C:2PΗ a6ou v/?Ty^:2y, d'oùC = plî^^^- X xy
La force G, agissant suivant a6, peut être supposée appliquée au point 6, où elle se décompose en deux autres :
L*one verticale et égale à P- ;
L'autre horizontale et égale à P ^vy'-*"^ ^ -7=== = P - .
xy v'x'Ty* y
Considérant alors le voussoir 6c, on voit qu'il est sollicité par la force horizontale P - appliquée au point 6, et par les forces verticales
Q, P -^^ et P- appliquées la première au point g et les dernières an
point 6; par conséquent, pour que ce voussoir ait de la stabilité, oo doit avoir
o^ + (pî=^+pî)x'-p|y>o.
ou en simplifiant,
Qz' + Px'— p3^'>0. • (a)
Ajoutant P:r —Pz au premier membre de cette inégalité, on a
Qx' + P(x' + 5:) — ^Px + P^S^") > 0.
Qz' est le moment du voussoir &c, pris par rapport au point c , P (x' + z) est le moment du voussoir a6, pris par rapport au même point ; par conséquent la somme de ces deux expressions est égale au moment total MA de la demi-voûte, pris par rapport au point c, (Zn^, duo? et suivants.)
II=Q + p poids de la denf-voûle ;
A dislance borizooule du centre de gravité do la deml-voûle aa point c.
Le dernier terme du premier membre de Tinégalité précédente devient, en réduisant au même dénominateur.
H = y + y' baateur totale de là voûte. L'inégalité précédente devient donc en définitive
MA-PHÎ, ou H (^^ P~) > 0.
Ainsi il y aura rupture quand le ternie négatif sera plus grand que le terme positif, équilibre quand il lui sera égal, et on obtiendra une stabilité d*autant plus grande qu'il deviendra plus petit relativement à ce terme positif.
Le terme -==- étant constant, et celui -^ étant seul variable , il est H • y
évident que si une voûte doit se rompre, ce sera au point pour lequel P - est maximum ; ainsi la première chose à faire pour s*assurer qu'une voûte projetée résistera, c'est de déterminer la position du joint qui donne P - maximum.
Û convient de remarquer que dans cette recherche on n*a à considérer que le voussoir supérieur, et que les joints pour lesquels on doit calculer les valeurs correspondantes de P, y etz doivent être choisis voisins du joint qu'à Toeil on suppose devoir être celui de rupture. U convient aussi, pour abréger les calculs, d'observer que les valeurs de P étant proportionnelles aux surfaces correspondantes de la érection de la voûte, et que les valeurs de z et de y données par ces surfaces étant les mêmes que celles des portions correspondantes de la voûte, on peut opérer sur ces surfaces pour déterminer les valeurs successives de y et z, et que la position du joint de rupture sera déterminée par la valeur
maximum du produit de - par la surface correspondante.
Si l'on arrivait aune valeur de P ~ trop grande, on augmenterait la
largeur des pieds-droits de manière à faire croître convenabl^nent MA.
Ce qui vient d'être dit s'applique aux voûtes surbaissées comme à celles en plein cintre.
Dans tout ce qui précède, nous avons supposé que la voûte n'avait à supporter que son propre poids ; mais ordinairement elle est surmontée d'un massif de maçonnerie formant une surface liori^ontale au-dessus de la voûte et des pieds-droits ; de plus encore, ce massif supporte ordinairement une surcharge accidentelle ou permanente.
Dans ces divers cas, les poids P, Q et M comprennent non-seulement ceux des parties correspondantes de la voûte proprement dite, mais
aussi ceax des massifs de maçonnerie et les portions de snrchaiigre qai reposent sur ces parties de la voAte. On a également égard à ces poids additionnels en déterminant les positions des centres de gravit^
Il convient de faire Tépure qui sert à déterminer le joint de mptore k une grande échelle; cela aide à axer la position des centres de gravité, et à calculer les surfaces et par suite les poids des diverses parties de voûte que Ton a à considérer.
