M'im'i donne

M'm\ nn M'i

or ie second membre tend vers une limite finie, car puisque la direction M\m\ se confond à la limite avec celle de la tangente en Jf , le numérateur et le dénominateur ont pour limites, le premier Tunité, et le second, tin M*RQ,

Lorsque les deux courbes ont le même rayon de courbure au point de contact, la quantité -^| \ MQ

s'évanouit, et par suite leur distance est d'un ordre supérieur au second.

Soit MX(ûg 15) la courbe considérée, JIfFson cercle de courbure au point Si, et MZ un autre cercle tangent à la courbe en ce même point. Soient M't et M' 2 les points où uae droite tirée d'un point M' infiniment voisin de Jlf et pris sur la courbe donnée coupe les cercles M¥, MZ. En vertu de ce qui précède, M'U*2 est du second ordre et Jd'M'i est d'un ordre supérieur. Par conséquent, la distance d'une courbe au cercle de courbure en un de ses points esl infinimeni petite par rapport à sa distance à tout autre cercle qui lui est tangent en ce point.

Nous verrons prochainement que la distance de la courbe au cercle de courbure est du troisième ordre, et nous en donnerons l'expression.

19. Expression de la différence entre un are infiniment petit et sa corde.

On établit dans les éléments de trigonométrie l'égalité suivante, où a désigne un angle quelconque

d^ ct,^ o?