M'L ^ ML=: -^^Q

^ 39 — On lire des deux dernières égalités:

et comme w + û>' et w — 6e>' sont d*un ordre supérieur au second , on voit que la différence entre Vune ou Vautre des longueurs ML, M'L et la moitié de Varc est , en tant qu'infiniment

peiitef égale à —r^sJç*

23. Des trois chemins suivants, qui conduisent de Vune à Vautre des extrémités d^un arc infiniment petite savoir: V la ligne brisée formée par les tangentes aux deux extrémités de Varc, 2^ Varc lui même, 3** sa corde, Vexcès du premier sur le second est double de Vexcès du second sur le troisième.

Désignant toujours par M et M' les deux extrémités de Tare et par L le point de rencontre des tangentes en M et en M', il s'agit d'établir Tégalilé suivante :

ML + ML ~ arc MM' « arc MM' - corde MM' ~"

Nous avons vu, dans la remarque qui termine le numéro 19, qu'on a

ML + ML - corde MM' = 2AfL«V-i-^ + 2M' L sin^^^M' .

Le sinus d'un angle du premier ordre ne difiérant de

Fangle que d'une quantité du troisième, la valeur du second

membre ne sera altérée que d'une quantité du cinquième

ordre si l'on remplace sin~^M et sin-^-M' par — if et-^-M'.

Par l'effet de ces substitutions le second membre devient

-^r-M • ML ~t" ' t\ 'M ' • M L I

on a donc, à an îofitiinieiit petH da oinquièine ordre prés : ML + »L - eùrdêMW m ^H» . ML + -i-Jlf'« . M'L.

Or dans les deux numéros précédents on a trouvé, en supposant que le rayon de courbure croisse de Jlf en if',

ML =r —Ji^-—£j(j^ M'L = —Jt + -Ï2"*^(>,

et comme ces valeurs ne sont fautives que de quantités d'ordre supérieur au second , en les substituant dans le second membre de Tégalité précédente on ne l'altérera que d'une quantité d'ordre supérieur au quatrième. Efiectuant les substitutions et réduisant, il vient, en négligeant les

termes d'ordre supérieur au quatrième, -^f'Jx; on adonc,

à un infiniment près d'ordre supérieur au quatrième:

ML-^-ML-- eordBMM' = 4-*»-^«-

Mais nous avons trouvé au numéro 19

arcMM' — cordeMM' = -^€^Js,

Retranchant ces deux égalités membre à membre, on a, à un infiniment petit près d'ordre supérieur au troisième:

ML + ML — arcMM' = -jy^«*^«-

Divisant membre à membre les deux dernières égalités et passant à la limite, il vient:

ML + M*L — arc MM' ^ are MM' — cordeMM' "** '

ce qu'on voulait démontrer.

0E0 COUBBE8 GAUCHES.

Avant d'aborder Tétode des propriétés des courbes gauches, il est nécessaire d'établir la propriété fondamentale des surfaces, et de présenter quelques considérations sur les surfaces développables

24. M désignant un point quelconque d'une mrfaee^ les tan* génies en M à toutes les courbes tracées par ce point sur la surface sont, en général^ contenues dans un même plan.

Toute surface peut être considérée comme engendrée par une ligne qui se meut dans l'espace en se déformant d'une manière continue. Cette ligne est nomtnée génératrice. Soit MX (fig. 19) la génératrice au point M , et soient if F, MZ deu3[ courbes quelconques tracées sur la surface par ce point Gomme deux droites qui se coupent déterminent un plan, notre proposition sera démontrée si nous faisons voir que les tangentes en Jlf aux courbes ifX, if F, ifZ sont contenues dans un même plan.

Considérons la génératrice dans une position infiniment voisine de ifJT, et soient if', if'' l^ points où elle coupe if F et ifZ. Le plan ifflf'if" contient: r La corde ifif', qui, k la limite, devient la tangente en if à la courbe if F;

2* la corde MM'\ qui, à la limite, devient la tangenl Jf à la courbe MZ; 3* la corde M'M'\ qui, sauf ei cas exceptionnels, diflôre infiniment peu de la tangeni M' à la génératrice, et par suite aussi de la tangente à MX. Donc la limite du plan MM' M" contient en gé les tangentes en M aux trois courbes Jlf J, JIF, JIZ, c démontre la proposition.

Le plan qui contient les tangentes à toutes les cot tracées sur une surface par un de ses points est ce < appelle /« plan tangent à la surface en ee point.

Corollaire l. Le plan tangent en un point M d'une face est déterminé par les tangentes en H à deux « conques des courbes qu'on peut conduire par ce poin la surface.

Corollaire U. Dans toute surface réglée, (on appelle celles qui, comme les cônes et les cylindres, sont e] drées par le mouvement d'une droite), le plan tangei un point quelconque contient la génératrice qui pass^ ce point.

Corollaire IIL M' étant un point de la surface infini voisin de If , la distance de M' au plan tangent en i en général du second ordre, MM' étant considéré co du premier. La distance de M' à tout autre plan co par M est du même ordre que MM\

25. Concevons qu'un mobile se meuve sur une su réglée en se transportant le long d'une génératrice, et i chacun des points par lesquels il passe on considè plan tangent. Il arrivera de deux choses l'une: ou bi plan tangent, qui ne cesse pas de contenir la généra changera de direction d'un point à l'autre) tournant a de la génératrice, ou bien il ne changera pas de dire et restera identique à lui même. Dans ce dernier ca plan tangent en un point de la surface est^tanigent te

long de la génératrice qui passe par ce poiDl. Ce cas est évidemment celui des cylindres et des cônes, et c'est encore celui d'autres surfaces que nous apprendrons plus loin à connaître.

Lorsque le pian tangent en un point d'une surface réglée est tangent dans toute l'étendue de la génératrice qui passe par ce point, on peut faire rouler un plan sur la surface, et dans chacune des positions successives qu'il prend en vertu de ce mouvement, il toueke la surface dans toute l'étendue d'une droite II est évident qu'alors la surface peut être développée sur un plan , car on peut concevoir que le plan roulant considéré tout à l'heure entraîne avec lui tout ce qu'il touche , comme s'il était recouvert d'une matière visqueuse, et alors, son mouvement terminé, il aura développé la surface sans déchirures et sans plicatures. C'est pour cela que les surfaces réglées en lesquelles le plan tangent est tangent tout le long d'une génératrice, sont appelées surfacei développabla. Les autres surfaces réglées, celles en lesquelles le plan tangent varie d'un point à un autre d'une même génératrice , sont appelées surfaces gauches,

26. Concevons une courbe tracée sur une surface développable. Le plan que nous supposons rouler sur la surface en en entraînant les parties à mesure qu'il les touche entraînera aussi la oourbe, qui finira par se trouver transformée en une courbe plane. Nous admettons comme évident qu'd chaque instant du mouvement la partie déjà développée de la courbe se raccorde avec celle qui ne Vesl pas encore, de sorte qu*à leur point de rencontre ces deux parties ont mime tangente.

Au lieu de se représenter le plan déroulant sur lui même la surface, on peut se le représenter s'enroulant sur elle de manière à l'envelopper peu à peu. Alors une courbe

préalablement tracée sur le p)a« se^ Inansformera en u courbe tracée sur la turfaoe, et à chai^oe iusiant du me vemeut la partie déjà enroulée se -raccordera avec ce qui ne Test pas encore, de sorte qu'à leur point de re contre ces deux parties auront métne tangente. 8i au II d'une courbe on a tracé sur le plan une droite, elle trouvera à chaque înstaol tangente à la courbe suivi laquelle elle s'enroule, au point où elle s'en sépare.

Concevons que Ton déroule une surface développa sur le plan tangent suivant Tune de ses génératric Considérons une courbe tracée sur la surface et coup cette génératrice en un point M. De la proposition énoni tout à l'heure il résulte que la tangente en M à cette coui est tangente aussi en ilf à sa transformée située dans plan langent.

27. Nous admettons encore comme évident que la U gueurd'uu arc de courbe tracé sur une surface développa n'est point altérée par le développement de la surface un plan En d'autres termes, un arc de eourbt éraeé tur surface développable est égal en longueur à la Urmuformée pi à laquelle il donne naissance quand on développe la surface, même égalité a lieu entre un arc tracé sur un plan el transformée à laquelle il donne naissance quand on • roule le plan sur une surface développable.

Nous aurons plus tard à revenir aux surfaces dével pables; nous les quittons maintenant pour nous oecu des courbes.

28. Dans une courbe gauche ^ comme dans une courbe pU un arc infiniment peUl el sa corde sont des infiniment petits éga

Soit MM* (fig. 20) l'arc gauche considéré; il s'agit montrer que, ilf' étant infiniment voisin de Jlf, on a:

arc MM' .

