HO
ment petite par rapport à l'arc MM' ; et comme les trois mouvements sont équivalents par leur ensemble au roulement sur la surface polaire qui amènerait le plan À à coïncider avec le plan À\ la proposition prélimmaire que nous avions en vue se trouve démontrée.
Ce point acquis, la démonstration s'achève facilement. Considérons un arc fini commençant an point M, et décomposons le en ti parties terminées en des points que nous
appellerons M* , Jf", KT'", , Jlf (■), ce dernier étant
la seconde extrémité de l'arc fini que l'on considère. Noas supposerons ces parties infiniment petites et croissant en nombre indéfiniment. Concevons maintenant que Je plan normal roule sur la surface polaire à partir de la position où il coupe la courbe donnée au point M jusqu'à celle où il la coupe au point Jlf c»), et qu'il emporte successivement les points Jlf, M*, M'\ ....... If C»-o. Quand il sera arrivé
en M* , le point M se trouvera à une distance de M' infiniment petite par rapport à Tare MM* ; quand il sera arrivé en M*\ le point M* se trouvera a une distance de iV infiniment petite par rapport à l'arc M' M'* ; ; quand
il sera arrivé en Af t"), le point j|f(»-»^ se trouvera à une distance de Jlfc») infiniment petite par rapport à l'arc jfcf (n-ojn(n}. Or la distance a laquelle M sera de M c»3, lorsque le pian normal coupera la courbe en ce dernier point, est inférieure à la somme de toutes ces distances infiniment petites par rapport aux arcs qui leur correspondent sur la courbe donnée; donc cette distance est infiniment petite par rapport à la somme de ces arcs, c'est-à-dire par rapport à l'arc fini considéré MM ("^ donc elle est nulle.
11 est ainsi démontré que si l'on lait rouler le plan normal sur la surface polaire, ii est toujours rencontré par la courbe au même point.
La génération des développées et leurs principales pin>priétés se déduisent de ce théorème comme simples conséquences
67. Concevons qu'on ait tracé dans le plan tangent à la surface polaire une droite indéfinie qui rencontre la courbe donnée, et qu'on fasse ensuite rouler le plan sur la surface. En vertu du théorème qu'on vient' de démontrer, la droite ne cesse pas de rencontrer la courbe, et est toujours coupée par elle au même point. Considérons maintenant la courbe suivant laquelle celte droite s'enroule sur la surface. A chaque instant du mouvement, la partie non enroulée se raccorde avec celle qui l'est déjà, en sorte qu'au point de séparation celle-ci a pour tangente la première. Si donc on suppose un fil enroulé sur cette courbe jusqu'à un certain point quelconque à partir duquel il s'en détache langeutiellement , la partie rectiligne du fil ira rencontrer la courbe primitive; et si l'on coupe le fil au point de rencontre, de sorte que ce point en devienne une extrémité, puis qu'on développe la partie enroulée du fil en le maintenant toujours tendu et tangent à la partie non encore développée, cette extrémité décrira la courbe primitive.
Cette propriété de la courbe suivant laquelle s'enroule sur la surface polaire une droite tracée dans un plan tangent et rencontrant la courbe primitive, lui a fait donner le nom de développée. Par chaque point de la surface polaire il passe une développée, car par tout point de cette surface on peut, dans le plan tangent en ce point, tirer une droite qui rencontre la courbe primitive.
11 est facile de reconnaître qu'il n'existe pas d'auter développées que celles dont nous venons de décrire la génération.
D'abord, toute autre ligne tracée sur la surface polaire étant coupée en chacun de ses points par une de ces der-
nieras» elle ne peu! être tUe^mtaie oee dévelop(»ée, car deux courbes <iui 8e cou(iem n'ont pas la même tangeviie au point d'Intersection.
En second lieu, une développée est nécessairement située sur la surface polaire En effet, toute droite tangente à une développée f étant normale à la courbe primitive, se trouve contenue dans un plan normal à cette courbe i et par suite la développée est, en chacun de ses points» tangente a un plan normal de la courbe primitive. Gela posé, considi^rons deux points d^une dévelopipée infiaia^ent voisins, et les deux plans normaux auxquels elle est tangente en ces points; ces deux points sont infiniment voisins^ de rintersectioD des deux plans, car, pour <)u^i] en fût autre* ment, il budrait <)ue Tare qui les joint fût contenu dons Fun des deux angles infiniment petits <|tte les deux plaofi font entre eux, et alors la développée traverserait ces plans au lieu de les toucher. Mais cette intersection est infiniment voisine de la surface polaire; donc les deux points ne peuvent être situés que sur cette surface.
68. Le pluK court chemin entre deux poinU d'une dévelof>péê^ en suppo$ant qu*on veuHle aller de Vun à V autre sains quiUer la surface polaire , est jusUmenl Varc de développée qui les joini. Cela résulte: V de ce qu'en vertu même de leur génération , les développées se transforment en lignes droites lorsqu^on développe la surface polaire sur un plan; 2" de ce qu'une ligne tracée sur une surface développable conserve sa longueur quand on développe la surface sur un plan On appelle lignes géodésiques les lignes tracées sur une suriace et qui jouissent de la propriété d'être le plus court chemin entre deux quelconques de leurs points. Tels sont sur une sphère les grands cercles. Les développées d'une courbe sont donc des lignes géodésiques de sa surface polaire.
69. Lorsqu^on développe ta surface polaire $ur un pian, les transformées des développées vont toutes concourir en un même peint.
