E = 8,5 V^3,8 X 0,053 US
Pour une hauteur de pieds'^droits de 4%35 on poumdt Paire E = 3-,2/i/ii*
Glinement des voûteâ en arc de cercle sur leè joints de leurs nais^ sames. Le frottement, par mètre courant, de la voûte sdr 1q /oint de ehaque naissance a pour expression, eti adoptant ici 0,76 pouir ûoelA- Gient de frottement^
0,38 « ^^ — 1^ r» X 2260 kilog.
a est le demi-trc, exprimé en niètrei) ^i caitespeiid I rataisle âu oeiilre cor^lfiODdant i Farc de la voûte , l'arc a éiaut décrit avec an métré pour nfett ; aïosi ,.
pour vn aogle au eentre de tô», on a a = — ^^-rrr — ^-^ == Ô".i36.
La poussée horizontale par inètre courant est, en prenant pour G la valeur consignée au tableau précédent,
Cr* X 2260 kilog.
Pour le système 1^1^% la poussée surpasse le fh>ttement quand
- est égal ou InféHeur à 1,06. Pour les Systèmes / = V, i = ç/; / = 7/, r
l=z%f et / = 10/,' le glissement commence à -=1,15. Pour le système / = i6f et tous les systèmes plus surbaiseés, le i^siNimeiit a itou quelle que soit Tépaisseur de la voûte.
Lorsque la poussée dépasse le frottement, il faut employés* des ti-^ rants, arcs-boutants» etc., capables de résister à Texoèa de la poussée sur le frottement.
Pour leê voûtas en anse de panier, on poufrtt ealculer Tépàlsseui* à donner aux pieds-droits ôomme pour une vodte en are de éercle de mtoe eaverture et de môme flèche (626).
8T6 BEUËME PABTI8.
635. Théorie des voûtes par M. Tïon VîIUrceau, théorie f)ul a valu & SOD auteur l'approbation la plus flatteuse de la part de l'Académie.
Comme le Tait voir ce qui précède, les ingéaieurs et les architectes qui s'étaient occupés de la théorie si délicate des voûtes, supposant conaues les formes de l'iotrados et de l'extrados, Avaient chpi-ché les conditions d'équilibre que ces formes exigeaient, afln d'en conclure le mode de répartitiou des charges le plus favorable à la stabilité. La pratique exigeant une répartition décharges assez rigoureusement détermiuée , on conçoit les difficultés que l'on doit éprouver pour satisfaire le plus convenablement possible aux conditions de stabilité d'une voûte; aussi ces conditions sont-elles rarement satisfaites d'une manière rigoureuse. >
M. Tvon' Villarceau , pour arriver à satisfaire d'une manière certaine, et la plus convenablo» aux conditions d'équilibre, envisage ta question sous un point de vue tout différent : ainsi, prenant précisé* mentpour inconnues les données de la'thé<i#iehablfuelle. Usé propose de rechercher les formes d'intrados pi d'extfados qui assureront la plus grande stabilité d'une voûte destinée & supporter des charges dont le* Intensités et le mode de répartition sont fixés d'avance parles exigences delapratlque.et cela, tout en fixant, à priori, lailëcheet l'ouverture de l'arche. C'est ainsi que le problème se présente ordinairement dans la pratique.
Pour établir ces conditions d'équilibre, M. Tvon Villarceau fait deui hypothèses:
Fig. »»■ D'abord, il imagine que, "sans altérer
".T en rien le poids des vonssoirs et la posi-
\ ^ .j. tlon de leurs- centres de gravité (cette
position suppose les voussoirs infiniment minces et les plans de joints normaux à la courbe ce' passant par les centres de gravité de ces voussoirs), on leur donne la forme indiquée par la flg. 89, c'est-à-dire qu'on les taille de telle manière qu'ils ne soient en contact que suivant les arêtes ou génératrices qui ont leurs pieds sur la courbe ce' des centres de gravité des voussoirs.
