ÉPAISSEUR DES VOUTES

1391. L'épaisseur d'un massif tel qu'une pile ou pilier résulte presque toujours d'un calcul très simple: si, par exemple, une pile de pont doit supporter une charge de 200000 kilog. par mètre courant et que la maçonnerie puisse supporter 40 kilog. par centimètre carré ou 10 X 10000 kilog. par mètre carré, son épaisseur sera :

Mais s'il agit de massifs verticaux soumis seulement à l'action delà pesanteur, le problème présente une certaine indétermination que le calcul ne peut pas faire disparaître. Le poids d'un mur de clôture de 4 mètres de hauteur, par exemple, croissant proportionnellement à l'épaisseur, il n'y a, sous le rapport de l'écrasement, aucun avantage à augmenter ou à diminuer l'épaisseur de ce mur; les matériaux auront à supporter la même pression, soit que le mur ait 0°*,10 ou 1",00 d'épaisseur. C'est à d'autres considérations qu'il faut avoir recours pour

tV'i.f :

FJT--

déterminer cette épaisseur. Ainsi, quoique la destination spéciale ia mur de clôture ne soit pas de résister à un effort horizontal lendantà le renverser, il est indispensable de le mettre à Tabri d*un coupdeveat ou de matériaux appuyés contre lui. De plus, comme le centre de gravité doit toujours tomber dans Fépaisseur de la base, il en résulte ([Qe plus le mur est haut, plus cette base doit être lai^e, afin qu'une légère déviation du centre de gravité n'ait pas pour résultat d'amener le ren* versement du mur. De là ressort une dimension nécessaire qui ne saurait être le résultat d'aucun calcul précis, et pour laquelle le constructeur ne peut prendre d'autre guide que l'expérience des constructions analogues antérieurement exécutées. La même indécision va se présenter dans les voûtes, dont les conditions d'équilibre sont beaucoup plus compliquées.

1392. Voûte en arc de cercle. Considérons, par exemple, une voûte

en arc de cercle de moins de i^ ^'^' ^^^' d'amplitude ifig. 323). Cette voûte,

supposée soumise à la seule action du poids de ses matériaux, estes équilibre quelle que soit son épaisseur; mais cet équilibre est delà nature de celui du mur vertical que nous venons de considérer, qui, quoique toujours en équilibra, ne peut cependant être construit qu'avec une épaisseur en rapport avec sa hauteur (1391). Supposons, en effet, un poids accidentel placé en un point n de cette voûte, et appelons , E étant l'origine des axes (1367) :

n ce poids additionnel;

F le poids de la demi-voûte;

H la poussée avant l'application du poids n ;

Q' la poussée quand ce poids agit sur la voûte;

e Tabscisse du point d'application n;

S, l'abscisse du centre de gravité de la demi-voûte ;

a Tabscisse du point D, c'est-à-dire la demi-ouverture de la voûte ;

y l'ordonnée du point D.

De l'égalité des moments des forces pris par rapport au point D, on conclut :

et

La courbe des pressions a pour équation , avant l'application d" poids n (1335):

et après cette application, pour la partie Kn,

Pour la même abscisse, on a :

ce qui montre que y' est plus petit que y dans un rapport constant. Ainsi, à partir de la clef, les deux courbes vont en s'écartant, et la nouvelle courbe peut couper Fextrados, si cet extrados est peu écarté de rintrados.

La partie Kn de la courbe des pressions a pour équation :

et la partie nD ,

de sorte que le rapport (1) n'existe que dans la partie supérieure de la voûte, la courbe KnD forme un jarret en n. Dans Tautre demi-voûte, s'il n'y a pas de poids additionnel symétrique, le rapport (1) existe dans toute rétendue de cette demi-voûte, et la différence (2), qui est proportionnelle à ^, va en croissant depuis la clef jusqu'à la naissance; la courbe des pressions Kn'C est symétrique de Kn. Le point de rupture qui se forme à l'extrados vers C, lorsque la courbe de pression approche de ce point, a pour effet de faire descendre la poussée à la clef, puisque la partie supérieure de la voûte tend à se relever. Nous n'avons pas tenu compte de cet efifet dans les formules précédentes, parce que la position exacte de la poussée à la clef est indéterminée ; ce déplacement est certain, mais il facilite l'équilibre.

Dans la pratique, une voûte étant nécessairement soumise à quelques charges accidentelles, qui ont pour effet de déplacer la courbe des pressions dans son épaisseur, on conçoit qu'il soit impossible de la construire avec les dimensions qui ne donnent que l'équilibre mathématique. Le calcul ne peut déterminer l'épaisseur stricte à lui donner; mais il fournit quelques indications sur les circonstances qui sont de nature à l'augmenter ou à la diminuer. Ainsi le déplacement y' — y dû à une charge additionnelle étant proportionnel à y^ formule (2), comme la courbe primitive est toujours contenue dans le profil de la voûte, on voit que le plus grand déplacement est proportionnel à la flèche de la voûte, et que, par conséquent, pour assurer la même stabilité à deux voûtes d'égale ouverture, il faut donner plus d'épaisseur à celle dont la flèche est la plus grande (1394). Ce résultat peut paraître paradoxal.

