CC"=^CC

Si l'on augmente encore la largeur du massif jusqu'en p, il n'y aura pas de pression sur da, et le massif additionnel b^jd tendra à être soulevé-et à se détacher de l'ancien suivant la direction bd.

Remarque pratique. Dans l'application, si la distance CB (fig, 282) est plus petite que le 1/3 du joint AB, on admet que la longueur intéressée à la répartition de la pression R est 3CB = rf. Il en résulte que la pression msgcima en B est par mètre carré :

Il est d'usage que la distance d de la résultante R à l'arête B, la plus proche, ne soit pas moindre que le 1/4 du joint AB. S'il en est ainsi, il faut nécessairement augmenter la longueur AB du joint.

1335. Courbe des pressions de Méry (1318). Lorsqu'une voûte est en équilibre de quelque manière que, sur chaque joint, la pression se répartisse sur ses divers points, Tensemble des pressions partielles donne une résultante unique appliquée en un point du joint ; ainsi, par exemple, pour le joint CD {fig. 284), cette résultante, que nous désignerons par r, sera appliquée au point N; sur chacun des autres joints cd^ dd\ etc., il existe des points 7i,n', etc., analogues à N. Tous ces points déterminent une courbe KN, que Méry a appelée c^owrbe des pressions (1318).

La résultante des réactions des divers points d'un joint quelconque étant nécessairement appliquée à l'intérieur de ce joint, con^me de plus elle doit faire équilibre à la résultante des forces qui sollicitent la maçonnerie qui s'appuie sur le joint, celte seconde résultante doit être

égale et opposée à la première et par suite rencontrer le joint aa même point intérieur. Or ce point appartenant à la courbe de pression, on est en droit de conclure que la voûte est en équilibre si cette courbe est partout intérieure à son profil, que les points faibles sont ceux où elle s'approche le plus de la paroi, et que Téquilibre est rompu dès qa*elle sort du profil, soit intérieurement, soit extérieurement.

La résultante r des pressions sur un joint quelconque CD à la base, à gauche, a pour composante horizontale la poussée Q qui agit aa point K au sommet, laquelle reste constante pour tous les joints, et pour composante verticale le poids p^ de la demi-voûte ABDG portée par le joint CD, poids appliqué au centre de gravité de cette demi-voûte; on a donc, en prenant les moments par rapport au point N (Int. 1565; :

Q poussée horizontale au sommet de la Yoûte ;

K origine des axes, c^est le point d'application de la poussée horizontale Q de Ii

YOÛte ; y, X coordonnées du point N (comptées de haut en bas pour les y et de droite k ganclw

pour les x) ; ^ abscisse du centre de gravité de la partie de voûto considérée A B C D.

p et^ étant des fonctions de x, on peut considérer Téquatioa :

comme étant celle de la courbe des pressions, puisqu'elle ne contient que les variables y et x. Difi'éremment, on obtient :

di~Q^QL^'^^^c5""^dîJ*

3^ étant rinclinaison de la tangente à la courbe des pressions et^

celle de la résultante, on voit que la résultante n'est tangente à la courbe des pressions qu'autant que Ton a :

, -.dp dÇ ^

Dupuit démontre qu'on peut supposer qu'il en est ainsi quand les joints sont verticaux, ou bien si les joints sont inclinés, le poids pest graûd relativement ; ce qui a lieu pour les assises situées vers le bas (1341, 1342).

Quand la tangente à la courbe des pressions coïncide avec la résultante, elle rencontre V horizontale KX, menée par le point d'application de la poussée, au même point que la verticale passant par le centre de gravUè de la partie de voûte supérieure au joint considéré, .

La résultante des pressions sur un joint quelconque s'exerçant à peu près suivant la tangente à la courbe des pressions, cette courbe, par son inclinaison sur les divers joints, sert encore à faire connaître les joints où le glissement est à craindre, a étant l'angle que fait la direction àe

STABILITÉ DES VODTES. "

la résultante r avec la normale au joint (/n^ 1650), Teffort qui agit suivant la direction du joint pour produire le glissement est r sin a, l'effort normal au joint est. rcos«, et 0,76 étant le boefficient de frottement de la maçonnerie (58), on doit avoir, pour qu'il y ait stabilité, en négligeant la cohésion :

r sin a < r cos a X 0,76 ou tang a < 0,76.

IlemaTqiJue. Gomme la courbe des pressions est la même pour toute la voûte que pour 1 mètre dé longueur mesuré suivant les génératrices, il suffit de considérer 1 mètre de longueur d« voûte ; il est évident ue les conditions de stabilité sont les mêmes pour 1 mètre de voûte que pour la voûte entière (1314). On peut abréger encore les opérations du tracé de la courbe des pressions, en remarquant que les poids des voussoirs sont proportionnels à leurs profils, et que les voussoirs ont les mêmes centres de gravité que ces profils ; après avoir opéré ainsi, il suffit de multiplier par 1 mètre et par la densité de la maçonnerie les poids trouvés et les valeurs de Qet de r qui en résultent, pour avoir les valeurs réelles des poids et de Q et r.

1336. Soit à tracer la courbe des pressions passant par lepoint d'application K de la ponssée horizontale Q sur le joint yertical de la clef, et par un autre point N pris sur le joint de naissance ou sur tout autre joint ifig. 284). Par le centre de gravité du voussoir ABDC qui surmonte

le joint passant par le point choisi N, sur la base CD, on trace une verticale qu'on prolonge jusqu'à l'horizontale KX en g^^ et l'on mène* ^,N; sur la verticale, à partir du point g^^ on prend une longueur g^'p^ proportionnelle au poids de ABDC ou à la surface de son profil, et le paraUélogramme g^^^, gjà représente à la môme échelle là pdussée Q «t gj^, la résultante des pressions sur lé joint CD, i^ésiiltante qai est appliquée en N. Ayant Q, il devient facile de déterminer le point n qui «ppartient àla courbe des pressions sur un autre joint quelconque cd, près de la clef, par exemple. Ainsi on mène une verticale g^y^ par le centre

de gravité du voussoir XBdc; on prend» à partir du point ^„ g^ égal à la poussée g^Q et g^p^ proportionnel au poids de ce voussoir ou à son profil; on termine le parallélogramme g^^q^ et la diagonale g^, qui représente en intensité et en direction la résultante des pressions sur le joint cd, rencontre ce joint au point n qui appartient à la courbe de pression. En opérant ainsi, on trouve autant de points que l'on veut de la courbe de pression, même des points situés au-dessus de CD. Raccordant ces points par une courbe continue Knn'N, on a la courbe de pression avec une exactitude suffisante pour la pratique. La loi de continuité qui lie entre eux tous les points de la courbe de pression permet d'en faire le tracé complet

Le tracé de la courbe des pressions Rnn'N exige qu'on détermine d'abord les centres de gravité des parties de voûtes supérieures ani joints considérés c<2,GD..., ou mieux les projections ^2, ^e*** ^^ ces centres de gravité sur l'horizontale RX. On facilite beaucoup la recherche de ces projections, en divisant la voûte en voussoirs égaux, lorsque c'est possible (côté droit de la figure 284), en déterminant les centres de gravité 1, 2,3... de ces voussoirs, et en projetant ces centres de gravité sur l'horizontale menée par K. Pratiquement, cette recherche est laboriease; mais on peut tracer chaque profil sur un carton ; puis, l'ayant décoapé» on le suspend successivement par deux de ces sommets. On place sor ce carton les deux verticales passant par les points de suspension; l'intersection des deux lignes tracées est Je centre de gravité du profil considéré.

