E BB

lim -=-r = eoi % lim

El " bb'

Maintenant, le triangle BB'D donne

BB' sinD ~BD " sinW '

d'où, puisque l'angle B* est droit à la limite:

BB* lim -=r^ = lim tin D s= Hm eos B =. lim eoi TOK.

De même, le triangle bb'd donne

lim -rj- == lim eoi tOK.

De ces deux égalités on tire

.. BB' ,. BD ,. eos TOK

hm -rrr = Itm -T-r hm

hh' "■ hd eos îOK '

2J,etdecoâr(»-.^

Or, à cause de eos TOK = y.» , et de eos lOK = t^t- , on a

eos TOK Ob „,

et, par conséquent,

hm -=- ^ eos* t hm -rr • E' bd

Des longueurs BD^ bd, la seconde étant la projection de

la première, le rapport -rj est la réciproque du cosinus de

Tangle qu'elles font entre elles ; or comme elles sont situées dans les plans TOT\ toi' perpendiculairement à leur intersection , cet angle n'est autre que celui de ces plans. Ce

dernier ayant pour limite ?;, Je rapport — a pour limite

. On a donc

eos 7}

,. E cos^i

hm -=7 = ,

E' eos fj '

et, par conséquent,

p + £0 eos^i

^ + Jq eos fj

51. Dans les eourbes gatmhes, la différence enlre un arc infinimem pelit et sa corde est, comme dans les eourbes planes.

égale à la vingt-^ualrié me partie du produit de Care par le carré

de Vangle de eontingencey à une quantité près infiniment petite par

rapport à elle-même.

Désignons par c la corde de ]'arc considéré; il s'agit

de montrer que

Js^e et ôï^^^'

sont des infiniment petits éf^aux.

Soient M, if', les extrémités de Tare, et m' la projection de M' sur le plan osculateur au point M, Désignant par Js* l'arc Mm\ par c' sa corde et par t* Fangle des tangentes en ses extrémités, nous savons que

. Js' - c' et oV«''^*'

sont des infiniment petits égaux. Nous savons aussi que e et ê' d'un côté , Je et Js' de l'autre , sont égaux en tant qu'infiniment petits, et par conséquent que les quantités

Ta ''"' '' Ta '"^''

sont encore des infiniment petits égaux. Dès lors, pour que notre proposition soit démontrée, il suffit de faire voir que les deux différences

Js -- c et Ji' ~ c' sont égales en tant qu'infiniment petites.

A cet effet nous allons montrer que la différence entre e et c', et celle entre Js et J8\ sont d'un ordre supérieur au troisième. Il résultera immédiatement de là que la différence entre les quantités ^» — c et Je* — c' est d'un ordre supérieur au troisième, et comme Js' — c' est du troisième ordre, il sera prouvé que ces quantités sont des infiniment petits égaux.

Le triangle MM'm' donne :

c — C — c 1 1 - cos M*Mm'\ = 2 c «tV -i- M'Mm'.

ComiM e est do preoûer ocdce et TaDgle WMm* du secotkA f46^, oa conclut de cette égalité que la diflérence t-^t! est du cinquième ordre.

Pour dénonlrar q«e la différence Jli — Jt^' est dfun ordre supérieur au troisième, concevons qu'une droite glisse sur la courbe donnée en restant toiijouis perpendiculaire au plan osculateur en Jf, et développons le cylindre qu'eUe engendre sur le plan tangent suivant la génératrice qui passe par ce même point. Soient MT (fig. 3?) la tangente à la courbe considérée au point JH , et iV, n les positions que viennent occuper les points M* , m' par l'eflet du développement. L'arc MU* se transforme en un arc MN qui lui est égal en longueur et qm est tangent à ilf r au point M\ le point n est situé sur ilf F, et l'arc Mm* est égal à Mn. Tout revient donc à faine voir que la différence

arcMN — Mn est d'un ordre supérieur au troisième.

Menons la tangente en i^ à l'arc tfiV, et soit q le point où elle rencontre MT. Nous allons montrer que

Mq -h JVq ~ ilf n

est d'un ordre supérieur au troisième. Comme l'arc MN est plan, ilf^ + Nq est plus grand que lui, et par suite il résultera de là que la différence arcMN — ilipi est, a fortiori, d'un ordre supérieur au troisième.

On a:

3Êq + Nq -- Mn ^ Nq — qn, -et si de q comme centre avec qN pour rayon on décrit un cercle, et qu'on désigne par B le point où il coupe Ml\ on a:

Nq — qn =s nD;

tout revient donc à montrer que nD est d'un ordre supérieur au troisième.