'*"• c^deMM* = ^'

Par le point M faisons passer un plan 'qui ne seil pas perpendiculaire à la tangente en ce point, puis faisons glisser le long de Tare une droite assujettie à rester perpendiculaire à ce plan; cette droite engendre un cylindre et décrit sur ce plan un arc dont nous désignerons par m^ la seconde extrémité. Soient MT, Mi les tangentes en M aux arcs MM'^ Mm' : elles sont situées dans le plan tangent au cylindre suivant la génératrice qui passe par M (24).

Développons le cylindre sur ce plan tangent, et soient Mi, m'i les positions que viennent occuper M' et m' par Peflet du développement; m\ est situé sur Mi^ et MT est tangent au point M à la transformée de Parc MM\ c'est à dire à Tare MM'^ (26). En outre, on a (27)

arc MM' i = arc MM% Mm\ = arc Mm',

Dans les tr'angles MM'im\ et MM'm' les angles en m j et en m' étant droits, on a

Mm'i =;= cordeMM'iCOMM'iMm'i^ wrdeMm* =b corde MM^ co$ M'Mm\

On tire de là par division

, Jlfiii'i __ cordeMM't cûsM'iMm\ corde Mm' corde MM^ co»M*Mm*

Le premier membre de cette égalité tend vers Tunité,

car il est égal à âeM~^^ * ®' ''^'^^ ^*" ^^' P'^*^' ^'^^

autre côté, les angles if 'litl/riS et Af'Aftn' tendant tous deux vers IWs et celui-ci n'étant pas droit, puisque par hypothèse le plan conduit par Jlf n'est pas perpendiculaire à

MTy le rapport ■ ^^,mà / tend vers l'unité. On a donc :

cordeMM'i ,

Mais l'arc MM't étaot piao , od peut le substituer à oorde, ce qui donne

,. arc MM't .

'•"* carde MM' ^ ^' ou, à cause de Tégalité des arcs MM*i e\ MM\

arc MM' '•"• confoiUlf' • -■ *'

ce qu'on voulait démontrer.

29. Dam une courbe gauche, comme dans une courbe pU r angle des tangentes aux deux extrémités d^un arc infinin petit est, en général, du même ordre que Varc.

Pour établir cette proposition il ne suffit pas, com dans le cas des courbes planes, de rappeler le princ général qui consiste en ce que le rapport des accrois ments simultanés et infiniment petits de deux variât fonctions Tune de l'autre tend en général vers une lin finie, car, si dans une courbe gauche l'angle que fail tangente avec une droite fixe est bien encore, comme d; une courbe plane, une fonction de l'arc compté à pa d'un point quelconque de la courbe, l'angle que font eo elles les tangentes en deux points n'est plus l'accroissem que reçoit cette fonction quand on passe du premier pc au second.

Concevons que tandis qu'un mobile se transporte long de la courbe gauche considérée, une droite, assuje à passer toujours par Je centre d'une sphère qui a l'uc pour rayon, se meuve de manière à être toujours pareil à la tangente à la coui*be au point où le mobile se troi dans le même instant. Cette droite, eo vertu de son me vement, décrit une certaine courbe sur la surface de sphère. L'arc de cette courbe et celui de la courbe prir tive, compté à partir de points quelconques pris sur ( courbes, sont deux quantités fonctions l'une de l'autre,

dès Jors les accroissements simultanés et inâniment petits de l'un et de l'autre sont du môme ordre infinitésimal* Si donc M et M' sont les extrémités de Tare considéré, et m et m' les points de la courbe tracée sur la sphère qui correspondent èi M et k M', les arcs MM\ mm' sont du même ordre.

Gela posé, par m et m* faisons passer un grand cercle de la sphère. L'angle des tangentes en if et M' étant égal à l'arc de grand cercle mm', la question est ramenée à démontrer que cet arc est du même ordre que l'arc mm' considéré tout à l'heure et décrit sur la sphère par la parallèle à la tangente. Or non seulement ces deux arcs sont du même ordre, mais ce sont des infiniment petits égaux, puisqu'ils ont la même corde (28). La proposition est ainsi démontrée.

Corollaire, Nous avons vu que dans une courbe plane la distance d'une extrémité d'un arc infiniment petit à la tangente en l'autre extrémité est du second ordre , l'arc étant du premier. Il est aisé de reconnaître qu'il en est de même dans une courbe gauche. Il suffit pour cela de projeter sur un plan la figure formée par la courbe, la corde de l'arc infiniment petit, la tangente, et la perpendiculaire abaissée sur la tangente; alors la démonstration sera fondée sur ce que la projection de la tangente est tangente à la projection de la courbe (comme il résulte immédiatement de la définition même de la tangente], et sur ce qu'une droite infiniment petite et sa projection sont du même ordre infinitésimal , pourvu seulement que l'angle que fait la droite projetée avec le plan de projection ne soit pas droit à la limite.

Nous verrons du reste proebainement que la distance d'une extrémité d'un - arc infiniment petit à la tangente en l'autre extr^nilé a pour expressioti, comme dans les

ooarbes planes, la moitié du prodait de l'arc par Tai de coniiDgenoe.

30. Du plan oiculateur. De môme que parmi les dr( qai passent par un point donné d'une courbe, il y en ai la tangente, qui est plus importante à considérer que autres, de même, parmi les plans qui passent par un ( donné d'une courbe gauche, il y en a un qui est part lièrement remarquable. Pour arriver à la notion d< plan, nous nous proposerons de chercher l'ordre de g deur de la distance d'une extrémité d'un arc infinit petit à un plan passant par l'autre Nous appelleror l'extrémité par laquelle passe le plan, M' l'autre, et i considérerons l'arc MM' comme du premier ordre.

Soit P (fig. 21) le pied de la perpendiculaire abai de M' sur le plan ; M'P est la longueur dont nous vou déterminer Tordre infinitésimal. On a

M'P , MMtmMD

MM' = imMMP,

d'où, en désignant par a l'angle que fait la tangente

point M avec le plan,

Itm ^^ = stn a.

MM

Lors donc que le plan ne contient pas la tangent

point M, la limite du rapport ^j^, est finie, et par i

M'P est du premier ordre.

Supposons maintenant que le pian contienne la tang à la courbe au point Jll; alors l'angle rr étant nul, M'P(^g n'est plus du premier ordre, et nous allons prouver qu'i généralement du même ordre que la distance de M* tangente en M, f^ar conséquent du second. De M' ab sons M'T perpendiculaire sur la tangente en Jlf, et joigi

PT, qui sera aussi perpendiculaire sur cette tangente. Dans le triangle M'PT, rectangle en P, l'angle T est fini ; pour qu'il fût infiniment petit, il faudrait que le plan fût dirigé suivant la limite de la direction TM' , et pour le moment nous écarterons ce cas. L'angle T étant fini et Tangle P Tétant aussi puisqu'il est droit, le rapport des longueurs M*P et M'T est fini, et par suite elles sont du même ordre, ce qu'on voulait démontrer.

Il ne nous reste à considérer que le cas exceptionnel que nous avons écarté tout à l'heure, celui où le plan est conduit par la tangente et par la limite de la direction M^T. Alors M*P, distance du point M' à ce plan, est d'un ordre supérieur à celui de if' 7, distance de M^ à la tangente, puisqu'il est le produit de M^T par le sinus de l'angle M'TPj qui , par hypothèse , tend vers zéro. Nous verrons plus tard qu'il est du troisième ordre, et nous en donnerons l'expression.

11 existe donc en chaque point d'une courbe gauche un plan dont le contact avec la courbe est plus intime que celui de tout autre plan passant par le même point. Sa distance à la courbe est d'un ordre supérieur à la distance de la courbe à la tangente, et parmi tous les plans qui passent par le point considéré il est le seul qui jouisse de cette propriété. Ce plan remarquable a reçu le nom de plan oiculaUur, D'après ce qui précède, il est la limite du plan conduit par la tangente et par la perpendiculaire abaissée sur la tangente d'un point infiniment voisin du point de contact. En d'autres termes, le plan osculaieur en tm point d'une courbe gauche eil la limite du plan déterminé par la tangente en ce point et par un second point de la courbe infiniment voisin»

Le plan osculateur peut encore, comme nous le verrons dans les numéros suivants, être envisagé de deux autres

manières* 1* Gomme limile du pUn conduit par ia tang au point considéré parallèlement à celle en an point niment voisin; 2* comme limite du plan déterminé pi point considéré et par deux autres points de la courbe (iniment voisins de lui.

31. L$ plan Oiculateur en un point M d^une courbe gi est identique avec la limite du plan déterminé par la iangen M et par une parallèle menée par M à la tangente en un M' infiniment voiiin de M,

Soit MT cfig. 23) la tangente au point if, et MK i'in section du plan osculateur et du plan normal, c'est-àperpendiculaire à la tangente; le plan TMK est le osculateur au point M.

