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O.IO:i04
Pour une voûte extradossée parallèlement, dont a = 28» 4' 20", / = 8/=8 mètres et r=8,6/=: 8-,5, la formule de Perronnet (627j donne pour Tépaisseur de la voûte à la clef
POKTt B!f mus. 875
e==0-,916, d'oa R=nAi5 et 5=M07.
G9 rapport tombant entre les valeurs 140 et l,il du tableau, la dl^ ttrence des valeurs de G correspondant à 1,107 et à 1,11 se détermine à Taide de la proportion
(Ml— MO) : (0,05421 - 0,05160) = (i,ii—i,107} : x,
qui donne x = 0,000 783 ; donc G = 0,053 /^3. L*épaisseur-limite des pieds-droits est alors
Pour une liauteur de pieds-droits de 4%25 on pourrait faire E=:»«,2Aâ.
Olistement des voûtes en arc de cercle sur îesjovuts de leurs naissances. Le fh>ttement, par mètre courant, de la voûte sur le Joint de chaque naissance a pour expression , en adoptant ici 0,76 pour coelBcient de frottement,
0,38« ^^' — 1 ) r« X 2350 kilog.
« est !• dMiii*are, «primé eo mèlrM, qui eorretpood à rangle m eentre correspondant à Parc de la YOûte , l'arc a èlaot décrit avec un mètre pour rayon ; final ,
pour on angle an eentre de H*, on a a = ' ■ = 0».436.
I4 poussée horizontale par mètre courant est, en prenant pour G la valeur consignée au tableau précédent,
Cr«x2260kilog.
Pour le système is:4/, la poussée surpasse le frottement quand - est égal ou inférieur i^ 1,0 6. Pour les systèmes Z =: ^ , J = ç/; / = 7/,
/=8f et ^ = 10/, le glissement commence à -=1,15. Pour le système ; = 1^ et tous les systèmes plus surbaisaés, )e f^issement a lien quel^Q que soit Tépaisseur de la voûte.
Lorsque ia pouçsée dép^ts^Q le Crottemeat, il faut employer des tirants, arcs-boutants, etc , capables de résister it l-excèa de la poussée sur 1g frottement.
Pjour les rouf es en anse de panier, on pourra calcpler Tépaisfieur à donner aux pieds-droits comme pour une voAte en arc de cercle de iDtarte ouverture et de mèoie flèchia (628).
8' fi SIXIÈIIE PARTIS.
«35, Théoi'ie des voûtes par M. Yvon Villarccaa, théorie qui a vais à son auteur Papprobation la plus flatteuse de la part de TAcadéfiiie. Comme le fait voir ce qui précède, les ingénieurs et les architectes qui s'étaient occupés de la théorie si délicate des voûtes, supposant connues les formes de l'intrados et deTcxtrados, avaient chorctié les conditions d'équilibre que ces formes exigeaient, afin d*en conclure fe mode de répartition des charges le plus favorable à la stabilité. La pra> tique exigeant une répartition décharges assez rigoureasement déterminée, on conçoit les difficultés que Ton doit éprouver pour satisfaire le plus convenablement possible aux jconditions de stabilité d'une voûte; aussi ces conditions sont-elles rarement satisfaites d'une mani ère rigoureuse.
M. Tvon Villarceau, pour arriver à satisfaire d'une manière certaine, et la plus convenable, aux conditions d'équilibre, envisage la question sous un point de vue tout différent : ainsi, prenant précisément pour inconnues les données de la théorie habituelle, il se propose de rechercher les formes d'intrados et d'extrados qui assoreroot Ja plus grande stabilité d'une voûte destinée à supporter des charges dont les intensités et le mode de répartition sont fixés d'avance paries exigences de la pratique, et cela, tout en fixant, à priori, la flèche et l'ouvcrtore de l'arche. C'est ainsi que le problème se présente ordinairement dans la pratique.
Pour établir ces conditions d'équilibre, M. Tvon Villarceau fait deux hypothèses :
D'abord, il imagine que, sans alténar en rien le poids des voussoirs et la position de leurs centres de gravité (cette position suppose les voussoirs infiniment minces et les plans de joints normaux à la courbe ce' passant par les centres de gravité de ces voussoirs \ on leur donne la forme indiquée par la flg. 89, c'est-à-dire qu'on les taiWe de telle manière^u'ils ne soient en contact ^ que suivant les arêtes ou génératrices
^ quiont leurs pieds sur la courbe oc' des
centres de gravité des voussoirs.
Ensuite il fait abstraction du frottement et de la résistance qu^oppose l'adhésion du mortier au glissement des voussoirs les uns sur les autres* qui du reste ne se développent pas en se confortnant aux dispositions indiquées par la théorie.