Ensuite il fait abstraction du nettement et de la résistance qu'oppose t'adbésiondu mortier au glissement des voussoirs les uns sur les autres, qui du reste ne se développent pas en se conformant aux dispositions indiquées par la théorie.
Il ost évident qun si l'équilibre peut exister dans un système établi suivant ces hypotlitees, il subsistera à /o'Hori lorsqu'on rempliictra le contact des arêtes par celui des plans de Joint, et que l'adhésion des
PONTS BN PIERRE. 877
mortiers ainsi que le frottement pourront prendre naissance, le rôle de ces dernières forces étant de s'opposer au glissement, quand il tend à se produire.
Seulement, il faut remarquer que la pression T, qui se répartirait paiement sur tous les points du plan du Joint, dans le cas où elle passerait par le centre de gravité de ce joint, ne se partagera pas également entre tous ces points , puisque les centres de gravité des faces des voussoirs n^ se trouvent pas sur la courbe cc\ mais se projettent sur les points milieux de l'épaisseur de la voûte. Les centres de gravité des volumes des voussoirs sq projetant plus près de Textrados que ceux des faces de joint, on voit que lorsqu'on remplacera les arêtes de contact par les faces de joint, ia pression par unité de surface sera plus grande vers l'extrados que vers l'intrados., Afais les distances des points de la conrbe*cc' aux points milieu^ des épaisseurs qui leur correspoi)H dent étant très-peti|^, on peut généralement ne pas tenir compte de cette inégale répartition dea pressions; la pression maximum ne différera que très-pep de la pression moyenne. D'ailleurs il suflSira, pour faire disparaître cette inégalité, de refouiller le joint à l'intrados, à une profondeur très-petite, et telle que la courbe des centres de gravité c& passe par le milieu du joint réel ; dans la pratique cette précaution est négligeable.
Il y a un grand avantage à ce que la résultante des pressions passe très-près du milieu de l'épaisseur, et soit en même temps normale au plan de joint ; car si la voûte est soumise accidentellement à des charges auxquelles on n'aura point eu égar^ en fixant les conditions de son établissement, l'action de celles-ci sera, tant que Téquilibre pourra subsister, de déplacer le point d'application de la résultante des près-* sions, eni faisant varier son intensité et sa direction. Or, pour que cette résultante puisse se déplacer dans un sens ou dans l'autre , sans trop se rapprocher de l'extrados ou de Tintrados, ni trop s'écarter de la direction de la normale, il est évident qu'elle doit passer par le milieu de l'épaisseur et être normale au joint lorsque les surcharges dont il s'agit n'ont pas lieu, c'est-à-dire lorsque la voûte est seulement soumise à l'action des forces qu'on a fait entrer dans le calcul de son établissement.
Gela posé, considérant l'équilibre d'une portion quelconque ce' de voussoirs du système de la fig. 89, soient x, y, et x\ y' les coordonnées de c et c\
Les forces extérieures de ce système sont :
T pression agissant en c; T' pression agissant en c' ; â? les poids des voussoirs ;
Ffff les autres forces extérieures -qui agissent sur les divers points du système et pas^ sent par les centres de gravité des voussoirs.
878 8n(lillfi PÂKTIS.
Ces diverses forces étant dans un môme plan, trois des «ix oonditiôaa d'équilibre d'un système i^olide sont satisfaites, et il ne reste qu> Appli-^ quer les trois autres (//t^., 1497 et U99). ^ ^
Deux de ces équations ( 1) et (2) , expriment que la somiâe d*es pi^Jec- f, tions des forcés extérieures sur chacun des axes X, y est'nqlle ; ia troi^'V sième, (3), exprime que.la somme des moments dé ces forces ou dé i leurs composant^s par rapport à un troisième axe»perpendio€d»re aax deux premiers à Torigine 0 est également nulle* '
Sx' *
Tflûa-^rsin(^+\ Fyds+\ d1? = 0. (S)
Jx Jx
s T sia 9—xfT' sin a*— (y T cos « -— y^t'oos «')
+ 1 »P»d#— \ yFa4*+\ xd9 = Ù% * (8)
Jx Jx Jx
L'indice X ùny indique , par exemple, qiM F« est la projection de la force F sur i'axê de« if, et Py celle de F sur r«xe de y.