Concevons que le plan tangent roule sur la surface polaire en en entraînant les parties à mesure qu'il les touche; le mouvement une fois terminé, cette surface se trouvera développée sur un plan. Puisque pendant tout le cours du mouvement toutes les développées se rencontrent en un même point, qui est celui où le plan est eon3tamment traversé par la courbe, la même chose a lieu une fois le mouvement terminé, ce qui démontre la proposition.
70. Tout ce que nous avons dit, relativement aux développées, s'applique aux courbes planes aussi bien qu'aux courbes gauches. Seulement, dans le cas d'une courbe plane, la surface polaire est un cylindre dont les génératrices sont perpendiculaires au plan de la courbe, et qui a pour section droite le lieu des centres de courbure, cette courbe qu'en traitant des courbes planes nous avons appelée la développée .
Dans les courbes gauches, le lieu des centres de courbure n'est pas, comme dans les courbes planes, une développée de la courbe primitive. Soient en effet âf. M* (tîg. 43) deux points infiniment voisins pris sur la courbe primitive, et C, C les centres de courbure relatifs à ces points Pour que le lieu des centres de courbure fût uae développée, il faudrait que la direction CM fût la limite de la direction CC^ et puisque CC est du même ordre qtt&MM', il faudrait que la distance de C' à la droite CM iùt du second ordre, MM* étant considéré comme du premier. Or cette distance est plus grande que celle de C au plan oscula- (eur en âf, puisque CM est contenu dans ce plan; par conséquent, il faudrait que la distance de €' au plan
osculateur en M fui d'uo ordre supérieur au premier. Mais cette distance est du premier ordre, car elle est égaie au produit du sinus de Tangle des plans osculateurs en M et en M'f ou angle de torsion , lequel est du premier ordre, par la distance de C à rintersectiQn de ces plans, laquelle distance est 6nie , puisque, Tintersection des plans osculateurs tendant à se confondre avec la tangente en M (36), elle a pour limite CM y c'est-à-dire le rayon de première courbure au point M.
71. La surface polaire ayani été développée $ur un plan^ la transformée du lieu de$ centres des cercles osculateurs est le lieu des pieds des perpendiculairei abaissées sur les tangentes de la transformée du lieu des centres des ephhres osculatrices depuis un même point du plan, qui est celui où vont concourir les transformées des développées. En outre^ les longueurs de ces perpendiculaires sont égales aux rayons de courbure.
Cette proposition est encore une conséquence immédiate du théorème du numéro 66. Considérons un point quelconque À de la courbe proposée; soit C le centre du cercle osculateur en ce point, et S celui de la sphère osculatrice Dans le triangle qu'on obtient eu joignant les points i , Ç et S, lequel est situé dans le plan normal au point i4, AC est le rayon du cercle osculateur, AS celui de la sphère osculatrice, CS est une génératrice de la surface polaire , et AC est perpendiculaire à CS. Concevons maintenant qu'en chaque point de la courbe donnée on ait construit ce triangle, puis qu'on fasse rouler le plan tangent sur la surface polaire. Ce plan viendra coïncider successivement avec celui de chacun des triangles, et emportera le triangle sans le déformer , de telle façon que , le mouvement terminé, les droites AC seront encore perpendiculaires aux droites CS. Le plan roulant étant, pendant
tout le cours du mouvement, traversé par la courbe au même point, une fois Je mouvement achevé, tous les points  coïncideront, de sorte que toutes les perpendiculaires AC seront issues d^un même point, qui est celui où vont concourir les développées quand on étale la surface sur un plan. L'ensemble des points C constitue la transformée du lieu des centres des cercles osculateurs, et les droites CS, qui avant le mouvement étaient tangentes au lieu des centres des sphères osculalrices (65 , corollaire I) , sont, après le mouvement, tangentes à la transformée de cette courbe. La proposition est ainsi démontrée.
72. Le plan osculaleur <fune développée est le plan délerminé par la tangente à la développée au point comidéré et par la tangente à la courbe primitive au point correspondant.
Soit N (fîg. 44) un point d'une développée, et M le point correspondant de la courbe primitive; MN est tangent en iV à la développée. Soit MT la tangente en ilf a la courbe primitive. Il s'agit de prouver que le plan NMT est le plan osculateur de la développée au point N.
Soit N^ un point de la développée infiniment voisin de N, et M' le point correspondant de la courbe primitive; M'N' est tangent à la développée au point JV'. Par N menons une droite NH parallèle à M*N* ; le plan osculateur de la développée au point N est la limite du plan MNH (31), et il suffit, par conséquent, de prouver que ce plan fait un angle infiniment petit avec le plan NMT, Nous considérerons l'arc MM' comme du premier ordre, et alors l'arc NN/ sera aussi du premier ordre.
La distance du point M' à la tangente MT et celle du point N* à la tangente JlfiV sont du second ordre; par suite, les distances de M* et de N' au plan NMT sont d'un ordre supérieur au premier, car elles sont respectivement plus petites que celles de ces points aux droites MT, MN. Or
la longueur M'N' étant finie, Tun au nnoins des points If', N' est à une distance finie du point où la droite M'N' rencontre le plan NMT; donc Tangle que fait cette droite avec ce plan est d'un ordre supérieur au premier; donc aussi l'angle que fait la droite NH avec le plan NMT est d*un ordre supérieur au premier. D'un autre côté, Tangle MNH est du premier ordre, puisqu'il n'est autre que celui des tangentes aux extrémités de l'arc iV2^'. Si donc d'un point quelconque a pris sur NH on abaisse des perpendiculaires sur le plan iVJIfr et sur la droite NM, et qu'on en désigne
les pieds par b et c, le rapport — sera infiniment petit
Mais ce rapport est le sinus de l'angle des plans NMT, MNH. Cet angle est donc infiniment petit, comme on voulait le démontrer.