2« Le deuxième cas de rupture d'uive voûte a lieu lorsque, par reffet
de la force horizontale maximum P - du voussoîr agissant, la culée ou
pied-droit glisse sur sa base. U est éfidept que ee glissement ne pourra s'effectuer lorsqu'on aura
Mït> P-.
K coefficient du froUemenl de la culée aur sa base ; on peut le faire égal à e.Tt (M
Les autres IcUres ont les mêmes significations qu'au cas précédent.
3* Z/g troisième cas de rupture d'une voûte se présente quand, par la forme de la voûte ou par le mode de réparation de la charge, les pieds-droits tendent à tomber en avant ; alors, la voûte s'ouyre k Vïntérieur aux reins et à l'extérieur à la clef, comme l'indique la figure 29, planche lU. Ce cas peut être considéré comme exceptionnel, et on pourra généralement se dispenser de faire les calculs suivants.
On établit les conditions d'équilibre comme dans le premi^ cas, en prens^nt pour axes de rotation des voussoirs les points a , 6, ^ , et pour qu'il y ait stabilité, on trouve que l'on doit avoir
H (P~ ^) > 0. c'est^à-direP^ > ^.
z MA
H^=.ad hauteur de la voûle mesurée à l'intrados;
H poids de la demi-voûle ;
A distance horizontale du centre de gravité de la demi-ToAte an point de ro-
talion c;
P poids du voussoîr agissant aft.'
2 disUnce horizonUle du centre de gravité du voussoir agissant au point de ro-
tation h;
y distance des points de rotation a et h,
z MA
Si l'on n'arrivait pas à P - > i-p, on ajouterait un massif de maçonnerie au pied-droit, en dehors de l'arête c. Dans ce troisième cas de rupture de voûte, ainsi que dans le deuxième, on a, comme au premier cas , égard à la maçonnerie et à la surcbange qui peuvent reposer sur la voûte.
- 61l7t Épaisseur des voûtes à la clef. La mâtbode exposée dans le
PONT0 IN PmU. 859
numéro précédent est une méthode de tfttonnemeDt, puisque Ton part d'une hypothèse sur l'épaisseur de la voûte. Afin de ne pas faire cette supposition au hasard, on a recours à la formule empyrique suivante, que Perronnet a déduite de ses observations,
« èpaiMeur de la voûte k la clef en mètres ;
d diftaoce des pieds-droiit, si la voûte est op plelQ oiotre; dans lei vo(^lo« surbaissées , d exprime le double du rajon qui a servi i tracer l'inlrados dans les ▼oûtes en arc de cercle, et l'arc supérieur de l'intrados dans les TOûles en anse de panier.
Gomme, pour des valeurs de d supérieures à 30 mètres, la formule donne des épaisseurs trop fortes, il conviendra dans ce cas de se guider, dans sa première hypothèse, sur les constructions existantes (Art. 233).
Partant de l'épaisseur ainsi fixée, on détermine le joint de rupture comme il a été dit n*" 626, et par suite |a valeur de la poussée horizontale P -^ de chaque voussoir agissant sur le voussoir résistant Si cette
poussée s'exerçait uniformément sur toute la hauteur e du joint à la clef, il serait facile de calculer quelle devrait être la valeur de e pour y résister; mais remarquons que le voussoir agissant a6, figure 28, planche JII, par sa tendance à tourner autour du point a, rend nulle la pression au point intérieur A , tandis qu'elle est maximum au point extérieur a. Il est évident que la voûte ne résistera qu'autant que cette pression maximum au point a ne dépassera pas ]a limite k que comporte la pierre de la voûte. La pression étant nulle en A, et A; en a, supposant que chaque point de e résiste en raison inverse de sa dls-
k tance au point a, il en résulte que la résistance moyenne est ^f ^t Ift
ke résitance totale, -r- ^^^ résistance totale peut être représentée par
la surface d'un triangle dont la base est k et la hauteur e ; son point d'application est situé au centre de gravité du triangle, c'est-à-dire à
une distance | de la base ou du point a {Int.^ ilikk)^ et comme le mo-
ment de cette résistance , pris par rapport au point de rotation 6, doit être éf al au moment du poids du voussoir agissant ab, pris par rapport à ce même point 6, on doit donc avoir (/n^, 1411}.