Cela fait, prenant ^i^s= ô^i^? ^^ pointas, milieu de la distance

horizontale ^^2, est la projection du centre de gravité de l'ensemble des

deux premiers voussoirs; prenant ensuite g^g^ = -^gi^y le point ^3 est

la projection du centre de gravité de l'ensemble des trois premiers

voussoirs; de même, prenant 5r^4 = ^^, 4, puis gK9%=^9k^9 etc., on

a les projections ^4, g^^ etc., de l'ensemble des 4, 5, etc., premiers voos» soirs. Si les voussoirs sont inégaux, on détermine directement lem^ centres de gravité.

Il conviendra de raccorder les centres de gravité par une courbe continue, qui pourra rectifier les erreurs commises. Si la voûte est circulaire et extradossée parallèlement, la courbe 1, 2, 3... passant par les centres de gravité des voussoirs est un arc de cercle ayant le même centre G que l'intrados et l'extrados. Cet arc de cercle coupant les bissectrices des voussoirs à leurs centre3 de gravité i, 2, 3..., il s'agit donc d'en déterminer le rayon.

D'abord la surface abb'd du profil d'un voussoir est égale à la sa^ face du secteur Oab moins la surface du secteur Oo'^, c'est-à-dire à (Int. 724)

«E longueur de Tare ab;

r rayon de cet arc ;

û' longueur de l'arc a'b' ;

r' rayon de cet arc,

ou, en remarquant que a! = a^^ l'expression précédente devient :

Le moment de cette surface par rapport au point 0 est égal au moment du secteur Qàb moins celui du secteur Oa'6' (Int. 1599). Ce moment a pour expression :

d'où Ton tire, en remarquant que c* =^c — et simplifiant :

r^ rayon 06 de l'arc 1 2 3..., reliant les centres de gravité des voussoirs ; c longueur de la corde soutendant Tare ab ; c* longueur de la corde soutendant l'arc a!b\

Si r = 10", / == 9™, et que a soit le sixième du quart de la circonférence, la formule précédente donne r^ = 9~,483, en remarquant que

<i=-^7:r = 2"^,6180 et crsgsîn^a xr = 2x0,13053 X i0 = 2»,6106.

1337. Autre tracé de la courbe des pressions. Il découle de la construction précédente de la courbe des pressions KN (fig. 284) que cette courbe est déterminée et peut encore être tracée par le procédé précédent :

l"" Quand on a la poussée horizontale Q et son point d^ application R;

â^ Quand on a un point quelconque n' et T intensité de la poussée

horizontale Q (fig. 285}. La position du point d'application R de cette

poussée Q est déterminée par l'équation (1335) :

Qy'=p'(x'-f),

d'où: y' = |(x'-?).

^ ordonnée du point n' ; le point K est déterminé par la valeur de y\ puisque n' est connu;

x' abscisse du point n* ;

p* poids de la partie de voûte ABc?'c';

\' abscisse du centre de gravité de cette partie de voûte.

Ayant Q et son point d'application, on trace la courbe de pression comme au n» 1336.

Fig. 285.

SIIIËME PUtTIE.

tond un a deux point* quelctmqitet a' et d {fig. 283). Od a respec- 3( pour chacun de ces pcHols :

y'-y -p-ii^-fi-iK^-îi*

fera connaître y' e( par suite la situation de l'horizontale de XK

: du point K.

it le point d'application K de la poussée Q, on trace la courbe d»

ns comme à l'ordinaire (1336).

après Dupuit, si la voûte est complète (en plein cintre ou elliptique), la courbe de pression KN [fig- Ï8(] est tangente à l'intrados en un point B titué au milieu de la montée (Be = (0). Le — ^ point G, qui détermine le joint de rupture 9^, reste le même pour une voûte incomplète dont la naissance CD n'est pas au-dessus de î; mais si le point D s'élèïe au-dessus de S, la courbe de pression passe par D, qui devient point de rip-

[ ■--. ' ture.

i"~ ■" Menant alors au point E une tangente

à l'intrados, elle est aussi tangente à 1» des pressioDS, et par suite le point g, où eQe rencontre la verti-

issant par le centre de gravité de la partie de voûte AB6y, se trouye

lorizontale passant par le point d'application K de la poussée

1341 et 1342). Ayant le point K, on trace la courbe des pressions pir

^dé ordinaire (1336). Comme vériflcalion, les points 8 et fr doivent

r l'équation (1335):

■fiy = pCi-5).

DE L\ STABUJTÉ DES 1USÎ1F9 E}( KA(ONN£tlIE.

. Condition de stabilité d'an massif de maçonnerie ABDC qui n'nt jg^ soumis qu'à l'action ds la pesanteur {fig. 287). Si ce massif est bomogène, il est en équilibre sur une base CD tant

-7^ que la verticale menée par son centre de gravité Gpsw

,' I entre les points C et D, mais suivant un autre plan MN, . / j appelant :

■\ -'-~\ P '* poids de I> macoaneria iltnée iD.d«uus de UH; 1 I a l'sngle que forme Sffl arec l'horizontilB ; J Ip / le coefficient de frottemeot,

;e qui tend à faire glisser la partie supérieure sur la partie la^est psina, et, en faisant abstraction de la cohésion, la force qm

STABILITÉ DES VOUTESJ

tend à la retenir est /pcosoc; par suite, la dislocation s'opérera suivant MN dès qu'on aura (1335) :

psina>^cosa ou tanga >/.

Gomme tanga atteint son maxin^um pour le plan GB, il en résulte que s'il y a équilibre pour ce système de division, l'équilibre subsistera pour tout autre système.

