BACHELIER, IMPRIMEUR -LIBRAIRE

DB L^OLB POLYTBCIDfIQUB , DU BCRBAU DES LONGITUDES , OtC QUAI DES AUGUSTINS, N® 55.

V^-r U-l«\8.iÔ

ABLÀTIYSS

AUX EFFETS DU TIR

stm

1. Pendant que le boulet se meut dans l'âme de la pièce , le gaz de la poudre exerce k chaque instant des pressions égales et contraires sur le fond de l'âme et sur le projectile. Les pressions sur le fond de l'âme se transmettent sur toutes les parties de l'affût, et produisent le recul. Si l'on voulait déterminer à un instant quelconque les pressions que subissent les tourillons, l'essieu, ou d'autres parties du système, il faudrait connaître la loi de la force du gaz pendant l'inflammation de la poudre , et tenir compte de la flexibilité des différentes parties de l'affîit et de la matière même du canon, ce qui rendrait le problème impossible à résoudre. Mais pour éclairer la pratique sur les efforts auxquels les piurties du système doivent être capables de résister, il suffit de déterminer la somme totale des pressions que chaque partie éprouve pendant toute

la durée de raction de la poudre. Or cettc^ somme est une quantité finie de mouvement^ qui ne dépend que de celle que le boulet a reçue à la sortie de la pièce f et que Ton peut calculer en disant abstraction de la flexibilité du système. En général, une percussion n'est autre chose qu'une pareille somme de pressions successives qui ont produit^ dans on iaterralle de temps très court, une quantité de mouvement indépendante de la durée de leur action^ Dans la question actuelle, ce temps est celui que le boulet emploie à te mouvoir dans finteneur de la pièce ^ il s'élève à peine à un deux** centième de seconde : d'où il résulte que l'effet total de l'action de la poudre sur chaque point du système peut être assii^llé à une peMuBSion ^ et que le problème que noua aurons à résoudre consistera à calculer la viteSBe dont un corps d'uhe mâiee donnée devrait être animé pour qu'en venant frapper soit iH crosses, soit Tes* sieu, ou toute autre partie de l'aflfùt, ce choc produisit sur oes parties le même effet que Tac^ tion de la poudre.

ft. Nous représenterons par /u la quantité de

moàyement du boulet parvenu à la bouche du

tanon^ Cette qtmntiié sera aussi eelle qui sera

communiquée en sens contraire âu système de

- fat pièce et de l'âfHU: par Faction totale de la

(3) poudra (*). La directioo de cette force f^^ersi l'a» de la pièce. Noufi désignerons parô son iscKaair son sur le terrain , an^ qui sera positif ou négatif selon que la culas^ aura été abaissée ou élevée : clans le cas le plus ordinaire , cet angle sera po*sitif et d'un petit nombro de d^rés.

Le système entier est symétrique par rappcnt à un plan vertical passant par Taite de k pièce, ou parallèle à la direcii(^ du i^ecul; nous sup* poserons les ef&ts du tir semblables de part et d'autre de ce plan , en sorte que les deux roues , les deux crosses, etc., éprouveront ehacnine la méine percussion^

Pour fixer les idées, nous auppascTOQs au»i le terrain horizontal; nous le regarderoo» comcBe inflexible , ou du moins comme capable de i^* «ister sam flexion sensible aux pressions qu'il ^routera daoa ses points de contact / soit avec les .roues, soit avec les crosses. Noua représenterons par N et B k)s ac»nmes des pnessions ou les percuasicHis qui auront lieu au point de ccmtact de chaque crosse et k celui de chaque roue* Ces lopces seront verticales et dirigées dans le sens de la pesanteur; en les prenant en sens cou* traire, elles exprimeront les percussions v^ti« ixàhs que ji'afiut éprouvera aux mêmes pointe. Leurs grandeurs seront des fractions de f^ qa'd

(*) Note première à la fln de l'ouvrafs.

