FA0TR8 A CORRIGER

PacML Ucnaa.

433 33. Soui la preuion, mettre : Soui la même pran&n, 646 5 en remontant. Page 543, mettre : page 645.

AIH-lilOIRB DES INGÉNffiURS, DES ARCHITECTES, ETC.

Des moteiin naturels animés et inanimég.

DÉPINITIOIffS £T PRINCIPES.

1. Observations. Dans ce qui va suivre, à moins qu'on n'exprime le contraire:

Un nombre placé entre ptrenthèses ( ) indique un numéro d'ordre â consulter ;

Un nombre précédé de Int, ou de Art , placé entre parenthèses, indique un numéro d'ordre de notre Introduction à la science de Vinçéniettr {V édition) ou de notre Pratique de Fart de contirtùre à consulter.

Les longueurs sont eipriméea en mètres;

Les surfaces , en mètres carrés;

Les TOlumes, en mètres cubes;

Les temps, en secondes;

Les Titesses , en mètres parcourus par seconde;

Les forces , en kilogrammes;

Les quantités de traTail, en Ulogrammètres (33);

«= 3,4 44 69S6, ou i peu près 3,U4 6, ou même 3,4 4 ; c'est le rapport approché de la dreonférence an diamètre (InU^ 666) ;

9. La propriété que possède la matière, de ne pouvoir par elle-m^me passer de Tétat de repos à celui de mouvement, ni modifier le mouvement dont elle est animée, est ce que Ton appelle son inertie (7n^, 1290).

3. Une Jorce est la cause quelconque qui modifie ou tend à modifier rétat de repos ou de mouvement d'un corps {InL^ 1291).

4» Le nunwement d'un corps est dit vaniforme^ quand les longueurs parcourues en temps égaux quelconques sont égales.

tt. Dans le mouvement uniforme, la loitesse est l'espace parcouru peu-

2 PBEHltRB PARTIS.

dant runité de temps, ou q^ sertit paMoaru pendant cette unité si le mouvement était suffisamment prolongé.

De cette définition 9t de U précMwt^* il rémlte (yie b vit^v» est censtaata pendant toute la dxïfée du non? eaMnt uniferme*

6. Dans le mouYement uniforme, la relation entre Tespace parcouru, . la vitesse et le temps est (/7t&, 1301)

E = vtf d'où v = -T et <=-.

E espiee ptrcouru pendtot le temps t ;

V Titeiie (6) ;

t dorée du mooTemeDi.

Application. Quel est l'espace parcouru pendant 3', la vitesse étant de tx mètres par seconde?

Faisant v = /i et ^ = 60 x 3 = 180 dans la première des formules précédentes, on a

E = /i X 180 = 720 mètres.

La seconde des formules précédentes donne v quand E et ^ sont connus, et la troisième fournit / quand on connaît £ et r.

7. Le mouvement d'un corps est dit varié lorsque^ contrairement à ce qui existe dans le mouvement uniforme (A) » les espaces parcourus en temps égaux quelconques sont Inégaux, c'est-à-dire quand la vitesse n'est pii« (H)niitante p^odaot toute la dorée du mouvement; «lors, la relation (6) n'existe plus.

8. Le mxmvement est ^t périodique uniforme^ lorsque le mobile parcourt certains espaces é^ux dans des temps égaux , sans que la même condition soit remplie pour les parties de ces espaces.

Un de ces espaces est le chemin parcouru pendant vj^b période , et le temps employé à le parcourir est la durée de la période.

Prenant la durée d'une période pour unité de temps et le chemin parcouru pendant cette unité de temps pour vitesse v, l'espace E, la vitesse v, et le temps ^, qui exprime un nombre entier de durées de périodes, sont liés par les relations du n"* 6.

0, Vitesse dans le mouvement varié. Quoique la vitesse puisse ne pas être la même à deux instants successifs du mouvement, on pçut la considérer comme constante pendant une portion quelconque infiniment petite de la durée du mouvement; alors, à Tinstant considéré, la mtesse est égale à V espace infiniment petit divisé par le temps infiniment petit employé à le parcourir, ou bien encore, à Pespace qui serait parcouru pendard runité de temps , si , à partir de tinstant considéré, le mobile se mourait avec une vitesse constate égale à celle quHl a acquise à cet instant (5).

Désignant par dE l'espace infiniment petit parcouru, et par di le temps infiniment petit employé à le parcourir, la vitesse est donc

DftFiifiTiQirs BT murciPEs. ^

Dans la pratique, il est impossible de prendre d£ et dé in^nimwt pe^ tits, et par suite d^avoir v exactement; mais la valeur que Ton trouvera pour cette quaptité se rapprochera d'autant plus de la vérité, que dE et di seront pris plus petits.