Si le massif, au lieu d'être homogène, est formé d'assises inclinées parallèles à MN, comme / devient moindre dans cette direction que dans toute autre, il suffit alors de s'assurer, a l'aide de la formule précédente, que l'équilibre existe dans cette direction pour être sûr qu'il n'y aura pas dislocation suivant une autre direction quelconque, puisque cette dislocation ne peut se produire que par la rupture des pierres suivant une ligne brisée et en provoquant un frottement considérable.

La résistance à l'extension étant beaucoup plus petite dans les joints d'un massif de maçonnerie que partout ailleurs (1332), le constructeur doit déterminer la direction de ces joints de manière qu'ils soient normaux à la pression, afin que dans toute leur étendue ils ne soient soumis qu'à une compression. Ainsi, dans le cas d'un massif soumis seulement à l'action de la pesanteur, les assises doivent être horizontales.

1339. Conditions de stabilité d'un massif ÂBDG {fig, 288) rectangulaire dont l'assise supérieure est soumise à l'action d'une force horizontale Q. Pour abréger les calculs, nous appliquerons la remarque du n* 1335; ainsi nous prendrons pour Q la poussée totale contre le massif divisée par la longueur du massif en mètres, mesurée suivant l'axe longitudinal de la voûte, et les poids des assises seront calculés pour un mètre de longueur dans le sens de cet axe.

Le massif étant composé d'assises horizontales, que nous supposerons égales, le centre de gravité de l'ensemble d'un nombre quelconque d'assises se trouve sur la verticale gQ menée par le centre de gravité G du massif; le poids de cet ensemble est une force agissant suivant cette

verticale, et ce poids est proportionnel à la hau* teur de l'ensemble. Ainsi, en suivant la marche générale indiquée au n* 1336, gp^ représentant le poids de la première assise ÂB^I ; prenant, à la même échelle, gjp égal à Q, la résultante gr^ de ces deux forces représente, en grandeur et en direction, la résultante des pressions sur le joint ie, et le point r, appartient à la courbe de pression. Pour l'ensemble des deux premières assises, le poids est gp^^ 1^ résultante gr^ de ce poids et de la poussée horizontale constante gq est la résultante des pressions sur le joint Se', et le point r^ appartient à la courbe de pression. On obtiendrait de même d'autres points r,, r^.., N de cette courbe, qui est, d'après la construction, la verticale passant par le point r^ , ou

même par le point q lorsque gp^ représente le poids de la première assise.

D'après cette construction, si Q = 0, la ligne de pression gN se confond avec la verticale ^G menée par le centre de gravité du pilier, comme cela devait être.

La courbe des pressions gN, que Ton peut tracer dans ce cas dès qu'on en connaît un point, si' cette courbe ne sort pas de la surface des assises, cela indique qu*il ne peut y avoir renversement d'aucune partie du massif (1335). Gela ne suffit cependant pas pour l'équilibre, il faat encore que la composante Q soit insufiisante pour iaire glisser une partie quelconque du massif sur l'autre, et qu'on ait par conséquent :

Q <fp + T^-

/ coefficient de frottement ;

p poids de la maçonnerie située au-dessns du joint considéré ;

y coefficient de coliésion ou résistance que la cohésion oppose au glissement pir

mètre carré de surface ; l suiface du joint.

Le second membre de cette inégalité, c'est-à-dire la résistance au glissement, augmentant avec p, cette résistance augmente d'assise en assise depuis le haut du massif jusqu'en bas; ainsi, en s' assurant que cette inégalité se vérifie pour l'assise supérieure, on sera sûr qu'elle se vérifierait à plus forte raison pour les autres assises.

Il reste encore à examiner la question de l'écrasement. Puisque la ligne de pression gN est partout à égale distance de la paroi AC, il est évident que c'est dans les assises inférieures que l'écrasement peut d'abord se produire. Il faut donc vérifier si l'on a :

R résistance de la maçonnerie à la compression ; P poids du massif; d distance GN.

Gette inégalité est conforme à réquation'(6) du n** 1334, dans laquelle R est remplacé par P, P par R et 3d par c.

En admettant toutes ces conditions remplies* on ne doit pas encore en conclure que le massif se maintiendra en équilibre, parce que, à cause du peu de distance de la ligne de pression à la paroi AG, la pression se répartit inégalement sur la surface des assises, ce qui tend à disloquer le massif. Ainsi, d'après le théorème développé au numéro 1334, menant à droite de çN la verticale g'N' telle que Xq' = 3 A^? cette verticale sépare dans chaque assise la partie pressée de celle qui ne l'est pas. A droite de g'N', les joints tendent à s'ouvrir, comme nous l'indiquons en st et uvy en exagérant les résultats pour les rendre appréciables à l'œil. Si le massif est composé de pierres de taille, les assises peuvent rester dans leur position première, surtout si une fois l'efifet produit on a eu le soin de garnir les joints; mais si le massif était composé de maçonnerie de petits matériaux, les portions d'asrsises soulevées, telles que suvt, ne pourraient se soutenir, et une dis-

jonction s'opérerait suivant une ligne telle que ehK, Cette disjonction étant opérée, le massif résistant ne serait plus que AB^M'C, et il y aurait lieu dç déterminer les nouvelles conditions d'équilibre relatives à ce massif (1335). Or, il arriverait certainement que dans Thypothèse admise pour Fintensité de la fqrce Q et pour le poids de la maçonnerie, la courbe de pression sortirait du massif; ce qui est Tindice du renversement.

Nous ne pousserons pas plus loin Texamen des conditions de stabilité de l'exemple de la figure 288; nous n*avons voulu que faire voir comment sous l'action de forces extérieures et par suite du défaut de cohésion de ses parties, un massif de maçonnerie pouvait se trouver disloqué et devenir par là incapable de résister soit au renversement, seit au glissement. Nous aurons Toccasion de revenir sur cette observation, qui a une très grande importance pratique (1395).

1340. Variation de la courbe des pressions avec la direction donnée anz plans de joint. Nous venons de supposer le massif composé d'assises horizontales. Non seulement cette condition n'est pas nécessaire pour l'équilibre, qui peut exister avec une infinité de systèmes d'assises; mais la direction à donner aux joints est une des inconnues du problème à résoudre, et il est essentiel de se rendre compte coçiment cette direction fait varier la courbe des pressions.