Soit MX rmtersection avec le plan normal du pian nous avons en vue , c'est-à-dire du plan mené par parallèlement à la tangente en M\ L'angle que fait ce avec le plan osculateur est Fangle XMK^ et par suii proposition sera démontrée si Ton fait voir que Ta XMK tend vers zéro lorsque M' se rapproche indéfinii de M,

A cet eflet, projetons la courbe sur le plan normal; m* la projection de M' et p le pied de la perpendicu abaissée de m* sur MK, Les longueurs m'M et m*p respectivement égales aux distances du point M* à la gente et au pian osculateur en M; dés lors, en verti la définition du plan osculateur, m'p est infiniment i par rapport à mM' , d'où il résulte que l'angle m*Mh infiniment petit» et par suite, que MK est tangent en M projection de la courbe Projetons maintenant sur le normal la tangente à ia courbe au point M'; la projec de cette tangente est tangente en m' à la projection d courbe , d'où il résulte que si l'on désigne par l le [ où elle coupe i/AT, l'angle m'IK est infiniment petit.

MX 684 parallèle à m'I; donc l'angle XEiK est égal à Tangie m'Œ; par conséquent il est infiniment petit, ce qui dé«* montre la proposition

32. Concevons, comme nous l'avons déjà fait plus haut, que tandis qu'un mobile se transporte le long de la courbe gauche considérée , une droite, assujettie à passer toujours par un certain point de l'espace , se meuve de manière à être toujours parallèle à la tangente au point où le mobile se trouve dans le même instant. Cette droite décrit une surface conique dont les génératrices sont parallèles aux tangentes de la courbe donnée. Appelons ^, fi' les génératrices parallèles aux points Ht, M' de cette courbe. Le plan conduit par [i et /m^ est parallèle au plan conduit par la tangente en Jlf parallèlement à celle en if'; donc, à la limite, le plan \ja^ (a*) est parallèle au plan osculateur en M. Mais à la limite le plan (^, (a') est tangent à la surface conique suivant la génératrice (i\ par conséquent, les plans osculateurs de la courbe considérée sont parallèles aux plans tangents à la surface conique.

Nous aurons quelquefois à faire usage du cône dont nous venons de décrire la génération.

33. Le flan oiculalewr Irttverse en général la courbe au point de contact.

Soit M le point de la courbe donnée en lequel nous considérons le plan osculateur. Coupons par un plan quelconque le cône construit au numéro procèdent, et soit a le point de la courbe d'intersection situé sur la génératrice parallèle à la tangente en M, Nous allons montrer que si le plan osculateur ne traverse pas la courbe donnée au point Jf, il y a, sur la courbe d'intersection, inflexion au point a. Comme les points d'inflexion sont nécessairement isolés, il résultera de là que ce n'est qu'en des points isolés que le plan osculateur ne traverse pas la courbe au point de contact, et la proposition se trouvera démontrée.

Supposons donc qae le plan oscillateur ne traverse la coorbe an point M; alors, dans le voisinage de M e< part et d'autre de ce point, la courbe est située d'un mi côté du plan osculateur. Si donc on conduit un plan la tangente en M et par un point M* infiniment voisin coupera la courbe en un autre point Jf infiniment v< de M et situé par rapport à M' de l'autre côté de M.

Cela posé, reprenons la figure du numéro 31, dans quelle m* est la projection de M' sur le plan normal er Le plan conduit par la tangente en M et par le poin contient la droite Mm' , qui est une corde de la projec de la courbe sur ce plan normal.

Il existe sur l'arc Mm* un point en lequel la tang est parallèle à la corde Mm'; désignons le par n' et N' le point de la courbe considérée dont il est la prp tion, N' est situé entre M et M% et la tangente en n* la projection de celle en N\ Il résulte de là et de ce le plan déterminé par la tangente en M et par le poin contient la corde Mm\ que ce plan contient la para menée par Jlf à la tangente en N*. Puisque ce même j passe par un point M*' situé par rapport à M' de Ta côté de Jf , il contient encore la parallèle menée par la tangente en un point N'' infiniment voisin de M et s par rapport à N' de l'autre côté de M

Reprenons maintenant le cône considéré au nue précédent, et soient fif v* , v*' les génératrices parall aux tangentes en M, N', N'' ; v** est situé sur le côni l'autre côté de ^ par rapport à v\ et les trois générati ^, y', y" se trouvent, en vertu de ce qui précède, k tenues dans un même plan.

Coupons le cône par un plan quelconque ; nous obt drons une courbe dont nous désignerons par a, h* e les points situés sur ^, v\ v" ; h" est situé sur la coi

— Sade l'autre côté de a par rapport à 6'. Ces trois points étant contenus dans le plan des génératices fi y v', y", la corde a6' de la courbe d'intersection passe par f; or puisque b' et b" sont infiniment voisins de a, cela ne peut avoir lieu que si au point a il y a inQexion. La proposition est ainsi démontrée.

34. Le plan o$culaleur en un point M d'une courbe gauche est identique avec la limite du plan déterminé par le point M et par deux points M* ^ M** de la courbe infiniment voisins de M,

Soit MT (Gg. 24) la tangente en Jlf à la courbe considérée, et M"T' la tangente en M**. Conduisons un plan par la tangente Jlfr et par le point M" , et un autre par la tangente WT" et par le point M, Ces deux plans et celui que nous avons en vue, c'est-à-dire le plan MM'W\ contiennent tous trois la corde MM^\

Le plan TMM'* fait un angle infiniment petit avec le plan osculateur en Jlf, et le plan T"M**U fait un angle infiniment petit avec le plan osculateur en H*'. L'angle de ces deux plans osculateurs étant infiniment petit, il en est de même de celui des plans TMM", T'WH. Donc» des quatre angles que ces deux plans font entre eux, deux sont infiniment petits et les deux autres tendent vers deux droits. H sera dès lors établi que le plan MH'M** se confond à la limite avec le plan osculateur en Jf, si l'on fait voir qu'il est compris dans les deux angles infiniment petits que font les plans TMW* et T'M'*M, et à cet effet il suffit de démontrer que l'arc MWW est compris dans l'un des deux angles infiniment petits.

Ramenée à ces termes, la proposition est évidente ; car puisque l'arc est infiniment petit , il serait impossible , s'il était situé dans l'un des deux grands angles , que chacun des deux plans contînt la tangente en l'une de ses extré-

mités. Il faat donc qu'il soit conopris dans Tan des deux angles infiniment petits.

La proposition est ainsi démontrée.

On peut encore la démontrer comme suit :

Soit toujours MK (fig. 25] Tintersection dn plan osculateur et du plan normal en U, et MT la tangente; il s'agit de prouver que le plan M'MM** se confond à la limite avec le plan TMK. La droite MM\ contenue dans le plan MU'M'\ fait un angle infiniment petit avec MT. Nous allons dans ce même plan déterminer une droite faisant un angle inGniment petit avec MK, et de là il résultera qu'il se confond à la limite avec le plan TMK, car quand un plan mobile contient deux droites dont les directions difiièrent infiniment peu de celles de deux droites d'un plan fixe qui font entre elles un angle fini, il tend à se confondre avec ce plan fixe, à moins toutefois que l'intersection des deux plans ne s'éloigne indéfiniment, auquel cas ils seraient parallèles à la limite

Par Jf menons un plan perpendiculaire à MT, et soit aie point où il coupe la droite MM*; la droite M^'a est située dans le plan MM'M' ; nous allons montrer qu'elle fait un angle infiniment petit avec le plan TMK, et par suite aussi avec la droite JffiT. La proposition se trouvera alors démontrée.

D'un point quelconque À de la courbe abaissons ÀP perpendiculaire sur MT, AQ perpendiculaire sur le plan osculateur, et joignons PQ, qui se trouve aussi perpendiculaire à MT. Si Ton suppose que le point À se rapproche indéfiniment de Jlf , AP est infiniment petit par rapport à MP, car l'angle AMP tend vers zéro ; de plus , comme en vertu de la définition du plan osculateur l'angle APQ tend aussi vers zéro, AQ est infiniment petit par rapport à PQ, «t les longueurs AP et PQ sont des infiniment petits égaux. On a par conséquent:

Um^i=z 0, lim^ =0.

PrenoDS MT poar axe des x^ MK pour axe des y, et pour ai^e des % la perpendiculaire élevée en M sur le plan TMK. Soient

•y = F («), %^ fix) les équations des projedtions de la courbe sur le plan des 2By et sur celui des x%. Les coordonnées du point À sont

x^MP. y- PQ, * = ÀQ, et par suite, si Ton suppose que x tende vers zéro, on a, en vertu de ce qui précède :

hm—^-^ = 0, hm „, { = 0.

