CORDES ET COURROIES

66. Roideur des cordes. Lorsqu'on vainc une résistanoeQ au moyen d'une corde qui s*enroule sur une poulie Ott sur un tambevPt la puis-» sance P doit, pour réqullibre dynamique, vaincre nonnsieulement Ut résistance Q et le frottement des tourillons, mais aussi une résistance due à la roideur delà corde, et dont Teffet consiste à infléchir la corde.

Appelant R cette résistance, ou mieuï la fbr^ (|tË, (faprêi Itts ex-> périences, agissant à très-peu près taûgentiellement au ef U&dii« «v lequel s'enroule la corde , fait équilibre à cette résistaoce» réqliilibr^ dynamique donnera , pour un tour de poulie, en négligeant les fh)ttementi et en appelant D le diamètre dé la poulie et 4 eelul de la AiMe»

jR,«:Px«(D-fd)«QKie(D+d)-ffc>c«D. d'Où p = q + h^^

Coujomb a fait quelques expériences pour dêtermlMT la valeur ta R.

' CORDBë ST GOVRROtBS. 43

Navler, de la dlscuaiioii te résultats obtenus pv oal QKp6riflieQt«|0iir« a conduli'eipreiÉioa iHdTante pour la valeur da R,

R=|{ac2l» + 6(P*Q), (a)

adp' 4^àtei1tè eôflsUtite p«iir «b« nètaie corde; Mf^-Q qnutttè proportionilelte ta poidt éleré; |i Dombre qui Tuie avftc Tiiié d« la eorde.

Los (BXpérlencefl de Goalomb sont insuffisantes pour fixer la loi de variation de [a; cependant Na?ier fjdt ^=2 pour les cordes neuves d*uii grand diamètre, (1=1,6 pour les cordes plus qu^à demi usées, et |&=:1 pour les ficelles tlrès-petltes et très-flexibles {Int., A79).

Navier a admis (ce que ne confirme pas le tableau suivant dû aux expériences de Coulomb] qiiè pour une même résistance utile Q, la résistance due à la roideor d'une corde Maaelif varie en raison inverse du diamètre de la poulie ou du tambour» et qu'elle est diracta* ment proportîoniieUd À la puissance (a du diamètre de la oorde.

De cette bypotlièse, il résulte que pour deux oordas de diamètres différents, s*enroulant sur deux poulies de diamètras inéçaaxi et élevant les mémos poids I on a

E' rMstaaoe ém A It ftiûma àê la eoria 4b dUuaéirt â\ ê'esrovlaal iur la peuUa

dont le diamètre esta'; a rtsistaoee due i \t roideur de tA eorde de diamètre d, s'earoolaiit sàr la poulie

doai le diamètre eit n.

Pour les cordes goudronnées, la Mdfltir ne varie pas sensiblement

avec le degré d'usé» et il est plus extot de reaiplaeeiP', dans la formule

cT^ n'

précédente, le rapport — par celui —, n' et it exprimant les nom*

bres de fils de caret que contiennent les deux cordes i ce qui donne , D n'

Pour les cordes blanches mouillées, Ifavler adhiet que la roideur constante ad^- est double de c^le des mêmes cordes sèches , mais que la roideur variable btfi' est la lAème que pour Ces dernières. Les expériences ne paraissent pas assez nombreuses pour conclure rien de g^ néral àtetégard.

PinjtRS PÀETII.

TABLEAU de la roidem' de différeniet cordée tfennmUnU enr une poûUe de 4 mètre de diaimUre , ealatUe par Havier, diaprée Ut expérience» de Cenloiltb.

DtSIdUTIOH 4M

oov4m.

■OHWKf

4«flb

4« MlM.

DUMims

eordai.

MIDS

4M oordei

Hr nètra

4«loa(iiMr.

BMDSDR

MMitato

MMMRm

Hr ktlogr.

4eta«luvgeQ.

corda bUnebe neuve..

id

kllocT.

kllogr.

kiloffr.

Ce tableau montre bien , comme nous Tarons fait remarquer, que les quantités adv- et bâv- ne Tarient pas avec la grosseur de la corde suivant une même loi {ad^ crott à peu près proportionnellement à la quatrième puissance du diamètre , et hd^ à la deuxième puissance).

11 est donc impossible que Texpression (a) représente la résistance R ; d'abord parce que les deux termes ad'^ et bdv- ne varient pas proportionnellement à la môme puissance du diamètre d; mais aussi parce quMl arriverait qu'ayant d =• i", une corde usée donnerait la même résistance qu'une corde neuve, ce qui est inadmissible.

application. A Taide de ce tableau, et en admettant les formules précédentes, on peut résoudre tous les problèmes analogues au suivant:

Quelle est la résistance due à la roideur d'une corde blanche neuve de 0",025A de diamètre^ s* enroulant sur une poulie de 0",60 de diamètre et élevant un poids de 600 fcilogr, ?

La corde blanche neuve du tableau, dont le diamètre 0",02 s'approche le plus de 0",025â, donne, en remplaçant les lettres par leurs valeurs dans la formule (a) ,

Alors, pour la corde de 0",025/^ de diamètre placée dans les mêmes circonstances, on aura [ formule (6)]

«■='"Kw)'=*-"-

67. M. Morin, reprenant la discussion des résultats de Coulomb, a conclu , en appelant A et B les deux quantités que Navier a représentées par ad^^ et bdM- :

r Que pour les cordes en chanvre non goudronnées, dites cordes

GORDis ET couiaoas.

blanches^ sèches ou imbibées d^eau , en bon état , A et B varient à peu près proporUonnellement au carré du diamètre de la corde ;

2* Que pour ces mômes cordes à demi usées , A et B varient comme les puissances 1,5, c^est-à-dire comme les racines carrées des cubes des diamètres des cordes (InL^ /^79) ;

3* Que pour les cordes goudronnées, B est proportionnel au nombre des fils de caret de la corde.

De cette discussion, M. Morin a conclu les formules suivantes, dans lesquelles n désigne le nombre des fils de caret, et D le diamètre de la poulie :

1* Cordes blanches :

A = (0,000297 4- 0,000 2/^5 n)n et B=: 0,000 dOdn,

d'où R = 5 [ (0,000297 + 0,000 2Z|5n)n + 0,000363 nQ] kil.

2** Cordes goudronnées :

A = (0,00iÂ675 -f 0,000346 n)n et B= 0,000 AiSin,

d'où R = g[ (0,001/i575 + 0,000346n]n + 0,000&i8inQ] kiL

M. Morin , en faisant usage de ces formules, a calculé les résultats du tableau suivant pour une poulie de i mètre de diamètre.

OORDBS GOCDRO

de la oliarte Q.

Diamètre.

RoU«ar eoniUnie A.

Rold«ar

variaJ»le B

nr

delacHarseQ.

Diamètre.

Roldew eonctante A.

«être..

Ulogr.

Ulofr.

mètres.

ktlofr.

kilor.

mSBBBi

FtlUflftM fAMm.

Application. Soit à ré0ou4re le même problème qo» pace 44. Substituant les valeurs de A et 9 correspomlaot au diamètrp 0",025A dans U formule

on a» en remarquant qoa m s: 68,

^ = ÔlÔ t^*^^^^* + 0.ei7MA X 600) = Mfc,J3.

au lieu de 30S53 que nous avons trouvés en faisant usage de la t^ble de Navier.

Pour un tour de poulie, la travail absorbé par oette résistance est

2V » |iD X 30^98 «= fttU X 0*40 X n»98 :== B9^V8.

La puissance

p + d "" ^ • 0,40 + 0,0254 Le travail utile est , pour un tour de poulie ,

JP« a= «(D + d) X Q = 1,SM X 600 = 680 ►•, et le travail moteur,

T« = PkP + d) = Tu + «'n = 668 + 29,18 = «97k«,18.

Dans la pratique U convient , quand cela est possible, de remplacer les cordes rondes par des cordes plates, qui ont plus de flexibilité et plus de durée.

On diminue beaucoup la roideur des cordes en les imprégnant d'un porps gras, ou en les frottant avec du savon.