attendu que Taugmentation de la flèche est considérée comnae un moyen d'augmenter la solidité des voûtes; mais on ne doit pas perdre de vue qu'il y a pour les massifs de maçonnerie deux modes de destructioo :1e défaut de stabilité et Técrasemcnt des matériaux; or, nous ne considérons pour le moment que la stabilité, et, sous ce rapport, moins les voûtes ont de flèche, plus elles sont stables. Ainsi, par exemple, une plate-bande est toujours stable, et, si mince qu'elle soit, la courbe des pressions ne sortira pas de son profll, quel que soit le poids additionnel placé sur ce profil (1370); car, comme on vient de le voir, ce poids rend cette courbe plus horizontale, et elle ne peut jamais couper Textrados horizontal de la plate-bande.

Mettant la formule (2) sous la forme :

on voit que le déplacement y —y' de la courbe des pressions dépend du

rapport =, que plus la voûte sera légère par rapporta la charge accidentelle, plus il faudra lui donner d'épaisseur pour que la courbe de pression ne sorte pas de son profil.

En résumé, plus la flèche de la voûte est considérable et moins cett? voûte a de poids, plus il faut, pour la stabilité, lui donner d'épaisseur.

1393. Epaisseur des voûtes ponr résister à l' écrasement. Abordons la partie difficile et théoriquement insoluble de la question. Quelle épaisseur faut 'il donner aux voussoirs pour qu'il vHy ait pas écrasement? Dans l'hypothèse de voussoirs incompressibles, nous avons vu que la courbe des pressions passe toujours par un point de Tintrados, et qu'elle est tangente en ce point dans le cas d'une voûte dont la flèche dépasse la moitié de la montée d'une voûte complète (894, 900). Il en résulterait donc, dans cette hypothèse, une pression infinie en ce point, et c'est en vue de cette difficulté que Lamé et Clapeyron avaient fait un appel aux constructeurs exercés. Nous avons indiqué au n* 1356 comment il se fait, d'après Dupuit, que les matériaux des voûtes ne sont pas écrasés au point de rupture, comme cela semblerait inévitable si l^i pression devenait efl'ectivement infinie. C'est qu'en effet la compressibilité des voussoirs et surtout celle du mortier interposé entre eui, change en surface de dimension finie Farête de contact théorique.

Dupuit établit que l'étendue du contact qui résulte de la compressibilité du mortier est :

Dm

Asina

Dm étendue du contact, D étant le point de Tintrados et m le point du joint de rupture où cesse la compression (1334) ;

P pression de la partie supérieure de la voûte sur le joint de rupture, elle est appliquée au tiers de Dm à partir du point D ;

a angle que la voûte décrit autour de Tarête de rotation D ; A coefficient constant.

Cette valeur de Dm n*est pas susceptible de se calculer, puisqu'il faudrait pour cela déterminer la constante A; mais elle n'en montre pas moins que Dm augmente, et que par suite la courbe de pression s'éloigne de rintrados à mesure que l'angle a diminue. Or dans une voûte complète, où la courbe de pression est tangente à l'intrados, cet angle a se partage entre plusieurs joints. Dm augmente pour chacun d'eux, et la courbe des pressions s'éloigne de l'intrados; ce qui est favorable à la solidité.

Dans les voûtes incomplètes, la courbe des pressions n'étant pas tangente à l'intrados, qu'elle coupe sous un certain angle à la naissance, presque toute la rotation de la voûte se fait sur le joint de naissance, qui s'ouvre seul ou à peu près seul; alors la longueur Dm du contact est beaucoup moindre, et les matériaux qui forment le joint de rupture sont plus exposés à l'écrasement.

Ces considérations théoriques sont confirmées par l'expérience. Il est rare que les joints de rupture soient apparents dans les voûtes complètes. En efiTet, si le mouvement de la voûte exige une ouverture de i millimètre à l'extrados, cette ouverture ne sera pas sensible à l'œil, si elle se partage entre cinq ou six joints, d'autant plus que le mortier étant susceptible d'une certaine extension pourra même ne pas se fendre; mais si elle a lieu sur un seul joint, elle sera nécessairement apparente. C'est ce qu'on remarque en effet dans les voûtes très surbaissées, même dans celles qui sont construites avec le plus grand soin, A égalité de pression sur les joints de rupture, l'écrasement des matériaux est donc plus à craindre dans les voûtes incomplètes que dans les voûtes complètes.

Dans les voûtes, le froid ayant pour effet de diminuer la longueur de rintrados, il se produit un mouvement analogue à celui qui s'opère au moment du décintrement : la clef tombe d'une certaine quantité, parce que les deux culées ne se rapprochent pas comme si elles faisaient partie d'un massif très cohérent. La diminution de température tend donc aussi à ouvrir le joint de rupture et k rapprocher de l'intrados la courbe des pressions.