Traçant une eourbe ayant les valeurs de t pour abscisses et celles correspondantes de E pour ordonnées, la valeur de v après un temps t est donnée par la tangente trlgonométrfque de Fangle que forme avec l'axe dfls t la tangente menée à la eourbe au point correspondant à t (/n^.,1305).

10. Varic^tion de la fsiHesse dan» le moueffinent varié, v étant la vitesse du mobile à la fin du temps ^, après le temps t plus le temps infiniment petit ou instant dt, elle a augmenté ou diminué d'une quantité infiniment petite dv^ et elle est devenue v ± dv,

dv étant la variation de la vitesse pendant le temp0 4t% h variation moyenne est, pour l'unité de temps, pendant le temps d^.

Cette valeur est la quantité dpat variemit iH vitesse peodMlt i*i|nité de temps qui succéderait à ^, si, pour chaque instant dt de cette unité, Taugmentation de la vitesse étfkit constante et égale à de.

g-, que nous représenterons parj, s'appelle Vaççélérqtion de vitesse

pendant V imité de temps, 0» fliwplement; Vçicçiliratim de vUeiMe %, Tinstant considéré , c'est-à-dire à l'instant qui succède au temps t.

Les tangentes à une conrbe ayapt les valeurs de t pour abscisses et celles correspondantes de v pour ordonnées fournissent les valeurs de j, eomne las tangestef» à la courbe du n« 9 donnent ceUes de v (Ini., 1306).

il. Loiaque la vitesse v et raceélératien^ sont de même signe, c'està-dire à la fois toutes deux positives ou toutes deux négatives, le moutement est aceéléré , dans le sens vulgaire de ce mot ; si , au contraire , ces deux quantités sont de signes différents, le mouvement est retardé.

12. Lorsque l'accélération j est constante, le mouvement est dit tmifùrmément varié.

15. Expression de la vitesse dans le mouvement uniformément varié {Int., 1310). V. étant la vitesse imtiale^ c'est-à-dire la vitesse du mobile an commencement du temps t^ après ce temps, le mobile possède une vitesse

u = t?, ±:jt.

f:QVai4^m\t u»# origine smt 1» Uem fliie suit Ip mobUe, t*. est po^^»^ ^ P^tif» s^|T#q$^o|| «ep, et 09 a. an définitive lliit.p iaio) .

4 PR£]IIÈEE PARTIE.

r = ± t?, ± jï.

Si le corps part du repos» on a v,= 0,et, alors, après le temps ^ , la vitesse est

tj = ±:jï, d'Où i=±j et t = ?.

On peut de même tirer les valeurs de j et de i de chacune des deux formules précédentes, et on voit que dans tous les cas j est égal à la variation de la vitesse pendant le temps t, divisée par ce temps,

14. Expression de Fespace parcouru dans le mouvement untformèment varié {Int.j 1311).

1* Le mouvement étantraniformément accéléré, on a

E = t?.< -f |jï' :

B «fpice parooaru pendant le temps t ;

temps pendant lequel on considère le Bouvement; «é Titesse initiale; i accélération de riiesse (40) ;

2* Quand le mouvement est uniformément retardé , la quantité > jï* est négative, et, après le temps ^ , on a

d"" Si au commencement du temps t le mobile avait déjà parcouru Tespace E., après ce temps t Tespace total parcouru serait

E = E. + ».< + jjï».

&• Dans le cas où la vitesse initiale v, = 0 , la formule V devient

Remplaçante par sa valeur en fonction de v (13) , on a aussi

E^\vL

5* Pour ^ =1 1 , la formule (a) devient

Ainsi , le corps partant du repos ^ V espace parcouru pendant la première unité de temps du mouvement est la moitié de la vitesse acquise à la fin de cette unité ^ c'est-à-dire la moitié de V espace que parcovrraU le mobile pendant la deuxième unité de temps du mouvement , sHl

DtPiniTIONS BT PEIKCIPES. 5

se mouoait éTune manière tmtforme aoec la vitesse acquise à la fin de la première unité.

Gomme on peut prendre un temps arbitraire pour unité de temps , il en résulte qu'après un temps quelconque, la vitesse acquise, c'est-Àdlre Pespace qui serait çarcouru d'un mouvement uniforme pendant un temps égal à celui pris pour unité, serait double du chemin qui a été parcouru pendant ce temps.

Remarque, Prenant une origine sur la ligne que suit le mobile, la distance à laquelle ce mobile se trouve du point fixe est, dans tous les cas que nous venons d'examiner, représentée par la formule générale

E = ±: E. ± 1?,^ ±: 5 jT*. {fnt., 131i.)