Afin de rendre la comparaison plus facile avec le cas précédent, supposons le massif divisé en parties équivalentes par un même nombre de joints inclinés (^g, 289). Menons la verticale g^p^ par le centre de gravité de la première assise, et supposons que ÇiPi représente encore le poids d'une assise; prenons à la même échelle g^q^ égal à Q; la diagonale ^,r du parallélogramme de ces deux forces représente la résultante des pressions sur le joint Ai, et le point n où elle rencontre ce joint appartient à la courbe de pression. La résultante ^jr étant égale et parallèle à la résultante gr^ obtenue pour le cas de la figure 288, on voit qu'on peut obtenir le point n en menant simplement par gi une parallèle à gr^. De même g^y g^., étant les projections

sur la direction de la force Q des centres de gravité de Tensembie des 2, 3... premières assises, on obtient les points n', n" .,. de la courbe de pression sur les joints 22, 33..., en menant par ces projections des parallèles à gr^^ gr^*** Conformément à ce que nous avons dit au numéro 1336, {^g. 284), la projection g^ s'obtient

en prenant ^Tj^g = - g^g^ celle g^ en prenant

Fig. 289.

92 9z = ^ff29i et ainsi de suite. La courbe des

pressions hnn'^ ainsi obtenue n'a de commun que le point N avec la ligne des pressions gN fournie par les assises horizontales, et l'on voit qu'elle s'incline d'autant plus vers BD que les

1866 S[X1ËHE PARTIE.

assises sont plus inclinées; de sorte qu'en la traçant pour des assises verticales, elle aura le maximum d'inclinaison qu'elle peut prendre.

1341. Courbe des presBions dans le cas9tilea assises sont verticales. Supposant le massif dirisé eu autant de parties égales que dans les deux figures précédentes, mais verticales, en raisonnant comme su numéro 13ii, par le milieu g„ de l'épaisseur de la première assise et

FîR. 190. projection du centre de gravité de cette assise

. sur la direction de la force Q, menons ff,r parallèle à gr,, cette droite rencontre le joint 1 an point n qui appartient à la courbe de pressioD. Menant de même par la projection jr'i du centre de gravité de l'ensemble des deux premières assises une parallèle à ^r„ elle détermine surie joint 8 le point n' appartenant à la courbe de pression. En déterminant de même les points de cette courbe situés sur les joints 3, 4..., on peut la tracer.

La courbe des pressions Bnn'N ainsi obtenue ' pourlecas d'un massif formé d'assises verticales

est une parabole. En effet, supposant que le poids de chaque assise sollicite de bat en haut uu câble Bnn'N tiré homontalemeot par une force Q (fig. 291), les tensions aux divers points du câble seront égales F[g. îsi. aux résultantes des pressions sur les

p, . o assises, puisqu'on les obtient par 11

Q ''f "'Siy^S'"^. 0 même construction. Ainsi le point « I L^^%f"t' " Tu de la courbe de pression est donné

|„. ,^^__~1~^' P' I par la diagonale y,r, résultante des

ry^ j^pQ I pressions sur le premier joint, et la

^ ' tension du câble en ce point est re-

présentée par la diagonale np, qui est égale et directement opposée à Çit; de même au point n\ la tension n'p' du câble est égale et directement opposée à la résultante g^r' des pressions sur le second joint, et ainsi de suite.

Dans ce cas particulier, les résultantes sont tangentes àla courbe des pressions, ce qui n'a pas lien quand les joints sont inclinés par rapport à la verticale. Ainsi, quand les joints sont horizontaux {fig. 288), les résultantes gr,, gr^..., qui partent toutes du même point g, coupent plus ou moins obliquement la ligne de pression ^N.

1342. L'équation générale de la courbe des pressions a fourni à Dupuil une démonstration analytique de cette propriété du système de joints verticaux (1335).

Oupuit démontre que la condition géométrique nécessaire pour qoe la résultante des forces qui agissent au-dessus d'un joint soit tangente à la courbe de pression, c'est qu'en un point quelconque cette courbe ait la même abscisse que l'assise élémentaire qui contient le point considéré, condition évidemment satisfaite quand le joint est vertical. Dans ces circonstances, la courbe dé pression est une chaînette, en étendant

cette dénomination aux courbes données par une chaîne flexible et pesante, quelle que soit la relation entre le poids et la longueur.

Quand les .deux abscisses diffèrent Tune de l'autre d'une certaine quantité, la tangente à la courbe des pressions et là résultante du poids et de la poussée font entre elles un angle; mais si cette différence est petite comme pour un joint vertical ou presque vertical, ou si le poids p est grand par rapport à dp^ ce qui a lieu pour les joints les plus bas, la tangente à la courbe de pression ne diffère pas beaucoup de la résultante du poids et de la poussée. Il y a donc une grande analogie entre la courbe des pressions et la chaînette, et, dans beaucoup de circonstances, l'assimilation de ces deux courbes facilite la recherche des conditions «d'équilibre des massifs de maçonnerie.

1343. C'est à ce point de vue que s'est arrêté Dupuit sur ces propriétés de la courbe des pressions, car la condition que la résultante soit tan^ gente à la courbe des pressions n'a pas une grande importance pratique (4* du n« 1337). Ce que le constructeur doit plutôt rechercher, c'est que la direction du joint soit normale à la résultante des pressions, parce qu'alors tout glissement du massif sur le joint devient impossible. Or cette condition est facile à remplir, car la direction de la résultante sur un joint ne dépendant que du poids de la partie supérieure du massif, elle peut être déterminée d'avance. Ainsi, par exemple, dans le massif de la figure 288, les directions gr^ gr^,.. de la résultante appartenant à tous les systèmes de joints qui partagent le massif en huit parties équivalentes, si dans le massif de la figure 292 on mène à ^r, une perpendiculaire l'I' séparant un triangle l'Bl' égal au huitième du rectangle ÂBDC, on a le premier plan du joint; le second plan de joint est déterminé par la perpendiculaire 2' 2' à gr^ séparant le quart de ce rectangle, et ainsi de suite. Du reste, pour le cas simple du massif de la figure 292, on obtient les joints inférieurs au premier en menant, par les milieux des joints horizontaux, des perpendiculaires aux directions des résultantes.

Une fois le massif divisé en un certain nombre de parties équivalentes, on détermine par la marche suivie figure 292, le centre de gravité du massif situé au-dessus de chaque joint, on le projette en g^, g^,„ sur la direction de la force horizontale Q, et par la projection obtenue on mène la direction de la résultante, qui détermine le point de la courbe des pressions sur le joint. En procédant de cette manière pour un certain nombre de joints, on tracera facilement la courbe des pressions 6n7i'...N correspondant aux joints l'I', 2'2'..«, normaux aux directions 9 1^1 g^ ••• des résultantes des forces qui agissent sur les joints.

Si les autres convenances de la construction le permettent, c'est évidemment la meilleure direction à donner aux joints, puisque la

Fig. 292.

l'^l/si^i BL

1868 SIXIÈME >ÀRT1E.

résultante des pressions leur étant normale, aucun glissement ne peat s'y produife («338).

Les figuces 288 à 292 montrent que la courbe des pressions dans on même massif varie avec Tinclinaison des joints ; ce qui tient à ce qu'elle ne représente pas Tétat physique du corps, qu'elle n*est qu'un lieu uniquement 4éterminé par des considérations géométriques qui varient avec rinclinaison des joints. En traçant de même la courbe passantpv les centres de gravité des assises ou voussoirs, elle varierait égalemeol avec le système de joints.

1344. Les courbes que nous venons de déterminer {Jig. 2S8à29t supposent que chaque assise forme un monolithe non susceptible de» diviser; mais si elles sont formées de petits matériaux réunis pardi mortier, il y aura tendance à la disjonction dans toute la partie située adroite de la courbe BAA'N' {fig. 292), obtenue en prenant surcha([iK joint une longueur nh égale à deux fois ni' (1334). Le massif devra alon •être considéré comme réduit à la partie oti la pression existe, et ilf aura lieu de rechercher la courbe des pressions correspondant à cette hypothèse, ce qui peut conduire à modifier la forme du massive manière que la courbe des pressions passe au milieu ou près du miiieii des assises. Lorsque cette condition est satisfaite^ l'équilibre ne pert plus être détruit que par l'écrasement des matériaux, qu'on prévieutei donnant aux joints une surface convenable (1333).

1345. Considérons maintenant le cas où le massif est sollicité par fi* sieurs forces horizontales agissant sur sa face verticale BD {fig- ^ et, pour fixer les idées, supposons, ce qui est le cas de la poussée da terres, que ces forces agissant sur tout BD soient représentées par les abscisses de la ligne BF. La résultante de ces forces est une force hoiizontale Q représentée par l'aire du triangle BDF et agissant au point' situé aux deux tiers de BD. Supposant un système de joints verticaoi) «cette résultante Q pourra être considérée comme appliquée surlapifr mière assise en restant constante pour les autres assises, de manièrt

à déterminer dans le massif une courbe iî pression B'N qui est une chaînette (1342), s A ^ ? P qu'on trace comme celle BN de la figure 2îl

La ligne g^ représente, comme dans »

figure 290, la résultante des pressions surh

base CD du massif. |

Pour tout autre système de joints, la foi^ !

\ ^ Q devient variable par son intensité et mèfl»

par son point d'application, et alors lai**

\y I \ sultante des pressions sur chaque joint n'e»

L l j ..\ plus, comme dans le cas précédent, tangeûl^

à la courbe de pression. Pour tracer cew courbe, commençant par l'assise supérieure, on cherche par lesrèp de la statique la résultante de toutes les forces qui sollicitent celt8 assise, et le point où cette résultante rencontre le premier joint est b» point de la courbe. Procédant pour la seconde assise comme pour*

première, en supposant celle-ci enlevée et considérant îa résultantedéterminée par la première opération comme une force appliquée sur le joint supérieur de la seconde assise, on compose cette .force avec lepoids de la seconde assise et avec les forces qui peuvent lui être appliquées, et Ton obtient la seconde résultante, qui donne un nouveau point de la courbe sur le second joint. On opère de même pour la troisième assise, et ainsi de suite. Au lieu d'opérer ainsi, on peut regarder comme ne formant qu'une seule assise toutes celles qui sont au-dessus du joint que Ton considère; cette méthode, que nous avons appliquée dans les exemples qui précèdent, est plus simple que la précédente.

Si la courbe des pressions ne sort pas du massif, celui-ci est en équilibre, et la courbe des pressions donne sur chaque joint le point d'application de la résultante. Il ne reste plus qu'à examiner si cette force n'excède pas la résistance des matériaux (1333, 1344). Si la courbe de pression sort du massif, ce dernier n'est plus en équilibre, et il y a lieu d'en changer la forme. La courbe indique même dans quel sens cette forme doit être modifiée, puisqu'il n'y a qu'à renfermer cette courbe dansle nouveau proûl. Gomme en changeant le profil, la courbe change aussi, il y a par suite une petite vérification à faire.

1346. Girconstances da mouYement qui se produit dans un massif qui n'est pas en équilibre. Quand la courbe dite des pressions sort du massif, elle n'indique plus le passage des résultantes sur les joints (1336). Dans ce cas, cette courbe, que nous appellerons statique, n'est plus qu'une construction géométrique, propre à faire connaître si le massif est en équilibre, et de quel côté le mouvement tend à se produire ; mais si l'on veut connaître les circonstances de ce mouvement et comment se comporte la courbe des pressions pendant qu'il a lieu, il faut avoir recours à d'autres considérations que nous allons exposer.

Il semble au premier abord que cette recherche n'ait point d'utilité pratique, puisque les constructions en maçonnerie étant destinées à être en équilibre, on n'a qu'à s'assurer d'avance qu'elles en remplisrsent les conditions; mais certains massifs, tels que les voûtes, par exemple, étant construits sur des cintres, en bois, destinés à les porter jusqu'à leur achèvement, quand on enlève ces cintres, les massifs prenr nenl nécessairement un petit mouvement qui fait naître des réactions moléculaires remplaçant la réaction du cintre. Or, quoique ce mouvement soit très petit, il suffit cependant pour amener dans les massifs une certaine dislocation, qu'il est essentiel de connaître pour se rendre compte des conditions de leur stabilité définitive.

1347. Considérons à cet efifet un massif en maçonnerie simplement soumis à l'action de la pesanteur, et pour lequel la courbe de pression K^^N sort de la paroi dans l'étendue st {fig, 294). Dans toute cette étendue, le mouvement de rotation de la partie ABtic supérieure à une assise quelconque cd est possible; mais ce serait une erreur de croire que le massif, en tombant, va se diviser eii autant de parties qu'il y a d'assises. Si la partie inférieure à cd ét^it un monolithe solide^ il est clair que la partie supérieure tomberait en tournant autour de l'arête^

Fig. 294.

d; mais comme un mouvement semblable peut avoir lieu par rapporta

toute autre assise, il s'agit de déterminer celle autour de laquelle il auratieo. Or, appelant Q la force horizontale qui, appliquée au sommet du massif, dani le sens de la flèche, établirait Féquilibre par rapport à une arête quelconque perpendiculaire, en d au plan deii figure, arête dont Tordonnée est^, ooa:

Qy=:p(x' — x) ou Q = p

ce — I

p poids de la partie de massif, supérieure s

joint considéré ; x' abscisse du profil du massif, à la hauteur d(

ce joint;

abscisse de la courbe des pressions, à cette même hauteur; ordonnée de la droite cd.

