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On en déduit que toutes les fois que a est plus petit que l'unité, sin a est compris entre
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et par suite que la différence a — tin a est comprise entre
et
Si donc a est infiniment petit, la différence « — m a
est égale à . ^ » ou —^ à un infiniment petit du cinquième ordre près, « étant considéré comme du premier ordre.
Soit maintenant « un arc de cercle infiniment petit, c sa corde, JR le rayon du cercle. Si Ton appelle « la moitié dé l'angle au centre qui comprend cet arc, on aura
s = 2JRa, c = IRaina^ a = -r-r- ;
donc, si l'on multiplie a — ma et —^ par 2JR, on aura
à un infiniment petit du cinquième ordre près , s étant considéré comme du premier ordre:
Nous allons étendre cette formule à toutes les courbes planes.
Soit M un point d'une courbe quelconque et M' un point infiniment voisin. Décrivons deux cercles, le premier tangent à la courbe en M et passant par M' , le second tangent à la courbe en M' et passant par M, L'arc MM' de la courbe considérée est compris enlre les arcs MM' des deux cercles.
Pour le démontrer, remarquons que l'arc MM' étant infiniment petit, on peut le supposer dès l'abord assez petit pour que le rayon de courbure aille toujours croissant ou toujours décroissant quand on marche de M versitf'. Pour fixer les idées supposons qu'il aille croissant.
Le rayon de courbure croissant toujours de Jtf en M % Je cercle de courbure au point M passe, en vertu de la proposition du n"* 12, au dessous de Tare MM\ Il résulte de là que le rayon du cercle qui est tangent à la courbe en M et qui passe par M' est plus grand que le rayon de courbure au point M. Dès lors , en vertu de ce qui a été démontré au n^ 13, i^ cas, Tare MM' de la courbe considérée est situé à Tintérieur de ce cercle
En se fondant sur ce que le rayon de courbure va décroissant quand on marche de M' vers Jf , on démontrera semblablement que Tare MM' est situé à Textérieur du cercle tangent à la courbe en M' et passant par M.
Notre proposition préliminaire se trouve ainsi démontrée; il en résulte que si Ton désigne par Js la longueur de l'arc MM' de la courbe, puis par S et Si celles des arcs MM' des deux cercles, on a
S> ji> Su et par suite, en appelant c la corde commune,
Appelons JR et JRi les rayons des deux cercles, ç le rayon de courbure de la courbe donnée au point Jlf , et considérons les trois quantités
24JP ' 24,0» ' 24IPi ' on reconnaît aisément que ce sont des infiniment petits égaux, car le rapport de deux quelconques des trois arcs S, //i, Si tend vers l'unité, et il en est de môme du rapport des trois rayons JR, (), A|.
Or d'après ce qu'on a vu plus haut, les quantités
S — c et — . d'un côté,
Sh S] — c et — 2i^ — ^® l'autre
soni des iofiaiaiant petits égaux; ii suit de là, et de ce que Ji — c est compris eotre S — c et Si — e, que les trois différences
S — Cj Js — c, Si — c et les trois rapports
24R2 ' 24,0» ' 24fii2 constituent six infiniment petits égaux; en d'autres termes, deux quelconques de ces six quantités ne difièrent que d'un infiniment petit d'ordre supérieur au troisième. On a donc, à ce degré d'approximation,
/j8 — C = — ft-j— S •
On peut exprimer autrement la difierence J$ — c; le
facteur — étant la limite du rapport — -— , il n'en difière
que d'une quantité infiniment petite. Si donc dans la
valeur précédente de ^» — c on remplace — par
cette valeur ne sera altérée que d'une quantité infiniment
petite par rapport à elle même. Par cette substitution elle
devient . a^Js, Donc, la différence entre un arc infinimenî
petit du premier ordre et sa corde est du troisième ordre; elle est égale, en négligeant une quantité d* ordre supérieur au troisième^ à la vingt quatrième partie du produit de V/irc par le carré de V angle de contingence.
Nous verrons plus loin que cette proposition est vraie aussi des courbes gauches.