Il r«{t évident quo si l'équilibre peut exister dans un système établi suî\autces hypothèses, il subsistera à /o//îo7i' lorsqu'on remplacera le contact des arêtes par celui des plans de Joint, et que l'adhésion des
POTïTS IN PIERRE. S77
mortiers ainsi que le frottement pourront prendre naissance, le rôle de CCS dernières forces étant de s'opposer au glissement, quand il tend à se produire.
Seulement, il faut remarquer que la pression T, qui se répartirait également sur tous les points du plan du Joint, dans le cas où elle passerait par le centre de gravité de ce joint, ne se partagera pas également entre tous ces points, poisque les centres de gravité des faces des voussoirs ne se trouvent pas sur la courbe cc\ mais se projettent sur les points milieux de Tépaisseur de la voûte. Les centres de gravité des volumes des voussoirs se projetant plus près de l'extrados que ceux des faces de Joint, on voit que lorsqu'on remplacera les arêtes de contact par les faces de joint , la pression par unité de surface sera plus grande vers Textrados que vers Tintrados. Mais les distances des points de la courbe cd aux points milieux des épaisseurs qui leur correspon-» dent étant très-petites , on peut généralement ne pas tenir compte de cette inégale répartition des pressions; la pression maximum ne différera que très-peu de la pression moyenne. D'aiileurs il suffira, pour faire disparaître cette inégalité, de refouiller le joint à Tintrados, à une profondeur très-petite, et telle que la courbe des centres de gravité €& passe par le milieu du joint réel ; dans la pratique cette précaution est négligeable.
11 y a un grand avantage à ce que la résultante des pressions passe très-près du milieu de Tépaisseur, et soit en même temps normale au plan de Joint; car si la voûte est soumise accidentellement à des charges auxquelles on n'aura point eu égard en fixant les conditions de son établissement, l'action de celles-ci sera, tant que 1 équilibre pourra subsister, de déplacer le point d'application de la résultante des pres« sious, en faisant varier son intensité et sa direction. Or, pour que cette résultante puisse se déplacer dans un sens ou dans l'autre, sans trop se rapprocher de l'extrados ou de l'intrados, ni trop s'écarter de la direction de la normale, il est évident qu'elle doit passer par le milieu de l'épaisseur et être normale au joint lorsque les surcharges dont il s'agit n'ont pas lieu , c'est-à-dire lorsque la voûte est seulement soumise à Faction des forces qu'on a fait entrer dans le calcul de son établissement.
Cela posé, considérant l'équilibre d'une portion quelconque ce' de voussoirs du système de la fig. 89, soient x, y, et x', y' les coordonnées de c et c'.
Les forces extérieures de ce système sont :
T pression agissant en c; T' pression agissant en </ ; d? les poids des voussoirs;
rd$ les autres forces eitdrieares qui agisteni sur les divers points du système et passent par les centres de gravité des voussoirs.
879 «UÈB FAKTS.
Ces diveraes forces étant dans un même plan» trois des aix oooditiav
d'équilibre d'un système solide sont satisfîtes, et U ne reste qak appliquer les trois antres (//i/., 1497 et 1499).
Deux de ces équations ( i; et (2) , expriment que la somme des projections des forces extérieures sur ctiacun des axes X, T est noUe ; U troisième, (3), exprime que la somme des moments de ces forces os de leurs composantes par rapport à un troisième axe perpeadicolaire aax deux premiers k Torlgine O est également nulle.
Toosa— ro06a' + \ P«df=e. (1)
-(fTcosa-
Tsin« — T'sin«'+\ F^-hV 4iP==ii. («
«T sln «— «Tstn «'— (y Tcos «— f'roos «7
LMndlee « ou ff liidlqae , par exempte, que r« èét là projeeUoà de la twot f sur f axe det », et Py celle dé F lur l^axe de y.
Or remarquons que ces équations dorant avoir lieu pour nn intervalle quelconque cc\ compté sur la courbe des centres de gravité^ elies 8ul»isteront encore lorsque cet intervalle sera infiniment petit et égal h ds. Daos ce cas, xf deviendra x + dx, et les quantités a" et t; qai sont des fonctions de s'y deviendront a + (la, et T + <fr, de telle sorte que Ton aura
ï'COSa'— T C0Sct= (T+ (ÎT)C0S(a+ da) — tcosa = (î(TC08a),
et âe même
rsina'— Tsîria = (!(Tslna),
tandis que les intégrales contenues dans ces mêmes éqvatkmsse réduf* ront à un de leurs éléments.