En résumé, le plus ou moins d'épaisseur de la voûte au joint de rupture ne diminue en rien les chances d'écrasement ^°* des matériaux. Le constructeur n'a d'autre, moyen

de les prévenir que de diminuer autant que possible le poids de la voûte et d'avoir recours aux artifices de construction du n* 1396. On peut même ajouter que l'épaisseur de la voûte au joint de rupture ne contribue pas à la stabilité, parce que, quelles que soient les charges accidentelles, la courbe des pressions passe toujours très près de l'intrados dans <'.e joint. Ainsi, dans la figure 324, on pourrait certainement enlever la partie triangulaire de l'extrados limitée par la ligne ponctuée Am, sans que

la Yoûte perdît de sa solidité ou de sa stabilité; mais comme les Yoùtes portent ordinairement une surcharge de maçonnerie, cet enlèTement ne procurerait, en général, aucune économie, puisqu'il devrait èlre remplacé par une autre maçonnerie différemment appareillée; aussi est-on dans Tusage de conserver au joint de rupture Fépaisseur courante de la voûte.

1394. Epaisseur des yoùtes à la clef. Si nous examinons maintenaot Y épaisseur qui doit être donnée à la cleff nous trouverons là des circonstances différentes. En effet, nous avons vu (1356) que, dans uoe voûte bien construite, c'est-à-dire dont les mortiers sont peu compressibles et qui repose sur des culées solides, la courbe des pressions ne s'éloigne pas beaucoup du milieu du joint de la clef, et que pour des plates-bandes, par exemple, la poussée devait passer aux deux tiers de ce joint; ce qui doublerait la pression élémentaire au sommet de la clef. Il semblerait donc qu'on se mettrait à l'abri de toute chance d'écrasement des matériaux en posant :

Q =R, d'où e = ^.

Q poussée par mètre de longueur de la Toûte en kilogrammes ;

e épaisseur de la TOÛte en mètres ;

R charge qu'on peut faire supporter à la maçonnerie, par mètre carré (1333).

La poussée Q est presque proportionnelle à l'épaisseur e dans beaa-

Fig. 325. coup de voûtes; en effet (fig, 325), égalant, par

A rapport au point D, le moment de Q à celui de

|«^'^ C -^ la portion ABDC de voûte, cette partie étanl

y\ " ~^^B ;« supposée limitée par deux arcs de parabole

/ L jY ! (Int. 1221), on a, en prenant égale à 3/4x1»

/ / |E distance à la verticale DC du centre de graYité

de la partie ABC, et à l/4a? celle du centre de gravité de la partie BDG,

d'où

X et y coordonnées du point de rupture D par rapport au point d'application de il

pris pour origine des axes ; Y distance B£;

p poids du mètre cube de maçonnerie.

Cette formule montre que dans les voûtes surbaissées, où Y est très petit, on peut considérer Q comme proportionnel à e et, par conséquent, Taugmentation de l'épaisseur à la clef comme sans influence sur la valeur de la pression par unité de surface. Dejardin, dans si Routine de rétablissement des voûtes, prétend même que, dans tous h cas, Taugmentation d'épaisseur à la clef augmente la pressioo ^ unité de surface; cette assertion n'est exacte que pour une voûte

extradossée suivant le système particulier qu'il suppose; mais, dans la plupart des cas pratiques, il n'en est pas ainsi. 11 faut même remarquer que la formule précédente ne tient pas compte de la surcharge constante qui existe presque toujours sur les voûtes, de sorte que Dupuit ne croit pas qu'il faille admettre le principe posé par Dejardin. On doit même considérer l'épaisseur à la clef comme ayant une certaine influence sur sa pression relati^^e; mais c'est un moyen dont il ne faut jamais user dans ce but, dans le système ordinaire de construction des voûtes, parce que ce n'est pas à la clef que Técrasement est à craindre, mais au joint de rupture par deux motifs : 1* la pression sur un joint quelconque étant y^P* + Q' (P poids de voûte reposant sur le joint considéré), elle est plus forte au joint de rupture qu'à la clef, et elle y augmente avec l'épaisseur à la clef, qui augmente P et par suite v^P* -f Q*; 2* le passage de la résultante étant, au joint de rupture, très voisin de l'intrados, la pression par unité de surface en est considérablement augmentée. Ainsi, en augmentant l'épaisseur à la clef, on peut admettre que la pression relative diminue dans le joint vertical de la clef, mais qu'on l'augmente certainement dans le joint de la rupture; d'où il résulte que les matériaux d'une voûte sont d'autant moins exposés à l'écrasement que l'épaisseur est moindre. Cette épaisseur doit donc être réduite à ce qu'exige la stabilité de la voûte.