Remarque, Si Ton voulait seulement démontrer que l'ordre de grandeur de la différence entre un arc infiniment petit et sa corde n'est pas inférieur au troisième, on pourrait arriver au but plus promptement que par les raisonnements
qui précédent. Soit en effet L (fig. 1) le point de ren> contre des tangentes aux extrémités M, M' de Tare, et P le pied de la perpendiculaire abaissée de L sur la corde MM' ; on a ML + M'L — cardeMM' =^ ML -- MP -^ M'L — M*P = ML (i^eosLMM') + ML {{^cosLM'M)
= 2ML8in^^LMM' + 2M'L8in^~LM'M,
d'où il résulte que la différence entre la ligne brisée MLM* et la corde MM* est du troisième ordre, puisque ML et M*L sont du premier ordre, ainsi que les angles LMM'y LM'M. De là résulte la proposition, car cette différence est plus grande que celle qui existe entre Tare MM' et sa corde.
20. Expression de la distance de la courbe au cercle de courbure dans le voisinage du point de contact.
Soit MX (6g. 16) la courbe considérée, M le point de contact, M' un point infiniment voisin. Supposons que le rayon de courbure aille croissant de M vers M\ et soient C et C* les centres de courbure relatifs à ces deux points. Considérant Tare MM' comme du premier ordre. Tare CC de la développée est aussi du premier ordre. Soit MT le cercle de courbure au point M, et M'i le point où il est coupé par le rayon de courbure CM\ Nous nous proposons de chercher rexpression de la longueur M'M'i.
Tirons CM\) on a
CM = arc CC + CM =i arc CC + CM'u d'où
M'Mi = arc ce + CM'i - C'M'x, ce qu'on peut écrire
M'M'i ~ corde CC + CM'i — CM\ + arc CC* — corde CC'y ou, en désignant par P le pied de la perpendiculaire abaissée de C sur CM' :
M' M' 1= [corde CC-^CP] + [CM'i-M\P) + [arcCC -corde CC).-
La longueur considérée se trouve ainsi mise sous la forme d'une somme de trois différences. Nous allons exa-, miner ces différences successivement et en rechercher les expressions, en négligeant les infiniment petits d^ordre supérieur au troisième.
On a
corde CC — C'P = corde CC (1 — cpsCCP)
= 2 corde CCsin^^CCP,
quantité du troisième ordre, car la corde CC et Tangle CCP sont du premier. On ne Taltèrera que d*une quantité d'un ordre supérieur si Ton en remplace les facteurs par des infiniment petits qui leur soient respectivement égaux. D'abord on peut remplacer le facteur corde CC par l'accroissement que reçoit le rayon de courbure quand on passe de M h M' y accroissement que nous désignerons par z/^. Gela tient à ce que cet accroissement est précisément égal
à l'arc ce (10), et que l'arc CC' et sa corde sont des infini-
ment petits égaux. En second lieu, le facteur sin-^CCP
pourra être remplacé par -^CC'Py q\ comme CCP est
l'angle que lait la corde CC avec la tangente au point C, on peut lui substituer Ja moitié de l'angle des tangentes en C et C (16 Cor. 1); mais cet angle est égal à celui des tangentes enJïf eten M\ c'est-à-dire à t] on pourra donc,
au lieu de CCP^ écrire -^f . Par l'effiet de ces substitutions
la quantité 2 corde CCsin^-^CCP Ae\\eni-^è'Jç; on a donc,
en négligeant un infiniment petit d'ordre supérieur au troisième.
cordeCC — CP= -^é^Jo.
Passons à la deuxième différence, on a:
Nous allons montrer que cette quantité est du qualrième
ordre, et que la deuxième différence doit, par conséquent,
être négligée.
On a:
CP iinCM\P -r -çjgr-;
or CP\ perpendiculaire abaissée d'une extrémité d'un arc infiniment petit du premier ordre sur la tangente en Fautre extrémité, est une longueur du second ordre (17), et comme CU'\ est fini, nnCM'iP est du second ordre. Par suite
m-j-CJIf'iP est aussi du second ordre, et son carré est du
quatrième. La deuxième différence est donc du quatrième ordre.
