SA

Mais ce calcul suppose que le point D est fixe. Or, comme il recule toujours d'une certaine quantité, il résulte de ce mouvement que la pression en B diminue et que le point K remonte. Si la pression en B devient nulle, et il suffît, pour que cela arrive, que le point D recale de /da, c'est-à-dire d'une quantité d'autant plus petite que da est plus petit, on a, d'après la relation (6) (1334) :

Si le point D recule davantage, le point K se rapproche de plus en plus du point A, mais sans pouvoir l'atteindre si Téquilibre s'établit : car oo ne peut admettre qu'une force agisse sur une surface nulle, puisqu'alors la pression serait infinie. La flexion des parties comprimées donne nécessairement au contact une certaine étendue, et comme la résultante passe au tiers de l'étendue de ce contact, quand celui-ci n'a pas lieu sur toutle joint [relation (6) (1334)], elle ne peut donc passer à son extrémité. Quant à l'étendue du contact, il n'est pas possible de la calculer, puisqu'elle dépend de la compressibilité de la matière.

Cette dernière observation s'applique également au joint CD (/?^.295). Quand nous avons dit que la résultante passait par le point D, nous avons supposé le corps incompressible ou peu compressible. Ainsi des voussoirs de fer ou de fonte donneraient à peu près ce résultat; mais avec de la pierre et surtout avec du mortier fléchissant une surface de contact se forme, et la résultante passe au tiers de son étendue, à partir du point D.

Quoi qu'il en soit, on voit que la courbe des pressions passe très près du point de rupture D, et au-dessus du milieu du joint AB de ia clef, oiï elle remonte d'autant plus vers l'extrados que la culée résiste moins au mouvement de recul. Si le point D est à peu près invariable, ce qui a lieu, par exemple, pour une pile placée entre deux voûtes symétriques et couronnée par une pierre de taille, la courbe des pressions rencontre le joint de la clef à une distance c de Tintrados un peu plus grande que celle donnée par la formule ci-dessus (a). Mais s'il s'a^i^ d'une culée peu résistante, si, par exemple, les mortiers sont encore frais, le point D reculera sensiblement; alors le sommet de la courbe de pression montera dans la clef, et le joint s'ouvrira en B.

Par des soins apportés à la construction, on peut donc empêcher la courbe de pression de s'élever à la clef vers Textrados, mais on ne peut pas l'empêcher de s'approcher de l'intrados au joint de rupture. Quelles que soient la précision de la taille et la résistance de la culée, le joint CD doit s'ouvrir à l'extrados, et la résultante passe d'autant plus près du point D que les matériaux de la voûte sont plus résistants.

1356. Il faut donc se résigner à admettre que la courbe des pressions passe très près de l'intrados au joint de rotation, quoique ce principe? soit une difficulté pour la pratique. La théorie de Dupuit ne fait p»s connaître à quelle distance précise de l'intrados passe la courbe de pression, et il devient difficile de calculer la pression maximum <iu>

^ura lieu en ce point; mais la vérité d'une théorie ne dépend pas de la plus ou moins grande difficulté qu'on éprouve à l'appliquer, et Ton comprend combien il peut être dangereux de mettre en pratique une théorie inexacte.

On peut objecter à cette théorie qu'en admettant son exactitude, il y a vers les points de rotation des grands ponts construits, des pressions bien plus considérables que celles qui avaient été calculées par les constructeurs, et que, puisque les pierres n'y sont point écrasées, c'est que la pression s'y maintient dans des limites que les constructeurs ont t^habitude de s'imposer. Voici comment on peut expliquer pourquoi les voussoirs résistent dans ces circonstances. On est dans l'usage de ne faire supporter aux matériaux, d'une manière permanente, que le dixième environ au maximum et le plus souvent beaucoup moins de Teffort qui est capable de les écraser; or on conçoit que cette énorme réduction met à Tabri d'un excès de pression produit accidentellement par un vice de construction ou par toute autre cause^ et que si, par l'effet d'un mouvement de la maçonnerie, la pression se déplace, on a une large marge pour prévenir toute chance d'accident. Ayant calculé, par exemple, que la pression uniforme sur le joint de rupture est de 450 kilog. pour un rouleau de voûte de 0"',0i d'épaisseur, la pierre •employée pouvant supporter, à raison du dixième de la résistance maximum, 10 kilog. par centimètre carré, la longueur du joint pourrait n'être que de O'^jiB si la pression était uniforme dans toute son étendue; mais on lui donne 0"^,90, d'après l'hypothèse que la résultante de la pression passe au tiers de la longueur du voussoir, la formule (6) du n° 1334 donne en effet P = — >^ — = 10 kilog. Or si la ré-