* Déterminant la valeur de Q pour chaque joint, celle qui est maxioon

correspond au joint où le mouvement de rotation aura lieu, puisqoe

ce serait le seul mouvement possible.

On a : ' p = pZy,

p densité du massif;

/ largeur moyenne (parallèle à cd) du massif daûs toute la hauteur y,

La relation (a) donne :

ce qui montre que si la largeur / du massif était constante, la maximum de Q correspondrait rigoureusement à celle de i'— x, c'csià-dire au point où la courbe des pressions estlaplus éloignée horizoï' talement de la paroi du massif; or, à moins de donner au massif a»^ forme tout à fait exceptionnelle, il en sera toujours à peu près aiiis> Alors, sans faire aucun calcul pour déterminer la valeur de y laquelle Q est maximum, le profil bien dessiné à une grande donne, avec une approximation suffisante pour la pratique, le point' qui correspond à ce maximum, puisque c'est le point dé la paroi^ massif le plus éloigné de la courbe K5/N, et qui donne par suite la pl^^ grande valeur pour :xf — x.

1348. Considérons maintenant le mouvement de rotation quisepit^ duit autour du point h {fig, 294).

La réaction d'un joint quelconque sur. la partie de massif qui le^ monte est telle que, combinée avec le poids p de cette partie, elle|i^ imprime Taccélération de vitesse qui a lieu dans le mouvement. 1^ qu'il s'agit d'un mouvement de rotation, appelant Ry la eoaiposiB|' verticale de la réaction et E« sa composante horizontale; eo ^ gnant par m la ma^se d'ctn élément matériel du massif coosidéré,P>' . ^ dv

^ — -^ ia composante verticale de son accélération de viW

dt^

et parj«= -~ = -r-^ sa composante horizontale, on a :

R,=p-.Smg, (1)

Rx = Sm -T^ .

L'accélération 7y ayant' lieu de haut en bas, cela motive le terme négatif dans l'équation (1).

Pour calculer les intégrales des seconds membres de ces équations, il faudrait, comme on le fait pour le pendule composé, déterminer la vitesse angulaire au bout du temps t et le moment d'inertie. Ces équations donneraient d'ailleurs l'intensité de la pression sur le joint considéré, en étendant la limite de l'intégration à tout le massif supérieur au joint considéré.

Le calcul rigoureux de la courbe des pressions dynamiques par cette marche serait assez compliqué. On obtient une approximative en traçant une courbe K8 par les points K et 8 qui lui appartiennent. En effet, supposons d'abord appliquée au sommet du massif la poussée Q minimum capable de produire l'équilibre , c'est-à-dire d'amener la courbe K^^N en R'8N' tangentiellement en 8. De l'équation de cette courbe (1335) :

y = ^(a?--Ç), on tire a: = Ç+^,

ou, d'après la valeur (6) (1347), savoir :

pt=pl^, d'où a; = Ç+^. (2)

Pour Q = 0, on a X = Ç 9 ce qui représente la courbe des pressions startiques Kst^; si Q prend une valeur finie, on rentre dans l'équation (2), c'est-à-dire, que l'abscisse augmente d'une quantité à peu près constante. Ainsi l'effet de la force Q, quand elle augmente, est de transporter la courbe de pression statique K^^N à peu près parallèlement à eliemèmey de manière à devenir ILW lorsque Q atteint l'intensité qui suffit à l'équilibre*

Maintenant, la force horizontale R« = Sm -jt, ne produisant que l'équilibre de la partie de msu^sif supérieure au joint considéré, tandis que Q fait équilibre à tout le massif, la première force, qui varie de 0 pour le point K à Q pour le point 8, est, partout ailleurs qu'en 8, moindre que la seconde Q; par suite, la courbe dynamique K8 est située tout entière à gauche de K*^N et adroite de K'8; donc elle est comprise entre ces deux courbes.

Si le massif, au lieu de tourner librement autour de l'arête 8, trouvait en B UQ obsta;Cle d'où naîtrait une force variable q augmentant successivement, l'existenx^q de cet obstacle aurait pour effet de rapprocher successivement la courbe K8 de K'8, position qui amènerait l'équi-

libre du massif en négligeant Teffet de la vitesse acquise, qui ne ferait, au reste, que produire quelques oscillations autour de cette position définitive.

1349. La première condition de toute construction étant d'être en équilibre, on ne peut avoir dans la pratique à se préoccuper des pressions qui se manifestent pendant la chute. Âuss]^ ce qui précède sur les circonstances de la chute d'un massif de maçonnerie (1346 à 1348), suffit pour montrer ce qui se passe dans le petit mouvement que les voûtes exécutent au moment du décintrement, et réduire par là l'iodétermination de la courbe de pression.

DE LA sTAsarré des voûtes en maçonnerie.

1350. Au n<* 1336, nous avons pris arbitrairement le point K à la clef et le point N à la naissance ou sur tout autre joint, et nous en avons déduit d'abord la poussée Q, puis le tracé de la courbe des pressions qui passe par ces deux points. La question qui se présente est celle de savoir si les deux points R et N peuvent être déterminés, ou si Toa peut les prendre arbitrairement; c'est la plus délicate de toutes celles que présente le problème de l'équilibre des voûtes.

Quand une voûte est exécutée avec un système déterminé de joints, la résultante des pressions sur chaque joint rencontrant ce joint en on point déterminé, il n'y a évidemment qu'une courbe de pression qui se réalise, et il serait à désirer qu'on pût la tracer a priori. Mérya exprimé l'opinion que ce n'est que par des considérations sur les effets du tassement qu'on parviendrait à déterminer, parmi toutes les courbes de pression possibles, celle qui doit se réaliser (1319). Nous allons voir que dans le mouvement qui se produit au décintrement, il y a quelque chose de certain, de fixe, qui ne dépend que du profil de la voûte, pois

quelque chose d'incertain qui dépend de la nature des matériaux et du mode de construction ; de sortt que si le problème reste iDdéte^ miné, il ne l'est plus que dans des limites tellement étroites, qu'il of aurait guère d'intérêt pour la pratique à les resserrer davantage (1373).

