PL R6A' A
Pour les autres sections de pièce, il suffirait de remplacer PL par
222. La charge sollicitant une pièce prismatique encastrée par une de ses extrémités , au lieu d'être appliquée à V extrémité de la pièce ^ peut être répartie uniformément sur toute sa longueur. Dans ce cas , ||83 deux formules fondamentales (i) et (2) du n* 220 deviennent
et
, L RI pL» RI ,,.
|pLxL»=:EI/ ou Ç=EI/. (2)
Les lellres L» R , I, n, E et f ont les mêmes significations qu'au n* 930 ;
p charge par mètre de longueur de la pièce ; c'est , par exemple , 1« poidi de chaque
mètre de longueur de la pièce ; pL charge totale ;
— bras de lerier de la résultante du poids total jpL.
En comparant la formule précédente (i) avec la formule analogue (1) du n* 220 , on voit qu'une même pièce peut supporter une charge totale ph^ répartie uniformément sur toute sa longueur, double de la charge P qu'elle supporte quand P est appliquée à l'extrémité de sa longueur, et en comparant la formule précédente (2) avec la formule analogue (2) du n** 220, on voit qu'une même pièce donne, pour une même charge, une flèche/ qui n'est, pour le cas où la charge est uniformément répartie, que les 3/8 de celle produite par la môme charge appliquée à l'extrémité 'de la pièce; ce qui revient à dire que pour produire une même flèche, la charge uniformément répartie doit être au poids unique appliqua à Textrémité de la pièce dans le rapport de 8 à 3.
En remplaçant, dans les formules (1) et (2) , n et I par les différentes valeurs qui conviennent aux formes des sections transversales des pièces , on obtiendra des formules semblables à celles du n*" 220 ; ainsi , pour une pièce prismatique à section rectangulaire, on aura
et
pL« R6A»
2Î^-ËÈ/^ d'où f-M^
RÉSI8TAKCK DBS MATÉmUUX. 281
Pour les données de Tapplication de la page 373, c'est-à-dire pour L = i",50 et pL = 500 kilog., remplaçant les lettres par leurs valeurs dans les formules précédentes, on tire A=0*,i7/i, &=0»,i24 et /=0"»,0031.
225. La pièce peut être chargée d^un poids P appliqué à son extré» mité , et d^un poids pL réparti uniformément sur toute sa longueur* (Ce cas se présente partîcalièrement toutes les fois , qu'outre le poids P, on est obligé de tenir compte du poids de la pièce prismatique). Dans ce cas, les formules (1) et (2) des n** 220 et 222 deviennent, en conservant aux mômes lettres les mômes significations.
PI' + ^ = ^ ou P + ^ L=^, (i)
et
pV W /« . PL\, RI
En remplaçant ti et I par les valeurs qui conviennent aux sections des pièces, on obtient des formules semblables à celles des n*" 220 et 222; ainsi, pour une pièce à section rectangulaire, on a
et
42 (l 4. ^^ M (p4.Pk\L*-^^ d'Où f-AL!i
224. Pièce reposant sur deux appuis placés à ses extrémités. Supposons d'abord que Ton puisse négliger le poids de la pièce , et qu'elle soit chargée d'un poids P placé au milieu de sa longueur. Dans ce cas.
la pièce travaillant comme si elle était encastrée au milieu de sa lon-
p gueur et sollicitée à chacune de ses extrémités par une force égale à ^ ,
toutes les formules posées au n"" 220 se reproduiront ; seulement P sera remplacé par â ^^ ^ P^ â>' ainsi, pour une pièce prismatique , les
deux formules fondamentales (1) et (2) deviendront, en conservant aux lettres les mômes significations.
Un* <*'
et
= El/. (2)
S82 PREMltHB PARTIE.
Comparant ce» formules avoc celles (1) et (3) obtenues n*" 230> on voit qu^ine même pièce snpporte « dans le cas où eUe repose sur deux appuis » une charge quatre fois plus grande que quand elle est seulement encastrée par une extrémité et chargée à l'autre , et que, pour un même poids , la flèche est seize fois plus petite.