IIS. L^action continue d'une force constante sur un corps produit un mouvement uniformément varié {Int.^ 1322). Ainsi, lorsqu'un corps possède un mouvement uniforme, c'est qu'il n'est sollicité par aucune force, ou que les forces qui le sollicitent se font équilibre entre elles {Int., 1823).

16. Un corps quelconque, quelles que soient sa nature et la quantité de matière qui le compose, abandonné à lui-môme, se meut ou tend à se mouvoir vers le centre de la terre. La cause inconnue qui produit cet efTet se nomme pesanteur ou gravité {Int., 1312}.

17. Le poids d^un corps est la résultante des actions de la pesanteur sur toutes les molécules de ce corps.

L'action de la pesanteur étant la même pour toutes les molécules, le poids d'un corps est donc proportionnel au nombre des molécules ou à la quantité de matière que contient ce corps.

L'acticm de la pesanteur variant avec la distance au centre de la teire, le poids d'un même corps varie de la même manière. Ainsi un fil qui suspendrait un même corps près de la surface de la terre et dans les régions élevées, serait soumis à une plus grande tension dans le premier cas que dans le second {Int, 1316, 1317).

18. Application des formules dumovvement uniformément varié au cas de la pesanteur. Le poids d'un corps étant, dans les limites de nos observations, une force à très-peu près constante qui agit d'une manière permanente sur le corps, il en résulte que si ce corps n'est soumis qu'à l'action de la pesanteur, il devra prendre dans le vide un mouvement uniformément accéléré (11). C'est en effet ce que vérifie l'expérience , qui a de plus fait voir que l'accélération de vitesse j, qu'on a l'habitude de représenter par g lorsqu'il s'agit de la pesanteur, était, à l'Observatoire de Paris, égale à 9»,8088 par seconde. Dans la pratique, on fait souvent , pour abréger les calculs , g = 9',81.

Lorsque le corps se meut dans l'air, il éprouve, pour déplacer ce gaz, mie résistance qui diminue son mouvement. Mais lorsque la vitesse du

6 HittiIsRt tkttn.

cott^ n^ëst pfiis tûnàûênh\B et que sa wtWM ëst Mble t>u* MptMK à 90D poids , on peut supposer, dans les cas ordinaires de là chute des corps, quMl se Méttt , saas éiretii' seâMble , dans !*&ii^domU6 dans le vide. Les ibnhttlM du mouvement ttfiifort&Attieiit târlé sOnt » p(nir le bas de la pésattteui* :

V r==tro±^<; (13)

2' E = iE.±tj.^ih|^<*. (14)

Faisant £• = O, r. = 0 et t=i'\ cette dernière formule devient Ët:|(7 = 4*,9Ôà4,

Ce qui fait voir que Tespace parcouru pendant la première seconde du mouvement par un corps qui tombe dans le vide, en partant du repos, est égal à ik*,90&&, inottié de la vitesse acquise après ce temps (/n^ ,1316}.

lÔ. Application de ces formules à ta chute des corps.

La vitesse initiale v, étant nulle , c'est-àr-dire le corps partant dti repos, et ^ = 5'^ étant la durée de la descente , la vitesse acquise après ce temps est (13)

v^gt=: 0»80S8 X 6 = A»-,OWu (a)

t>our savoir quelle doit être la durée dô la chute pour quô le mobile acquière une vitesse déterminée v = /i9">,0À&, on remarque que la formule (a) donne

«uppoëant Ë. =s 0, h «tant TespaiSé pareouin* o'esl4^difë là hMil^ur di laquelle le totpB est tombé &pi^ uu tétfapi t — d^, oti a (â% M)

;i = i ^r^* = I X §,8088 X 6< = 122*,ei. (6)

Pour avoir le temps que mettra uu corps pour tomber d^uue hauteur h = 122*',61, dei a formule (6) ou tir©

Pour avoir la vitesse qu'acquiert un corps en tombant d'une hauteur donnée 122*,61, on remplace dans la formule (a) ^ par sa valeur (6% ce qui donne

i?=^y^= V^ = ^2 X 9,8088 X 122,61 = 49VM. (c)

DtFUntlOIVS ET PRraCIPBS. 7

Pour avoir là haiitôiir délâqiiéllè doit tomber un corps pour acquérir nue vitesse donnée v = A9",0ââ pUr se^nde, de la formule (c) on tire

Ces formules, qui sont d'un usage coiitinuel en mécanique, donnent : (a) la vitesse en fonction du temps; (a") le temps eti (buetiOD Qe 1& vitesse; (b) la hauteur de chute en fotictioti du telïips * (b') le tôtâps en fonction de la hauteur de chute ; (c) la vitesse en fonction de la hautOUr de chuta ; {c') la hauteur de chute en fonotion de vitesw«

Ces formules sont données pour le oas de la pesaateuri mais dei fàf^ mules des n"* 13 et 14 on en peut tirer de tout à fait analogues pour un mouvement uniformément v^ié quelcoiique. Nous avons préféré, sans double emploi , donner ôeUes ddes à la pesanteur, qui sont d*tdfl ttSft^ plus louent dans la pratique.