13S1. Imaginons donc que b voûte de la figure 295 vienne d'être décintrée et que la demi-voûte soit abandonnée à elle-même pendant un temps très court, et étudions It mouvement qui va se produire. A

• l'origine du mouvement, il n'y ai '

SN' N « TNi , o la clef aucune poussée horlîontalCr

et chaque demi-voûte peut è^ considérée comme un massif isolé abandonné à lui-même; par censé-

Fig. Î95.

quent la courbe des pressions statiques KjpPNi , à la partie inférieure de la figure qui se trouve ici tout entière extérieure au massif, est déterminée par la rencontre de la verticale passant par le centre de gravité de la partie de voûte supérieure au joint considéré avec ce joint (1336, 1337); ainsi le point P; où la verticale passant par le centre de gravité G de la demi-voûte rencontre le joint de naissance CD, appartient à cette courbe ; il en est de même du point N^, où là verticale menée par le centre de gravité G' de tout le massif rencontre le plan de la base.

Le tracé de cette courbe n'a d'autre but que d'indiquer le point autour duquel la voûte va tourner; on voit immédiatement que ce sera le point D, ce dont on peut s'assurer en vérifiant si, de tous les points de l'intrados, ce point D donne un maximum pour l'expression (1347) :

Q z=zp ■•

En donnant à la poussée une valeur quelconque q moindre que celle qui prodiuit l'équilibre, on obtient une courbe Ksn plus rapprochée du massif que celle K^PNj, et qui, par suite, indique mieux la position D de l'arête de Totation.

L'arête de rotation D étant déterminée, nous savons dans quel sens la voûte se mouvra, et la trajectoire que suivra chacun de ses points sera un arc de cercle ayant D pour centre. Ainsi les arcs AA' et BB', qui correspondent au même angle au centre D, étant les espaces parcourus par les points A et B dans le même temps très court d^ , le joint AB à la clef prend la position A'B' après ce temps. Les déplacements compris entre les positions AB et A'B' sont proportionnels à l'ac-

ôv 1

<;élération J = -^. pour chaque point du joint AB, puisqu'on a E = -ji^

«t que ^ a la même valeur pour tous ces points; de plus, la pression en chaque point de AB étant exprimée par mj, elle est aussi proportionnelle à -3^> et par suite à l'arc que parcourt ce point pendant le passage de *

de AB en A'B'. La résultante de toutes les pressions dynamiques est donc appliquée au centre de gravité du trapèze AA'B'B, c'est-à-dire en un point K situé un peu au-dessus du milieu du joint AB (puisque la figure ABB'A' est un segment).

1352. Les points R et D étant connus, ces points déterminent la courbe de pression dynamique RDN qui se produit dans le massif au moment du décintrement. Pour avoir une idée sufiisante de son tracé, indiquons la courbe statique correspondant à la valeur de Q qui produit l'équilibre par rapport au point de rotation D (1337). Nous aurons ainsi deux courbes statiques. Tune KjPN correspondant à û = a, et l'autre KDN correspondant à :

i874 SIXIÈME PARTIE.

X et y étant les coordonnées du point D et P le poids du massif supérieur au joint DC.Or nous avons vu |1348) que la courbe dynamiquequi passe par le point D est partout comprise entre ces deux courbes statiques, et que si, au joint AB on suppose appliquée une force g croissant depuis 0 jusqu'à Q, la courbe dynamique s'avancera de plus eo plus vers la courbe statique fournie par Q, avec laquelle elle se codfondra quand on aura q = Q. Eb bien ! c*est ce qui arrive au déciotrement. A mesure que les deux demi-voûtes s*appuient Tune Gontrt l'autre , la poussée g, d'abord nulle, augmente progressivement, et quand elle est égale à Q, l'équilibre s'établit nécessairement, si le déciotrement s'est fait assez lentement pour qu'il n'y ait pas de vitesse appréciable dans la voûte. Si le décintrement avait lieu brusquement, la force q dépasserait la valeur Q qui convient à l'équilibre, et lacourk statique franchirait à gauche du point D. Il n'en est pas de même de U courbe dynamique, qui continue nécessairement à passer par le poiotD, puisque c'est par ce point que le massif supérieur s'appuie sur le massif inférieur.

La courbe de pression statique ayant dépassé le point D dans le décintrement brusque, elle indique que le massif supérieur peut être renversé en arrière. La courbe statique s'éloigne du point D, et par suite la tendance au renversement augmente jusqu'à ce que la vitesse delà voûte devienne nulle. A partir de cet instant, la poussée q diminue, ei la courbe statique se rapproche du point D, qu'elle peut atteindre et même dépasser; cette courbe revient sur elle-même, pour redescendre | ensuite, et se fixer définitivement sur la position qui passe par le poiotD, qui est la seule position compatible avec l'équilibre, après avoir exécaté une série d'oscillations dont le nombre et l'étendue dépendent de Télas^ ticité des matériaux.

1353. Dans l'ancienne théorie (1336), lorsqu'on cherche les conditloos d'équilibre d'une demi-voûte, on remarque qu'elles ne détermioeat d'une manière précise ni Tintensité de la poussée, ni soii point d'application à la clef (1351); d'où il résulte que l'équilibre est compatible aT«f une infinité de courbes de pression, en présence desquelles on n'osf faire un choix. On n'hésite pas cependant à admettre qu'en rendaiil certaines courbes possibles, elles ne manqueront pas de se réaUser< Cela est une inconséquence, et Ton ne doit pas hésiter à dire que ces courbes non seulement ne sont pas probables, mais qu'elles sont ioipo^ sibles. En effet, KLN' étant une courbe partout éloignée de rintrados, il est évident qu'elle suppose une plus grande poussée à la clef qu^'^ courbe dont nous avons démontré l'existence et qui passe par le poi D (1352). Or, quel que soit le mode de déformation de la voûte, on bien obligé d'admettre qu'avant le décintrement il n'y a pas de po et que, pendant cette opération, cette force passe par toutes les Taleu inférieures à celles qu'elle finit par atteindre; d'où il suit qu'av d'arriver à l'intensité qui correspond à la courbe intérieure KLN', a passé par celle qui suffît à l'équilibre. Or, si le décintrement s'op^"^ lentement, il est évident que tout mouvement cesse dès qu'il y a ^9^'

libre, et que la courbe ne s'avance fpas dans l'intérieur; donc aucune courbe telle que KLN' ne peut se réaliser. Si le décintrement s'opère brusquement, sous l'influence de la vitesse acquise par la voûte, la poussée peut dépasser la limite qui convient à l'équilibre; mais réagissant bientôt contre la voûte, elle diminue d'intensité, pour s'arrêter à la force qui suffit à l'équilibre après quelques oscillations, et par suite encore aucune courbe telle que KLN' ne peut se réaliser. Ce résultat est dû à ce que la poussée n'est pas une force quelconque, mais bien une réaction qui ne peut dépasser l'action. Sans doute, si l'on imagine qu*à la clef et au point K on applique une force quelconque, l'équilibre de la voûte sera compatible avec des intensités de cette force comprise entre deux limites faciles à déterminer, puisque les courbes de pression que fournissent ces limites ne doivent pas sortir du massif de la voûte, ni à l'intérieur ni à l'extérieur (1336) ; mais dans une voûte la poussée n'est pas une force quelconque, mais bien la résultante des réactions de chaque demi-voûte sur l'autre. Ainsi, demander quelle force il faut appliquer au point K pour soutenir la demi-voûte est un problème indéterminé ; au lieu que demander quelle compression se produit au point R, centre de contact de deux demi-voûtes qui s'appuient l'une contre l'autre, est un problème tout différent et qui ne peut avoir qu'une solution.