Dana cette formule , lecf longueurs étant représentées en mètres et P en kilflframmes, k exprime le nombre de kil<«rammes que peut sup-
«60 SlXllU» PAftTIB.
porter avee fiécurité cbaqne mètre camé de la pierre qui compose b ▼oûte (218).
La formule ainsi établie donnera la valeur de e, et si cette valear était différente de celle qae Ton a supposée pour détermincur le Joint de rupture (626), on déterminerait de nouveau ce Joint en adoptant cette seconde valeur de e, et la nouvelle valeur de Pz fournirait pour e une valeur plus approchée (629).
Dans un travail récent (brochure publiée au Mans), M. Lé veillé, ingénieur en chef des ponts et chaussées, a reconnu que la formule de Uondelet était applicable à une voûte de pont d*une forme quelconque, d désignant, dans tous les cas , l'ouverture ou la distance des piedsdroits ; seulement pour rendre les oi)ération8 plus faciles, M. Léveillé adopte
i + 0,id
Ainsi cette formule, dans laquelle d désigne toujours Touverture, est applicable aux voûtes en plein cintre, en anse de panier et en arc de cercle ; d*après des comparaisons faites à un grand nombre de ponts, il résulte qu'elle est même applicable aux voûtes qui portent des convois, et aussi à celles chargées d*une grande épaisseur de terre.
6S8. Épaisseur des pieds-droits. Lorsque les pieds-droits font culée, c'est-à-dire doivent résister à la poussée horizontale de la voûte, il peut arriver qu'ils se renversent en tournant autour de leur arête extérieure. Ce cas ne peut avoir lieu qu'autant que l'inégalité (a) du n* 626 ne serait pas satisfaite, et alors on augmenterait l'épaisseur du pied-droit et par suite z* de manière à y satisfaire. On opérerait d'une manière analogue pour le cas où le pied-droit pourrait tourner autour de son arête intérieure (3' 626).
Il peut arriver aussi que, par suite d'une trop faible épaisseur, le pied- droit glisse sur sa base, de glissement ne peut avoir lieu dès que l'inégalité du 2% n» 626, est satisfaite.
Il peut arriver également que la voûte glisse sur ses naissances ; on vérifiera encore si cet effet est possible à l'aide de l'inégalité du 2* n''626, dans laquelle M ne comprendra plus le poids du pied-droit, mais seulement celui de la moitié de voûte qui le surmonta Ce cas est évidemment celui qui exige la plus grande épaisseur de pied-droit. Cependant, comme l'épaisseur statique calculée pour le renversement est ordinairement plus que suffisante pour résister au glissement, on ne peut s'en tenir à celle calculée d'après le glissement
Ordinairement on augmente l'épaisseur statique trouvée d*une quantité telle, qu'en y supposant appliquée une pression égale aux 2/3 de la charge totale de la fondation , on n'ait à craindre ni le tassement du sol ni l'écrasement de la pierre. Dans le mémorial du génie militaire, au
PONTS BN PTORB. 861
lieu d*opérer ainsi pour obtenir de la stabilité, on multiplie l'épaisseur statique trouvée par un coefficient égal à 1,38 ou 1,40; on Ta même porté à 1,90, mais cette dernière valeur parait exagérée.
Dans les anciens ponts» on faisait les arches très-petites et en plein cintre ou en aose de panier, et les piles faisaient culée; mais dans les arches actuelles, que Ton fait grandes et en arc de cercle afin de faciliter la navigation, le joint de rupture étant aux naissances pour un arc dont la montée est le 1/6 ou le 1/8 de l'ouverture, il en résulte que la poussée est trop considérable pour pouvoir établir des piles faisant culée; on se contente de leur donner des dimensions suffisantes pour que les pierres résistent avec sécurité à la charge qu'elles ont à supporter (218) , en ayant égard aux effets des glaces et à toutes les autres causes de dégradation.