Ramenée à ces termes, la recherche de l'épaisseur à la clef devient un problème exclusivement pratique, identique à celui du mur de clôture vertical (1391). Il n'y a que l'expérience qui puisse indiquer à quelle limite on peut s'arrêter. Malheureusement toute expérience n'est pas utile au progrès de la science, parce qu'elle peut bien indiquer l'insuffisance d'épaisseur, mais jamais l'excès. Là où 0~,40 suffisent, O'^jSO ou O'^yGO suffisent à plus forte raison, et si, dans la pratique, on s'est arrêté à ces dimensions, on ne peut rien en conclure contre des dimensions moindres. La hardiesse des constructeurs a toujours été tempérée par les graves conséquences qu'elle pourrait avoir, et, il faut bien le dire aussi, par l'ignorance où ils étaient des véritables conditions d'équilibre des voûtes. Les premiers constructeurs ont donné à l'épaisseur à la clef le douzième de l'ouverture; on s'est réduit depuis au vingt-quatrième pour les grandes arches, et il est bien probable qu'on ne s'arrêtera pas là. Quoi qu'il en soit, nous allons faire connaître les formules empiriques qui servent de guide aux constructeurs dans la détermination de l'épaisseur à la clef. En les consultant, on sera sûr de ne faire que ce qui a été fait déjà toutes les fois que les voûtes ne dépasseront pas les limites habituelles.

Perronnet a déduit de ses observations la formule suivante, que beaucoup d'ingénieurs ont adoptée (1315) :

€ épaisseur de la Yoûte k la clef en mètres ;

d ouverture de la voûte ou distance des pieds -droits.

Cette formule donne, pour les grandes voûtes, des épaisseurs trop considérables; aussi Gauthey a-t-il proposé de la remplacer, à partir de d= 16", par :

et, à partir de d = 32 mètres, par

Dejardin propose pour les voûtes en plein cintre, et pour celles et arc de cercle de 60% dont Fouverture est égale au rayon (Art. 323) :

Toutes ces formules empiriques seraient bien difficiles à justifier, et elles n'ont même pas le mérite de s'accorder avec Texpérience. Dqpuit a fait un relevé statistique d*un grand nombre de ponts, don! plusieurs sont de construction moderne, et il en a déduit une formule nouvelle donnant au constructeur Tépaisseur minimum des voûtes construites avec la même ouverture.

Ce relevé comprend : 38 ponts en plein cintre, d'une ouverture ^ 8~,00 à 50 mètres; 55 ponts en arc de cercle, d'une montée très viriable, et d'une ouverture qui varie de 10",05 à 67 mètres; enfin Soponls en anse de panier ou en ellipse, d'une montée également variable, fl d'une ouverture qui s'étend de 15",92 à 48™,72.

Prenant, pour chacun de ces trois systèmes de voûtes, les oaTcrtures pour abscisses et les épaisseurs à la clef pour ordonnées, Dupuil conclut qu'il y a lieu d'adopter la formule suivante :

e = 0,20 \ld,

qui représente un arc de parabole passant par l'origine des axes.

Cette formule donne des épaisseurs moindres que celles de la formule de Perronnet représentant une droite , et suit assez bien 1> courbe qui serait donnée par les épaisseurs minima en ce qui concer« les pleins cintres et les anses de panier; mais elle donne des épaisseur trop fortes pour les arcs de cercle, pour lesquels Dupuit pense G^é. conviendrait de prendre

Il est remarquable en effet que pour ces voûtes les constructeur ont, en général, adopté des épaisseurs moindres que pour les pleine cintres et les anses de panier. C'est là un fait de pratique qui n'es^ pas en contradiction avec une théorie rationnelle de la stabilité des voûtes (1392).

En se servant des deux formules précédentes, les constructeii/s seront sûrs de ne faire que ce qui a été fait avant eux, c*est-à-dii« d'avoir une garantie expérimentale de la stabilité de leur construction, et, en même temps, de ne pas lui donner une épaisseur inutile et di^ pendieuse. «

STABILITÉ DES VOUTES. d92l

On objectera peut-être que nous ne tenons pas compte de la dureté des matériaux et que telle épaisseur qui a pu réussir avec des matériaux durs pourrait amener des accidents avec des matériaux tendres. L'épaisseur à la clef n'a pas pour résultat de diminuer la pression relative que la pierre doit supporter; nous avons vu ci-dessus que même dans l'hypothèse d'un contact uniforme, cette augmentation d'épaisseur avait une influence sur la pression relative tellement petite qu'elle avait été considérée comme nulle et môme comme agissant en sens inverse ; mais ce qu'il y a d'incontestable, c'est que cette épaisseur augmente la pression sur le joint de rupture, et comme sur ce joint a pression se concentre près de l'arête, il s'ensuit que tout ce qui augmente le poids de la voûte nuit à la solidité, et que moins les matériaux de la voûle ont de résistance, moins il faut lui donner d'épaisseur. Si le préjugé contraire existe et a fait adopter pour des voûtes de même ouverture des épaisseurs qui varient quelquefois du simple au double, c'est que la théorie des voûtes n'est pas ancienne, et l'on conçoit que ce qu'ont fait les constructeurs en l'absence de toute théorie ne saurait avoir grande autorité.