Tirons ND. L'angle NnD étant droit, l'angle nND est égal à la moitié de l'angle NqD; donc il est infiniment petit, car l'angle NqD étant celui des tangentes aux deux extrémités de l'arc MN, est infiniment petit. 11 suit de îà que nD est infiniment petit par rapport à Nn; mais Nn étant égal à la ^distance de M* au plan osculateur en M. est du troisième ordre; donc n'D est d'un ordre supérieur au troisième.

La proposition est ainsi démontrée.

Pour valeur de z/j — c on peut| au lieu de -^e^JSy ,pFen-

dre ^£-2 9 o désignant le rayon de première courbure ; ces

deux expressioBfs «ont, en teflet, égalas en tant qu'infiniment petites , puisqu'on obtient la seconde en mettant

la première sous la forme -^ — —y, et remplaçant -^ par sa limite — .

52. Dans les courbes planes nous avons considéré la limite du point de rencontre des normales en deux points infiniment voisins, et nous avons vu qu'elle coïncide avec le centre de courbure. Pour continuer l'étude des propriétés des courbes gauches, nous devons maintenant considérer la limite de l'intersection des plans normaux en deux points infiniment voisins. Cette limite a reçu le nom de pfdttire. La proposition suivante, que nous allons démontrer, comprend comme cas particulier celle que nous venons de rappeler*

La polaire reiatite à un point donné d'une courbe gauche se confond avec la perpendiculaire élevée iur le plan osculaleur en Ci point par le centre du cercle osculateur.

Soit M I fig. 33) le point donné, et M* un point de la courbe infiniment voisin. Menons par M un plan perpendiculaire à rintersection des plans normaux en M et en M' , et désignons le par À. £tant perpendiculaire aux deux plans normaux et passant par 41, le plan À contient la tangente au point M et la parallèle menée par H à la tangente en M'\ il se confond donc à la limite avec le plan osculateur en Af. Puis donc que rintersection des plans normaux est perpendiculaire au plan A, il est déjà prouvé que la polaire est perpendiculaire au plan osculateur. Si donc on désigne par le point en lequel le plan À coupe rintersection des plans normaux, il reste seulement, pour que la proposition soit entièrement démontrée, à faire voir que la limite de la longueur JIfO est égale au rayon du cercle osculateur

en M, c'est-à-dire à Hm — .

Soit m' la projection de M' sur le plan À, Tirons m^O et m'if. Le triangle OJHm' donne:

^ Mm* sin Mm* ni) =r : — Tv .

La droite M* m* étant perpendiculaire au plan A^ elle est contenue dans le plan normal en M*. Par conséquent, m* est un point de rintersection de ce plan et du plan il, d'où il résulte que cette intersection n'est autre que la droite m'O. L'angle en du triangle OMm* est donc l'angle des deux plans normaux. Mais ces plans étant perpendiculaires aux tangentes en M et en M* , l'angle qu'ils font entre eux est égal à £. On a donc angle =z e, et, par suite:

-,^ Mm* iinMm*0

êine

Nous allons maintenant faire voir que Tangie Mm'O est

droit à la limite , et que Mm' et Js sont des infiniment

petits égaux. La proposition se trouvera alors démontrée,

car il résultera de là qu'on peut, sans altérer la limite de

Mm' iinMm'O , ., , >».#//% u : , remplacer Mm* par ^« et stnMm'O parru-

nité, et par conséquent, puisqu'on peut remplacer sine par ^, qu'on a :

Um MO =1 lim — .

Le plan À se confondant à la limite avec le plan oscuiateur en M, Tangle que fait avec lui la corde MM', c'està-dire l'angle M'Mm\ est infiniment petit. Gomme d'ailleurs l'angle M' m' M est droit, les longueurs MM' et Mm' sont des infiniment petits égaux, et par suite Mm' et l'arc MM' ou Ji sont aussi des infiniment petits égaux*

11 reste seulement à faire voir que l'angle Mm'O est droit à la limite; or cela est évident, puisque dans le 4;riangle OMm' l'angle en est infiniment petit, et que la direction Mm' tendant, comme nous venons de le voir, à «e confondre avec celle de la corde MM' et par suite avec 'Celle de la tangente en M, l'angle OMm' est droit à la limite.

La proposition est ainsi démontrée

Concevons que tandis qu'un mobile se transporte le long de la courbe considérée, une droite se meuve de manière à coïncider toujours avec la polaire au point de la courbe où le mobile se trouve au même instant. La surface engendrée par cette droite a reçu le nom de surface polaire. Elle est le lieu des polaires de la courbe donnée. La considération de cette surface est fondamentale dans la théorie des développées des courbes gauches.