2 X IÇO sultante passe àO"',05 seulement, la pression P = — rr— = 60 kilog.,

et à 0",04, on a P = — — — = 75 kilog. par centimètre carré.

11 est évident que les voussoirs n'éclateront pas pour cela. En voici les motifs principaux : 1» c'est d'abord qu'on n'a pas encore atteint la limite de la résistance de la pierre; 2** qu'eût-on atteint cette limite, •comme cette pression n'existerait que sur une arête, elle ne saurait avoir le même efi'et que si elle existait sur toute l'étendue du contact ; 3*" que l'arête du voussoir est nécessairement arrondie, si fine que soit la taille; ce qui réduit le chiffre de la pression maximum; i" qu'entre les deux voussoirs se trouve un matelas de mortier (1393); 5<* que les pierres de grandes dimensions ont une résistance proportionnelle plus grande que celle qui est donnée par les expériences faites sur des petits cubes (1333).

1357. Dans l'exemple de la figure 295 la voûte est incomplète et la position du point de rotation est évidente. S'il s'agissait d'une voûte complète, c'est-à-dire d*une voûte se raccordant avec ses pieds-droits par un élément vertical, on démontrerait par un raisonnement analogue •qu'un point de la courbe des pressions doit se trouver sur l'intrados, et

1880 sixiÈvE pinTie.

que, BU déciotrement, la voûte tournera autour de ce point; mùsl> position de ce point ne ressortirait plus au premier conp.d'œil (1361]. La seule chose que nous ToulioDS établir dès à présent, c'est que, dus ce cas, la courbe des pressions est nécessairement tangente i l'iobidoi; en effet, si elle ne l'était pas, elle le couperait en deux points, et celte courbe se trouvant extérieure au massif dans une certaine étendae, il n'y aurait pas équilibre.

Nous considérerons donc comme démontré que la courbe des pressions passe toujours à l'intrados, et que, dans une voflte complète, on dans une voûte incomplète, mais d'une amplitude telle que, si la rnbii était complétée, le point commun avec l'intrados se trouverait im l'étendue de la voûte, elle est tangente à cet intrados au point oùellt le rencontre. Ce point commun k la courbedes pressions et à l'intndos est le point de rotation autour duquel la partie supérieure de la demivoûte tourne en dedans pour s'appuyer sur celle qui lui est symétrique, lorsqu'au décintrement la voûte s'asseoit.

1358. La courbe des pressions passant par le point de rupture et pai un point pris arbitrairement à la clef, il peut arriver qu'elle coupt l'eitrados au-dessous ou au-dessus du point charnière. Ainsi, dansli cas de la figure 295, si le pied-droit avait une épaisseur moindre que NT, la courbe des pressions rencontrerait l'extrados au-dessous du point Di et dans ce cas la culée serait renversée à l'extérieur en tournant aalour d'un point charnière qui se formerait&l'aDgle extérieur de la culée, taDdis que la voûte tomberait h l'intérieur; c'est la seule manière dont la chul! pj jgg puisse avoir lieu pour une voûte siu^

baissée telle que celle de la figure !S3. Quand la voûte est surélevée IJS' 296), la courbe des pressions peut rencontrer l'extrados avant de passer par le joint de rupture DC. Tra{«Ds l d'abord la courbe de pression statiiiae | qui passe par le point D. Si niiiii supposons de plus qu'elle passe pv j le point arbitraire K, menant l'hon- < zonlale KG' et la verticale GG'psrl* centre de gravité G de la voûte, ^ GT représente le poids de la d^-