Désignons par x\ x** les x des points W et U^'; les

coordonnées du point a seront

X = x'\ y = —Fix'), % = Ç/(x').

Par suite, la tangente de Tangle que fait la droite Wa avec le plan xy est égale à

F(«") - ^Fix')

et notre théorème sera démontré si nous faisons voir que cette expression tend vers zéro avec x* et x'\ Pour simplifier, divisons la haut et bas par x", et posons

elle deviendra

xp(x'') - V;(xO

et en vertu de rhypothèse , on aura , x tendant vers zéro» Itm 7(a?) ==: 0, lim V^(a?) = 0, Um ^^ = 0.

Pour démontrer qae le rapport /L/i\ H } /\ ' ^^^

vers zéro avec «' et «'', concevons que sar deux axes rectangulaires OX , OY on construise une courbe en prenant pour abscisses les diverses valeurs que prend <f(9) quand on fait varier x à partir de zéro, et pour ordonnées les valeurs correspondantes de ^{x). Cette courbe passe par Torigine, puisqu'on a 9(0) =^0, 1^(0) = 0. De plus, elle est tangente à Torigine à Taxe OX; en effet, la tangopte de Tangle que fait avec OX une sécante passant par l'origine est égale

à ^^ ^ , et comme ce rapport tend vers zéro avec x, Id

courbe est tangente à l'origine à l'axe OX, Maintenant

( *'\ H ( '\ ®^^ Texpression de la tangente de l'angle

que fait avec l'axe OX la sécante conduite par les points de la courbe obtenus en faisant successivement dans <p(x) et dans i/>(â?), x =s x' et « = a;'^ Or cet angle est infiniment petit , puisque x' et x'^ tendent vers zéro et que la courbe est tangente à l'origine à l'axe OX Donc le rapport

' r.J "" / .X tend vers zéro avec x' et x'\ et la pro-

position se trouve démontrée.

35. L'angle que font entre eux les plans osculaleurs aux deux exirémiléi d'un are infiniment petit est, en général, du même ordre que Vare.

Pour établir cette proposition, on pourrait se servir du cône dont les génératrices sont parallèles aux tangentes de la courbe (32). Soient fi^ 11* les génératrices qui correspondent aux extrémités M et U* de l'arc ; l'angle de ces génératrices étant du même ordre que l'arc JâM* puisqu'il est égal à l'angle des tangentes en U et en Jlf' , et les plans tangents au cône suivant yu et ^* étant parallèles aux plans oscu-

lateurs en M et en M\ la proposition serait ramenée à démontrer que dans un cdne l'angle des plans tai^ents suivant deux génératrices infiniment voisines est en général du même ordre que l'angle que font entre elles ces génératrices. Il n'y aurait à cela aucune difficulté, mais ou peut arriver au but plus promptement et plus directement en se fondant sur ce que l'angle de deux plans est égal à celui de leurs normales.

Concevons que tandis qu'un mobile se transporte le long de la courbe considérée, une droite, assujettie à passer toujours par le centre d'une sphère dont le rayon a l'unité de longueur, se meuve de façon à être continuellement normale au plan osculateur au point de la courbe où le mobile se trouve au même instant. Cette droite décrit sur la sphère une courbe dont nous désignerons par m et m' les points qui correspondent à Jlf et à M\ L'arc mm* de cette courbe est du même ordre infinitésimal que Tare JtfAf ' de la courbe donnée , et comme l'angle des plans osculateurs en M et en M' est égal à l'angle mom% o désignant le centre de la sphère, tout revient à démontrer que l'arc mm' et l'angle fnam* sont du même ordre. Or il est évident que non seulement ils sont du même ordre, mais que ce sont des infiniment petits égaux, car si l'on mène par m et m* un grand cerele de la sphère, l'angle mom' est égal à l'arc mm^ de ce grand cercle, et cet arc a la même corde que l'arc mm* de la courbe décrite par la normale au plan osculateur.

La proposition est ainsi démontrée.

L'angle des plans osculateurs en deux points infiniment voisins est un élément dont la considération est essentielle dans l'étude des courbes gauches II constitue ce qu'on nomme Ui li}riionf ou encore la teeonde courlmre, et de là vient que les courbes gauches sont souvent appelées courbes à double courbure.

Nous avons désigné par -raff^n âe emtfhure «m pohii M la limile da rapport d'un arc W à l'angle des tangentes en ses extrémités en supposant le point M foe et le point X' s'en rapprochant indéfinîinent. Désormais, lorsqu'il s*agira de courbes gauches, nous appellerons oette limite rayon de la première courbwre^ et nous désignerons par rayon de la êHonde eaurbmn au paêni M la limite du rapport de l'arc MM' à l'angle des plans osculateurs en M et en Jf^ L'angle des plans osculatenrs en deux points in6niment voisins sera appelé angle ^ iorsion, et sera désigné par la (ettre grecque fj. L'angle des tangentes continuera à être appelé angle de cmUingencê et à être désigné par &.

36. La tangente en un point M éTime courbe gaucke est la limite de Vintereeetitm dee plans oseutaêeurt fn M et en un second point infininwnt voisin ; de plus^ le point M est la limite du point de rencontre de la tangente en M et de Vintersection des deux plans osculateurs

Soit toujours MK (fig. 26) l'intersection du plan normal et du plan osculateur en Jlf , et MT la tangente; le plan TMK est le plan osculateur en M

Soit a le point où la tangente en un point À de la courbe, situé à une distance finie de M, perce le plan TMK; a est un point de l'intersection des plans osculateurs en M et en À. Nous allons en déterminer la position.

Soient MB et MC les projections de la courbe donnée sur le plan osculateur et sur le plan normal en M, B et C étant les projections de A. Les courbes MB, MC sont respectivement t«mgentes en M aux droites MT, ME, et les projections de la tangente en A sont tangentes à ces courbes en B et en C.

Soit maintenant q le point où la tangente en C à la courbe MC coupe MK; q est la projection du point a sur le plan normal, d'où il suit que a est l'intersection de la

tangeole en B à la courbe M^ et d'une parallèle menée par 9 à if T. 31 résdlie de là , si toutefois Ton suppose À assez voisin de 11 pottr que Tare MB soit convexe, que a est situé entre Tare ilf il et la tangente MT. Dès lors , si une ^olte ^^isse de ii en Jlf le long de la courbe donnée en lui restant toujours tangente, la courbe Ma qu^elle trace 'Sur le plan osoulateur en M passe entre MT et l'arc MB^ et, par suite, est tangente en Jlf à MT.

Nous allons 'maintenant démontrer que Tintersection des pians osGulatenrs en M ei en A est précisément tangente en a à cette nouvelle courbe , et de là résultera immédiatement la double proposition qui fait l'objet de ce numéro.

Concevons que par le point À (fig 27) on mène une parallèle à ta tangente en un point À' infiniment voisin de À, et soit 6 le pomt où elle perce le plan osculateur en M» Le plan osculateur en À est la limite du plan déterminé par les droites Âa^ Ab (31), et, par suite, l'intersection des plans osculateurs en Jf et en i est la limite de la direction ab. La question est donc ramenée à prouver que cette limite est tangente en a à la courbe Ma, Nous allons montrer que la longueur ba' , a* désignant le point où la tangente en A' rencontre la courbe Jfa, est du second ordre, Tare aa' étant considéré comme du premier. 11 suivra de là que llangle a*igb est infiniment petit , et, par conséquent que la limite de la direction ab est identique avec la Hmite de la direction aa\ Coomie cette dernière limite n'est autre que la tangente en a à la courbe Ma , la proposition se trouvera démontrée.

La longueur ba' est le quotient qu'on obtient en divisant la distance des droites Ab^ A'ùf par le sinus de l'angle que fait ba' avec l'une ou l'autre de ces droites. Cet angle étant fini, puisque Ab et A*a^ font un angle fini avec le plan osculateur en Jf , il suffit de montrer que la distance de

— eo —

ces droites est da second ordre. Or elle n'est autre que la distance de À à la tangente en Â' , d'où il suit qu'elle est de l'ordre du carré de l'arc AÂ' (29, corollaire). Mais l'arc ÂÀ' est nécessairement du même ordre que aa'^ c'està-dire du premier. La distance des droites Àb et Â'a' est du second ordre.

La double proposition énoncée en tète de ce numéro se trouve ainsi démontrée.

37. Un poini quelconque M d^unê courbe gauche eel la limiU de Vinieneelion du plan oêculateur en M et de ceux en deux painls M' et M" infiniment voiHne de M.

Cette intersection est le point suivant lequel se coupent les intersections des plans osculateurs en M* et en M*' avec le pomt osculateur en U- C'est donc le point de rencontre des tangentes à la courbe Jfa, considérée au numéro précédent, en deux points infiniment voisins de M. Or un tel point est lui même infiniment voisin de Jf, ce qui démontre la proposition.

