A l’origine du mouvement, la vitesse de

translation commune à tous les points du sj&* tèine, l’emporte de beaucoup sur la vitesse <k rotation du point le plus bas de chaque roue; mais dans la suite, il peut arriver que ces deux vitesses, diffèrent peu l’une de l’autre , à d’un des instants où les roues viennent frapper le terrain; et alors U est possible que le frottement, pendant la durée de la ;percussion, fasse disparaUre cette différence, en sorte que la vitesse absolue du point où cette force exerce son acticm .doive être égale à zéro après le choc. On ne doit; pas perdre de vue qu’une .percussion est une suite de pressions qui ont Ueu pendant un temps très court, mais d’une, durée finie. Dans le choc, des , roues contre le terraip , le frottement s’exerce à chaque instant de ce, temps très court, on sejos.conl^rame de la vitesse, actuelle. du point, le fdu? .IWiS de chaque ro,ue; .sop .inJnnsité » quand cette vite^ n!est pas nulle, est proportionnelle à la pres- , sion qui a lieu au ^mêroe instant et .^u point ; .cette , vitesse varie ,graduçffé»ueut pepd^t la durée.du cboc;.et,s’il arrivaj quelle .dqvioufte nulle .k fin certain ,ipstant ,de .cefte dwée, une partie du fi^ttement suffit, ej^uite, ^,géijér^, pôpr,^ maintenir égale à zéro, jugqu’^ la fin Ja percussion*

D’après cela, il y aura deux cas à selon que le point de contact de chaque roue avec le terrain aura conservé le choc une

partie de la i vitesse* qu’il' avait aaparavant;. ou suivant i que la: vite^e de ce point après 'le choc devra être tont-à»fæt nulle.

Dans le premier cas , le frottement aura exercé son. action entière! pendant toute lai durée du’ choc : par conséquent la quantité de mouvement i qu’il aura produite en sens contraire de la vitesse initiale de ce point de contact sera égale à fR'; R' étant la somme des pressions verticales, ou la percussion^ que chaque roue aura éprouvée, et f désignant un coefficient donné.

Dans le second * cas, au contraire, le frotte*, naent n’aura exercé la totalité de son action, que pendant une partie du choc ; pendant l’autre . partie, son action partielle aura pu être dirigée dans le sens ou en sens contraire de la vitesse précédemment détruite; la quantité de mouvement qu’il aura produite sera inconnue en grandeur et en direction; seulement nous saurons qu’en la. représentant . par i p% il. faudra qu’on ' ait i Pj.<- /b/, abstraction faite du signe. .

Rn supposantj que > toutes. > les ^notations employées- > dans de lU” 2f(se rapportent maintenant à une percussion d’un rang pair quelconque, c’est-à-dire à une percussion où ce sout les roues qui viennent frapper le terrain, les formules de ce numéro s’appliqueront, sans aucune modification, au premier de nos deux cas; mais pour s’assurer qp’il, a effectiveipeut - lieu, il faudra

comparer la vitesse du point le plus bas de chaque roue avant le choc, calculée d’après les rotations et les chocs précédents , avec sa vitesse après le choc, résultante de ces formules. Si l’on désigne la première vitesse par et la seconde par on aura

il faudra que ces deux vitesses aient la même direction, ou soient de même signe. Pour fixer les idées, nous supposerons que la quantité ^ soit positive; et en mettant à la place de X' et leurs valeurs données par les formules citées, nous en conclurons

{ /(r*4 + ] //ifi

pour la condition relative au premier cas; f représentant la vitesse angulaire du système autour des crosses, au commencement de la rotatioa terminée par le choc des roues contre le terrain , que l’on considère.

Dans le second cas, on aura

MC -h X'-h rM(<p'+ 40 == O’ équation qu’il faudra joindre à celles de l’équili-

bre des quantités de mouvement perdues ou gagnées pendant le choc dont il sera question.

29. Pour obtenir ces équations, il suffira de remplacer dans celles du n" 21 , la force — J R' par la force inconnue f', qui agira dans le sens du recul ou en sens contraire , selon qu’elle sera positive ou négative. Au moyen de la condition Ç' = o , le nombre des équations restera égal à celui des inconnues; mais pour abréger, nous nous dispenserons de former les valeurs des percussions V', T', S', E' , F' ; et nous ne considérerons que les inconnues X', R', ?'■ Nous

n’aurons besoin alors que des quatre équations :

ap'— X'— /^M(p -f- (A — - ;•) M<p' = o, aR' — — (A — à) M^' = o ,

a AR'/iX'— (R*+a»H-A*)M(p-h

— rp' — ^ M(p -h in'k'* - 40 = ^ >

jointes à celles du numéro précédent.

On en déduit

lf{b — fl) /■') ip nk'^ {h — r)^

, , > (^— «) («'*'•+ hr)<p + (A— a)*r]Ç

, I ri(b—a){h-r)n’k'*Mii> f K»n'*"4- (*-«)•] n"iK*MÇ“|

le dénominateur D* étant la même quantité que dans le n* 25.

Les valeurs de et R' devront être positives , et il faudra qu’on ait p' < ^R', abstraction faite du signe. La seconde condition revient à ce que les deux quantités yR'-|- /»' et fK ' — f' doivent être de même signe que le coefficient y', lequel est positif dans le cas où la vitesse ^ est dirigée dans le sens du recul, comme nous l’avons supposé.