— J- - j voûle, DP représentera la poossé*

" hori!;ontale Q au point E, et G'Dl' résultante des pressions sur le joint de rupture DC. La poussée Q é^^ j connue, on tracera la courbe des pressions KnD en opérant comme u n°l336. Cette courbe sortant de l'extrados, la voûte n'est pas en équilibrt et il y a lieu d'en modifier le profil; mais si l'on veut savoir commeaiellt va se rompre, on tracera la courbe dynamique KED, tangente à l'eil* dos vers le milieu de l'intervalle entre les points où il est coupé pari) courbe statique (I3i7), et le point de tangence E indiquera le poinl^f rotation de la voûte, tandis que la courbe KED indiquera comment it

comporte la pression en chaque point pendant la chute. Ce point de tangence E deviendra ainsi un nouveau point de rotation autour duquel tournera la partie supérieure de la demi-voûte, tandis que la partie inférieure tournera autour du point D. Le joint AB prenant part à ce double mouvement, dont le premier tend à le faire monter tandis que le second tend à le faire descendre, il suivra une direction résultante dans laquelle il pourra arriver quMl s*élève. Les calculs que nous avons faits (1355), relativement à la position du point K, ne sont plus applicables dans ce cas. Il faudrait chercher la direction résultant de la vitesse des points A et B, comme nous Tavons indiqué au n** 1348; mais cette recherche serait sans utilité pratique, puisque la voûte ne peut pas être exécutée dans ces conditions.

1359. Il n'y a donc lieu de s'occuper que du cas où la courbe des pressions ne fait que s'approcher de Textrados, et ce qu'il y a d'essentiel à remarquer, c'est que dans le mouvement de la voûte, la clef remonte. En effet, d'une part, puisque l'intrados s'ouvre vers F, il s'allonge; ce qui ne peut avoir lieu qu'autant que B s'élève; d'un autre côté, la pression se portant vers l'extrados, cet extrados doit diminuer de longueur. Ainsi, tandis que B doit s'éloigner de D, A doit se rapprocher de G, et de ce double mouvement on voit que la clef a une tendance à s'ouvrir en A et à se serrer en B. Si donc la voûte avait des dimensions suffisantes, et que la courbe de pression fût KE'D, les joints s'ouvriraient à l'intrados vers F, sur une étendue telle que, pour un joint quelconque EF, la partie comprimée Ee fût égale au triple de EE' (1334); par suite, la voûte se dilaterait à l'intrados, se contracterait vers l'extrados, et le mouvement qui en résulterait tendrait à soulever la clef et à faire descendre le point K vers fi. Dans ces espèces de Yoûtesy le point d'application de la poussée est donc, en général, audessous du milieu de la clef, si le point de rupture D ne recule pas sensiblement (1355).

En général, on reconnaîtra que la clef a une tendance à se soulever quand la courbe des pressions, dépassant les deux tiers de la longueur des voussoirs à partir de l'intrados, s'approche de l'extrados (1369).

1360. La recherche des conditions de stabilité d'une voûte est ramenée, comme on voit, au tracé d'une courbe géométrique qui se trouve déterminée quand on connaît deux de ses points (1336). L'un de ces points se trouve tantôt au-dessus, tantôt au-dessous du milieu de la clef (1355, 1359), et le second^ appelé point de rupture, est toujours situé à l'intrados (1351), mais dans une position qu'il s'agit de déterminer pour une voûte quelconque.

BEGHERCHE DE LA POSITION DES JOINTS DE RUPTURE ET DE LA COURBE DES PRESSIONS DANS UNE VOUTE QUELCONQUE SOUMISE UNIQUEMENT A DES CHARGES VERTICALES.