C'est pour la clefque la question d'épaisseur de la voûte aie plus d'importance, parce que de la dimension verticale de la construction résultent de grandes sujétions qui peuvent entraîner dans de très grandes dépenses sans rapport avec l'augmentation du volume de la maçonnerie. Qu'on donne à la clef 1 mètre ou 1",30 d'épaisseur, cela aura peu d'influence sur l'estimation de la dépense de l'ouvrage lui-même; mais cela peut avoir des conséquences graves sous beaucoup d'autres points de vue. Ainsi, on pourra être obligé d'augmenter la pente des abords des ponts, d'enterrer des maisons, de ne pas laisser une hauteur suffisante pour la navigation. C'est, en général, à cause du peu de hauteur dont on dispose qu'on est obligé d'avoir recours à d'autres systèmes de ponts (métalliques) qui présentent cependant des avantages bien inférieurs sous le rapport de la beauté, de la durée et de l'économie.

Pour les reins de la voûte, la question d'épaisseur a une importance beaucoup moindre; ce n'est pour ainsi dire qu'une question d'appareil, . car la maçonnerie en voussoirs doit être remplacée pour les tympans par de la maçonnerie en assises horizontales. Nous le répétons, près des joints de rupture, cette épaisseur ne saurait influer sur la pression relative, puisque dans les voûtes construites suivant les procédés ordinaires, la pression absolue passe toujours près de l'intrados.

Ainsi, une fois que l'épaisseur à la clef est adoptée, on peut tracer un extrados parallèle à l'intrados comme type, sauf à le modifier suivant des convenances d'architecture.

1395. Épaisseur des culées des yoûtes. Reste à déterminer Vépaisseur des cu/ée* (1316), c'est-à-dire de la partie de voûte qui tend à être renversée à l'extérieur et qui commence, par conséquent, au joint de rupture. Ici la théorie est complètement dans son domaine et n'a rien à demander à la pratique. On tracera la courbe des pressions et l'on s'assurera qu'elle ne sort en aucun point delà paroi de la culée (1336, 1365).

Fig. 326.

Cette condition même ne suffit pas; il faut encore que cette comk s*en tienne à une certaine distance pour que des forces accidentelles ne puissent Ten faire sortir. Quant à cette distance, elle échappe à toote espèce de calcul, puisqu'elle n'est qu'une mesure de précaution du ge&re de celle qui ne nous fait utiliser qu'une fraction delà résistance possible du fer et de la fonte dans les constructions où nous employons cesioétaux, n est évident que la position la meilleure de la courbe des pressions est celle de Taxe de la culée; mais ce serait se jeter souvent dans des dépenses inutiles ou dans des formes bien compliquées que de s'imposer une condition aussi rigoureuse. Quelques constructeurs, pourfaîredisparaître une pareille indécision, ont adopté un coefficient de stabiliii déterminé. Ainsi, l'on doit avoir :

niQH = P8.

Q poussée horizontale ;

H hauteur au-dessus de la base ;

P poids de la moitié de la Toûte et d'une culée ;

8 distance horizontale du centre de gravité de Tensemble de la demi-TOÛte etdeli

culée à l'arête extérieure de la base; m coefficient de stabilité.

m = 1 pour l'équilibre mathématique, et m est d'autant plus grand que l'équilibre doit être plus stable. Dansia pratique, on fait varier m de 1,50 à ! (n» 1316). C'est là une question de ln^ sure et de prudence; mais il est essestiel de se rappeler que dans le calcol du poids P qui contribue à la résistance, il ne faut tenir compte que de la partie du massif où il y a pression,

[ « comme nous l'avons fait remarquer an

Ainsi le massif de la figure 326 étaot q soumis à l'action d'une force inclioéf R, qui peut résulter du poids et de b poussée d'une voûte, après avoir tracé la courbe des pressions BnN [M] prenant sur chaque assise une longueur np = 2nm^ on obtient la limite FE de la partie pressée. Le solide FED se séparant du massif par son propre poids, à cause de la cohésion négligeable de la maçoDnerie, ne doit pas être compris dans le calcul de Téquilibre, et si Toi cherche de nouveau la courbe de pression en ne tenant pas compte ife ce solide, on aura peut-être une courbe telle que Bn'C ou plus avancée même et incompatible avec l'équilibre. Cette nouvelle courbe indique» une autre partie CE'EF à retrancher, d'autant plus que ces parties inutiles sont précisément celles qui, étant plus éloignées du point (ie rotation, seraient les plus énergiques pour s'opposer au renversement. En un mot, le massif n'est en équilibre qu'autant que la courbe <i< pression statique y est toujours contenue, et, dans le calcul de cette

i STABILITÉ DES VOUTES. 1923

courbe, on ne doit pas tenir compte des parties du massif qui doivent se détacher dans le mouvement virtuel produit par la fgrce extérieure.