s'agira de déterminer; et si l'on trouve, pat exemple y N e= ti/U, n étant une fraction don^ née, cela signifiera que chaque crosse éprouvé le même choc que si le boulet lancé par le canon venait la frapper avec sa vitesse initiale, diminuée dans le rapport de n k l'unité. Il en sera de même à l'égard des percussions éfNrouvées par les autres parties du système, dont nous au^ rons à déterminer les rapports avec la force /t. Pendant toute la durée de l'action de la poudre, on devra négliger la pression eiercée à chaque instant contre le terrain par le poids du système, par rapport à celle qui est due à l'action du gaz, et qui est incomparablement plus grande, que la première; mais il faudra tenir compte du frottement, attendu qu'à un instant quelconque cette force est proportionnelle à la pression qui existe au même instant. Les résistances totales que le frottement des crosses et des roues contre le terrain opposera au mouvement de l'affiit seront des forces horizontales agissant en sens contraire du recul , que nous pourrons exprimer par JTf pour chaque crosse^ et par fB, pour chaque roue; y étant une fraction donnée qui dépendra de la^ nature du terrain et de celle des surfaces frottantes, et que nous supposons la même pour les roues et les crosses, afin de simplifier les formules que nous aurons à trouver.

5. Les quantités connues, dépendantes du poids et des dimensions des diverses parties' du système, qui entreront dans ces formules, se* ront représentées de la manière stiivante (^).

Nous désigiierons par y la perpendiculaire abaissée de l'extrémité des crosses sur Taxé incliné du canon , et par c la perpendiculaire abaissée du

C*0 Voyez la figure jointe à cet écrit , qui m'a été communiquée par un officier supérieur d'artillerie , ayec cette note :

On s^ détcmiiné la position du centre de granité du, ca* non sur Taxe j en plaçant la pièce en équilibre sur l'arête saillaûte d'un corps résistant (par exemple sur Taré te d'un essieu placé en travers dans les encastremens) , de manière que l'axe fut horizontal*

Pour obtenir la position du centre de gravité du système de la pièce et de son affût dans le plan vertical passant par l'axe y l'on a cherché d'abord celui de l'affût dans ce plan y qui le partage en deux parties à peu près symétriques, eu le suspendant au moyen d'un fil de fer d'environ 4 millimètres de diamètre , en sorte que ht direction de ce fil rencontrât ce plan presque à angle droit.

Ensuite , aa moyen de ce centre de gravité et de celui du canon , et dçs poids connus de la pièce et de l'affikt , il a été facile de déterminer sur la figure la position du centre de gravité du système entier.

Bans les pièces de campagne , la distance de l'axe des tourillons à celui du canon est un douzième du calibre. Afin de rendre ici cette distance plus sensible et d'apporter moins de confusion dans le dessin , Ton a descendu les tou-. irillons^ comme dans les pièces de siège.

centre de gravité dd système sur la même droite;

Par / k plod courte distance de Taxe des fourîUoDS k celui de la ris de pointage , à peu prés égale à la demi-longueur de la pièce ;

Pttr V l'angle peu différent de 6 que le second de ces deux axes frit avec k Tcrticale ;

Par h k hauteur du centre de gravité du système au-dessus du terrain , et par a la distance de sa projection horizontale à Textrémîté des crosses;

Par h' et a' les mêmes quantités rektivement au centre de gravité du canon , que nous supposerons situé sur Taxe de la pièce , direction de la force /A ;

Par r et b les mêmes quantités rektivement à chacune des deux roues, c'est«à-dit« k lotigiieur de son rayon et la distance de son point le plus bas à Textrémité des crosses.

Dans la construction ordinaire des affûts , les trois lignes a^ a\ b, dififéreront peu entre elles; on aura A'> A, A > r; et Tângle 6 étant peu considérable , les lignes > et c seront à peu près égales kKetV — h\ elles auront pour valeurs exactes :

y zsa K oos6 — a' sin0,

c =s {h*—h) cosfl— (tf'— a) sinft.

Concevons par Taxe des tourillons deux plans , l'un horizontal et l'autre vertical; nous représcn-

(7) ferons par p ia distance du centre de gravité du canon au premier pkoi, et par q sa distance au plan vertical. A cause de la prépondérance de la culasse, se centre sera situé du même cdté que cette partie de la pièce par rapport au second plan ; il sera placé au-dessns ou au-dessous dtt plan horiaonlal, selon que Faze de la pièce sera au-dessus ou au-dessous de celui des tourillons. Pour comprendre ces deux cas dans les mêmes formules, nous regarderons la quantité p comme porîtrre dans le premier cas , et comme négative dans le second. Ces distances p, et q varieront avec Tangle 0; mais si on les a mesm*ée6 quand cet angle est nul , et que Ton représente al<H« leurs valeurs par p=: a^ qss ji^ on aura, pour un angle 9 quelconque,

q :f=9 çL ffiinâ -4* /8 oosâ.