I.a théorie de Dupuit fait disparaître la plus grande partie de l'indétermination de l'ancienne théorie en fixant un des points de la courbe de pression sur l'intrados, dans une position toujours facilement calculable (1361, 1364). La courbe des pressions reste encore indéterminée quant au point d'application de la poussée; mais, d'une part, cette indétermination n'intéresse plus guère la pratique, et, de l'autre, elle est inévitable.

Il est évident, en effet, que le mode et les vices de construction de la voûte doivent avoir une influence dans la détermination de la courbe des pressions, et que toute théorie qui ne leur laisserait pas une place serait par cela même erronée; or, par leur nature, quelques-unes de ces circonstances échappent à toute prévision et à tout calcul. Cependant nous allons faire voir qu'en supposant la voûte construite avec soin, on peut déterminer, sinon le point même d'application de la poussée sur la clef, du moins la région dans laquelle il se trouve suivant les différentes espèces de voûtes, parce que s'il y a dans la voûte des déformations accidentelles, il y en a d'autres qui sont inévitables, mais qui, résultant de la nature des matériaux et du mode de leur assemblage, peuvent être prévues.

1354. Étude des déformations des Yoûtes. Examinons donc ces déformations et cherchons à en apprécier les conséquences. Un léger tassement vertical du point l^ifig* 295) est évidemment sans aucune influence sur l'équilibre de la voûte, celle-ci ne faisant que descendre parallèlement à elle-même ; mais un reculement horizontal de ce même point peut modifier sensiblemept les conditions d'équilibre, parce que ce reculement aura pour effet de diminuer la pression au point B de la clef et

de Taugmenter en A. On comprend même que ce reculenieat puisse être tel que la pression devienne nulle en B; cas dans lequel la résultante de la poussée monterait aux deux tiers de la clef (1334). Enfin, un reculement plus considérable peut limiter le contact au sommet A de la clef, où il se maintiendrait jusqu'au renversement des culées. Ainsi récartement des culées a pour effet de faire monter le point d'application de la poussée vers le sommet de la clef. Or cet écartemént se manifeste toujours un peu, même dans les voûtes ^es mieux construites; car les corps ne résistant que parce qu'ils fléchissent, le point D ne résiste a la poussée de la voûte qu'en reculant un peu vers Textérieur; mais la quantité dont il recule n'est pas évidemment accessible au calcul. Quoi qu'il en soit, on voit que plus ce mouvement de recul est considérable, plus le joint CD doit s'ouvrir. Il est donc très important pour la solidité de la voûte que la partie qui se trouve au-dessous de la charnière soit d'une solidité suffisante pour ne reculer que le moins possible.

Au-dessus de la charnière, les imperfections de la construction peuvent aussi modifier le tracé de la courbe des pressions, en y établissant des points de passage obligés. Un gros grain de sable très dur, placé dans un joint et portant sur les faces des voussoirs sans intermédiaire de mortier, peut concentrer la pression autour du point où il se trouve et y faire passer la pression; une mauvaise taille des joiqts laissant deux voussoirs contigus portés l'un sur l'autre par une Ijosse aurait le même résultat. A la clef, des voussoirs trop démaigris en queue ou avec de grads joints font baisser le point d'application de la poussée, et un défaut contraire le fait monter. Mais ces divers accidents sont très rares dans les voûtes construites avec soin. Ce qui peut se rencontrer plus souvent, ce sont des joints nombreux, épais et dont le mortier n'a pas encore suffisamment durci; d'où résulte un tassement de la voûte. Mais cette imperfection, qui peut amener un abaissement de la clef, ne peut déplacer la position de la courbe des pressions dans le massif; c'est ce que nous ferons voir tout à l'heure.

1355* En général, le seul mouvement accidentel qui puisse modifier

la courbe des pressions, et dont il soit impossible de prévoir l'importance,

se réduit à l'écartement des joints de rupture. En faisant abstraction

de ce mx)uvemenl, il est facile de déterminer approximativement le

point d'application de la poussée sur la clef. En efiFet , de ce que la

voûte tourne autour du point D [fig, 295), il s'ensuit que les points A

et B de la clef sont inégalement comprimés, car leur compression est

à peu près proportionnelle aux espaces horizontaux que parcourraient

ces points s'ils étaient libres. Appelons :

r la distance D B (c*est-à-dire la corde de Tare D B) ;

R la distance D A (de A au point 0) ;

f la flèche BE; ,

e l'épaisseur AB, à la clef;

a TangleBDE;

p rangle ADË(p>a);

c = BK.

Dans la rotation de la voûte autour du point D, les angles a et ^ diminueraient d*une quantité égaie si la demi-voûte ne rencontrait pas d'obstacle, puisque AB se transporterait en A'B'. Or, Feffet de Fobstacle étant de maintenir AB dans la verticale, il s'ensuit que la compression horizontale en chaque point est proportionnelle aux diminutions des projections horizontales des rayons menés du point D à chacun des points du joint A B de la clef.

Ainsi, la projection horizontale du rayon R= DA étant : '

R cos p,

si p diminue de dp, cette projection augmente de (Int. 1764) :

R sin pdp, et comme :

Rsinp=/+e,

la compression en A est donc proportionnelle à :

(/+e)dp.

En B, d'après les mêmes calculs, la compression est proportion

nelle à :

/da.

Mais

dp = da;

donc les compressions en A et B sont entre elles comme

Par suite, le point R n'est pas au milieu de AB et se rapproche du point A. D'après la relation (A') (1334) P étant la pression en A et Po ^^ pression en B, on a (c étant égal à BK) :

P 3c — e pQ ~" 2e — 3c'

Remplaçant dans cette équation — par son égal — ^ , on en déduit :

^ e(3/+ ié) ij,, e

ce qui montre que c = BR est toujours plus grand que ^e.

Suivant que /= 0, ce qui est le cas de la plate-bande, ou /= oo, cette formule donne :

c = -e ou c = -c.

Il résulte donc de ce calcul que la résultante passe nécessairement plus haut que le milieu de la clef (1359).