Remplaçant n et I par les valeurs qui conviennent aux sections transversales des pièces» on obtiendra des formules semblables h celles pp-» sées au n** 2â0 ; ainsi , pour une pièo«! à seotiion rectangulaire » ûp a
PL RW Zi "" 6 *
et
^^^f d'où /-J^
22S. -Si la charge est unifcynnément répartie sur toute la longueur de la pièce y p étant la charge par mètre de longueur, la charge totale
estpL, dont la moitié est y* • ^^ ^^ formules fondamentales (i) et (2) (22/i) deviennent
et
4x|pL* = EI/. d'Où /-^- (2)
Ces formules font voir que le poids ph est double de celui supporté par la même pièce chargée en son milieu , et que la flèche est les 5/8 de celle produite par le même poids appliqué au milieu de la longueur de la pièce.
Pour une pièce prismatique à section rectangulaire , on a , en remplaçant n et I par les valeurs qui conviennent à cette section (220),
pL' Uh^ 8 ~ 6 '
et ,
226. Si lapièce était chargée d'un poids P au milieu de sa longueur^ et dun poids p par mètre réparti uniformément sur sa longueur^ on aurait (22À et 225) ,
RÉSISTAM» DBS SATtftUUX. 283
PL pL»
et
+ f8><l^^* ^'^ (P + iP^)^ = EV. (2)
Pour une pièce prismatique à section rectan^aire on a donc, en remplaçant n et I par leurs valeurs (220) ,
et
227. La pièce reposant i(n0<mr* sur deux appuis, il peut arriver que le poids unique P qu^ellé supporte soit jrfaoé en un point quelconque de sa longueur. On a alors
l et V disUnees du point d'application de P aux appuis , I + 2' = L.
Pour une pièce à section rectangulaire, on a » en remplaçant n et par leurs valeurs (220),
911' fibh*
di le poids était appliqué m milieu ^ L^ en aurait lar J's ^^
et cette valeur, substituée dans ces deux dernières formules, reproduirait les formules déjà trouvéoi pour ce cas au n"* 22/i.
La pièce étant chargée , en outre du poids P placé en un point quelconque de sa longueur, d'un poids p par mètre réparti uniformément, on a
hWr-T- <»
Pour une pièce à section rectangulaire, cette formule devient, en remplaçant n et I par leurs valeurs (220),
Pour i = P = ^ » c'est-à-dire pour le cas où P est placé au milieu de
la longueur de la pièce , ces deux formules fournissent celles trouvées pour cette manière d'être chargée de Ia>piëce (226).
828. Pièce prismatique dont une extrémité est encastrée , tandis que Vautre repose librement sur un appui. Représentons par
p UD poids placé en un point quelconque de la pièce ;
p une charge par mètre répartie uniformément sur la longueur de la pièce ;
L la longueur de la pièce ;
l et V les distances respectives du point d'application du poids P au point d'encastré-*
ment et au point d'appui ; q la pression exercée par la pièce sur le point d'appui.
Pour un point quelconque pris sur Z, on a, en désignant par x sa distance au point d'encastrement , et en supposant que la section de la pièce est rectangulaire (220),
SI le point est pris sur l', et à une distance x' du point d'encastrement, le moment de rupture est, en supposant la pièce à section rectangulaire ,
On a
3i?L PZ»
Suivant que P ou p sera nul , la valeur de q se réduira respectivement au premier ou au deuxième terme du second membre de cette équation; ainsi, supposant P = 0 , on a
3pL
et la formule (a) devient RI Uh*
Ce qui fait voir jque pour les points qui donnent a: = L eta; = -, le
moment de rupture est nul ; ainsi, pour le point qui repose sur Tappui
et pour celui situé à la distance a;= ^ du point d'encastrement, la
charge p pourrait être infinie ; ce dernier point est celui d'inflexion de la pièce : c'est le point analogue au point M (fig. 56, n** 229).