38. Avant d'aller plus loin , il est nécessaire de présenter quelques considérations sur l'emploi des courbes auxiliaires dans les démonstrations qui ont pour but d'établir les propriétés qu'une courbe possède en chacun de ses points. Nous avons surtout en vue d'indiquer une précaution sans laquelle l'introduction de ces courbes dans le raisonnement pourrait quelquefois conduire à des résultats inexacts.

II faut distinguer deux cas.

Tantôt la courbe auxiliaire est indépendante de la position du point que l'on considère sur la courbe donnée, ou, en d'autres termes, reste la même quel que soit ce point. Telles étaient les courbes auxiliaires dont nous avons fait usage aux numéros 29 et 85 pour établir que l'angle

— aides tangentes et celui des plans osculatears en deux points d'ane courbe gauche infiniment voisins sont en général du même ordre infinitésimal que Tare que ces. deux points comprennent; telle était encore celle dont nous nous sommes servis au. numéro 33 pour prouver que le plan osculateur traverse en général la courbe au point de contact. Il n'y a aucune précaution spéciale à prendre quand c'est ce cas qui se présente.

D'autres fois, au contraire, la courbe auxiliaire varie d'an point à l'autre de la courbe donnée. Ce cas s'est déjà présenté à nous plusieurs fois. Aux numéros 31 et 36 nous avons fait usage de la projection de la courbe donnée sur le plan normal au point considéré; au numéro 36 nous avons fait usage de la courbe tracée sur le plan osculateur au point considéré par une droite qui se meut en restant tangente à la courbe donnée ; dans la seconde démonstra^ tien du théorème qui fait l'objet du numéro 34 nous avons encore construit une courbe auxiliaire variable. C'est dans ce second cas qu'il peut, comme nous allons le reconnaître, devenir indispensable d'user de précaution, si l'on ne veut pas s'exposer à être conduit par le raisonnement à des résultats faux.

Lorsque dans une démonstration qui a pour but d'établir une propriété qu'une courbe possède en chacun de ses points on fait usage d'une courbe auxiliaire variable, il arrive souvent qu'on doive considérer un point déterminé de cette courbe, et lui attribuer en ce point la jouissance de propriétés générales antérieurement démontrées. Mais il ne faut pas oublier que certaines de ces propriétés n'existent qu'en général, et peuvent cesser d'avoir lieu en certains points isolés. Lors donc que dans une démonstration on attribue à une courbe auxiliaire variable, et en un point déterminé , la jouissance de telle propriété générale

des courbes, il est indispensable de s'être sa préalable assuré que ce point n*esi pas un de ces points exceplioDnels où cette propriété cesse d'avoir lieu. Si ceUe précaution n'a pas été prise, la démonstration est insuffisante.

Pour montrer par un exemple le danger qu'il y aurait à la négliger, considérons la projection d'une courbe gauche sur le plan normal en un de ses points, que nous appellerons M. Soit MK (fig. 23) Tinterseclion du plan normal et du plan osculateur en ce point; MK est tangent en M à la projection. Soit m' la projection d'un second point Jf' de la courbe donnée, et p le pied de la perpendiculaire abaissée de m' sur MK. Considérant MM' comme du premier ordre, la longueur Mm* est du second, puisqu'elle est égale à la distance du point M* à la tangente en M. Si Ton néglige la précaution sur laquelle nous insistons, on déduira immédiatement de là que m'p est du quatrième ordre, comme étant de l'ordre du carré de l'arc Mm* ; et comme m*p est égal à la distance de M* au plan osculateur en M, on arriverait à cette conséquence, que la distance d'un point d'une courbe gauche au plan osculateur en un point infiniment voisin est du quatrième ordre, l'arc qui joint ces deux points étant du premier. Or cette conséquence serait fausse, car nous verrons prochainement que la distance en question est du troisième ordre.

Nous avons plusieurs fois déjà, comme il a été rappelé tout à l'heure, fait usage d'une courbe auxiliaire variant d'un point à un autre de la courbe donnée. Mais jamais nous n'avons eu à lui attribuer j en un point déterminé, la jouissance de ces propriétés qui peuvent cesser d'avoir lieu en certains points isolés. Nos démonstrations n'étaient donc nullement invalidées par l'emploi d'une courbe auxiliaire variable II n'en serait plus de même dans quelques-unes de celles qui vont suivre, et nous aurons à user de la

précaution dont nous avons cherché à faire ressortir l'iinr portance.

39. En vue de cette précaution, nous ferons une remarque avant d'entrer en matière.

Soient JK et M' (fig. là) deux points d'une courbe plane infiniment voisins; nous supposons M fixe et M* mobile. Soient L le point de rencontre des tangentes en ces deux points, et P le pied de la perpendiculaire abaissée de M' sur ML, Nous avons établi plus haut les trois propositions suivantes:

r L'arc MM* et l'angle M%P sont du même ordre infinitésimal (4).

2* Les an,i^Ies LMM* et LM^M sont des infîniments petits

égaux, ainsi que les longueurs ML et M*L (16). d!" M'P est égal à la moitié du produit de Tare MM' par Tangle Jlf'LP, à une quantité près infiniment petite par rapport à lui même (17).

Ces trois propositions sont de celles qui peuvent cesser d'avoir lieu en certains points exceptionnels et isolés. Ce que nous voulons faire remarquer, c'est que si le point M n'est pas exceptionnel par rapport à la première, il ne l'est pas non plus par rapport aux deux autres. En d'autres termes, nous voulons montrer que , M étant un point déterminé d'une courbe plane, toutes les fois que Ton pourra prouver que l'arc MM' et l'angle M'LP sont du même ordre infinitésimal y on sera certain que les angles LMM\ IM'M sont, des infiniment petits égaux , ainsi qu« les longueurs M£, M'L , et que M*P est égal à la moitié du produit de l'arc MM' par l'angle M'LP^ a une quantité près infiniment petite par rapport à lui même.

L'angle M'LP étant l'angle de contingence, s'il est du même ordre que l'arc MM' y le rayon de courbure au point M est fini. Gela résulte de la définition même du rayon de

coarbure. Alors, pour se convaincre qae les angles LMM* et LM'M sont des infiniment petits égaux, ainsi que les longueurs ML et M'L, il suffit de se reporter à la démonstration par laquelle on a prouvé que ces relations ont lieu en général (16) , car on reconnaîtra que celte démonstration ne peut se trouver en défaut que si le rayon de courbure est nul ou infini en celte des deux extrémités de l'arc qui est supposée fixe

De ce que ML et M'L sont des infiniment petits égaux, il résulte immédiatement (17) que M'P est égal à la moitié du produit de Tare par Tangle M' £P, à une quantité prés infiniment petite par rapport à lui même.

40. Expression de F angle que fait uvee le plan oseulaieur en un poinl M d^une courbe gauche la langenie en un point M* infinimenl voisin.

Cet angle est égal, à une quantité près infiniment petite par rapport à lui même, à la moitié du produit de Fangle des tangentes par Fangle des plans osculateurs en M et en Jlf'; en d'autres termes, V angle que font entre eux le plan langent et le plan oseulateur aux deux exlrémités d^un are infiniment petit est égalj en tant quHnfiniment petit, à la moitié du produit de V angle de contingence par V angle de torsion.

Pour le démontrer, considérons la surface conique dont les génératrices sont parallèles aux tangentes de la courbe donnée, et désignons par fi et fi' les génératrices parallèles aux tangentes en M et en M'. Gomme l'angle de ^ et fi' est égal à l'angle de contingence , que l'angle des plans tangents au cône suivant fi et fi' est égal à l'angle de torsion (32), et que l'angle que fait ^' avec le plan tangent au cône suivant ^ est égal à l'angle de la tangente en M^ avec le plan oseulateur en Jlf , la question est ramenée à montrer que l'angle que fait fi* avec le plan langent au

cône suivant ^i est égal» en tant qu'infiniment petit, à la moitié du produit de l'angle des génératrices fi et ^' par Tangle des plans tangents suivant ces génératrices.

Soit o (fig. 28) le sommet du cône. Sur l'intersection des plans tangents suivant fA et ^' prenons o\ égal à l'unité, et par le point \ menons un plan perpendiculaire à cette intersection. Soient m et m* les points en lesquels ce plan coupe fji et iA*\ ml et m'i sont tangents en m et en m* à la courbe suivant laquelle le cône est coupé par le plan (24). De m' abaissons une perpendiculaire sur m{, et désignons en le pied par p ; m*p est perpendiculaire au plan tangent suivant la génératrice ^. Il suit de là que m*ùp est l'angle de fjL* avec le plan tangent suivant ^; et comme m*lp est l'angle des plans tangents suivants ^ et ^', tout est ramené à montrer qu'on a , eh négligeant une quantité infiniment petite par rapport à l'angle m*op :

angle m^op = -^ angle mom* X angle mUp.