Or remarquons que ces équations devant avoir lieu po|ir un intervalle quelconque cp', compté sur la courlm des centres de gravité, elles subsisteront epcore lorsque cet intervalle sera infiniment petit et égal à 4^. Daps ce cas, x' deviendra x + 4x, et les quantités a' et T', qui 90nt des fonctions de x', deviendront a + it» , et T + dT, de telle sorte qi^e ro|i aura ^
T'cOSa'-r-T COSa= (T+ dT)C0S(a+ ^a) — T COS a = d (T COS a),
et de même
T' sin a'— T sîn a = d (ï sin a),
tatidjl que le^ intégrales contenues dans ces mêmes équatioas se réduirent à un de leurs éléments.
Bu supposant donc rintervalle cc^ infiniment petit, et ayimt égard aux remarques précédentes, les équations d'équilibre (1) et (3) deviennent s
d(Tcosa)=:F«d*, (A)
d (T sin a) = F,^ 4- dP. (6)
Quant à Téquation (3) , elle pr^nd une forme telle, qu'il est facile de voir qu'elle est une conséquence des équations (k) et (5).
Ces deux dernières équations étant applicables à un élément quelconque de la voûte, elles expriment le^ conditions nécessaires et sufll-*' sautes pour assurer réquilibre du système.
P(WtB EN PmUUt. êl9
t répaisseai* AB de la yoûte ao point dont In coordonDëes sont «et y (flg- 89) ; • I )« pression moyenne tur la face AB, lorsque lea surfaces de conuct sont rétaÛfci. •' I4 pression na^imum par unfté luperficieUe difléfant trèa-peu de i d^pii le '^ joint ABy on peut poser T = ^e/ ; «
'' X la dimension du joint, parallèlement à Taxe de la voûte ^ >. u ' le poids de l'unliède volume des matérlaut dont est construite la voâte; I ' la la^ge^r du voussoir, mesurée suivant la courbe passant par le milieu des épaisseurs des Toussoirs, et diS^rant très-peu de U largeur neaur^ luivtnl U ^ courbe ce' des centres de gravité;
p le rayon de courbure dt ce/ ;
ï I la distance de la çourb^jre' fn mlllett de Tèpalsseur de la Yoète; 3$ la profondeur du refouiUeraent des joints ; a '» la lon|iMl|KF d^^ poçrbe taft pj dêgdl^ de 9Qn élém<m|«' I , f •'♦'■•
on a:
et
T=Xe^^ Tcosa = X6^3-, T8iH« = X€^g^, é- dj ' ds*
dP z=: tak^j s= tùtds (l — -) ? (•)
4*où il Fég9lte, pour équatiOQS d^équilibre» eu substituant ces videurs dans les équations {li) et (5) et divisant tout par X :
On a aussi
d*oa
i=yi2^-(i-5), (8^^)
et ; = ; — .. r — T^' (9) .
a^ay* 8p»
Formqje de laquelle on tire, t>our valeui: approchée aax quA^tit^Birès
du quatrième ordre,
8 le*
ce qui c^firme ce i^'ui a élé avaneé sur la petitesse de la distance de caf au milieu de Tépaisseur de la voûte.
SSO SIXIÈME ^AmTIB.
Les équations il) servent de base à la discussion des diverses queslions que peut présenter la théorie des voûtes.
Questions à résoudre. Les équations (7) contiennent, outre la variable • x^ que ron peut prendre pour variable indépendante, les variables y, e, ^, Fc, Py , qui sont des fonctions connues ou inconnues de x* Or cèi cinq quantités ne sont liées entre elles que par deux équations : on peut donc se donner arbitrairement trois d*entre elles, et les équations serviront à faire connaître les deux autres. Toutefois, on observe que les deux variables F« et Fy n'équivalent qu'à une seule, la force F, qu'on ne peut assigner sans fixer à la fois son Intensité et sa direction, c'est-àr dire sans fixer à la fois ses deux composantes F« et Fy.
