ÉM

remplace M'M\ par -^t^Jç^ CM\ par , U'iLi par

-^Ji et CP par -x~eJç. Ces substitutions faites, il vient -K-; on a donc

La détermination que nous avons en vue est maintenant facile. Tirons les cordes ilfAf', MM'i; appelons M et M* les angles M'ML, MM*L, qui sont ceux dont nous voulons connaître la différence. Cette diflèrence est du second ordre. Nous négligerons les quantités d'ordre supérieur.

On a

M - M'iMT — M'iMM\

L'arc MM*i étant un arc de cercle, l'angle M'\MT est rigoureusement égal à la moitié de son angle de contingence, c'est-à-dire à la moitié de M'iLiT. Désignant ce dernier par e, on a donc

La direction M*M*\ tendant à devenir perpendiculaire à la corde MM\ l'angle M'iMM' et le rapport dsMM' ^^°^

des infiniment petits égaux. Mais ce rapport est du second ordre, puisque son numérateur est du troisième et son dénominateur dû premier. L'anglq M'xMM* est donc du second ordre, et par suite on n'altérera la valeur ci dessus de* M^ que d'une quantité d'un orcPre supérieur au second si l'on substitue à M'iMM' une quantité qui lui soit égale en tant

qu'infiniment petite.' Le remplaçant par . j}^, — ,

puis écrivant -^t^^Ç au lieu de M'M'i et J$ au lieu de

M.' M.' carde MM* , ce qui n'altère . J„, que d'une, quan-

COTaê BUSH

tité infiniment petite par rapport à lui même, et, par suite, d'un ordre supérieur au second, il vient

et cette valeur de M n'est fautive que d'un infiniment petit d'ordre supérieur au second.

Maintenant, le triangle SLLy donne

MIT - M\LtT - LSLù ou, à cause de M'LT = £, de M'iLyT = e, et de LS(L\ = M'SM'x = CM'xP:

é =: e — CM'iP L'angle CM*\P est du second ordre, parce que son sinus est le quotient de CP, qui est du secood ordre, par CM\^ qui est fioi. On n'altérera donc la. valeur ci dessus de b que d'une quantité d'un ordre supérieur au second si l'oo substitue à' CU\P une quantité qui lui soit égale en tant

CP

qu'infiniment petite. Le remplaçant par ^„, , puis écri-

vaut -^ êJç au lieu de CP., et au lies de CM'\ la quantité dont il est la limite, c'est-à-dire , substitutions

qui n'altèrent -7^- que d'une cjuantité infiniment petite

par rapport à lui méme^ el par suite, d'un ordre supérieur au secoud, il vient: .1

et cette valeur de e n'est fautive que d'un infiniment petit d'ordre supérieur au second.

Or M' est égal à £ — ^f. On aura donc la valeur de M' à un inûnîment petit près d'ordre supérieur au secpnd si dans if ' ^ £ — ilf on remplace e et M par les valeurs ci dessus obtenues. Il vient

On a donc, à un infiniment petit près d'ordre supérieur au second)

^ - * - "T* ~ ^ "^r \ 2 ' T ji 1^

ou,

Ju — iW = — ^— — - — • Remarque. Ce résultat, coâibitié avec Fégalité

conduit à la proposition suivante: La quantité dont Vangle

formé par la corde d'un arc infiniment petit avec la tangente en

Vune de ses extrémités diffère de la moitié de V angle de eontin-

1 é^Jo gence est égale, en tant qu'infiniment petite, à -jx --^.

22. Expression de la différence entre les parties des tangentes aux extrémités d^un arc infiniment petit comprises entre ces ex- Irémilés et le point de rencontre des tangentes»

Reprenons la figure 1 , où L est le point de rencontre des tangentes aux extrémités M et M' de l'arc; il s'agit de trouver la différence des longueurs ML , M'L, Elle est du second ordre, et nous la calculerons en négligeant les quantités d'ordres supérieurs.

Le triangle MM'L donne

ML sinM

ML ^ SinM*' d'où,

ML - ML^ iinM — sinM'

ou,

ÊÊi

ML - ML = [iinM - tin M') Z., .

Nous avons vu au commencement du numéro 19 que la difiérence entre un arc infiniment petit du premier ordre et son sinus est une quantité du troisième ordre; on a donc, au degré d'approximation indiqué: