FONTS EN PIERRE

617. Pcntê en pierre. Les ponts en charpente nécessitant des réparations coûteuses et de nature à intercepter trop souvent le passage, pour une voie très-Mquentée» sur laquelle les communications sont importantes, on a recours à la pierre et quelquefois à la fonte ou au fer.

Dans l'étude d'un projet de pont, on a à considérer : 1* l'emplacement du pont; 2* son débouché; d* la grandeur de ses arches ; 4» leur forme; 5* les dimensions de leurs dilTérentes parties; 6* lé mode de construction.

61 B. Emplacement éTun poni. Il est ordinairement déterminé parla position des deux voies que le pont doit mettre en communication. Cependant il peut arriver que le pont étant placé dansla direction d'une voie, il soit oblique par rapport à l'autre, ou que le niveau auquel se trouvent les voies exigerait de fortes rampes pour arriver au niveau auqud on est obligé d'élever le pont , ce quf enterrerait les maisons. Il peut arriver aussi que le sol où on aurait à construire conduirait à des dépenses considérables, ou encore que la direction des plies y serait oblique par rapport à celle du courant, ce qu'il faut éviter autant que possible, surtout pour un grand pont, parce qu'un pont biais, outre qu'il est plus difficile à appareiller, est aussi plus sujet aux afTouiUements. Dans ces divers cas, on doit rechercher si dans le voisinage il n'y aurait pas un point plus favorable sous le rappoK de la commodité» de la solidité et de l'économie.

La largeur d'un pont dépend du nombre des personnes et des voitures qui circulent ou peuvent circuler dans les rues ou sur les routes quil doit réunir. Dans une ville, la largeur doit en général être au moins égale à e^e des mes qui y aboutissent A la campagne, eette largeur

84e SDlltlIV rAATIB.

dok ordinairemeot permettre^ surtout si lo pont est us peu cprand, é

deux \oitures de se croiser; cela oblige de la porter à 5 mètres; on loi donne ordinaireiueot 7 à 8 mètres si li*. poat est loag « et on fait an trottoir de chaque c6té pour les piétons.

GI9. DébtiuckL Sur uoe rivière considérable, la déterminatiofl da débouché est de la plus haute importance Dans UApoQceau« Uii radier permet de rétrécir le débouché au point d'obtenir une vitesse qui eœ traînerait le sol naturel ^616); mais dans un grand pooc, sau/ des cas exceptionnels, il faut renoncer au radier, et calculer le débouebé tel ^u*ll puisse débiter les eaux sans que leur vite&$e atteigne la linaile à laquelle elles attaqueraient le fond (161), produiraient des affooille* ments, déracineraient les points d'appui et amèneraient là cbate du pont

. Il faut aussi éviter que le débouché du pont soit trop grand, parce qu'il pourrait se former des atCerrissements en quelques pointt de sa longueur, lesquels, en se consolidant par les herbages qui y pousseraient, pourraient faire prendre an courant une direction obl/qne, et une grande crue survenant, le pont pourrait être détruit par sni te de ]'affoui!lement de quelques piles; c'est ce qui est arrivé k Roanne et à Nevcrs. Cependant, le cas do destruction par suite d'un déboacbè trop grand étant beaucoup plus rare que celui provenant d'un délKMiché trop faible , il y a moins de danger do pécher dans le premier sens que dans le second.

i\3ur arriver à fixer convenablement le débouché, il faut jauger le cours d'eau avec soin, d'après ce qui a été dit n** 160, 161 et 163, pendant les basses, les grandes et les moyennes eaux, en déterminant directement la vitesse au moyen de flotteurs, quand la saison et le temps le permettent , ou au moyen des formules dans le cas contraire v6i6)# bu Jaugeage pendant les basses eaux , on conclut un débouebé qui ne permet pas les atterrissements , de celui fait pour les grandes crues on s'assure que le débouché peut débiter toutes les eaux sans que la n'teese soit trop grande, et le jaugeage pendant les eaux moyennes donne la direction du régime ordinaire des eaux.

Ayant dans chacun de ces cas le niveau des eaux pour chaque débouché ou espace libre entre les piles et culées, on a la section des eaux , et le volume divisé par cette section donne la vitesse moyenne î i)ui ne doit pas permettre les atterrissements, ni pouvoir corroder le sol.

