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sin UNN^ d'où il suit que le rapport — -— tend vers une limite

finie Donc, puisque FA'' est infiniment petit, il en est de même de Tnngle que fait NU avec la corde AA', et îa proposition est démontrée

Plusieurs propriétés des courbes gauches s'en déduisent immédiatement.

Corollaire I. La surface polaire étant développable , elle est te lieu des tangentes à une certaine courbe qui constitue son arête de rebroussement et qui a pour plans osculateurs les plans tangents à la surface polaire, c'est-à-dire les plans normaux à la courbe donnée Nous savons déjà que Faréte de rebroussement de la surface polaire eat le lieu des centres des sphères osculatrices. Par conséquent, les plans normavx à la courbe donnée sont les plans osculaleurs de la courbe lieu des centres des sphères osculatriees , et la surface polaire est le lieu des tangentes à cette même courbe

Corollaire IL il suit de là que de ces deux courbes, la proposée et le lieu des centres des sphères osculatriees, les tangentes de Tune sont perpendiculaires aux plans osculateurs de l'autre. Par conséquent, le rapport des angles de contingence et de torsion en un point de Tune de ces deux courbes est égal au rapport inverse au point correspondant de Tautre. On déduit de là que le rapport des rayons de première et de seconde courbure en un point de la proposée est égal au rapport inverse au point correspondant du lieu des centres des sphères osculatriees.

Corollaire IIl. On appelle normale principale celle des normales qui est contenue dans le plan osculateur» C'est

donc eelie sar iaqo^le est situé le ceolre du cercle (t>oitlaleiir Cela posé, de ce que U Ungeote et le plan oseulateur en an point de Tune des deux c wir faes sont respectivement perpendiculatres au plan osculatear et à la tangente au point correspondant de Faotre, il résulte immédiatement la proposition que voici: Les normmies prtact|Mi/ff à la propotée et au Neu des centres des sphères osevlmtrices sùnt parailèfes

66. Si Von fait rottler le plan tangent snr la surface polaire^ ce plan y qui dans son mouvement reste toujours normal à la courbe considérée, est tot^ours traversé par elle au même point.

Considérons deux points infiniment voisins M et M' de la courbe donnée. Nous ferons voir premièrement que si le plan tangent à la surface polaire, d'abord normal en If, roule jusqu'à devenir normal en M% le point M^ considéré comme appartenant au plan normal et comme entraîné dans son mouvement, se trouve alors à une distance de Jf' infiniment petite par rapport à Tare MM*. Nous regarderons cet arc comme du premier ordre.

Appelons .4 et À' (fig 42) les plans normaux en M et en M\ C leur intersection, et B, B* les droites suivant lesquelles ces plans touchent la surface polaire, c'est-à-dire les polaires relatives aux points M et M*. Traçons dans le plan A deux droites quelconques, et soient p, q les points en lesquels elles coupent la polaire B, Le plan A roulan** sur la surface polaire, ces droites s'enrouleront sur cette surface suivant des courbes dont nous désignerons par p* et q* les points situés sur la polaire B*, Soient p" et q" les points des deux droites qni viennent s appliquer sur p' et q\ Les arcs pp', qq* sont du même ordre que MM\ donc du premier, et respectivement égaux en longueur a pp'\ qq'\ De là, et de ce que tes droites tracées tians le plan

À sont taDftontes en f el en 9 eux courbes suivant lesquelles elles s'enroulent, il résuHe qne les distances p'p*\ ^^' sont dn second ordre.

Cela pose, nous allons faire exécuter au plan A trois mouvements consécutifs dont Tensemble équivaudra au roulement de ce plan sur la surface polaire. Nous voulons (tire par là que, ces trois mouvements accomplis, chaque point du plan A occupera dans l'espace exactement la même position que si ce plan était* \ enu coïncider avec le plan A* en roulant sur la surface polaire. Le premier de ces mouvements sera un mouvement de rotation autour de la droite C, intersection des plans A ^i A'^ qui amènera le premier de ces plans à coïncider avec le second Le deuxième sera un mouvement de translation qui amènera le point p", situé après le premier mouvement dans le plan A\ à coïncider avec p', et en verlu duquel tous les points du plan A décriront des droites parallèles et égales â p^'p'. Le troisième et dernier sera un mouvement de rotation autour «Tun axe mené par p' perpendiculairement au plan A\ mou- \ement qui amènera q** à coïtacider avec q\ et en vertu duquel tous les points du plan A décriront des arcs de cercle ayant p' pour centre. H est évident que Tensemble de ces trois mouvements équivaut au roulement sur la surface polaire qui am<6nerait le plan A à coïncider avec le pl«n A*.

Examinons retfct de chacun d'eux sur le point JH con~ sidéré comme appartenant au plan A et entraîné avec lui

Le plan A étant normal à la courbe considérée, le premier mouvement (ait décrire au point H lui arc de cerde tangent à cette courbe au point de départ, d'où iJ suit que le point If vient occuper une position qui est distante de H* d'une longueur infiniment petite du second ordre.

Avaflit ^ rechercher noAtienee ^'a siir l«i posîtioi^ 4u pMot Jlf le sfcoiMi motuveoMot^ qui es4 desâîoé à «n^Mr le pAînl. p'' €« fi' ^ il faut eiim»««r œUe ^ite le prenmr ittouvemeni â «ua sur le poatiioii âe oe p^t p^'.

Appelant r le pied de la perpendiculaire abaissée <fe y** sur riotersetftkm C, le déplaeeioent de p^' qui résulte (le ce premier mouviefnent eat l» eorde «l'un are de cercle qui a pour ira^&tiin tip' ', et pour ai>^le uu ceuire J'Migie dei> pliMi« i, i4^ Cet aivigte est du premier ordre, et rp'' est du afiéme ordre que yp' , c'est^-è-dira du premier. Le dépAacçtaent en question etsl donc du seeood ordre. Doue la distance f*'v* •* ^ui éiait du second ord^e avant le preoiiier mouvement, est du seconJ ordre ou d'iw ordk^e supérieur, unre fois ce mouvemeut e^xéeutré. Pa^ une raison analogue, il en est de même de la distance q'*q* ^

Maintenant, le deuxième mouven[)ent ayant pour ef^ de déplacer tous les pofnts du plan A d'une longueur éga4e à y*^^* y le point JW se trouvera eneore, après ce mouvement, à une distance de fd' infinfment petite par rapport à l'are MU*.

Le point 9'' s'étant aussi déiplacé d'une longueur é^ie à p"p', la distance q**q* est, après le deuxième motrvement, du second ordre ou d'nn ordre sapérieur

Le troisième mouvement est un mouvement de rotation autour de p' qui a pour but de faire coïncider q" avec g'. L'ani*!e dont le plan A doit tourner a cet effet est du même ordre que la distance q**q' ; donc la quantité dont se déplace le point 3f en vertu du troisième mouvement est du môme ordre que q'*q\ et, par conséquent, infiniment petite par rapport à Tare JUJIf' .

II suit de là que, le troisième mouvement accompli, la distance à laquelle le point iH se trouve de Jlf' est infini-