5t. Soient il» If', M*' trora points infinimeiH voisins pris «or «M courbe gaoolie. Âppefoi» H et H* les plans menés p erpe n dîeHlaîreinept au« cordes MM\ M'M'* par leurs ntS*iieiuc. 11 est aisé de reconnattre que la limite de leur inters)99tlon n'est autre chose que la polaire relative au pofnt Jf. D'abord le plan MM* M*' est perpendiculaire à chacun dea plans H et H' , et par conséquent aussi à leur intersection, par où l'on voit déjà que la limite de cette intersection est perpendiculaire à la limite du plan MM*M*\ c'est-à-dire au plan osculateur en M, Ensuite le point où llntersection perce le plan MM* M*' est le centre d« cercle qui passe par les points H, M\ M*' ^ et comme ce cercle se confond à ia limite avec le cercle osculateur au point Af, la proposition se trouve entièrement démontrée.

64. Concevons qu'on inscrive un polygone dans une courbe gauche, et que par le milieu de chaque oôté on mène an plan auquel ce côté soit perpendiculaire. Soient H, M\ M" i etc , les sommets consécutifs du polygone; |f, U\ B'* , etc , les plans mepés par les côtés MM* , M*M*\r M**M***^ etc.; Kt K* ^ K'\ etc., les interseotiop^ des plap^ H et B'y H* et H", JET" et fl'", etc. Chacune de^ droites

de la série If, f[* , K**, est coupée par celle qui

la suit, car deux droites consécutives quelconques de cette série sont situées dans un môme plan. Soient L, L\ L**, etc., (fig. 34) les intersections des droites K et K% K* et K*' , K*' et K***, etc. La longueur LL* fait partie de la droite JT', la longueur L*L** fait partie de la droite If^', et ainsi de suite.

Considérons maintenant les espaces plans compris dans l'angle des droites IT et K* , dans celui des droites K* et K*\ dans celui des droites K** et K***^ etc. Ces espacesplans forment par leur réunion une surface polyédrale dont les arêtes sont les droites K, If', iTl', etc. Si Ton suppose

qae les côtés du polygone inscrit dans la courbe donnée tendent tous vers zéro en même temps que leur nombre augmente indéfiniment, comme, d'après le numéro précédent, chacune des arêtes tendra alors à se confondre avec i'une des polaires de la courbe, la surface polyédrafe tendra à se confondre avec la surface polaire.

Les parties des lignes K, K' ^ K** ^ etc. qui relient les points L, L\ L'\ etc. constituent une ligne polygonale dont ces points sont les sommets. Elle mérite d'être remarquée. Si l'on se représente la surface polyédrale, on verra qu'elle est formée de deux nappes symétriques qui se r^ficontrent suivant cette. ligne, et que celle-ci constitue comme une arête polygonale à partir de laquelle la surfiace ofire un rebroussement. €omme la surface polyédrale tend à se confondre avec la surface polaire, il résulte de là que celle-ci a aussi une arête de rebroussement à partir de laquelle commencent deux nappes symétriques.

Nous retrouverons plus loin ce même résultat par une voie différente.

55. Par quatre points qui ne sont pas dans un même plan , et parmi lesquels il ne s'en trouve pas trois situés sur une même droite, on peut toujours faire passer une sphère, et l'on n'en peut faire passer qu'une. Le centre de cette sphère est le point d'intersection des trois plans menés perpendiculairement aux droites qui joignent le premier des quatre points au second, le second au -troisième et ie troisième au quatrième, à égale distance de leurs extrémités. Il suit de là et de la manière dont les points C, £', L'\ etc. ont été obtenus au numéro préeédent, que chacun d'eux est ie centre de la sphère qui pasee par quatre consécutifs des sommets du polygone insent dans la courbe donnée. Le point L, en particulier, est le centre de la sphère déterminée par les sommets Jlf, M'y M*% M*'\

Si i'oa suppose le poÎQl M fixe et les trois autres s^en rapprochant indélîoiineQt, cette sphère teud vers une certaine limite qu'on appelle la iphère oseukUriee au point M. On déduit aisément de ce qui précède que le centre de cette sphère limite est le point commun à la polaire relative au point ill et à Taréte de rebroussenient de la ^rface polaire. D'abord il est situé sur l'arête de rebroussement de la surface polaire, puisque, comme on Va vu au numéro

précédent, le polygone LL'L" tend à se confondre

avec cette arête. En second lieu, la sphère déterminée par les points if , M\ M" ^ M'" contenant le cercle qui passe par les points M, M', M", la sphère osculatricé contient la liuiite de ce cercle, c'est-à-dire le cercle osculateur au point M, et , par conséquent , son centre est situé sur la perpendiculaire élevée par le centre du cercle osculaleur en M au plan de ce cercle, c'est-à-dire sur la polaire relative au point 3/.

Il résulte de ce qu'on vient de lire que l'arête de rebrouêtemeni de la surface polaire est le lieu des centres des sphères osculairices de la courbe considérée.

