TV2'"7~2V2~V

La force Q, qui tend à opérer la disjonction de la poutre suivant l'étendue L—/, est -p , et on a , en remplaçant r par sa valeur tirée de l'équation précédente ,

^ BÉ8I8TÀNCB DBS MATtEIÀCX. 297

La valeur de Q augmentant à mesure que le carré de / est plus petit* on voit que les clefs devront être plus rapprochées ou plus profondes vers les extrémités dé la poutre qu'au milieu. De même, pour une poutre encastrée à une extrémité, et chargée uniformément sur toute sa longueur, les clefs doivent être de plus en plus rapprochées ou plus profondes à partir dé Tencastrement

Les considérations précédentes s'appliquent aux rivets des poutres en tôle , comme aux clefs des poutres en bois.

236. Résistance à la torsion. Lorsqu'une pièce prismatique homogène est soumise à un effort de torsion , tant qu'on n'a pas dépassé la limite d'élasticité, le rapport dé cet effort à l'angle de torsion est à peu près constant pour une même matière. Désignant par G ce rapport, par Q l'efTort , et par 0 l'angle de torsion , pour une tige ayant l'unité de Ion-

gueur et l'unité de section , on a ^ = G , que l'on peut appeler coefficient de torsion. * Pour un solide cylindrique ou prismatique, on a

G^ , ,, , ^ Pp X L , ,

Pp=~I, d'où t=-î^jgj~. (a)

P force tendant i tordre le corps en agissant dans un plan normal à l'axe;

p bras de levier de P^ ou longueur de la perpendiculaire commune à la direction de P et à Taxe du corps ;

Pp moment de la forée P ;

t angle de torsion , ou longueur de l'arc décrit par un point situé i l'onité de distance de l'axe du corps,, ou encore longueur de l'arc décrit par un point quelconque du corps, diTisée par la distance de ce point à rase ;

L longueur de la pièce;

I=:ii*d(i> somme des produits de la surface d(ù de la section de chacune des fibres élémentaires qui composent la pièce par le carré de la distance n de cette fibre à Taxe. I a été appelé moment tPmeriie polaire par M. Persy.

Pour une section circulaire. I = -^r-. ♦

Pour une section en couronne circulaire. . 1 =

Pour une section rectangulaire. I = o/m . yy '

Pour une section carrée, g = 6=:A et 1= ^.

r rayon du cylindre plein ;

r et / rayons extérieur et intérieur du cylindre creux ; <

bel h côtés de la section de la pièce prismatique ;

q côié de la pièce i section carrée.

Des expériences de M. Duleau, de M. Favardet de la société indus-

trielle de Mulhouse , et de plusieurs observations , M. Morin conclut le tableau suivant des valeurs de G :

Fer doui 6 eOO 000 000

Fer en barres .' * .16 666 000 000

Acier d'Allemafue. . . . • 6 000 000 000

Acier fondu, trës^ûn 10 000 000 000

Fonte 2 000 000 000

CnlTre 4 366 000 000

Bronze ,. 4 066 000 000

Chône , . . . . 400 000 000

Sapin 433 000 000

Dans la pratique, 11 convien! de limiter assez Taûgle de torsion pour qu'il ne nuise pas à la transmission de mouvement et que Télasticitéde la fibre la plus éloignée de Taxe ne soit pas altérée. Or cette fibre formant une hélice dont la tangente fait avec la position primitive de la

n't fibre un angle dont la tangente trigonométrique est -=- , c'est cette tan>

gente qu'il suffit de limiter.

n' distance de l'axe i la fibre qui en est la plus éloignée.

Des expériences et observations citées ci-dessus, il résulte que Ton peut faire pour les arbres allégés

Tangente qui correspond à un angle de 2' 18'^ formé par les deux positions de la fibre.

Pour les arbres forts ou premier? moteurs, on fait

On a donc en moyenne

^ = 0,000 5, d'où t = 0,000 6 -, .

Ck)mme pour les arbres cylindriques pleiiufi cyliodriq^es cceu^i à section rectangulaire et à section carrée, on a respectivement

n' = r, n' = Ty n' = - ifb^ -\- h^ , n'=~r.

On a donc pour ces sections respectives : ^=0,0005- ^ = 0,0005- /= 0,000 K — Jif — ^ = 0,0005?^^.

RÉSISTANC8 DBS IIAT£KIAUX. 299

li^nplaçant dans la première des formules (a) ^ et I par leurs valeurs, on a pour les sections précédentes les formules pratiques

Pp= 0,000 i?a~î Pp= 0,00060''^^^^'*^

Pp = 0,0006G^^^(^:±â:i Pp = 0,0006GJfl:.

Ces dernières formules servent à calculer quelles doivent être les dimensions de la section transversale de Tarbre pour résister à un moment donné Pp, et elles font voir que ce moment est indépendant de la longueur L de la pièce, ce qui est évidemment vrai jusqu'au momen} de rupture. Les expressions de t font voir au contraire que l'angle de torsion, est proportionnel à L et au moment Pp.

Des expériences de M. Carillon sur des fontes de Paris et de diffé*

n't rentes localités françaises^ 11 résulte que la valeur 0,000 667 de -f- n'est

que le 1/16 environ de celle qui correspond à la rupture; ce qui indique que la formule pratique conduit à des dimensions que Ton peut considérer comme supérieures à celles nécessaires.

Formule pratique. On peut encore se servir, pour déterminer le diamètre à donner aux pièces cylindriques soumises à un effort de torsion, de la fOfBiule

h coefficient dont U valeur dépend àe la nature de la pièce ;

û dtanëtre de iaptèce en tsentimètreB^

A quantité d'action transmise par U pièce en une minute, exprimée en kilo«

grammètres ; I» nombre de tours que lait la piéciB en ^ne mittttte.