11 est évident que si la rivière débordait au point où l'on doit coat struire , son jaugeage ne pourrait s'effectuer en cet endroit pendant les grandes eaux ; on le ferait alors en un point situé à une certaine distance en amont ou en aval, où la rivière serait parfaitement en-» eaissée.

• LoHKiue les eaux s'élèvent au-dessus du niveau des oalspaiiQ^ des

PONTS Kfi HKKÊM. «47

yoût«^« il faut avoir égard à ce que le débouché ne er€lt plus en raiaon de la hauteur des ouvertures, et pour cola augmenter eo con0<^quenoo récartement des appuis. On augmente aussi celte distance pour avoir égard à la contraction de Peau dans les ouvertures du pont (6i0).

61^0. Remou, Vslt suite du rétrécissement de la rivière, causé par lep piles, le niveau de Teau s'élève d'une certaine quantité en amont du pont. 11 est important de déterminer cet exhaussement, appelé remoui afin de s'assurer qu'il ne causera pas de dommages aux propriétés rive? raines.

Appelons t

L ia largeur de la rivière en ayanlldu pont;

I la largeitr loule dcspites;

X le rcmou ;

h la prorondeur mojenoo de la rivière en amont du cemon ; la profondeur est sonlibleroenl la même onire les piles du pont;

h-\-x la profondeur de l'eau au drrant det p\W9\

k le coefficient do contraclion qui rèsulLe du pa^Mge de l'eau entre lei piles; f.j'^ k'iirein fait A =r 0.85 pour les avant becs eoilpés earrèmenl, et Arr^0,95 pour ceux termina. en angle aigu; oo bit AssO.SO pour la forme usitée aujourd'hui (439);

V la vitesse en amont du remou;

t»' la \iie«8e de Teau au point du grand ethauMoment du niveau de l'eàu;

tf" la vitesse de l'eau entre Ie-< pileS , on mieux au point de pins grande contraction ;

Q le débit do la rivière par eeoonde.

Le débit Q étant le même au point où il n'y a ni remou ni rétrécissement qu'aux points où ces efiets se produisent , on a à la fois >

Des deux premières valeurs de Q on conclut

^, ^ hhv hv

et de la première et de la troisième on tire •

xT —

Le reroott doit être égal à la différence des hauteurs génératrices des ▼Itesses î?' et t/'; on a donc

x=Hl l.. (133)

Remidaçaat dans cette équation c' et v" par leurs valears précé^

dente^fOua

ti% Sniftlft FAIT».

tqiMitlon do troiaiènie degré qui ne contient qne 1» ieole inoomme x, et qn^il convient de résoudre par tâtonnement; ainsi, on assig;nera à x, dans le second membre de Téquation, une valeur que Ton préjugera eonvenaUe; Téquation, qui sera alors du premier d^gré, donnera poarx une seconde valeur plus eiacte que celle supposée ; cette deuxième valeur, substituée dans le second membre de Téquation, en fonmin mie troisième que Ton pourra considérer comme satisfaisant exactanent à réquation , et qu>n pratique on pourra adopter comme étant la haoteur du remou.

Si Ton a, comme dans une expérience faite sur le Veser, et nq>pwtée par M, d'AubuIsson, L=180V^ /=8A-,58, A=5%37 et ©=i-,â9a; supposant A = 0,90, et faisant x = 0*,25, par exemple, dans le second membre de réquation précédente, on a

ÎMW ( 180,71* S,37« \

Cette valeur substituée dans le second membre de réquation dooneraUxs=s0*,308, valeur que Ton peut considérer comme saHsfateol exactement à réquation , et qui ne diffère pas sensiblement de celle 0",382 qu'a donnée Texpérlei^ce. (On pourra consulter avec fruit, pour cette question de remou, le travail de M. Bélanger : Essai sur la solution numérique de quelques problèmes relatifs au mouvement des eaux courantes, et Touvrage de M. Dupuit) (164).

mi. Grandeur des arches. Sur une rivière qui n^est ni navigable ni exposée à des crues ou à des débâcles, on adopte de petites ardies, qui, à longueur égaie de pont, sont moins coûteuses que les grandes, quand toutefois la nature du sol ne conduit pas à de plus fortes dépenses par suite du pins grand nombre de piles à fonder.

Quand la rivière , sans être navigable , est sujette à des crues et à des débftcles , on doit adopter des arcktes assez grandes pour que les giaces ou tout autre corps flottant ne soient pas arrêtées par les pUes; U en résulterait des amas de glaces, appelés embâcles^ qui sont une des causes les plus fréquentes de la destruction des ponts. Une faut pas en général adopter des arches moindres que celles du prenûer pont placé en amont

Sur une rivière navigable, 41 faut proportionner les arches aux dimensions des bateaux, et surtout fc la vitesse du courant Si cette vitesse est grande , le débouché i^ant moins de 25 mètres, on ne fait qu'une seule arche. Pour un plus grand débouché, afin d'éviter les dépenses considérables occasionnées par les grandes arches, on en fait de plus petites. Le nombre des arches doit être de trois au moins, sauf à faire l'arche du milieu plus grande que les autres , si elle était insuffisante pour la navigation.

Quand la rivière navigable a une faible pente» la largeur des arches

POMTS EN PIBRRB. 849

peut être moindre, et od peut même adopter un nombre pair d^arclies, c*est à-dire placer une pile au milieu, si cette disposition offre dea avantages d*exécution compensant ses inconvénients.

68fi. Forme des arches, La surface intérieure des voûtes est engendrée par une droite qui se meut en restant horizontale et en s*appuyant sur une demi-circonférence dont le diamètre est égal à Touverture de Tarche, ce qui donne une voûte en plein cintre; ou sur une ellipse ou une courbe à plusieurs centres , dont les extrémités sont, comme dans le cas précédent, tangentes aux pieds-droits, ce qui fournit une voûte en anse de panier ; ou encore sur un seul arc de cercle rencontrant les pieds-droits suivant un certain angle, et on a alors une voûte ^n are de cercle.

Les voûtes en plein cintre étant les plus faciles à appareiller et les plus solides, on les construit toutes les fois qu*elles laissent un passage suffisant à Teau et aux bateaux jusqu^au moment où la rivière cesse d'être navigable, sans porter le pont à une hauteur que ne permettent pas ses abords. Quand ces conditions ne peuvent être convenablement remplies par les voûtes en plein cintre, on fait usage de voûtes en anse de panier, et si celles-^i ne laissent pas encore un débouché convenable WL a recours aux voûtes en arc de cercle.

Les naissances d*une voûte sont les points où elles se raccorde avec les pieds-droits. La montée ou l^Jlèche est la hauteur verticale de la clef au-dessus des naissances. Dans les voûtes en arc de cercle, il faut tenir les naissances au-dessus du niveau auquel atteignent les déb&cles, pour qu'elles ne soient pas dégradées par les glaces et qu'elles ne rétrécissent pas le débouché. Il est difficile de satisfaire complètement à cette condition dans les voûtes en plein cintre et en anse de panier; du reste, pour une certaine élévation de niveau, au-dessus des naissances, le débouché est moins rétréci par ces voûtes que par celles en arc de cercle. Pour remédier Jusqu'à un certain point à Teffet de ce rétrécissement , on a imaginé, aux ponts de Neuilly, Bordeaux, etc., d'évaser la voûte sur les plans de tête, de manière à surhausser les naissances dans ces plans jusqu'au niveau des plus hautes eaux, tout en laissant la clef à la même hauteur que dans la partie cylindrique de la voûte. Dans son mouvement, la génératrice de chacune de ces parties évasées passe successivement dans tous les plans normaux à la partie cylindrique de la voûte.

625. Tracé des arches. Les tracés des voûtes en plein cintre et en àrc de cercle n'offrent aucune difficulté. Dans ces dernières, si l'on désigne par m la montée, par / la demi-ouverture du pont, et par r le rayon de l'arc, on a

MXIÈMK ^AàTlB.

Il M Ikut prendre, dand aucun cas, la montée moindre que 1/8 de Vonterture. Cependant le poni aux Doubles et le petit Pont, à Paris, établis en meulière hourdée avec du ciment de Vassy, sont surbaissés au 1/10.

Le tracé de Tanse de panier, dont la forme se rapproche de celle de rellipae (InL^ iOâl), est un peu plus difficultueox que les précédents. Les arcs en nombre impair dont il se compose doivent se raccorder tangentiellement & leurs extrémités, afln d^éviter les Jarrets, et de plus 6tre déerits avee des rayons convenablement proportionnés, afin que leur eniemble forme une courbe bien continus ne paraissant pas s'infléchir aux points de contact des ares. Pour qoe ces conditions soient le plus convenablement remplies, les centres de deux arcs suecessilë doivent se trouver sur le même rayon passant par le point de contact des deux arcs, et les rayons aboutissant à ces points de contact doivent faire des angles égaux entre eux, et égaux au quotient de deux angles droits ou de 180^ par le nombre des arcs qui composent la courbe ; ainal« lorsque Tanse de panier est à 3, 5, 7, etc.i centres, les divers rayons font respectivement entre eux des angles de 60% 36**, 2ô%7i4, et é» plus les rayons doivent, d'après la méthode de M. Michal , inq>eeteur général des ponts et chaussées, être égaux au rayon de courbure de l'ellipse qui a les mêmes axes que Tanse de panier. •

C'est d*après ces hypothèses que M. Michal a calculé le tableau suivant, qui donne pour diverses montées les valeurs des rayons néceséaires pour effectuer le tracé ; ces valeurs sont données en prenant Touterture pour unité.

AMiM A D

ecimtes.

A*s«« A 7 cEîfTnes.

ASSM À 9 CEXTRES.

Moaiée.

i*'"rtyon.

Moaié«.

l*r rayon.

t«rajoo.

Hoaté«.

l*f nyoB.

t^T&ftL

V rtyoo.

Soft, flg. 25, pi. ÎÎI, aa' Tourerture, et cd la montée. Quand aa' est moindre que 8cd, on einpioie l'anse dé panier à 3 centres. Pour la tracer, sur aa' comme diamètre, on décrit une demi-circonférence, que Ton divise en trois parties égales par les rayons ce et ce'; on mène les cordes <w, e/,/e* et e'a'; par le point d on conduit dh parallèle h/e

POIITS KN PltRIkt. 8*)1

et dh* parallèle ifi\ et les îfgiiës Af et A'f, ftenées fëspêctivëmënt parallèles h ce et ce', déterminent les trois centres A:, i et A;', et par suite les rayons ak = a'A/ et Ai de l'anse de panier ahh'a\ D'abord les centres de deux arcs consécutifs sont bien placés sur le même rajon aboutissant au point de raccordement des arcs. De plus, deux rajrons cônsé-

cuti/s font entre eux un angle de -k- = ^^* ; car on a

akh = ace^ hW = ece' et h'k^a' = e'ca\

Four tracer une anse de panier à 5 centres, on suit la même marche» Ainsi, après avoir, flg. 26, pL Ilî, mené les rayons cd^ ce, ce' et cd', divisant la circonférence aba' en 5 parties égales, et les Cordes ad, de, ebj etc., on prend le premier rayon aj égal à la valeur consignée au tableau précédent, et on mène gh parallèle à cd. Conduisant ensuite ht parallèle à de et li parallèle à be , puis ik parallèle à ce, on obtient le deuxième centre g et le troisième k. Le tracé est le même de Tautre côté de cl; mais on peut pour ce c6té commencer par le rayon ki\ le point k étant connu.

Pour une anse de panier à 7 centres, on opérerait d une manière semblable. Ainsi on prendrait (tf égal au premier rayon du tableatl, on mènerait hg parallèle au premier rayon diviseur cd; on prendrait ensuite hg égal au deuxième rayon consigné au tableau, on mènerait par g une parallèle au deuxième rayon diviseur, et les troisième et quatrième centres se détermineraient de la même manière que les deuxième et troisième ^ et A; dans le cas précédent On opérerait d'une manière tout à fait semblable pour une anse de panier à 9 centres, et en général pour un nombre impair quelconque de centres.

M. Lerouge, ingénieur en chef des ponts et chaussées, a, pour tracer les anses de panier, toujours supposé que les divers rayons passant par les points de raccordement feraient des angles égaux entre eux , mais que les rayons croîtraient suivant une progression arithmétique. C'est d'après cette hypothèse qu'il a calculé les résuluts du Ubleau suivant, qui supposent l'ouverture prise pour unité. Ce tableau contient en outre la hauteur réduite du débouché enveloppé par la courbe, l'ouverture étant également prise pour unité.

SIXltalB PARTIE.

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SISillIilsiiliiilil

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P0KT8 EN PIBRBB. 855

Ajoutant la difléreoce des rayons successifs au premier rayon , on a le deuxième; cette différence ajoutée au deuxième rayon donne le troisième, et ainsi de suite. A Taide de ces divers rayons on fera le tracé comme il a été indiqué plus haut

Au pont de Neuilly, on a employé une anse de panier à 11 centres j que Ton a tracée comme Tindique la figure 27, pi. III.