L'angle de contingence et l'angle de torsion étant du même ordre infinitésimal, puisqu'ils sont tous deux du même ordre que l'arc MM\ les angles itiom' et m'ip, qui leur sont respectivement égaux , sont du même ordre ; et comme l'arc mm* est du même ordre que l'angle mom\ l'arc mm* et l'angle m'ip sont aussi du même ordre. Mais cet angle est celui que font les tangentes aux extrémités de l'arc mm' ; donc, en négligeant une quantité infiniment petite

par rapport à m'p^ on a (39) :

iii'p = -^ arc mm* X angle m' Ip.

Maintenant, m'p est perpendiculaire à op, et comme om diffère infiniment peu de l'unité , m'p difl%re du sinus de l'angle m*op, et par suite aussi de l'angle m'ap^ d'une quantité infiniment petite par rapport à lui même. D'un autre

cdté, le» looguiBOtiB ofn, om' diflérani tefiniment pcfa de IMnité, Parc ^m* diSère de Tangle mam' d'une quantité infiniment petite par rapport à loi même. Si donc dans régafité précédente on remplace m'p et an tÊtm' par angU m^&p et angh num* , les deux membres oontinaeront à être égaot en tant qu'infiniment petits, car chacun d'eux ne sera altéré que d'une quantité infiniment petite par rapport à lui tnêtne. Ces substitutions donnent:

angle m'ùp := -^angUmom* x angle m'ip,

et la proposition se trouve démontrée.

41. Vangle que fait Vinierteetion dei plane oeenhi$êurt en deux pointé M et M* d*une courbe infiniment voieim avec la tangente en Vun de eee poHUij eet égal à la m&Uié de Vangle de contingence, à une quaniité prêt infiniment petiie par rapport A lui mime

Reprenons la figure du numéro précédent; il s'agit de faire voir que Fangle lom est, en tant qu'infiniment petit» égal à la moitié de l'angle mom'.

Puisque l'arc mm' et l'angle des tangentes en ses <ex-> trémités sont, ainsi qu^on l'a vu aci nimiéfo précédent, da même drdre infinitésimal , Un et Im^ sont des infiniment petits égaux (39); et comme Im + Im' et are mm' sont aussi des infiniment petits égaux, on a :

lim -2 = 1.

^y arc mm*

D'un autre côté, o2, om et om* ayant tous pour limite

l'unité, on a:

angle lom , ,. angkmom' .

hm — ^r = 1, Itm ; — = 1.

tm ' a/remm'

Im

On n'altérera donc pas la limite du rapport

^ arc mm'

si l'on remplace Itn «et arc mm* respectivement par ahyle lom et angle mom' ; on obtient par là :

angle lom .

Itm-T = 1,

-K- angle mom'

et la proposition est; tlémontrée.

42. Lemme, Concevons qu'on ait projeté une courbe gauche sur le plan osculateur en l'un de ses points, que nous désigaerons par M. Soit M' un point de la courbe infiniment voisin de Mj et m' sa projection sur le plan osculateur ea M. V angle des tangentes en M et en M* à la courbe donnée^ et celui des tangentes en M et en m' à sa projection, sont des infiniment petits égaux.

Cette proposition, qui nous sera fréquemment utile, s^établit facilement comme suit.

Par un point quelconque de Pespace (fîg. 29), menons les droites OT, OT' et Ot' respectivement parallèles aux tangentes en JH, M' et m\ II faut montrer que les angles TOT\ TOt' sont des infiniment petits égaux.

Le plan TOt' est parallèle au plan osculateur en if, et comme le plan TOT est déterminé par des parallèles aux tangentes en M et en M', il est, à la limite parallèle à ce même plan osculateur (31), de sorte que l'angle des plans TOT', TOt' est infiniment petit. Déplus, la tangente en m' à la projection de la courbe donnée étant la projection de la tangente en M' à celle-ci, la droite Ot* est la projection de la droite OT sur le plan TOt\

Maintenant, d'un point quelconque a pris sur "OT, abaissons des perpendiculaires sur le plan TOr et sur la droite OT; désignons en les pieds par b et c, et joignons bc. L'angle c du triangle abc n'étant autre que l'ange des plans TOr, TOi\ il résulte de ce qui précède qu'il est infiniment petit, et, par suite, que le côté ab est infiniment petit psi/

rapport aux côtés ae et 6e. Comme le point b est situé sur la droite W , on déduit immédiatement de là que l'angle TOl' est infiniment petit par rapport aux angles TOT', TOi\ Or dans tout angle trièdre, une face quelconque est plus grande que la différence des deux autres; on a donc:

ror - TOi' < roi\

d'où il résulte que la différence des angles TOT, TOc est infiniment petite par rapport à chacun d'eux, ou, en d'autres termes, que ces angles sont des infiniment petits égaux, ce qu'on voulait démontrer.

On avait, il est vrai, fait voir au numéro 40 que l'angle T'Oi' est du second ordre, l'angle TOT étant considéré comme du premier. Si nous n'avons pas utilisé cette proposition , ce qui eût abrégé la démonstration , c'est que celle que nous venons d'établir n'est sujette à aucune ex ception, et qu'il était par conséquent préférable de ne pa s'appuyer sur une proposition qui peut cesser d'avoir lie en certains points isolés, comme c'est le cas de celle è numéro 40.

43.. Nous nous proposons maintenant de rechercher Vi pression de la distance d'un point d'une courbe gauche plan^ osculateur en un point infiniment voisin, et celle la plus courte distance des tangentes en deux points î niment voisins. Soient M et M' (fig. 30) ces deux poî concevons qu'on ait mené les tangentes et les plans o lateurs en M et en M', et soient iV, N' les points où Vii section de ces plans est coupée par les tangentes. devons d'abord établir que les trois longueurs MN ^ M'N' sont, en tant qu'infiniment petites, égales chacui tiers de l'arc MM*. Cela fait, la recherche que nous ) en vue s'accomplira avec la plus grande facilité»

A cet effet nous montrerons: i*" que la somme

MN + NN' + M'N* est, en tant qu'infiniment petite, égale à l'arc MM* ; 2"" que les termes dont elle se compose sont des infiniment petits égaux. Alors notre proposition se trouvera démontrée, car il résultera immédiatement de là que chacun de ces termes est, en tant quinfiniment petit, égal au tiers de Tare MM'.

Au sujet de la seconde partie de la démonstration, nous pouvons dès à présent faire une remarque qui la simplifiera. Gomme M^N' est, par rapport au point M\ ce qu'est MN par rapport au point Jtf, si MN et NN' sont des infiniment petits égaux, il en est de même de M'N' et NN'^ et par suite les longueurs JtfiV, NN' et M'N' sont trois infiniment petits égaux. 11 suffira donc de faire voir que MN et et NN' sont des infiniment petits égaux.

r Soit MT la tangente au point Jlf. Projetons la courbe sur le plan oscuiateur en M, et soit m' la projection de Jlf^ Menons la tangente en m' à la projection ; cette tangente passe par y, puisqu'elle est la projection de la tangente en M' à la courbe considérée. Soit q le point où elle rencontre Jlir.

L'angle M'N'm' étant infiniment petit, M'N' et sa projection m'N' sont des infiniment petits égaux. Il suit de là que les sommes

MN + NN' + M'N' et MN + NN' + m'N' sont égales en tant qu'infiniment petites. D'un autre côté, des cordes MM' et Mm'^ l'une étant la projection de l'autre et leur angle étant infiniment petit, ces cordes, et par suite les arcs MM' et Mm'^ sont des infiniment petis égaux. Mais la somme

MN + NN' + m'N' est, en tant qu'mfiniment petite, égale à l'arc Mm'^ puisqu'elle est comprise entre

Mq + m'q et are MM' ^

qui sont des iafinànenl petits égaux. Par conséqueDt

MN + NN' + M'N* et are MM' sont aussi des infiniment petits égaux.

2"" Il reste à démontrer que MN et NN' sont des infiniment petits égaux. Considérons à cet eiet la courbe tracée sur le plan oscillateur en M par une droite qui (^àaM> le long de la eourbe donnée en loi restant toujours tangente; d'après ce qu'on a vu dans la première partie du auméro 36, cette courbe est tangente en tf à la droite JfT, et en N^ à la droite NN\ Dès lora^ en vertu de la remarque du numéro 39, il sera prouvé que MN et NN^ sont des infiniment petits égaux, si Ton démontre que Tare MN* de cette courbe et l'angle des tangentes en ses extrémités, c'est-àdire l'angle N^NT^ sont du même ordre infinitésimal.

