R, X II

Supposant que deux solides prismatiques de même longueur L, largeur 6 et hauteur A, soient mis l'un snr l’autre et encastrés à une extrémité, et que leur ensemble soit charge à l'autre extrémité d'un poids P, on aura

Mais si les deux solides sont unis de manière a ne former qu'une pièce, on aura

ItMA)*

Ce qui niontre qu’en empêchant les deux pièces de glisser l’une sur l’autre, on double la charge qu’elles peuvent supporter.

Dans la pratique, on s’oppose au glissement au moyen de clefs. Les formules la) ou (a') serviront a déterminerle nombre et los dimensions de Ces rlefs, selon la position du joint par rapport au milieu de la hauteur de la pièce. Ces formulés montrent de plus que Q’ est proportionnel à r; or, comme r est proportionnel, pour un même poids P, k L — / •formule t), on voit que les clefs devront être également espacées entre elles sur toute la longueur de la pièce. Il est évident quo l’on

RÉSISTANCE DES MATÉRIAUX

devra calculer le nombre des clefs pour la plus grande valeur de Q', c'est-à-dire pour le point d’encastrement, ou en faisant r = R dans les équations (a) et Les clefs doivent avoir une largeur telle, qu elles ne soient pas cisaillées transversalement par les deux parties de la poutre, et leur hauteur doit donner des entailles capables de résister ensemble à la compression Q sans altération.

Les clefs, sous l’action des deux parties de la poutre, tendent à tourner autour de leur axe ; il en résulte qu’elles ne pressent pas uniformément contre les entailles, et que pour cette raison on doit augmenter un peu la profondeur de res entailles. De plus , cette tendance des clefs à tourner écarterait les pièces qui forment la poutre , si on ne les reliait pas entre elles par des brides en fer.

S» la poutre reposait sur deux appuis placés à ses extrémités, et qu'elle fût chargée du poids P en son milieu, on laconsidérerait comme étant encastrée au milieu de sa longueur, et chargée k chaque extrémité du poids

Si , dans ce dernier cas, le poids P était réparti uniformément sur touteia longueur de la poutre, pétant la charge par mètre de longueur, on aurait P = pL, et pour l’équilibre d’une longueur I. — /, comptée à partir d’une extrémité, la formule (t) deviendrait

La force Q, qui tend à opérer la disjonction de la poutre suivant

La valeur de Q augmentant k mesure que le carré de / est plus petit, on voit que les clefs devront être plus rapprochées ou plus profondes vers les extrémités de la poutre qu’au milieu. De même, pour une poutre encastrée k une extrémité, et chargée uniformément sur toute sa longueur, les clefs doivent être de plus en plus rapprochées ou plus profondes k partir de l’encastrement.

Les considérations précédentes s’appliquent aux rivets des poutres en tôle comme aux clefs des poutres en bois.

2iS5. Résistance à ta torsion. Lorsqu'une pièce prismatique homogène est soumise à un effort de torsion , tant qu'on n'a pasdepassé. la limite d’élasticité, le rapport de cet effort k l’angle de torsion est k peu près constant pour une même matière. Désignant par G ce rapport, par Q l’effort, et par 0 l'angle de torsion, pour uuc tige ayant 1 unité de

l'étendue L — l , est — -, et on a , en remplaçant r par sa valeur tirée

de l’équation précédente,

longueur et l'unité de section , .on a ^ = G , que l'on peut appeler coefficient de torsion.

Pour un solide cylindrique ou prismatique, on a

Pp=~l, d'où / = • (al

là li I

T * force tendant à tordre le corps en agissant dans un plan normal â Taxe: p bras de levier do P, ou longueur de la perpendiculaire commune à la direction de P cl à l’axe du corps; pp moment de la force P;

t angle de torsion, ou longueur de l’arc décrit par un point situé à l'imité de distance de l'axe du corps, ou encore longueur de l’arc décrit par un point quel* conque du corps, divisée par la distance de ce pointa l’axe ;

L longueur de la pièce;

Iz=viiVü> somme des produits de la surface rfw de la section de chacune des fibres élémentaires qui composent la pièce par le carré delà distance n de celte fibre à l’axe. I a été appelé moment d'inertie polaire par M. Persy,

Pour une section circulaire

Pour une section en couronne circulaire. . . .

Pour une section rectangulaire

Pour une section carrée , q = b = h et

r rayon du cylindre plein;

r et r1 rayons extérieur cl intérieur dit eylindre creux;

6 cl A côtés do la sccliou de la pièce prismatique ; q côté de la pièce à section carrée.

Des expériences de M. Iliileau, de M. Favardct de la société industrielle de Mulhouse, et de plusieurs observations, M. Morin conclut le tableau suivant des valeurs de G :

Fer doux. ......

Fer en birrex. . . .