56. La limite de la sphère déterminée par le cercle osculaleur en M et par un point de la courbe infiniment voisin est identique avec la sphère osculatricé au point M. En eflet, la limite de la sphère déterminée par les points M, M\ W", M'" étant indépendante de la loi suivant laquelle M' , M** et M'^' tendent vers Af, on peut, à chaque instant du mouvement, supposer les distances MM' ^ MM" assez petites par rapport à MM'" pour que cette sphère soit altérée aussi peu qu'on voudra, si, sans déplacer le point Af'", on remplace le cercle MM M" par sa limite, c'est-à-dire par le cercle osculateur au point ill. De là résulte la proposition.

57. ConcevoDS qu'on mène le plan normal à la courbe donnéQen chacun des sommets du polygone inscrit iHAf'JW"... envisagé ci-dessus. Des droites qu'on obtient en considérant Tinlersection de chacun de ces plans par celui qui vient immédiatement après, deux consécutives sont toujours contenues dans un même plan, et,- par conséquent, leur ensemble constitue une certaine surface polyédrale dont elles sont les arêtes. Cette surface a, comme celle considérée plus hnnt, une arête de rebroussement polygonale dont les sommets sont les points de rencontre des arêtes consécutives.

Supposons que les côtés du polygone 3filf' iW"

tendent tous vers zéro, en même temps que leur nombre croît indéfiniment. Alors, en vertu de la définition de la polaire, chacune des arêtes de la surface polyédrale tendra à se confondre avec une polaire, et, par conséquent, cette surface tendra à se confondre avec la surface polaire. Son arête de rebroussement tendra donc à se confondre avec celle de la surface polaire Or chacun des sommets de cette arête est le point de rencontre des plans menés par trois sommets consécutifs du polygone inscrit dans la courbe donnée. Il résulta de là, et de ce que Tarête de rebroussement de la surface polaire est le lieu des centres des sphères osculatrices (.*>5) , que le centre de la sphère osculatrice en un point M d'une courbe est la limite du point de r«ncontre des plans normaux en M et en deux points infiniment voisins de M.

58. La sphère osculatrice étant la limite d'une surface qui passe par quatre points de la courbe infiniment voisins, on peut s'attendre à ce qu'elle ait avec la courbe un contact plus intime que le plan oscuialeur , qui est la limite d'une surface déterminée par trois points seulement de la

courbe. C'est ce qui a lieu en efllet, et nous allons montrer que la dUtance de la cimrbe à la sphère oteulatrice etî ifim ordre supérieur au troisième.

Soit M' ((ig. 35) un point de la courbe donnée infiniment voisin du point considère M; m' sa prqjection sitr le plan osculateur en Jf ; C le centre du cercle osculal^jor en Jf ; i le point où la droite Cm* coupe ce cercle. Les longueurs M'm' et /m' étant du troisième ordre (VO» 44 et 49), il en est de même de la longueur Jf7, car elle est rhypothénuse du triangle rectangle M'm7, par conséquent plus grande que chacun des deux autres côtés, et d'ailleurs plus petite que leur somme. Nous allons montrer que la distance de M' à la sphère osculatrice en M est infiniment petite par rapport à M'I. 11 sera établi par là qu'elle est d'un ordre supérieur au troisième.

Soit S le centre de la sphère osculatrice en if, et F le point où elle est percée par la droite SM*. La longueur M'P est la distance de M* à cette sphère. Nous allons faire

voir que la limite du rapport -t^y ^^t zéro, ce qui dé-

montrera la proposition.

Le point i étant situé sur le cercle osculateur, et par suite aussi sur la sphère osculatrice, PI est une corde infiniment petite de cette sphère , d'où il résulte que dans le triangle M^iP l'angle P tend à devenir droit. Dès lors,

en vertu de l'égalité -zrpj = -r— p , il sera prouvé que le

M'P rapport -j^tj tend vers zéro', si l'on lait voir que l'angle i

est infroimeni petit

La sphère osculatrice est la limite de celle qui est déterminée par le point Jlf' et par le cercle osculateur (S6),

«t le- pofaH / apyrthiat à «e oarctou U Stti4 de là,, et. der ce que M'I est caQtenu dans le plan SCM\ qui se confond à la limite avec le pfan SCM^ que la direction de celle des tangentes à la sphère oscalatrice qui passe par M et qui est cmiHenue d^ns ce demrer pfan est la Kniite dier la direction IPll Hfàis cette tangente est aussi la Tfmite de la <K^ection de la corde Pt. Dès lors, ces deux directions ont i!i' même limite, et par sufte leur angle, c'est-a-dire Tangle Jf'iP, est inâniment petit.

iua pmipesilMni est ainsi démontrée.