On voit qu'on pourra résoudre, à l'aide des équations (7}, six séries de questions qu'on peut écrire analytiquement , étant donnés :
^ et F, 6 et F, y et F, y et e, ^ et ^, s et ^,
trouver respectivement :
y et s, yet<, e et ^ <etF, tetF, y et F.
Il est à remarquer que les trois f remières questions sontdéterminéesy parce qu'on suppose F donnée d'intensité et de direction en fonction de a;, et qu'il reste à déterminer, dans chaque C{(S, deux inconnues au moyen de deux équations.
Les trois derniers problèmes sqnt indéterminés sous la forme donnée ici à leur énoncé, parce que la force F représente deux inconnues: F,, Fy , et qu'il y aurait à déterminer les val«|irs de trois inconnue» au moyen de deux équation^; on devra donc, en outre, se doimer la direction de F, ou l'une de ses composantes , dans pha^un ëe ces trois derniers cas.
Les données qu'on voudra choisir dans le tableau précédent pouvant être établies d'une manière quelconque en fonction de x, on .conçoit que chacun des six cas présentés peut lui-même donner lieu à une infinité de questions.
Première série de questions. Étant donnés t et F, trouver y et e.
Gomme il convient dans la pratique que la-pression par unité de surface soit constante et égale à la pression maximum que l'on peut faire supporter à la pierre, toutes les fois que l'on pourra prendre t arbitrairement, on le choisira de manière à satisfaire à ces conditions.
Quant à la valeur de F, elle dépend des questions qu'on se propose de résoudre.
Par exemple, on peut supposer F = 0, ce qui revient à dire que la voûte que l'on considère ne sera soumise qu'à l'action de son propre poids, ou qu^elle n'aura d'autre objet que de recouvrir un espace dé* terminé.
POMTS EN PIERRE. 881
Dans les ponts , la valeur de F peut être donnée , du moins hypothétiquement
Si la voûte était recouverte d'eau , la valeur de F serait celle de la pression normale , proportionnelle à la profondeur dé la partie considérée de Textrados au-dessous de la surface de Teau. " M. Yvon Villarceau, en intégrant les formules différentielles précédentes, résout d'abord le problème : étant donnés t constant et F = 0, trouver y et e, c'est-à-dire déterminer la forme d'une voûte pressée seulement à pip s extrémités^ et dans laquelle la pression par unité de surface, au contact de cliacun des plans normaux, soit constante et égale à celle qu'il convient de faire supporter aux matériaux.
M. Yvon Villarceau résout ensuite le même problème pour les voûtes qui supportent, outre le poids de leurs voussoirs, une surcharge agissant normalement à la courbe des centres de gravité des voussoirs, circonstance qui ne se réalte^ rigoureusement qu'autant que la voûte est chargée d'un liquide, mais dont on se rapproche pour une surcharge en maçonnerie, semblable à celle des voûtes do ponts par exemple, en appareillant l'extrados s^ivant une courbe continue , et non en redans comme on avait l'habitude de le faire.
Dans un récent travail , M. Yvon Yillarceau a réduit en tables les résultats que fournissent ses formules fondamentales. Ces tables etquel^ques formules empiriques donnent tous les éléments nécessaiircs à l'établissement des voûtes.
Nous terminerons en disant que M. Yvon Villarceau , par l'applica- ;tion de sa théorie à un certain nombre d'arches en anse de panier des ponts les plus célèbres q«i existent, a reconnu que toutes pèchent plus ou moins gravement contre l'emploi économique des matériaux et contre le rapport qui doit exister entre la flèche et l'ouverture. Ce rapport doit, pour les voûtes en anse de panier, rester compris entre 1/3 et 1/a, et ne jamais atteindre ni lune ni l'autre de ces limites, comme on l'a presque toujours fait jusqu'à présent; il doit se rapprocher du 1/3 dans les arches d'une faible ouverture, et du l/û dans celles à grande portée. Au 1/à , les pierres ne sont^ plus assez résistantes ; au 1/3 , les épaisseurs fournies par la théorie devraient, pour satisfaire à toutes les conditions qu'on s'est imposées, recevoir des valeurs considérables, et les pressions dans les joints seraient faibles, ce qui impliquerait un vice d'économie dans l'emploi des matériaux. La forme de plein cintre répond à des charges infiniment grandes, et ne convient par conséquent pas aux arches de ponts. Celle des tunnels s'en rapproche au contraire en raison des charges considérables que leurs voûtes ont à supporter.