Il résulte de ces considérations que les voûtes en arc de cercle sur pieds-droits n'ont pas une forme rationnelle au point de vue mécanique. On peut les considérer comme des pleins cintres dont on aurait remplacé la partie inférieure par une verticale. Or, il arrive que la courbe des pressions afifectant la forme d'une chaînette s'éloigne de plus en plus de la partie verticale qui, par le renversement de la voûte, tend à être soulevée et à retomber par son propre poids. Pour remédier à cet inconvénient, il faudrait bien se garder d'ajouter de l'épaisseur à la partie inférieure du parement BD ; le solide loql), quoique son moment par rapport à l'arête C soit très considérable, ne servirait à rien tandis qu'en arrière, en l'o'q'C, il s'opposerait énergiquement au renversement. Si les circonstances locales le permettaient, la position sur la partie supérieure, en B/V^'j serait encore plus favorable à l'équilibre. Il faut chrecher, en général, à ce que la courbe des pressions occupe l'axe du massif.

Une autre condition est encore nécessaire pour assurer la stabilité d'une voûte : cest que la voûte résiste au glissement, La poussée Q, étant une force horizontale (1336), ne peut être détruite que par une résistance également horizontale. Si nous supposons, par exemple, une Yoûte en arc de cercle de moins de 120" d'amplitude reposant sur un plan horizontal sans pieds-droits, le renversement est évidemment impossible, puisque la courbe des pressions, qui passe aux naissances, est comprise dans la largeur des culées ; mais si ces culées pouvaient glisser sur leur base, l'écartement des naissances amènerait la chute de la voûte. On doit donc s'assurer que ce mouvement n'est pas à craindre.

Dans les voûtes complètes, par suite de l'appareil des voussoirs, dis* posé normalement à l'intrados, le glissement n'est pas possible au joint de rupture et la vérification devra s'appliquer au joint de naissance.

Pour les voûtes incomplètes dont le joint de rupture est aux naissances, la vérification devra être faite pour ce joint. Dans ce cas, il est vrai, on peut diminuer la tendance au glissement eh prolongeant l'appareil en voussoir dans l'intérieur des pieds-droits; mais il ne paraît pas que cette disposition, qui présente des inconvénients à d'autres égards, doive toujours être économique.

Si la résistance au glissement est suffisante dans chaque cas, pour le joint de naissance, elle le sera, àplus forte raison, dans toute la hauteur du pied-droit, puisque la poussée est constante et que le poids du pieddroit au-dessus du joint considéré s'ajoute à celui de la demi-voûte.

Enfin, il faudra s'assurer encore que le glissement n'est pas possible sur le sol à la base même des culées ou pieds-droits ; mais ceci est plutôt une question de fondations.

Quant a la résistance que les culées doivent présenter au glissement, elle résulte non seulement du frottement proprement dit, mais encore de l'adhérence du mortier et de l'enchevêtrement des matériaux (1332). Elle dépend donc d'un coefficient qui ne pourrait être déterminé que

rv-- •

itii

par des expériences. Or ces expériences n*ont pas été faites, et Tonne Connaît ni pour les diverses espèces de maçonnerie, ni même pour les pierres de diverses natures, la résistance à des forces agissant parallèlement au plan de rupture.

En constatant l'absence de ces expériences, Dejardin fait remarquer, dans sa Routine de rétablissement des voûtes ^ que lorsqu'on démolit sur cintre une ancienne voûte en pierre de taille et mortier médiocre, en enlevant successivement les rangs de voussoirs à partir de la clef, les voussoirs se soutiennent d'eux-mêmes et ne peuvent même pas être détachés sans un certain effort, dès que le plan de joint forme un angle de 45*, au plus, avec Thorizontale. Il en résulte que lorsque les joints sont dressés, mais que le mortier est complètement pris, la résistance est au moins égale au poids agissant sur l'assise suivant laquelle se ferait le glissement. D'après cela, Dejardin propose d'adopter, comme donnant un excès de sécurité, Vunité pour coefficient de glissement de la maçonnerie en moellon brut et mortier de moyenne qualité dans les culées, auxquelles on doit laisser, autant que possible, le temps de prendre complètement avant de leur faire porter la voûte.

En résumé, les formules empiriques que nous avons données (i39i), et le tracé de la courbe des pressions (1395), en tenant compte de l'observation qui a motivé la figure 326, déterminent l'épaisseur de la voûte dans toutes ses parties. On remarquera que cette épaisseur n'a d'autre but que de donner à la voûte la stabilité nécessaire pour qu'elle ne soit pas renversée; nulle part, nous n'avons tenu compte du degré de résistance dont les matériaux sont susceptibles; cela tient à ce que dans les ponts la pression s'exerce toujours, non pas sur une arête mathématique, mais sur une petite surface dont l'étendue échappe à toute espèce de calcul, et dont le constructeur ne peut faire varier les dimensions que par certains artifices indépendants de l'épaisseur de la voûte. Comme nous l'avons dit, au moment du décintrement, les deux demi-voûtes s'appuient l'une sur l'autre en tournant autour de l'arête du joint de rupture. Or, pour ce joint, on ne peut calculer que la pression absolue V^P' + Q2 (1394); la pression par centimètre carré, celle qu'il importe de connaître pour prévenir l'écrasement, ne saurait se calculer, puisqu'on ignore l'étendue du contact. Eût-on même cette étendue, qu'on ne saurait guère en tirer parti; car si l'on sait ce qu'une pierre peut porter quand elle est chargée uniformément sur toute sa surface, on ne sait pas ce qu'elle peut porter quand elle n'est que partiellement chargée (1333). Quoi qu'il en soit, on voit que la considération de la résislaoce des matériaux ne conduit à d'autres conclusions, en ce qui concerne l'épaisseur de la voûte, qu'à rendre la partie supérieure au joint de rupture aussi légère que possible.