Acier d'Allemagne.. , Acier fondu, Irêj-fi»,

Fonte

Cuirre

Rronzc

Chêne ,

Sapin

Dans la pratique, il convient de limiter assez l’angle de torsion pour qu’il ne nuise pas à la transmission de mouvement et que l’élasticité de la fibre la plus éloignée de l'axe ne soit pas altérée. Or cette fibre formant une hélice dont la tangente fait avec la position primitive de

RÉSISTANCE DES MATÉRIAUX

rit

la fibre un angle dont la tangente trigonométrique est -j- , c’est celte tangente qu'il suffit de limiter.

distance de l'axe à la libre qui en eat la plus éloignée.

Des expériences et observations citées ci-dessus, il résulte que l’on peut faire pour les arbres allégés

rit

langente qui correspond à un angle de 2' 18" formé par les deux positions de la fibre.

Pour les arbres forts ou premiers moteurs, on fait

rit 0,000067 L - !

On a donc en moyenne

^ = 0,000 5, d’où 1 = 0.0003 h.. ’ ‘

Comme pour les arbres cylindriques pleins, cylindriques creux, à section rectangulaire et à section carrée, on a respectivement

n' = r, ri — r, n' = ^ yjb1 + A’» ri =

on a donc pour ces sections respectives :

Remplaçant dans la première des formules )(a) 2 et 1 par leurs valeurs, on a pour les sections précédentes les formules pratiques

T??*5 Tifr* — r'M

Pp = 0,000 5G — Pp = 0,000 5G — — 5

Z ZT

Pp = 0 ,000 r.r. ^bLbl± h%\ pP = 0,000 5G

Ces dernières formules servent il calculer quelles doivent être les dimensions de la section transversale de l’arbre pour résister à un moment donné Pp, et elles font voir que ce moment est indépendant de la longueur L de la pièce, ce qui est évidemment vrai jusqu’au moment de rupture. Les expressions de t font voir au contraire que l’angle de torsion est proportionnel à Letau moment P?.

Des expériences de M. Carillon sur des fontes de Paris et <Je diffe-

renlos-lof alités françaises, il résulte que lavaleurO.000 667 dç/-j— n'est

que le t /I G environ de celle qui correspond à la rupture ; ce qui Indique que la formule pratique conduit à des dimensions que l'on peut considérer comme supérieures à celles nécessaires.

Formule pratique. On peut encore se servir, pour déterminer le diamètre à donner aux pièces cylindriques -soumises à un effort de torsion, de la formule

/ coefficient dont la valeur dépend de la nature de la pièce ;

U diamètre de la pièce en ceolimèlres;

A quantité d’action transmise par la pièce en une minute, «primée en kHogram-

mèlresj

n nombre de tours que fait la pièce en une minute.

Pour un arbre creux, laquantité d'action A qu’il peut transmettre est égaleà celle que pourrait transmettre l’arbre s’il était plein, moins celle que pourrait transmettre un arbre plein d'un diamètre égal au diamètre intérieur de l'arbre creux ; d'où il résulte qu'en appelant d le diamètre extérieur de l'arbre creux, et d' son diamètre intérieur, on a

li'après Buchanan , le = 2.7 pour les arbres on tourillons en fonte ,

et k = — | x 2.3 = 1,48 pour les arbres ou tourillons en fer. Mais, k

mesure que les moyens de fabrication se sont perfectionnés , les dimensions-des différentes pièces de machines ont dù diminuer, et, d'après le$ observations de M. Walter, sur 2t machines plus récentes, et dont les arbres ou tourillons en fonte transmettent des effets variant de 5 h 50 chevaux, avec dès vitesses de rotation très-variables, mais sans rhoc , il résulte que pour la fonte k varie de t ,10 au minimum k 1 ,86 au maximum, et que la valeur moyenne de k est sensiblement 1 ,6. La x aleur t .10 a été trouvée pour des arbres en bonne fonte anglaise faisant marcher des moulins k blé ; mais il convient de ne pas faire k plus petit que t ,25. Quand le travail transmis est irrégulier, mais sanschoc ou avec des chocs très-faibles, on pourra considérer la valeur 1.86 de k comme donunnt toute la sécurité désirable.

A l'usine de Terrc-b'oirc, pour le tourillon en fonte d’une machine, de 35 chevaux commandant un marteau frontal, k = 5,085; l’arbre fait 20 tours par minute, et il fonctionne depuis 1823.

Au Creuzot, pour une machine analogue, k — 7,66.

"En admettant le rapport de la résistance du fer k celle de là fonte de Buchanan, la valeur moyenne de k pour la fonte étant t,6, pour le fer

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on aura * = yy x 1,6 = 1,03 ; mais , quoique celle valeur soit encore quelquefois dépassée dans la pratique , il convient de la considérer comme une valeur maxima qui ne doit être employée que pour le fer de médiocre qualité et non corroyé; c’est ce qui résulte du tableau suivant, dû aux observations de U. Walter.

DÉSIGNATION DES MACHINES

FORCE Ir«i4*otlc0 par chaque tourillon.

NOMBRE

u« tour»

- par inluule.

DIAMÈTRE

de»

tourillon*.