M. Yvon Villarceau a reconnu que dans la plupart de nos grands ponts on aurait pu réduire d'un tiers environ l'épaisseur des voûtes qui ont été surbaissées au 1/3, sans faire subir aux voussoirs des pres^
882 «XltaUI PÀKTIB.
sions excédant le dixième, ou môme le quinzième des charges de rupture, et cela, en diminuant convenablement la flèche, ce qui eût permis d'exhausser les naissances sans changer le niveau du pavé de Ja chaussée. Cet exhaussement, joint h la réduction de Tépaisseur i la clef, eût offert au passaj^e des eaux un débouché plus coasidérahle., en même temps quil eût facilité la navigation. Ainsi, au pont de Boanne, les naissances eussent pu être élevée^ de 80 centimètres, et la clef être réduite à 92 centimètres d'épaisseur. Il n'en fallait peuiréte pas davantage pour sauver ce pont de la ruine qui Ta atteint daasle débordement de la Loire.
M. Yvon Villarceau a calculé tous les éléments de trois arches diffi^ rtntes : Tune, dite en arc de. cercle; établie sur les données du pont d'iéna» c'est-à-dire ayant 25 mètres d'ouverture et 3 mètres de flèche, une seconde, aussi dite en arc de cercle, de â5 mètres d'ouverture ei S mètres de flèche ; la troisième en anse de* panier, de Gt mètres d'où- Torture et 16*,25 de flèche. L'épaisseur de 1",86 et la pression borixonlale à la clef seraient les mêmes dans la voûte en anse de panier de 60 mètres d'ouverture que dans celle dite en arc de cercle de hS mètres, La pression dans le joint des naissances serait représentée par une colonne de pierre de 112 mètres de hauteur; ce qui est bien inférieur au dixième de la charge de rupture des matériaux d'excellente qualité, qu'on emploie dans ces sortes de constructions. Une tel!e arche serait la plus hardie qui eût jamais été construite de main d'homme.
AU pont d'iéna, la distance maximum de l'intrados théorique à l'arc de cercle qui existe, et qui a même ouverture et même flèche, est de 1/i centimètres; ce maximum a lieu à une distance horizontale de 1 'axe.de la voûte égale aux 7/10 de la demi-ouverture. Dans l'arche de /i5 mètres, l'écart maximum de l'arc de cercle au-dessous de Tintrados théorique ^est de 30 centimètres, et, comme dans le cas précédent et dans le suivant, il se trouve encore aux 7/10 de la demi-ouverture à partir de Taxe de la voûte. Dans la voûte en anse de panier de 60 mètres d'ouverturei le plus grand écart entre l'intrados théorique et l'ellipse qui a pour grand axe l'ouverture de l'arche e*t pour demi petit axe la flèche, est de UO centimètres.
Les écarts qui existent entre l'exécution et la théorie sont bien rarement négligeables.' Ainsi M. Yvon Villarceau prouve que quand il ^ d'un sixième do l'épaisseur, comme dans la voûte dite en arc de cercle de Af) mètres d'ouvçrture, la pression vers l'extrados devient double de la pression uniforme qui a jlieu sur le joint correspondant dans sa construction, tandis qu'elle est nulle à l'intrados. Dans la voûte en anse de panier, où l'écart de liO centimètres est de beaucoup supérieur au sixième de l'épaisseur de la voûte, le joint tend à s'ouvrir à l'intrados jusqu'^ un^ profondeur de ià centimètres, tandis qu'à Textrados la pression
poirr9 m pierre. 8$>
est égale à deux fois et un dixième celle qui a lieu UDiformément sur tout le joint de l'arche proposée.