Pour un arbre creux« la quantité d'actioa À quMl peut transmettre est égale à celle que pourrait transmettre l'arbre s'il était plein, moins celle que pourrait transmettre un arbre plein d'ui^ diamètre égal au diamètre intérieur de l'arbre creux ; d'où il résulte qu'en appelant d le diamètre extérieur de l'arbre creux, et d' son diaioaètre intérieur, on a

D'après Buchanan, A; = 2.3 pour les arbres ou tourillons en fonte,

et A; = r-r X 2.6= i./i8 pour les arbres ou tourillons en fer. Mais , à me-

sure que les moyens de fabrication se sont perfectionnés, les dimensions dçs différentes pièces de machines ont dû diminuer, et, d'après les observations de M. Walter, sur 2| machines plus récentes, et dont Iqs

arbres ou tourillons en fonte transmettent des effets variant de 5 à 50 chevaux, avec des vitesses de rotation très* variables, mais sans choc, il résulte que pour la fonte h varie de 1.10 au minimum à 1.86 au maximum , et que la valeur moyenne de k est sensiblement 1.6. La valeur 1.10 à été trouvée pour des arbres en bonne fonte anglaise faisant marcher des moulins à blé; mais il convient de ne pas faire k plus petit que 1.25. Quand le travail transmis est irrégulier, mais sans choc ou avec des chocs très-faibles, on pourra considérer la valeur 1.86 de k comme donnant toute la sécurité désirable.

A Tusine de Terre-Noire, pour le tourillon en fonte d^une machine de 35 chevaux commandant un marteau frontal, A; = 5,085; Tarbre fait 20 tours par minute, et il fonctionne depuis 1823.

Au Greuzot , pour une machine analogue, k = 7.66.

En admettant le rapport de la résistance du fer à celle de la fonte de Buchanan, la valeur moyenne de k pour la fonte étant 1,6 , pour le fer

on aura A; = -y x 1,6 = 1,03 ; mais, quoiquecette valeur soit encore quella

quefois dépassée dans la pratique, il convient de la considérer comme une valeur maxima qui ne doit être employée que pour le fer de médiocre qualité et non corroyé ; c*est ce qui résulte du tableau suivant , dû aux observations de M. Walter.

OiSIGEUTIOll DBt MAGHIRES.

FORCE

transmise

par chaque

toorllloa.

NOMBRE de toart

mmute.

des tourillons.

VALEUR de*.

Maehine du bateau le Sphinx

Id. le ÀoniereaUé . . ., /d. la raie de CorbeiU.

Id. la Fille de Nantes,.

Roue faydraul. marchant depuis 4833.. .

koue hydraulique commandant une machine à couper le cbiflTon

Roue hydraulique de Guérigny ^

chevanx.

La roue hydraulique qui donne A; =0^05 commande une machine à papier, et produit par conséquent un travail régulier. Les autres valeurs de k correspondent à des travaux irréguliers, et en partie par chocs ; ainsi la roue de Guérigny, commandant des laminoirs, agit par chocs, atténués il est vrai par un volant, et pour les bateaux, les réactions quelquefois très-violentes de Teau se reportent directement sur les tourillons. On peut donc , suivant que le travail transmis par Tarbre a plus ou moins d'analogie avec celui des machines du tableau, considérer les valeurs 0^05 , 0,709 et 0,758 de k comme suffisantes.

EÉ8ISTANCC DBS MATtlUUX. SOI

Lorsqu'un arbre n*est soumis qu'à un effort de torsion, il suffit que son diamètre soit égal à celui du tourillon; mais dans la pratique il convient de le prendre de i/iO à i/8 plus grand.

Pour le bois, M. Faure rapporte :

i* Que des arbres à 8 pans, de roues hydrauliques, transmettant un effort régulier sans choc, et marchant depuis longtemps sans éprouver de torsion sensible, lui ont donné pour k les valeurs 17, 19 et 25, dont la moyenne* est 20 environ.

2*" Que des arbres de transmission de mouvement à des laminoirs , également à 8 pans, lui ont donné A; = 50 en moyenne, et même Tun de ces arbres, se tordant un peu il est vrai lors de rengagement des barres de fer, mais n'en résistant pas moins , a donné k = 62.

3° Que des arbres ronds de O^ySO à 0",83 de diamètre, formés de h pièces de bois, bien cerclés en fer et entourés de bagues en fonte» mais commandant des marteaux, et étant par conséquent soumis à des chocs violents, ont donné A; = 160; valeur que l'on ne doit pas consi* dérer comme trop grande, puisque l'on remarque encore une légère torsion. Un arbre de G'",?! de diamètre , donnant A; = 95 , valeur minima trouvée, se tordait et se fendillait sous les efforts qu'il avait à supporter. La longueur des arbres de martiaux observés a varié de 6 à 8 mètres.

257. Arbre soumis à la fois à un effort de flexion et de torsion* Dans ce cas, on calcule le diamètre de l'arbre pour résister à chacun des efforts séparément (22/i et 236), et on prend celle des deux valeurs trouvées qui est la plus grande. Si le plus grand diamètre est donné par l'effort de torsion , on prend le diamètre trouvé pour les tourillons , et on augmente de 1/10 à 1/8 celui de l'arbre.

238. Dimensions des balanciers. On peut considérer un balancier comme étant un solide reposant sur un appui placé au milieu de sa longueur et chargé à ses deux extrémités (221) ; on obtiendra donc ses dimensions, en négligeant les nervures, que l'on ne considère que comme une garantie de solidité, au moyen de la formule