La troisième différence étant celle de Tare CC* à sa corde,
son expression est donnée au numéro précédent. L'arc CC
étant égal ^ ^q^ et Fangle des tangentes en C et en C à
f, on a, à un infiniment petit près d'ordre supérieur au
troisième,
art CC - corde CC = -^^^^Q-
On a donc, en négligeant une quantité infiniment petite par rapport à M'M\:
ou
Nous avons supposé, dans la démonstration qu'on vient de lire, que le rayon de courbure allait croissant de M
vers U% et laUgure a été construite en conséquence. S'il allait décroissant, la démonstration ne serait, comme noiis allons le voir, que très légèrement modifiée.
On a (fig. 17), les mêmes lettres désignant les mêmes choses que dans la figure précédente.
M'M'i = C'M\ — CM'
= C'M'i - CM + arc ce =z CM'x — CM\ + arc ce = PM'i - CM\ + arc CC - C'P, et cette égalité peut s'écrire comme suit:
M'lf'i= icordeCO-C'P) -{CM\-PM\) + {arcCC-cùrdeCC). Les trois différences qui constituent les termes de la valeur de M'M'i sont restées les mêmes. L'une, il est vrai, est devenue soustractive, d'additive qu'elle était; mais c'est celle qui est du quatrième ordre et qui doit être négligée, en sorte que la démonstration continuerait comme ci-dessus.
Remarque, La longueur M'M'\ est la distance de la courbe au cercle de courbure mesurée sur la normale à la courbe. Hais mesurée sur toute autre direction qui soit à la limite perpendiculaire à la tangente au point de contact, la distance de la courbe au cercle de courbure est encore égale à
-^-t^^Qy en né négligeant qu'une quantité d'un ordre supérieur au troisième. Soit en effet m'i un point du cercle MY infiniment voisin de jM , et supposons que la direction H'fii'i tende à devenir perpendiculaire à la tangente en M, ou, en d'autres termes , que l'angle M'iM'm\ soit infiniment petit. Joignant M\m\ , le triangle M'M\m*i donne :
M'm\ «nJfcPi
M*M\ "" iinm\ '
or l'angle M* tendant vers xéro, les angles M'\ et m'i sont supplémentaires à la limite, et par suite le rapport de leurs
sinas tend vers Tunité. Les longueurs M'm'i et Vif'* S4»it donc des inflnîment petits égaux , d'où il résulte que
-^k^jQ est Texpression de M*m\ en négligeant une quantité infiniment petite par rapport à lui même.
21. Expression de la différence des angles que font avec la corde d'un are infiniment petit les tangentes en ses extrémités.
Les mêmes lettres (fig. 18) désignant les mêmes choses que dans les deux figures du numéro précédent (on n'a pas tracé les arcs MM\ MM\ parce qu'ils auraient chargé la figure sans utilité), supposons pour fixer les idées que, comme dans la première, le rayon de courbure aille croissant de M vers M\ Soit MT la tangente au point M; menons les tangentes en M' et en M'± à la courbe considérée et au cercle, et soient L et Li les points où elles coupent MT, Soit S le point de rencontre de ces tangentes; nous devons montrer d'abord que S est situé entre l'arc MM' et MT. Soit à cet effet A le point où la tangente en M est coupée par une parallèle menée par Jlf'i à la tangente en M'; nous allons chercher la limite vers laquelle tend
RL le rsfpport -«/— • Nous trouverons un nombre inférieur à
RL
l'unité, et comme le rapport -^^ ne peut être inférieur
à l'unité que si les tangentes M'L , M*iLi se rencontrent avant de couper MT, il sera établi que le point S est situé entre l'arc MM' et MT, On â
RL - ^'^'' m - * i^ > ^i^ RM\Li '' - sinM'iRT ' ' - sinM'iRT
d'où
RL M'M't mtt M'M'i . CM \
MLt'^ M'ilisinRM'iLi" M\Lisin€M'tP ^ M\LtXP, '
Oo n'altérera pas la limite de ce dernier rapport si Ton