Dans son travail , M. Léveillé a donné les formules suivantes pour calculer répaisseur des pieds -droits ou culées.
Arc de cercle E = (0,33 -f 0,212 <^)\/nX
Plein cintre E = (0,60 + 0,162 d) y -^ — x q^^^^^ Anse de panier E = (0,43 + 0,154d) V/ ^-^
646 ^ OMd
E épaisseur des culées ;
d ouverlure de la TOûle ;
h hauteur des culées ou disUnoe Teriicale enlre les nâissauees et le dessus de« fondaiions ;
ê épaisseur de la Toûte à la clef ;
f flèche;
6 pour les Toutes en aose de panier, la formule a été établie dans Thypothése que riDlrados est une ellipse ayant <f = Sa pour grand axe, et &=r pour demipetit axe (Int„ 4049);
H disUnce verticale enUe le dessus de la chaussée et le dessus des fondations. On a habituellement l1==/« +/+« -f- 0%60, le terme 0",60 représentant la charge et le pavage qui, d'ordinaire, recouvrent la voûte, et dont le poids, après us« sèment , peut être considéré comme sensiblement égal à celui de la maçonnerie.
Le numérateur des fractions ayant II pour dénominateur représente la hauteur du point où lo Joint de rupture rencontre l'intrados au-dessus des fondations. Dans les voûtes en arc de cercle , le Joint do rupture étant en général au-4lessus des naissances, on Ta supposé aux naissances. Dans les voûtes en plein cintre exlradossées borixontaJe« ment, le Joint de rupture faisant un angle de 60« avec la verticale , on doit prendre h-\- 0,9lkf pour le numérateur de II ; en ce point , le rapport de la fléciic i la corde est do 0,288, valeur que le rapport de la flédieà la corde atteint rarement dans les voûtes en arc de cercle.
Pour les voûtes en anse de panier, le Joint de rupture, normal à l'intrados, fait avec la verticale un angle de 45"; cl si l'on suppose que l'intrados est une ellipse , il est rencontré par le Joint de rupture à une hauteur 0,546 au-doMus des naissances; de sorte que le numérateur do 11 est A-f- 0,S4d.
MUMt PARTIB.
TABLE JV de pônU Mux^uëiê M, LéveilU a appliqué <«• formmU*. Baiif loqs les •eur calculée de la elof « été sabiUhiée A Tépaisittir rédie , ei r<m i pris 0->.6a de surcharie.
Il àtL^.
DfiftlGVATlON.
4* Pvnii em tare de cercle.
Pont sur le ehenin dea FrulUen ( chemin de fer du Kord)
— de Piisia
— de Mérjr (chemio du Nord).
— de Mdiiey
— de couiuretie, à Arbols. .
• aur le Satat
— de la rue des Aballoirs, A Paris (chedIo de fer de Siratbourg). .
— sur la Forlh , A SUrIttig. .
— Saint-SlaieDce, sur l'Oise.
— du chemio de fer du Nord, sur l'Oise.
— de DorlasiOD •
%• Ponte a» plein cintre.
Aqueduc près d*Enghien (chemin de fer
du Kord) •
Pont de Paty
—^ sur le Tbou
— des MèToisins , de Paris A Chartres. .
— du Crochet (chemin de Ter de Paris A Chartres).
~- de Lonp-Sauta, stf
— d'Engbien (chemin de fer du Nord.) .
— de Pantin (caoal Sainl-Martin). . . .
— de la Bastille, id
— des Basses-Granges (Orléans A Tours).
— d'Ëjmoutiers ,
3« Potttê en ame de panier.
Pont de Charolles .
— du caoal Saint-Denis
— do chAteau-Thierry. •
— de DOle sur le Doubs
— de Welestey , A Limerich
— d'Orléans (chemin de fer do Vierxon).
— de Trilport. ,
— de Hantes.
— de Keuiily