1361. Dans les exemples de voûtes des figures 295 et 296^ la position des joints de rupture était pour ainsi dire évidente. Mais il n'en est plus ainsi quand les voûtes sont complètes; la continuité de la courbe d'in-

trados n'offre plus à Fœil de point particulier qui puisse devenir le siège

de la rotation de la voûte, et il faut alors en chercher la position par le

calcul ou par une construction géométrique.

Construction géométrique. Dans une voûte complète, la courbe des

Fig. 297. pressions est tangente à Pintndos

au point où elle le rencontre (1357).

De plus, si Ton admet un système de joints verticaux, la tangente au point de rupture rencontre la direetion horizontale de la poussée an même point que la verticale meDée par le centre de gravité de la partie de voûte supérieure (1341, 1342).

Alors, la tangente menée a Fintridos par le point m [fig, 297), qui parait à Tœil être aussi voisin que possible du point de rupture, rencontrant en n Thorizontale passant par le point d'application K de la poussée, et la verticale menée par le centre de gravité G du voussoir Bm rencontrant cette horizontale au point ^, situé à gauche de n, cela indique que le point de rupture est au-dessoQs du point m, et même un peu plus bas que le point de contact de la tangente menée par ^, car le centre de gravité de la nouvelle partie de voûte se trouve à gauche de G^. On pourra donc, pour abréger le tâtonnement, par un point g^ situé un peu à gauche de g y mener la tangente g'I, et vérifier si g' correspond bien à Tabscisse du centre de gravité de la partie de voûte B$; s'il n*en était pas ainsi, on pourrait continuer le tâtonnement.

Autre construction graphique pour déterminer le point de rupture l La courbe des pressions étant déterminée quand on en connaît denx points, traçons-la en prenant pour première fausse position un point quelconque t sur la courbe d'intrados et le point K. On obtient ainsi une première courbe Kst, et le point S de Fintrados qui est à la plus grande distance horizontale de la corde st est le point de rupture. Dans la pratique, ce point se choisit à vue sur Tépure; mais si l'on avait besoin d'un plus grand degré d'exactitude, on opérerait sur ce point comme on l'a fait pour le point t.

Ce procédé est fondé sur la propriété suivante de la courbe des pressions, propriété que nous avons déjà signalée au n* 1347. L'équation de la courbe des pressions^ est (1348) :

Pour une autre courbe de pression dont la poussée est Q', on a:

donc

Comme le rapport - est très peu variable, surtout aux environs du

point de rupture, la dififérence oi — x des abscisses des deux courbes de pression est donc à peu près constante.

De cette propriété il résulte bien que si Ton fait passer une seconde courbe de pression par le point 8 qui est le plus éloigné de st^ cette seconde courbe ne coupera pas l'intrados en un autre point.

Cette propriété des courbes de pression facilite considérablement leur recherche, puisque si Ton en a tracé une, il suffît d'augmenter ou de diminuer ses abscisses d'une quantité constante pour en avoir une nouvelle.

Les procédés graphiques que nous venons d'indiquer sont généraux, et il faudrait y avoir recours dans le cas où l'on aurait à rechercher réquilibre d'une forme bizarre ou peu usitée.

1362. Dans les travaux publics, on ne se sert guère que d*intrados

circulaires ou elliptiques, et

alors on peut sans tâtonnements trouver les points de rupture. Appelant [fig. 298) :

a et 6 la demi-ouverture et la montée de la Toûte ;

K le point d'application de la poussée horizontale Q;

h Tordonnée du point K ;

0 le centre de l'ellipse, origine des coordonnées ; poussée horizontale,

l'équation de la courbe des pressions devient, en supposant des joints verticaux (1342, 1348) :

et celle de l'intrados est [Int. 1131) :

Puisque ces deux courbes sont tangentes au point de rupture, leurs dérivées sont égales pour ce point. Prenant ces dérivées et les égalant, on a :

d'où Ay — y* = -, a:(a;— Ç).