On prend un point k^ que Ton croit devoir être le premier centre, et

on divise /fe de manière que kf =*^ =zl^z=-^=^^. cela fait, on prend

fa=z3fk; on divise /a en 5 parties égales, aux points e^ d, c, b; on joint ek, dj\ cz, bh et ag^ et si le point A; a été bien clioisi. la courbe ayant pour centres successifs ies points k, r, o, m, n, a, passera par le sommet q de lamentée. On conçoit que ce n*est que par tâtonnement que Ton arrivera à la position convenable du point k. Supposons que Ton a fait une première hypothèse, et que le point k choisi ne convienne pas; on aura la valeur convenable x, defk^ à Taide de la formule

a = /{ deoil-oa?«rtare ;

h=zfq montée;

m Ttlenr qo'oa a prise pour fk dans la pramlère bjpothèM;

« défeloppeBMOi de la ligne briiée awmork qu'a donnée la première bypoUièse.

Dans plusieurs ponts nouvellement construits on a adopté Tellipse pour directrice de Tintrados et de Textrados (635 et 636).

6S4. Formes des piles. Fondations, Ce qui a été exposé au n* 561 comprend comme cas particulier la fondation des ponts.

La coupe horizontale des piles proprement dites est un rectangle; maison les termine en amont et en aval par un massif de maçonnerie faisant saillie sur les têtes du pont; le massif d'amont s^appelle avardbec^ et celui d'aval arrière-bec. Ces becs s'élèvent jusqu'au-dessus des plus hautes eaux, afin qu'ils préservent complètement le massif de la pile du choc des corps flottants; ainsi, dans les ponts en plein cintre et en anse de panier, ils peuvent s*élever au-dessus des naissaâces; dans les ponts en arc de cercle on les termine aux naissances , les eaux ne s'élevant pas plus haut On les surmonte de deml-cênes qui les raccordent avec les tympans du pont

Le fruit des piles ne doit pas être supérieur à 1/20 ou 1/15.

Les becs ne sont pas seulement destinés à préserver les massif^ des piles du choc des corps flottants; mais aussi à faciliter, par leur forme, le passage de l'eau, de manière à diminuer la contraction et les tourbillonnements de Teau et par suite les affouillements (620). il est évident que les formes qui doivent le mieux satisfaire à ces conditions sont celles qu'if convient de donner aux proues et poupes verticales, pour faciliter

•64 UUiVB PAKTIB.

le mouvement des bateaux (378). Par des eipériences directes sur dei pilee de 0",16 d'épaisseur et de diverses formes, le canal ayant 0*50 da Ui^eur, Teau y circulaot sur une épaisseur de 0*,0â, avec une vitesse de 3*,90 par seconde, Gauthey a reconnu que la forme rectangnlaire était la plus défavorable, que la forme d*uD triangle rectangle fnvorisait peut-être encore plus les aSbuillements, que celle en demi-cercle était ^n peu plus préférable, que le triangle équîlatéral Tétait davantage, ^ qu'une forme, plus convenable encore que cette dernière , était celle eomposée de deux arcs de cercle taqgents aux faces de la pile et ayant leurs centres respectivement sur ces fao^

Dans des expériences sur Tavant-bec formé de deux arcs de cercli^ on a fait descendre les naissances auHlessousdu niveau de Teau; alors le remou a été considérable, et les courants ont divergé i^ peu près antant que dans les expériences faites avec les avant-becs rectangulaires. Ces expériences conduisent h adopter la forme triangulaire équilatérale, ou mieux la forme ^p arcs de cercl^ ; mais lesangle* aigus qa*elles présentent aux chocs des glaces et des autres corps flottants sont promptement endommagés; aussi donne-t-on en général la préférence aux avant-becs demi-circulaires.