Avant de passer à la construction proprement dite des voûtes , nous ferons mention de VEtudesur la stabilité des voûtes, par M. Garvallo, ingéaieur des ponts et chaussées , dans laquelle MM. les ingénieurs et constructeurs trouveront des renseignements théoriques et pratiques bien propres à les éclairer dans rétablissement de ces constructions {Annales des ponts et chaussées , 1853).
B^A-Làconstruction desvoûtes comprend quatre phases distinctes (500): 1** rétablissement et le levage des cintres; 2" Texécuticn de la maçonnerie sur cintres; 3*" le décintrement ; A** les travaux complémentaires qui ne doivent être faits qu'après le décintrement.
Cintres. Les cintres de ponts s'exécutent en charpente. L'espacement des fermes varie de 1",25 à 2",00. A égalité, et môme avec un léger excès de dép|pse , on doit donner la préférence aux fermes pou espacées, lesquelles, étant moins chargées, se prêtent mieux à un décintrement méthodique et gradué. Les couchis se posent joiotifs lorsque les voûtes sont en petits matériaux ; ils forment ainsi une espèce df plancher sur lequel les ouvriers circulent Quand au contraire les voûtes sont en pierres de taille , les couchis sont espacés entre eux . car alor| il suffit qu'au milieu de chaque rang de voussoirs se trouve une file d^ couchis, de manière que tous les Joints correspondent à un espace librv et soient accessibles par-dessous. La largeur des couchis varie de 1 fois à 3 fuis au plus leur épaisseur.
Les fermes de cintres peuvent être combinées suivant trois principes différents : ou bien ces fermes ne sont soutenues qu*à leurs naissances par la maçonnerie, qui supporte h la fois la charge verticale et la poussée horizontale de ces fermes, on dit alors que les cintres son); retroussés; ou bien il existe, d'une ua ssance h l'autre, un cert^jn nombre do points fixes dont l'effet est réellement de partager )a ferine totale en piusieurjf autres de moindre ouverture, on dit alors que les cintres sont^xes ; enfin on emplpie encore un système mixte ^ qui consiste 4 établi^ d'abord les fermes de manière qu'elles puissent 0tre soutenues sur leurs deux naissances seulement, puis à les étayer, pendant la construction , au moyen d'un certain nombre d'appuis fixes. Ou trouve dans cette dernière disposition l'avantage de pouvoir partager en ûeix^ l'efiet du décintrement, en supprimant d'abord les étais, puis en n'enlevaol le cintre proprement dit qu'après le premier effet du tassement.
Quelle que soit la composition d'un appareil de cintre, il est indispensable qu'il soit contre-venté, c'est-à-dire que les fermes soient reliées entre elles par des moïses horizontales ou en écharpe. De plus, il e?t indispensable : 1" d'empêcher le relèvement du sommet des fei-mes au moyen de grandes moises ou de brides partant de ce jsommet ef fixées vers les naissances , et d'ailleurs au Tfioyen dune surcharge
SIXifcn PAHTIB.
provisoire sur le sommet pendant la construction des reins; 2* de rame* ner autant que possible tous les efforts à des résultantes horizontales qui se neutralisent réciproquement , en montant la voûte symétrique^ment des deux côtés à la fois.
Lors de la pose des cintres, la plupart des constnicteurs ont Iliabitnde de donner aux fermes un certain surhaussement, dont Tobjet est de contre-balancer à peu près rabaissement du sommet de la voûte qui peut résulter, tant du tassement du cintre pendant la construction que de celui de la voûte elle-même après le décintrement. Dans Tétat actuel de la science, et quoique plusieurs constructeurs se soient beaucoup occupés de cette question , le mode et la quantité de surhausseroent ne peuvent absolument point être calculés, et , à cet égard , force est d'agir un peu au hasard.
Cet exhaussement des cintres paraît bien motivé par les tassements suivants observés après le décintrement de quelques ponts.
F03fTS.
fTSTÈMB.
OCVEETUEBt.