1396. Artifices de construction des voûtes. Depuis longtemps i^ constructeurs s*étaient aperçus que, par suite du mouvement des voûtes au décintrement, la pression se portait près de l'arête à l'intrados dans certains joints. Pour remédier aux inconvénients que pouvait avoir ce mouvement, Perronnet, dans un mémoire publié en 1793, intitulé:

Recherche des moyens que Von pourrait employer pour construire de grandes arches en pierre, de 200, 300,, 400 et 500 pieds d'ouverture, dit à ce sujet :

« Quand la résistance de la pierre que Ton sera obligé d'employer approchera trop près de Téquilibre avec la charge, il conviendra de faire des bossages ou des refends à chaque assise, pour Tem pécher de s'épaufrer sous une compression qui arriverait trop près de ses parements, afin de la porter plus avant dans la pierre. C'est vraisemblablement pour ce même motif qu*on a pratiqué à d'anciens monuments ces bossages et ces refends; mais ils ne sont plus présentement employés que comiùe variété dans la décoration de Tarchitecture des bâtiments moins élevés.

« On peut suppléer au moyen qu'on vient d'indiquer pour ce qui concerne la solidité, en ne fichant et ne mettant du mortier sur le lit des pierres que jusqu'à quelques pouces de leurs parements; le vide qui reste est garni d'étoupes qui empêchent le mortier de sortir; on retire ces étoupes après que le tassement est fait sur le mortier, et les joints qui restent pour lors vides sont garnis en ciment, après avoir retaillé et ; ragréé les parements à la fin des ouvrages. Cette attention qui se pratique généralement dans les travaux publics, empêche également la pierre de s'épaufrer à ses parements, parce qu'ils ne participent point au tassement qui se fait entièrement sur le reste du lit des pierres. »

On voit donc qu'à l'aide de bossages et de refends, on peut reporter la pression à 3 ou 4 centimètres du bord de la pierre, et qu'en ayant soin de ne pas garnir de mortier le bord du joint, on recule encore cette pression de quelques centimètres. Aux précautions mentionnées par Perronnet, les constructeurs en ajoutent souvent une autre, qui consiste à tenir les joints plus épais du côté où ils doivent se fermer. Cette disposition a pour effet non seulement de régulariser le joint et de dissimuler plus lard le mouvement de la voûte, mais d'augmenter l'épaisseur du mortier là où la pression doit se faire sentir avec plus d'énergie, et, par là, d'augmenter l'étendue du contact (1339).

Ces artifices paraissent être les seuls emploj'és jusqu'à présent, et ils ont assuré suffisamment la solidité des ponts dans la limite d'ouverture où l'on s'est maintenu. Dupuit pense que pour la construction des grandes voûtes, on pourrait en augmenter les dimensions en toute sécurité, en faisant usage de pierres plus résistantes pour les joints correspondant au point de rupture que pour le reste de la voûte, et qu'en taillant des refends dans ces joints on éviterait les épaufrures des arêtes. L'emploi d'une pierre difi'érente et d'un appareil difl'érent pour trois ou quatre assises ne saurait en rien gâter l'aspect de la construction; ainsi à Paris, où les ponts sont construits en calcaire, on aurait pu employer le granit pour les quelques assises correspondant au joint de rupture.

Ce n'est là, dit Dupuit, qu'un palliatif de l'inconvénient de la position de la pression près de l'intrados, et il propose de ramener cette pression au centre du joint, par une disposition qui consisterait à rem-

itse

t»JV

placer, du côté de Fintrados {^fig, 327), le prolongement du joint par une Fjg. 327. ligne faisant avec celui-ci un angle très obtus rac-

cordé par une courbe sur laquelle roulerait la voûte au décinlrement, si cette partie du joint n'était garnie que d'étoupe. On déterminerait ainsi un point de passage obligé de la courbe des pressions, qui la placerait comme on voudrait par rapport à l'intrados; on pourrait faire quelque chose d'analogue à la clef. Il n'y aurait plus alors rien d'indéterminé dans le tracé de la courbe des pressions; ce qui permettrait de la faire passer par le milieu de tous les joints, en faisant varier convenablement le poids de la voûte. Il est inutile que cette articulation se trouve précisément au joint de rupture, et il convient de la placer dans un point accessible après le décintrement, afin qu'on puisse mieux observer ce qui s'y passe, et garnir le joint aussi facilement à l'extrados qu*à l'intrados.