Telle est la relation qui lie y et a; pour le point de rupture B. Pour résoudre cette équation, il faut remplacer \ par sa valeur x, tirée de la relation qui existe entre l'abscisse x et celle \ du centre de gravité de la partie de voûte située en avant du point de l'intrados dont l'abscisse

1884 SIXÈME PARTIR.

est X ; et ensuite la valeur de x en fonction de y, tirée de l'équation (2) de la courbe de Tintrados.

Dupuit établit qu'on peut supposer, pour les valeurs de x voisines de celles qui correspondent au point de rupture :

n étant un peu plus grand que 0,50. On ne pourrait avoir n = - =0,(7

que pour des voûtes extradossées de manières bizarres et înadmis» blés. En mettant dans Féquatîon (3) cette valeur de Ç, puis celle dei en y tirée de Féquation (2), on obtient :

d'où Ton tire :

On voit que la valeur de y est indépendante de l'ouverture adeit voûte, c'est-à-dire que cette valeur est la même pour le plein cintre qot pour une ellipse quelconque de même montée.

Pour des valeurs de n voisines de 0,50, on peut poser n (1 — n) =0A et l'équation précédente devient :

ou, si l'on fait ^ = 0,90,

n étant plus grand que 0,50 et plus petit que 0,67, on voit que y i* peut pas différer beaucoup de 0,506.

Ce n'est là au reste qu'une approximation qui cesserait d'être vrtf

si le rapport . différait peu de Tunité, c'est-à-dire si l'épaisseur de li

voûte à la cief était très petite. On voit alors que la valeur du radiol

diminue de plus en plus, et que y s'approche de — ; ce qui poarrait

avoir lieu, par exemple, pour une voûte métallique ; alors le point * rupture pourrait se rapprocher beaucoup de la clef. Mais si l'on seticrf dans les cas pratiques des voûtes ordinaires en maçonnerie, on ^ dire que dans les voûtes complètes en plein cintre ou elliptiques, te point de rupture se tr.ouve à peu près au milieu de la montée, c'est-i* dire qu'on a à peu près Oe = sB.

fig. Î99.

IT

1363. Démonstration géométrique de cette propriété remarquable.

Sur la môme montée 0B = 6 traçons trois intrados {Jlg. 299) : un plein cintre et deux ellipses, Tune surélevée, Fautre surbaissée. Sur le milieu de la /// I montée OB, menons une horizontale

/// 1 s^> 6t par ses points de rencontre avec

/ / i les intrados, menons les trois tan-

9/9j^9j__{.]s^ 1 gentes 8T. Ces trois tangentes se

rencontrent au même point T de Taxe, et Ton a (Int 1158), puisque 08=OB = 20£,

ou OB = BT.

0T = ~ = 20B, Oe

Appelant :

X les abscisses des points 6 considérés comme des points de rupture;

% les longueurs des parties de l'horizontale K^, menée par le point d'appication K de la pous&êe, ou abscisses des centres de gravité des parties de voûte supérieures aux points 8 (1361);

6 = 0 B montée des voûtes ;

ab la hauteur KB du point K au-dessus de Tlntrados,

les triangles semblables TeS et TK<7 donnent :

a::Ç = T£:TK, ou x : Ç= 1,506 ; (1 — a) 6; d'où :

Comme dans une voûte ordinaire on a Ç > 0,50x, pour que cette équation (1) soit possible, il faut qu'on ait :

* "" * > 0,59 ou < 0,25.

Or, c'est précisément ce qui a lieu en général, l'épaisseur à la clef elle-même n'atteignant jamais les 0,25 de la montée b de la voûte. Cette condition étant remplie, Uéquation (1) indique que la valeur de Ç varie de 0,50x à 0,67a;, qui correspondent respectivement à a = 0,25 et a = 0.