Considérons l'arc MM' comme du premier ordre. L'angle N'NT est du premier ordre, car il est, en tant qu'infiniment petit, égal à la moitié de l'angle des tangentes en M et M' (41). II suffit donc de montrer que l'arc MN' est du premier ordre.

Cet arc étant, d'après la première partie du numéro 36, situé entre la courbe Mm' et la tangente JfT, et l'extrémité N' se trouvant sur la droite m'q, sa longueur est comprise entre celles de l'arc Mm' et de Mq. Comme l'arc Mm' est du premier ordre, la question est ramenée à démontrer que Mq est du premier ordre.

Le point q étant celui où se coupent les tangentes aux extrémités de l'arc Mm' , les longueurs Mq et m'q sont des infiniment petits égaux, et par suite du même ordre que Mm', c'est-à-dire da premier, si l'angle m'qT est du premier ordre (39); or cet angle est du premier ordre, puisqu'on vertu de la proposition du numéro précédeat il es égal, en tant qu'infiniment petit, à Tangle des tangentes ei iftf et M' à la courbe donnée.

U est ainsi démontré qu0 les. trois, lQQg^e^rs tHV,, NN^ et M'N* sont, en tant qu'infinio^e^t. petites, égaler chapune au tiers de l'arc MM\

C^ v^ulfcat est formulé dans» les. deviç' éQqnQé$i suivants.

La partie de l« tanfftnu en un paini M <f niif eouràe gauehe, ^ompnse enire te pûM et Vinteneetion depplmm oieula^eurs en M et en tm potnl infiniment voiein M\ ett^ en tanê qu'infiniment petite^ égaU0^u tienne éh Tore MM',

La partie de Vinterseclion det plam oseutateurs en deux pointe M et M' d'une tourbe gauche infiniment voisine, comprise entre Us poihês oà eih est eoupée par les tangentes en M ei en W, est, en tant qu'infiniment petite^ égale au tiers de Vare MM\

44. Expression de la distance d^un point d'une courbe gauche au plan osculateur en un point infiniment, voisin.

Reprenons la figure du numéro précédent; il s'agit de trouver l'expression de la longueur M* m' ; on a :

Jtf'm' :;= Jtf'iV'milf'iV'm'.

Le $e^Q(d meiobre i>e sera altéré que d'une quantité iQSnimenti petite par rapport à lui même si Von en rem* plac^ les {acteurs par des qua^atités qui leur soient respec*tlvemeat égales en tant qq^'infinimeat petites. Remplaçant

M'N' par -|- Js (43), et sinàtN'm' par angleM'N'm\ puis par o

'2'^n (40), il vient:

Ainsi, la distance d'un, point d'une courbe au plan osculateur en Mn point infiniment vfiisin f M ^^% ^ ^^vnt qu'infiniment petite, à la sixième partie du produit de Varc qui joint les deux points, par Vangle de contingence^ par Vangle de torsion.

45. Expr$uUm ée U plm$ eomrU êiêUnee ée$ tangenta en deux pohUs ifime courbe gauche infiniment tfoieint.

•BeprenoDS encore la figure do naméro 43, et par le point N' menons N'V parallèle à MT. MT est parallèle au plan M'N' F, et, par suite, ia plus courte distance des tangentes en M et en M* est égale à la distance d^un point quelconque de MT à ce plan. Si donc on désigne par t le pied de la perpendiculaire abaissée de g sur le plan M'N'fj qt est égal à cette plus courte distance.

Soit I le point de la tangente en M* dont q est la projection; Tangle en $ du triangle, qti étant droit, on a:

qs =r qt cas $qt.

L'angle en q du triangle N'ql est droit aussi ; par suite, on a:

qt z=z N'q tang qNU^ d'où

qt =^ N*qtangqWieos$qL

L'angle tqt est infiniment petit. En efiet, il n'est autre que celui des normales au plan osculateur en M et au plan M' N'Y, ce qui fait qu'il est égal à l'angle de ces plans; or le plan M'N^V est parallèle à celui mené par la tangente en Jf parallèlement à celle en M' , et ce dernier se confondant à la limite avec le plan osculateur en M, fait avec lui un angle infiniment petit.

II suit de là que le facteur eoaqt a pour limite l'unité.

Les angles qNU et M*N*m* sont égaux comme opposés au soi^met. Gomme d'ailleurs la tangente d'un angle infiniment petit et l'angle lui même sont des infiniment petits égaux, le facteur tangqNU est égal, en tant qu'infiniment

petit, à -j. if] (40).

N*q est égal à m'q — m^N* ; or m^q et m^N* sont égaux, en tant qu'infiniment petits, le premier à -k-^', et le second à -^ Ji (43) ; donc N^q est , toujours en tant qn'infiniment petit, égal à i-= 5- Mt, c'est-à-dire à -^^t.

Remplaçant N*q , tang qN*i et cos sql respectivement par

-^ Js, -^eti et 1, ce qui n'altère le second membre que

d'une quantité d'un ordre supérieur à celui de qt^ il vient:

qt = -^iri^i.

Ainsi , la fhu courte distance des tangentes en deux points d^une courbe infiniment voinns est égale , en tant qu' infiniment petite, à la douzième partie du produit de Vare qui joint les deux points, par Vangle de contit^gence, par Vangle de torsion*

46. Parmi les diverses grandeurs qui sont introduites par la considération des tangentes et des plans osculateurs aux extrémités d'un arc infiniment petit, les deux dont nou^ venons de donner les expressions sont les plus importantes à connaître. Les valeurs de celles que nous n'avons pas encore considérées se déduisent facilement , à l'aide de la figure du numéro 43, des résultats obtenus jusqu'ici. Nous allons en formuler quelques unes , laissant au lecteur le soin de faire les vérifications.

Vangle que fait la tangente en M avec la corde MM' est èg<U à la moitié de Vangle de contingence.

La distance de M' à la tangente en M est égtUe à la moitié du produit de Varc par Vangle de contingence.

La dtflaiicé de M au pied de la commune perpendiculaire aux tangentes en M et en Jf' est égale à la moitié de Varc,

V angle que fnU /a tarât MM* apec U ploft ottulattur en M ttl égal au sixiètnt du produii de fanglt de tanlingtnct par VangU de iortion.

lifL distance de M à rinteneclion dei plans ottulakuri tn M ti tn M' est égale au sixième du produit de Varc par Vangle de contingtmte.

Vangle que fait avec le plan ostulateur en Mie plan mené par la tangente en M parallèlement à celle en Jf ' est égal à la moitié de Vanglt de torsion. On s'en assurera en se fondant sur ee qu» ce plan est parallèle au plan M* S* Y.

Vanglt que fait la commune perpendiculaire aux tangentes en M et en M* avec la normale du plan osculaleur en M est égal à la m<»tii de Vanglt de torsion, U est» en ^et, rigoureusement égal au précédent*

VangU que fait avec le plan oscul€Ueur en M le plem mené par la tangente en M et par le poi^U M^ est égal au tiers de Vangle de torsion.

4,7. La définition du cercle de courbure ei cellie du cerd^ Qscuiateur sont, pour les courbes gauches, les mêmes que pour les courbes plai^^s. Dans les eourbes planes ces deux œrcles sont identiques, et il résultera des propositions qui feront Tobjet de ce auiméro et des deux suivants qu'il en e$t de môme dansi les courbes gauches

Le rayon de courbure i'une cottrbt gauche tn un ptint M esi le même que It rayon de courbure en M de la projection de la cBurbe sur le plan osculateur en ce point.

Soit M' un second point de la courbe donnée infiniment voisin de M, et m* sa projection sur le plan osculateur en M, Js et e désignant Tare MM' et l'angle des tangentes en M et en M' à la courbe donnée , représentons par Je* et

£' l'arc Mm' Qt Tangla de3 taagiantes en M et ea m' à la projectioa. Comipie les rayons de courbure en JH à la courbe cooaîdérée et à la projection sont respectivement égaux à

Itm — , hm — T— ,

imi revient à faire voir qu'on a :

WW — =: Itm ; — .

Or cette égalité résulte immédiatement de ce que £ et £' sont des in6niment petits égaux (42), et de ce que Js et J$' sont aussi des infiniment petits égaux.

La proposition est ainsi démontrée.

48. La limite du cercle tangent à une courbe en un point M et passant par un point M* infiniment voisin, est, comme dans les courbes planes, identique au cercle de courbure.

Soit MT la tangente en M et P le pied de la perpendiculaire abaissée de M' sur MT; désignant par R le rayon du cercle qui est tangent en Jlf à MT et qui passe par V, on trouve par des triangles semblables:

corde MM' 4 a ^ -

On n'altère pas la Mmite du second m^embre si l'on y

remplace corde MM' par Js , et Jtf 'P par -y eJs ; on obtient

ainsi :

ce qui démontre la proposition.