Enfin, nous appellerons M, m, m% les masses du système entier^ du canon et de chacune des deux roues; et nous représenterons por MK', wA:', jn'Af*, les moments d'inertie de ces masseUf rapportés à des axes parallèles à celui des tPU'* rillons , et passant par leurs centres de gravité respectifs. Nous ferons aussi

(8) de sorte que, les poids étant entre eux comme les masses , n et n' exprimerout les rapports des poids du canon et des deux roues au poids du système entier.

Il serait à désirer qu'on eût. déterminé toutes ces quantités, pour les différentes espèces de bouches à feu, soit par des mesures directes, soit par le calcul ou Texpérience.

4. Voici également comme nous . rispirésiente-^ rons les inconnues de notre prolulème qu'il s'agira d'exprimer en fonctions des quantités précédentes.

Nous avons d'abord exprimé par N et R. les percussions verticales qu'éprouvent les crosses et les roues à leurs points d'a{^ui sur le terrain.. Nous représenterons en outre :

Par T et S les percussions horizontale et verticale exercées sur l'encastrement de chaque tourillon y

Par £ et F les mêmes forces relativement à la partie de chaque roue que traverse Tessieu;

Par y la percussion sur la vis de pointage, dont la direction est l'axe de cette vis, faisant l'angle & avec la verticale : nous conviendrons de regarder comme positives ou comme négatives les forces horizontales, selon qu'elles agiront dans le sens du recul ou en sens opposé, et les forces verticales suivant qu'elles seront dirigées en sens

(9) contraires de la pe^nteur ou dans.le .même

sens ; d'où il résultera . que les composantes horizontale et verticale de la force. Y appliquée à la vis de pointage seront— r Vsin9Vet — V cos^'.

Les mêmes forces T, S, Y, E, F, prises en sens contraire de leuirs directions respectives, agiront les trois premières sur le canon, et les deux autres, à . chaque .extrémité de L'essieu.

Tous les points du système prendront, dans le sens horizontal , une yitesse commune ; leurs quantités de mouyem^nt correspondantes , étant proportionnelles à leurs masses, auront une: résultante qui passera par. le centre de. gravité. du système : nous désignerons par X cette force horizontale.

Le système entier pourra aussi prendre un mouvement de rotation autour de la droite qui joint les extrémités des. deux crossses^ ou plutôt leurs points de contact avec le terrain : nous désignerons, dans ce mouvement, par ^. la. vitesse angulaire dont tous les points seront animés.

Il se pourra encorte qu'indépendamment de la rotation du système entier , la pièce tourne autour de l'axe des tourillons : nous représenterons par C9 la vitesse angulaire de ce mouvement , produite , comme la vitesse ^ et la force X , par Faction totale de . la poudre.

Enfin y cette même action imprimera à chaque

parallèle à Taxe de rotation; par x et / le& coordonnées horizontale et verticale de ce centre , coinptées dans un plan perpendiculaire à Taxe de rotation , à partir de leur intersection comme origine; par x* et y les coordonnées du même centre, comptées dans les mêmes directions et dans le même plan que x et ^, mais à partir d'une autre origine ; les résultantes horizontale et verticale des quantités de mouvement de tous les points de m seront exprimées par — myc} et mxùà ; et la somme de leurs moments, pris par rapport à un axe mené par la seconde origine, parallèlement à Taxe de rota«t tion , aura pour valeur

(A:* + xxf 4- yj')nuD.

Quand ce second axe coïncidera avec celui de rotation , cette somme deviendra {1^ -f- d^) mea ; d étant la distance du centre de gravité à cette droite. Quand Taxe de rotation , ou l'axe des moments, passera par ce centre , cette même somme se réduira à h^mt» ^ quelque part que soit l'axe des moments dans le premier cas, ou l'axe de rotation dans le second. Les valeurs positives de^ étant portées au-dessus de l'axe des x^, on regarde dans ces formules la vitesse a> comme positive ou comme . négative , selon qu'elle tend à élever ou à abaisser la partie de cet axe hori^

zontal sur laquelle sont coitoptées les valeurs ^o-> sitÎTes de X.