La limite Ç = 0,67a; ne pouvant être atteinte (1362), si nous faisons Ç = 0,60a;, Féquation (1) donne a = 0,10 qui est une proportion qu'on rencontre dans beaucoup de voûtes. D'ailleurs comme l'équation (1) indique que de légères variations de a sont à peu près sans influence sur la valeur de Ç, ainsi pour a = 0,15 cette équation donne Ç = 0,o7x, on est donc en droit de conclure que le vrai point de rupture ne peut guère s'écarter du point de l'intrados situé au milieu de la montée.

1364. Dupuit ne donne pas cette détermination du point de rupture comme exacte et précise, mais comme une approximation très utile dans la pratique^ en ce qu'elle suiffit pour les cas ordinaires. Du reste, on pourra toujours vérifier si, en menant par le point de rupture choisi une tangente à l'intrados, elle rencontre l'hprizontale menée par le point

de la poussée au même point que la verticale passant par le centre de gravité de la partie de voûte, située au-dessus du joint de rupture choisi (1361).

En résumé quand Tîntrados d'une voûte est circulaire ou elliptique, on obtient une approximation suffisante en plaçant le joint de rupture au milieu de la montée. Si la demi-circonférence ou la demi-ellipse eâ incomplète, on Tachève sur le dessin, et Ton prend le milieu de raxe,9 ce point est au-dessus des naissances, et ces naissances s*il est au-dessous. Il résulte de là que, pour une voûte circulaire de moins de if d'amplitude, les points de rupture sont toujours aux naissances.

1365. Il résulte de ia connaissance de la position des joints de rupture (1364) un moyen simple et facile de se rendre compte de la stalnlité de la plupart des voûtes, sans autre tracé que celui que l'oupeiil faire à la main*

Prenons pour exemple la voûte qui sert de base aux calculs deLaot

Fig. 300.

et Clapeyron {Jig. 300). Par le point de ropture 8, correspondant au milieu du rayon rer- A tical OB de la voûte, menons la tans^ente T3Sà B rinlrados. Cette tangente rencontrant la par» extérieure du pied-droit en S, cela indique ({« si le pied-droit se terminait en S ou si, à partir de ce point, le pied-droit était élargi de manièit qu'il contint cette tangente, tout le massif serait en équilibre. Gomme dans la pratique ^ constructions doivent être stables, on peut àb rigueur fixer leurs dimensions d'après ces sintpies indications.

Si Ton veut plus de précision, on détermitf la poussée en construisant pour le point S 1^ parallélogramme des forces gp^q^ dans leqsel ffp représente le poids de la partie B8 de I» voûte, et par suite gq la poussée appliquée & point K (1336, 1360, 1361). Puis, par le centre de gravité de la deffiivoûte menant la verticale GP proportionnelle au poids de celte deifr voûte, prenant G^' égal à la poussée gq, et construisant le parallâogramme sur GP et Gg', sa diagonale Gr représente en grandeur etfl direction la pression sur la base de la voûte. Le point N où cette nale rencontre la base appartient à la courbe des pressions KSN, peut alors tracer avec une approximation suffisante pour la pratigiiejê" raccordant les trois points K, 8 et N qui lui appartiennent. Du reste, {> opérant pour une portion quelconque de la voûte comme on ncni^ le faire pour la demi-voûte, ce qui a donné le point N, on obtiendraii autant de points qu'on le désire de la courbe des pressions.

La courbe K8N, sortant du massif, montre que ce massif n'est pas* équilibre; elle indique de plus comment on doit modifier le profil po»"^ obtenir cet équilibre.

Dans l'exemple de la figure 300, on n'a même eu besoin de délef

miner le point N de la courbe de pression que parce que les pieds-droits sont 1res élevés; dans la plupart des cas, on peut tracer cette courbe à vue, dès que les points K et 8 sont connus.