20. Le poids P d'un corps (17) divisé par g (18) est la masse de ce

côrpë (ïni., 1332).

P P et ^ variant dans le même rapport^ la masse - d'un corps est la

mtaie daiii tous lés liéux« Gomme là quantilé dé matière d^ tioéffiô corps est aussi constante 9 quel que iioit le Heu qu'il occupe, \h ttàsse donne donc «me idée exacte de la quantité de matière, et peut lut servir de mesure (22 et 23).

81. Relations entre les forces, les vitesses et les masses des mobiles sollicttés (tnLf 1326 et suivants). On dit que demi forces sont égales^ lorsqu^ellei^ sont capables dHmprimer le même mouvement à un môme mobile, et que les masses de deux mobiles sont égales, lorsque deux forces égales impriment le même mouvement à ces mobiles. De là on conclut :

1* Que, povr un même mobile^ les fofves sont proportionnelles aux accélérations de vitesse; ainsi on a {Int^ 1827)

1?:/=JÎ;.

f l'une âéê fotcei; f rautre force;

J aecéléraUoo de TitMie due à la foiee F; i «. ûl. A

Supposant les mobiles partis du repos, ¥ = J^ et v=:jt étant les vitesses acquises après le môme temps t (13), on a Y : v =:J ri, et, par suite,

Ce qui fait vohr que les forces sont aussi entre elles comme les vitesses qu^elies càmmmnifuetit à un mêm» mobile dans la même temp»^ Dans cette môme hypothèse, les espaces parcomnis étant propor-

8 PESHitftK PAITIB.

tionnels aux acoéléntioiis et aux TitesBes (i4)f <m a auai

T Que, pottr une même accélération de vitesse (10), les forces sont proportionnelles aux masses des mobiles; ainsi on a {Int., 1385)

M BUM du nobile lolUdié |Mr U foroe F ; m maiM du msMh tolUdlé par U foroe f,

3* Que deux forces quelconques sont entre elles comme les produits des masses M et m des mobiles qu^elles sollicitent par les accélérations de vitesse qu^elles leur communiquent; ainsi on a

F:/=MJ:ni;, (çl)

OU encore, à cause de la proportion v : c = J : >

F :/=MV : mv.

Ge qui fait voir que les forces sont entre elles comme les produits des masses par les vitesses.

%%. Appelant unité de masse ^ la masse du mobile qui prend Tunlté d'accélération de vitesse dans Tunlté de temps quand U est sollicité par Vunité de force, il en résulte que faisant dans la proportion précédente (a)/= 1 etj = 1, d'où m = 1 et /n; = 1, on en conclut

F = MJ.

Ce qui fait voir que Vintensité âH une force quelconque est représentée par le produit de la masse par F accélération de^vitesse que la force communique au mobile dans Vunitè de temps. De la formule précédente on tire

M=j et J = |.

Résultats facUes à énoncer verbalement.

S5. Si la force F est le poids P du corps dont la masse est M, g = 9",8088 étant l'accélération de vitesse (18), les trois formules précédentes deviennent respectivement

P = M5r, M=| et 5r=|.

Ces nouvelles formules font voir :

1* Que le poids d^un corps est égal à la masse multipliée par VaccéUraiion g due à sa pesanteur.

Pour M=3l, on a P=^ = 9^,8088.

Ge qui fait voir que le poids d'un corps dont la masse est égale à r unité est 9S8088;

DfiFimTIOllS BT PIINCIFBS. 9

2* Que kLmas9e eH égaU au poidg dwisépar g. pour P=i, on a M= ^ = 5^ = 0.102.

Ce qui montre que la masse d^un corps du poids de i fciL est 0,102 ;

3* Que Vaccélèralion g due à la pesanteur est égale au poids du corps âxcisé par sa masse. .

S4. Deux forces étant entre elles comme les accélérations qu'elles communiquent à un môme mobile (21) , Tune des forces étant le poids du mobile, on a

Proportion qui donne Taccélération J qu'une force quelconque corn* munique par seconde à un mobile dont le poids est P et la masse

Pour F = 10^, et P « 25^9 cette proportion devient