£n appliquant, par exemple, ces formules à la rotation du canon autour de- Taxe mené par rextrémité des crosses, et prenant lés moments par rapport à l'axe des tourillons, il faudra faire

Les résultantes horizontale et verticale des quantités de mouvement de tous ses points seront mh'^ et 77k/^, et \b. somme de leurs moments

— {k* — a'q + hp)m^.

De même, si Ton considère la rotation de la pièce autour de l'axe des tourillons, et qu'on prenne les moments par rapport à l'axe parallèle passant par l'extrémité des crosses, on fera

d'où il résultera

— mpcf et mqci}

pour les résultantes horizontale et verticalie fdes quantités de mouvement de tous ses points , et

(A* — a'q + h'p)mcû pour la somme de leurs moments.

6. Cela paaé , les quantités de mouvement de tous les points du système , étant prises en seiis contraire de leurs directions , doiyeat faire équilibre à la quantité de mouvement f$ qui lui a été communiquée I et aux résistances aN, -**« a/N, aR, — ^fK , qu'il éprouve à ses pointa d'appui sur le terrain. Égalant donc à zéro les sommes des composantes, soit horizontales , soit verticales, de toutes ces forces, et observant que celles de la force /a sont f cos A et — /u sinfl^ nous aurons

/u, cos8— a/(N4-R)— X — hM(p+ pmcù := o^ — lu sin9 -f- a (N -|- R ) — aM^— gnuD s= o.

Prenant ensuite leurs moments par rapport à Taxe passant par les points de contact des crosses avec le terrain , et égalant à zéro la somme des moments des forces qui tendent à faire tourner le système autour de cette droite dans le sens de la &H«e jtt, moias la «HDiae de ceux des forces <]ui tendent à le faire tourner dans le sens opposé, on trouve

^yte 4- aAR — AX — (K* + a* H- A*)»!^ > ^-^ ;(4f — a^q ^^ h'p) mcû + aA'^m'^ = ^'

Les quantités de mouvement de tous les points de la pièce dues à la vitesse horizontale commune à tous les points du système auront pour résul-

tante unp forcç passant par le centtè de gravité du canon, et qui sera à la force X comme sa masse m est à la masse M du système, c'est-àdire égale à nX. Cette force et les quantteés de mouvement des points du canon dues à ses rotations autour de Taxe passant par l'extrémité des crosses et autoiu* de Taxe des tourillons^ étant prises en sens contraire de leurs directions, feront équilibre à la quantité de mouvement f0f qui a été communiquée à la pièce et aux résistances horizontale et verticale Y sin O', V oosQ' — aT, — û8, qu'elle éprouve en s'appuyant sur la vis de pointage et sur Tencastrement des tourillons. Pour cet équilibre , il faudra qu'on ait

^cotA -f* V rin»'*-»- %T ^ nX^ rûiM^ + pmrn m 4>, *«* M sin 6 H^ y ces 6' -^ aS ~ JM^Mf -^ gmm ss o,

les moments étant pris, pour former la troisième équation, par rapport à Taxe des tourillons, ce qui fait disparaître ceux des forces T et S, dont la résultante passe par cet axe (n^ 4).

En formttnt de même les trois équations né^ CBBBaires à l'éqoi^re des quantités de mouve* ment de tMis les points de dmque roue, prises en sens contraire de leurs directions, et des résistances E, F, R, — /"R, qu'elle éprouve à

ses points de contact avec Tessieu et avec le terrain , on trouve '

E — ./R — i n'X — i n'rM<p sis o,

F-i- R — ifi'iM^ = o, r/R -^ - n'k"M(p + kf'm'X = o ;

les moments étant rapportés, dans la troisième équation, à Taxe de Fessieu, ce qui dispense d'avoir égard à ceux des forces E et F dont la résultante passe par cette droite.

Si l'on substitue la valeur de Â^^m'^^ tirée de la dernière équation de ce numéro , dans la troisième ; que Ton retranche de celle-ci la première multipliée par A, et la seconde multipliée par a; et que l'on ait égard aux formules du n* 5, on aura

équation que nous emploierons à la place dé la troisième, dans les calculs suivants.

Telles seront les neuf équations qui serviront à déterminer les inconnues du problètne, dans tous^ les cas. qu'il présente, et que nous allons successivement examiner.