En supposant donc rintervalle c& infiniment petite et ayant égard aux remarques précédentes, les équations d'équilibre (i) et (9) deviennent 1
(i(TC0Sa):£:F|4», (4)
â{Tsina) = Fyds + dP. (5)
Quant à Téquation (3) , elle prend une forme telle, qu'il est facile de voir qu'elle est une conséquence des équations (4) et (5).
Ces deux dernières équations étant applicables à un élément quelconque de la voûte, elles expriment les conditions nécessaires et suffisantes pour assurer Téquilibre du sTstème*
points m PiBftmE. 8i9
Appelant :
c l'éptisteur AB de U TOûte aa point dont les coordonnées sont gtXy (flg 69) ; I la prefsioo moyenne sur la r«ce AB, locf^iiie les surfaces de contact sont rètabllea.
La presaion naiimum par unité superficielle différant tréa-peu de I dan« le
Joint AB, on peut poser T = Xe< ; y, la dimension du joint, parallèlement à Taie de la Toûie; w le poids de rutiiié de folume de« malérlilix dont est eonstroite la TOÛte; . / U largeur du Youssoir, mesurée suirant la courbe passant par le milieu des épala-
seurs des youssoira, et différant trés-pea de la largeur meaurée sulytal la
courbe ce' des centres de gravité; p le rayon de courbure de ce^ ;
8 la distance de U coui be ce' ao milleii de Pépaissear de la ToQte ; S8 la profondeur du refouiliement des joints ;
9 la longueur de la courbe ce', et di celle de son élément , t
on a:
T=Xe^ Tcosa = X£^^, TBin«=Xt«^,
et
dP=:b}\tj=:tû£d8 (i j; (6)
d*où il résulte, pour équations d'équilibre, en substituant ces râleurs dans les équations {U) et (5) et divisant tout par X :
On a aussi
d'où
^-^-5 + 2 Va?'
et p=. . ; ..,' w
Formule de laquelle on tire, pour valeur approchée aux quantités près du quatrième ordre,
ce qui confirme ce qui a été avancé sur la petitesse de la distance de €& au milieu de Tépaisseur de la voûte.
880 SIXIÈME PÀtTU.
Les <^quation«i (7; servent de hase à ia disca^^sion des diverses questions que peut présenter ia théorie des voûtes.
Qiiesiioni à résoudre. I^es équations (7) contiennent, outre la variable X, que i'on peut prendre pour variable indépendante, les variables y, s» f f P<t ^v • qui sont des fonctions connues ou inconnues de x. Or ces cinq quantités ne sont liées entre elles que par deux équations : on peot donc se donner arbitrairement trois d'entre elles, et les équations serviront à faire connaître les deux autres. Toutefois, on observe que tes deux variables F« et F, n'équivalent qu'à une seule, la force P, qa*oo ne peut assigner sans fixer à la fols son intensité et sa direction, c'est-àdire sans fixer à la fois ses deux composantes F^ et Fy.
On voit qu'on pourra réi-oudre, à l'aide des équations (7}. mx séria de questions qu'on peut écrire analytiquement, étant donnés :
/ et F, e et F, y et F, y et e» y elty c et i^
trouver respectivement :
y et e, yet^, eet^ ^ et F, c et F, y et F.
n est à remarquer que les trois premières questions sont déterminée^ parce qu'on suppose F donnée d'intensité et de direction en fonction de X, et qu'il reste à déterminer, dans cliaque cas, deux Inconnues an moyen de deux équations.
Les trois derniers problèmes sont indéterminés sous la forme donnée ici à leur énoncé, parce que la force F représente deux îDcoauiÂesi F«, Fy , et qu'il y aurait à déterminer les valeurs de trois inconnues au moyen de deux équations; on devra donc, en outre, so donner la direction de F, ou l'une de ses composantes , dans chacun de ces trois derniers cas.
Les données qu'on voudra choisir dans le tableau précédent pouvant être établies d'une manière quelconque en fonction de a:, on conçoit que chacun des six cas présentés peut lui-même donner lien à one infinité de questions.
Première série de questions. Étant donnés t et F, trouver y et t.
Comme il convient dans la pratique que la pression par unité de sa^ faco soit constante et égale à la pression maximum que l'on peut faire supporter à la pierre, toutes les fois que Ton pourra prendre t arbitrairement, on le choisira de manière à satisfaire à ces conditions.
Quant à la valeur de F, elle dépend des questions qu'on se propose de résoudre.
Par exemple, on peut supposer F = 0, ce qui revient à dire que la voûte que l'on considère ne sera soumise qu'à l'action de son propra poids, ou qu'elle n'aura d'autre objet que de recouvrir im espace déterminé.