Or, on aura

/R' + p'=^-?{y{n'A'>+0(KW*'*)+n'*'*(A-r)t6-«+y(A-r)]} {RW*'’+(*-a)[é-û+/(A-r)] ),

où l’on voit d’abord que la condition yH' — f^>o sera généralement satisfaite, à cause que la petitesse des lignes b — a et A — r, dans la cons-

truction ordinaire des affûts, rend positifs les coefficients des vitesses <p et dans l’expression de /^R ' — p' : il n’y aurait d’exception à l’égard du coefficient, de (p que si le frottement des roues contre le terrain était très faible,, et le coefficient y une très petite fraction , ^ce qui n’a pas lieu ordinairement.

Quant à la condition y R' H- f' >■ o , on eu conclura

Ç < { /(r’4- + ni'‘(h-r)[ù-a +/(A-r)] }

étant la même quantité que précédemment.

En comparant cette inégalité à celle du numéro ' précédent, on voit que les deux cas énoncés dans ce numéro s’excluent l’un l’autre, et qu’un seul pourra avoir lieu à la fois, ainsi que cela devait effectivement avoir lieu (*).

(*) Cette dernière inégalité étant satisfaite, si.la^ condition yit' — / positive n’était pas remplie, à cause de l’ex^ ception très particulière que nous avons indiquée, aucun de ces deux ne serait possible, et il en faudrait considérer un troisième. Ce serait celui dans lequel la vitesse! du point de, cputact de chaqpe roue arec le terrain peiserait du .positif au négatif pendant la durée du cboc^ en, sorte qu’elle, serait dirigée en sens.opposés au. commencement et à la bu,;, dans ce cas , le frottement, a^ait avec toute ^ sou intensité, pendant la durée entière de la, rotation; tneia pendant une partie, il serait dirigé dans le sens du recul, et pendant l’au-^

A cause que l’on a aR' =

la condition R' > o sera une suite de > o. Or, si l’on met dans l’expression de à la place de Ç", la limite précédente que cette quantité ne peut dépasser, on aura, toute réduction faite,

et, en général, o, à cause de la petitesse de b — a et A — r. Si cependant on avait o dans un cas particulier, il faudrait supprimer cette vitesse dans les équations du problème , et la remplacer par une force inconnue, pour ex> primer la percussion éprouvée par les crosses, qui, dans ce cas, ne seraient pas soulevées.

Nous ne nous arrêterons pas à considérer ce cas particulier, qui ne saurait présenter aucune dilBculté.

tre partie, il agirait en sens contraire ; et pour déterminer les effets du choc, il serait nécessaire de considérer ces denx parties séparément. Quoique nous ne nous occupions pas de ce troisième cas, à cause de son peu d’importance dans la question présente, il était bon néanmoins de le mentionner, parce qu’il peut se rencontrer d’autres problèmes relatifs an frottement des corps tournants , où il soit indispensable d’y avoir égard'.

Le mouvement du système pendant la rotation autour de l’essieu, qui suivra le choc auquel ces formules se rapportent, se déterminera par l’analyse du n° 24, en supposant la vitesse du point le plus bas de chaque roue, égale à zéro dès l’origine de cette rotation, et par suite pendant toute sa durée.

30. Au moyeu des différentes règles que nous venons d’exposer , on pourra calculer , dans tous les cas, l’espace parcouru à chaque instant par le centre de gravité du système, et la vitesse horizontale dont il est encore animé : on connaîtra donc

l’espace total qu’il aura décrit quand cette vitesse sera devenue égale à zéro , lequel espace sera la longueur du recul, dont la durée se trouvera en même temps déterminée. Cette longueur et cette durée dépendront de toutes les quantités comprises dans les formules précédentes, savoir : la vitesse du projectile à la bouche du canon, le rapport de son poids à celui du système entier, le moment d’inertie de ce système, la grandeur du frottement, le rayon et le moment d’inertie des roues, la distance de leurs points inférieurs à l’extrémité des crosses, la hauteur du centre de gravité du système au-dessus du terrain et la distance de sa projection sur le sol à celle de l’essieu , enfin la distance de ce centre à l’axe de la pièce et l’inclinaison du tir.

Daas le cas où le système tourne altemativement autour des crosses et autour de l’essieu, cette dernière distance entre dans l’expression de la vitesse initiale de la première rotation , qui lui est à peu près proportionnelle, quand on tire sous un angle peu considérable ( n” t9 ) ; pour cette raison , les variations de cette distance devront influer beaucoup sur le recul. Or, elle varie très sensiblement par rapport à sa propre grandeur, quand on rapproche ou qu’on éloigne l’axe des tourillons de celui de la pièce : la distance de l’un de ces axes à l’antre aura donc aussi une grande influence sur la longueur du recul; ce qui est, en effet, conforme à l’expérience, quoique d’abord il paraisse difficile de se rendis raison d’un semblable résultat, surtout lorsque la pièce ne prend aucun mouvement de rotation autour des tourillons. Il en est de même à l’égard de la longueur de l'affût, ou de la distanee comjmse entre l’extrémité des crosses et les points inférieurs des roues, qui entre dans les formules précédentes , et dont l’expérience' a aussi-fait connaître l’influence sur la grandeur du reculi’