1366. Le tracé sommaire indiqué au numéro précédent résout le problème d'une manière suffisamment exacte pour la pratique, d'abord parce que, comme nous le verrons, un tracé plus étudié n'a pas beaucoup plus de chance d'être plus exact, et ensuite parce que le problème à résoudre présente une grande latitude, puisque les constructions doivent présenter un grand excès de solidité, pour résister aux charges accidentelles, aux chocs, aux dégradations, etc. On conçoit, en effet, que cet excès, qui est une mesure de prudence, ne peut être soumis au calcul; c'est une affaire d'expérience et d'usage qui fait que la recherche des conditions d'équilibre plus exactes ne peut pas modifier les dimensions basées sur un calcul approximatif. De plus, quoique la solidité des constructions en soit la condition la plus essentielle, elle n'est cependant pas la seule, et l'on peut être déterminé par d'autres considérations pour fixer les dimensions de la voûte.

Enfin, quoique les limites de l'indétermination, en ce qui concerne la courbe des pressions, aient été très resserrées (1353), elles restent cependant encore assez étendues pour qu'il soit légitimement permis de se servir de méthodes approximatives. En effet, pour que la courbe des pressions fût rigoureusement déterminée, il ne suffirait pas d'en connaître deux points, comme on le dit ordinairement (1337) ; il faudrait encore connaître la manière dont la surcharge des reins pèse sur la voûte, c'est-à-dire le poids de la voûte correspondant à chaque joint : car l'hypothèse qui consiste à considérer cette surcharge comme produite par des prismes verticaux ne peut être considérée que comme une approximation.

En négligeant la légère variation que pourrait amener, dans le tracé de la courbe des pressions, la connaissance exacte de la répartition de la charge, l'incertitude ne repose plus que sur la position exacte du point d'application de la poussée , point qui se trouve entre le milieu et le sommet de la clef pour les voûtes en plein cintre ou surbaissées (1355), En effet, si la voûte est incomplète, sa naissance est un point de la courbe des pressions, et si la flèche de la voûte est plus grande que la moitié de l'axe vertical, la courbe des pressions est tangente à l'intrados, condition qui équivaut à la détermination d'un point.

1367. Considérons d'abord une voûte incomplète formée d'un arc de cercle BD et d'un pied-droit DT (fig. 301). Prenant le milieu K de l'épaisseur à la clef pour point d'application de la poussée, à l'aide des points K et D, traçons les courbes de pression KDN et KDN' correspondant à l'extrados de la voûte après le décintrement (1365), d'a- • bord dans l'hypothèse où la voûte est extradossée par la courbe AFC, puis en la supposant chargée jusqu'à la ligne AU. Pour qu'il y ait équilibre, il suffit que les deux courbes KDN et KDN' soient toutes les deux contenues dans le profil de la maçonnerie ; car, bien que la position exacte du point K soit inconnue, comme elle ne peut être que supé-

rieure à ceUe qui lui a élé assignée (1355), il s'ensuit que la courbe

des pressions, qui passe tOQ- ^'^' '®*' jours par le point D, s'in-

fléchit davantage quand la voûte est chargée que quand elle ne Test pas. La charge de la voûte faisant recaler le centre de gravité G et, par suite, sa projection^ vers la gauche, il en résulte qu'elle a pour effet d'amener le point N en N', c'est-àdire de consolider la voûte.

Voici comment Lamé et Clapey ron déterminent la ligne séparative de la région on une masse additionnelle contribue à Téquilibre. Appelons , K étant Torlgine des coordonnées :

II le poids de la masse additionnelle A CL, placée sur les reins et dont le centre de

gravité se projette en M ; ^ la poussée qui résulte du poids n ; e l'abscisse du point M ; a Tabscisse du point D ; X Tabscisse du point N ; H = M1, l'ordonnée du point N; A la hauteur E 0 du pied-droit.

Cherchons à déterminer l'abscisse e de manière que la courbe des pressions continue à être KDN après Tapplication de la masse de poids E On a, en égalant les moments des forces H et g pris par rapport à N :

n(X-e) = çH,

et en égalant les moments des mêmes forces par rapport au point D,

d*où, en divisant membre à membre Féquation (1) par celle (2) :