Une forme elliptique concilierait en partie les avantages de la forme circulaire et de celle en arcs de cercle,

Vig. 89. Pour un pont biais , on emploie deux

arcs de cercle, AG etBC, tangents aux faces de la pile et, en un même point Q à une droite ab parallèle k la tète AB do pont Iklenant ab parallèle à AB à une distance égale k la moitié de 1 épaisseur BD de la pile, et élevant au point G, milieu de ad, une perpendiculaire, elle déterminesur les perpendiculaires AO et BO' aux faces de la pile, les centres 0 et 0' des arcs AG et Ba

BUS. Appareil des voûtes. Les voussoirs sont en nombrs impair, et oeluiqui forme clef doit se trouver au milieu; leurs plans de joints sont normaux à la surface cylindrique de la voûte, et on ne les raccordait avec la maçonnerie qui les surmonte que par des faces horliontales et verticales, mais dans les ponts que Ton construit aujourd'hui, la courbe d'extrados est le plus généralement continue comme celle d'intrados. Les dimensions des voussoirs dépendent de celles des pierres que Ton a à sa disposition ; cependant il ne faut pas que leur longueur soit trop grande par rapport à leur épaisseur, parce qu'ils se rompraient; il faudrait dans ce cas les composer de plusieurs morceaux. Au pont de Neuilly, les voussoirs, qui senties plus longs que l'on ait employés, ont 1",80 de longueur sur 0*, Ad d'épaisseur à la doueUe , c'est-à-dire à la surlace intérieure de Ja voûte (l»60).

P0MT8 SH PIBEftl. $&5

M0. JBlim^nsiùM 4e$ voûtes. Joints de rupture. Lorsque les dimensions d'une voûte et de ses culées sont réduites au potot de ne pouvoir se soutenir, on remarque, au moment où Téquilibre va se rompre, qu'en général la voûte s^ouvre, comme l'indique la fig. 28, pi. Ùl, à rintrados à la clef, à Textrados en des points placés dans les reins de la voûte, et que les pieds-droits tournent autour de Tarète extérieure de leur base.

Quelquefois, à la rupture, on remarque que la voûte se fend & la clef et dans les reins, mais sans s'ouvrir, et que les pieds-droits glissent sur leur base.

Il est encore un troisième cas possible,. c'est celui où le voussoir Inférieur, c'est-à-dire Tensemble du pied-droit et de la partie de voûte inférieure au rein, exerce, pour tomber en avant, un effort plus grand que celui produit parle voussoir supérieur pour le faire tourner en sens contraire. Alors la voûte s'ouvre oomme dans le premier cas, mais à l'extrados ^ la clef, à l'intrados aux reins, et les pled^rolts tournent autour de l'arête intérieure de leur base (fig. 29, pi. III).

Une voûte peut être considérée comme composée de U voussoirs séparés par les Joints où là rupture ^st ppssible, et qui doivent mutuelle» ment se maintenir en équilibre.

i"* Examinons d'abord le prfrriier cas^ celui pu ij jf a alTaissement de la voûte et renversement des pieds-droits, fig, 28, pi. III. Âu moment où Péquilibre se rompt, on peut supposer théoriquement que les voussoirs ne reposent plus entre eux et sur le sol que par des arêtes a, 6, 6', c et c' ; alors a6, bc, af>' et b'c' sont entf e eux d^ns le même état d'équilibre que des droites rigldeis ab, bc, ab' et b'c\ dont les poids sont ceux des voussoirs, et dont les centres de gravité sont placés aux points G'^ g\ etc., situés sur les verticales passant par les centres de gravité G, ^, etc., des voussoirs. {Int. iû35 et suiv.)

Il convient, pour abréger les calculs relatifs à la poussée des voûtes» de ne considérer qu'une tranche de voûte de 1 mètre de longueur; s'il y a équilibre sur i mètre, il est évident que l'équilibre subsistera sur toute l'étendue de la voûte.

RepréêenUms : ad par «, de par x\ ef par y, fc par /, bh par 2r et et par 2\ Soit P le poids do Toussoir ah et Q celui du Toussoir (c.

Le poids P, que l'on peut supposer appliqué en G' ou même en A, se

décompose en deux forces verticales, l'une P - appliquée en a» et l'au-

tre P -^^^ appliquée en 5. Le poids Q, que l'on pçut supposer appliqué en g' ou même en i, se décompose également en deux forces verticales, l'une 0-. appliquée en 6, et l'autre Ô ^^^^ appliquée en c. Les vous-

856 SlXlftn PAKTIB.

foln ah' et Vd foorniflieiit les mêmes composant», appliquées raspectiremeot aox points a, b' et &.

Ainsi an point a a^t une force verticale 2P - , laquelle se décompose

en deux forces égales, dirigées Tune solvant ab et Taatre suivant ab\ Beprésentant par G cbacnne de ces composantes, on a