49. Le cercle osculaleur d^une courbe gauche en un point M est h même que le cercle osculateur en M de la projection de la courbe sur le plan osculateur en ce point.

Soient M', M*' deux points de la courbe considérée infiniment voisins de Jtf , et soient m', m'* leurs projections

sur le plaD osculateur en M, II saffit de démontrer que les deux cercles déterminés, le premier par les points If, M\ M" 9 et le second par les points Jf , m\ m"j ont la même limite.

La démonstration sera fondée sur an théorème connu de géométrie élémentaire, savoir que le rayon du cercle circonscrit à un triangle est égal au quotient qu'on obtient en divisant le produit de ses trois cétés par le quadruple de sa surface.

Désignons par a, 6, c les trois côtés du triangle MM^M^\ par s sa surface, et par R le rayon du cercle qui lui est circonscrit. Désignons par a', 6', c', «', R' les grandeurs correspondantes dans le triangle Mm*m^\ On a , en vertu du théorème qu'on vient de rappeler:

et Ton tire de ces égalités:

R abc$' R' "" a'6V<'

Chaque côté du triangle Mm* m'* étant la projection de on correspondant dans le triangle MM*M*'^ et faisant d'ailleu^ avec lui un angle infiniment petit, on a :

lim — 7- = lim -r-r- = lim —7- = 1 .

D'un autre côté, le plan UWW* tendant à se confondre

avec le plan osculateur, le rapport — , qui est égal au

cosinus de l'angle de ces plans, tend vers l'unité. Il résulte de là et des dernières égalités qu'on a :

,. ohu' .

a*b*tt '

et, par conséquent,

ce qui démontre la proposition

50. Nous placerons ici une recherche du résultat de laquelle nous aurons besoin plus tard. Considérons une courbe fiauche et sa projection sur le plan osculateur en Fun de ses points, que nous désignerons par M, Soit Jf ' un point de la courbe infiniment voisin de j9f , et m' sa projection. Nous nous proposons de chercher l'expression de la différence entre las rayons des cercles osculateurs en M' à la courbe donnée et en m' à sa projection.

Soient ç et ^ + Jç les rayons des cercles osculateurs à la courbe donnée en M et en M\ Le rayon du cercle osculateur de la projection au point M est q (49), et nous appellerons q + (o celui au point m\ Il s'agit de trouver l'expression de la différence entre (> + w et (> + Jg^ ou, ce qui est la même chose, celle de la différence ta — Jq. A cet effet, nous chercherons d'abord l'expression du rapport

7^ j j en supposant le point M' fixe.

Soient M'\ M*** deux points de la courbe donnée infiniment voisins de M* , et soient m'\ m'*' leurs projections sur le plan osculateur en Jlf ; (> + ^(> est la limite du rayon du cercle circonscrit au triangle j|f'Jlf"j|f'" , et (> + c» est celle du rayon du cercle circonscrit au triangle m*m''m*".

Appelons a, 6, c les côtés du triangle M'M'*W\ et s sa surface; appelons de même a* ^ h\ e\ t' les quantités correspondantes du triangle f»'m"m'". En vertu du théorème de géométrie rappelé au numéro précédent, les rayons des cercles circonscrits aux triangles M'M*'M'*\ m*m"m"'

sont respectivement égaux à -g — et à . , , 11 résulte de là qu'on a:

p + J^ abcê'

Les limites des rapports — , -^-^ — sont toutes trois

égales au cosinus de l'angle que font entre elles les tangentes en- JT et en m' à la courbe donnée et à la projection, c'est-à-dire au cosinus de l'angle que fait la tangente en M' avec le plan osculateur en M, Désignons cet angle

par t*. Le rapport*— 7- étant égal à la réciproque du qosî-

nus de l'angle des plans des deux triangles, sa limita est la réciproque du cosinus de l'angle des plans osculateurs en M et en M\ c'est-à-dire de Tangle 17. On a donc:

() + w ^ go*^< ç -{' Jç eosfj '

Nous cessons maintenant de considérer le point Jf' comme fixe, et nous le supposons de nouveau infiniment voisin de

M» Soit « la diflérence entre et l'unité : on a :

d'où,

ou, en négligeant dans l'expression de la différence œ — Jg une quantité d'ordre supérieur au sien:

Tout est donc ramené à trouver l'expression de a ; on a :

eos^i . coà^i — coirj a =r •' ' — 1 = •

COSîJ COSfJ

En remplaçant dans ^^ ^ lé dénorainateiir par

*^ eosf] ^

sa Iknile, on n'altère cette fraction que d'une quantité infiniment petite par raf>port à elle même. Cette Ifeolte étant r-unité, «o peut donc prendre ponr valeur de n lia différence em^i ^ €o$fj. On a:

cùê^i — eoifj 2= 1 — eo«f; — (1 — cos^i)

= 1 — cofiy — (1 + cosi + eosU) (1 - c#lr<)

= 2 nn2 -1 ^ — 2 (1 + m» + co»2t) m^-i-i.

L'angle î étant du second ordre (40) et l'angle ?; du premier, le second membre de cette dernière différence est infiniment petit par rapport au premier. On ne doit donc conserver que celui-ci. Si l'on y remplace le sinus

par l'arc, il vient -k- 17^. On a donc, en négligeant une quantité infiniment petite par rapport à a :

et par suite :

Corollaire, Jç est en général du même ordre que l'arc MJU', Car il représente la variation que subit le rayon de courbure de la courbe donnée quand on passe de ilf à Jlf', et la rongueut* de ce rayon est une fonction de celle de la courbé, comptée à partir de l'un quelconque de ses points. On déduit de là, et de l'égalité à laquelle nous venons d'arriver, que Jq et œ sont des infiniment petits égaux.

C'est en considérant ^ + Jq et q + o) comme rayons des cercles osculateurs en M' et en m' que nous avons

obtenu la valeur du rapport —. — ^. On aurait pu l'obtenir

aussi en les considérant comme rayons de courbure. Voici quel eAt été alors le raisonnement.

Supposons le point M'- 6ie; soit M" un point de la courbe considérée inâniment voisin de Jf', et m** sa projection sur le pian osculateur en Jf . Désignons par B l'angle des tangentes en M' et en M" a la courbe considérée ^ et par E* celui des tangentes en «i' et en m" à la projection. On a :

,. arcM'M*' , ,. arem'm

p + /i^ =z Itm = , ç + ta = Itm

d'où,

g + fr» , .^ arem'm'' E

Q + Jq arc M' m** E'

La limite du rapport des arcs m*m'* et M'M'' est égale à celle du rapport de leurs cordes. Or cette dernière limite est égale au cosinus de l'angle que fait la tangente en M' avec le plan osculateur en Af , c'est-à-dire au cosinus de l'angle que nous avons appelé t. On a donc

arem*m**

are M M"

Pour trouver la limite du rapport -^, par un point

quelconque de l'espace (Bg. 31) menons OT, OT respectivement parallèles aux tangentes en M* et en M" à la courbe considérée, et Ot^ OV respectivement parallèles aux tangentes en m* et en m" à la projection. Les angles TOT\ tOl* sont égaux, le premier à £, et le second à E\ Déplus, le pian tOt' étant parallèle au plan osculateur en iftf, et le plan TOT tendant à devenir parallèle à celui en M', la limite de l'angle de ces plans est égale à ^« Remarquons encore que Ot et Oi' sont les projections sur le plan tOv de or et de OT^ et que l'angle TOi n'est autre que l'angle t\

Prenons sar M 9% 0i â«& iMigoeurs OCy Oc égales- à Tunlté^ pais par les points C et c, et dans les pbns TOT\ tOi\ élevons sur OT el Ôi des perpendictilaire6;>ell€rs rencontreront or et Ot' ent éeP pûkktA' qurnoUs apfiellerbns C' et e\ et les longueurs CC\ ce" sont les tangentes des angles TOT', lOi' Or un angle iiMniment petit et sa tan* gente étant des infiniment pedltsi égMtH, on a^:

CC' «t font est ramené à trouver la valeur de^ Ité^-^tt •

Soit à cet* effet OK yintersecMMi des" phm TOT\ iOt\ Par un point quelconque À pris'^r OK, mettons un plan perpendiculaire à cette droite; soient B, B les poitlfô en lesquels il coupe OT, OT, ei h, d ceux en lesquels il coupe Oi, Ov. Par B et 6, et dans les plans TOT, tOt\ élevons <fes perpendfcaiaires à OT, Ot, et soient B\ h* les points eil Itsqtiels eUe» rencontrent OT, Oi'\ on a:

CO OC 1 ££l ^ — JL

fF" "" OÈ ^ W' hV "^ Oa ~" 06 '

d'où, en divîsatlt ces égalités membre à membre,

ce* bb' Ob

ce BB-OB=''''^^' = ''''^

d'où,

ce BB'

ce* bb*

et, par conséquent,