La voûte étant ainsi construite, la rotation au moment du décintrement se ferait nécessairement autour du point de contact, qu'on pourrait placer de 2 à 3 centimètres en arrière du centre du joint, si Ton désirait absolument que la pression passât par ce dernier point. Il est évident que les deux pierres en contact seraient dans des conditions bien plus favorables à la résistance que dans le système de la pose ordinaire. Il serait facile même d'expérimenter dpnori la résistance dans ces conditions. D'ailleurs, comme nous venons de le dire, rien n'empêcherait de prendre pour ces deux rangs de voussoirs des pierres d'une qualité excessivement dure. Remarquons même que la pose de ces deux voussoirs, de chaque côté de la voûte, ayant pour résultat de faire passer la courbe de pression par le milieu de tous les autres, permettrait d'employer pour ceux-ci des matériaux moins résistants que ceux qu'on s'impose aujourd'hui dans l'indécision où l'on se trouve pour le passage de la courbe des pressions.

Les avantages de porter la pression sur le milieu du joint sont incontestables sous le rapport théorique, et il n'y a d'objections possibles que sous le rapport pratique; mais il nous semble que ces objections disparaissent au premier examen. Il n'est pas rare, en effet, dans les constructions publiques, de voir des pierres supportant des charges énormes; dans les ponts métalliques, les poutres ou les arcs reposent sur les pierres des culées et des piles; sur les piliers des ponts suspendus, les câbles s'infléchissent ordinairement sur un rouleau en fonte qui porte sur une plaque de fonte reposant sur une pierre; les portes gigantesques des écluses à la mer et les ponts tournants reposent sur des pivots qui transmettent leur pression à des pierres de taille. Ces pierres résistent parfaitement aux pressions considérables qui leur sont transmises, parce que ces pressions ont lieu seulement sur la partie centrale de leur surface. On pourrait d'ailleurs augmenter cette résistance en intercalant au point de contact des plaques de fonte encastrées dans les deux voussoirs, de manière que la surface métallique remplaçât celle

STABILITÉ DES VOCTES. 1927

de la pierre. Enfin, une feuille de plomb de 3 à 4 millimètres d'épaisseur interposée entre les deux surfaces métalliques pourrait préserver le métal lui-même contre l'effet de la concentration de la pression sur un point isolé; une fois la voûte décintrée, le joint garni de mortier ne différerait en rien des autres joints de la voûte.

Dupuit ne conseille pas d'ailleurs de recourir à ce système pour toutes les voûtes. L'expérience démontre, en effet, que dans un grand nombre de cas, le procédé ordinaire n'amène aucune espèce d'inconvénient; il n'y aurait donc aucun avantage à le compliquer; mais quand les voûtes ont de grandes portées, que le joint de rupture se trouve aux naissances, que les matériaux sont peu résistants, alors le constructeur devra avoir recours aux divers procédés que nous venons d'indiquer, en employant les plus efficaces pour les cas les plus difficiles. Leur avantage serait surtout de permettre d'exécuter des voûtes d'une plus grande ouverture qu'on ne l'a fait jusqu'à présent. En effet, dès qu'on parvient à faire passer la pression par le milieu des joints, la limite de l'ouverture des voûtes, qui était indécise dans le système actuel, devient susceptible d'être calculée comme la hauteur maximum des piliers qu'on peut construire, puisque la résistance des matériaux y est mise en jeu de la même manière.

1397. Exemple de calcul de deux voiites d'ouvertures différentes i^fig» 328). Nous empruntons en partie les données suivantes k la Semaine des Constructeurs, Ces voûtes sont construites en moellon et mortier hydraulique. Au-dessus des voûtes se trouve une rampe JE' et à la suite une plate-forme horizontale E'X. Une surcharge irKE'^E' d'un mètre de hauteur est placée sur la grande voûte. Cette surcharge pèse 2000 kilog. le mètre cube. Le remblai au-dessus des voûtes pèse \ 600 kilog. le mètre cube. La maçonnerie des voûtes pèse 2200 kilog. le mètre cube. Pour tenir compte de la différence de densité, on réduit les hauteurs du remblai dans le rapport de 1600 à 2200 ou de 8 à H ; ce qui conduit à remplacer la ligne droite IJE'X par la ligne sinueuse

JBE' qui sert de limite au remblai de la voûte. On procédera de

même pour représenter la surcharge en réduisant ses dimensions verticales dans le rapport des densités 2000 à 2200. On obtient ainsi la limite rj'B"E" pour la limite de la surcharge. Cela fait, pour évaluer les .poids des diverses fractions de l'ouvrage, voûte, remblai et surcharge,

on évaluera les aires comprises entre l'intrados et la limite F J' CE"

et on les multipliera par la densité 2200 kilog.; ce qui donnera les poids par mètre courant dans le sens de l'axe longitudinal de la voûte.

Pour calculer approximativement les pressions sur la pile intermédiaire et sur les deux culées , considérons dans la grande voûte , à gauche, deux plans de joints AB, a6, vers les reins, et cherchons les pressions supportées par ces plans. A cet effet, fractionnons l'ouvrage par des plans verticaux BB'B'', DCC, 6EE'E'', et évaluons le poids du massif ABB'B"C"D. Ce qui donne Pi = 10500 kilog. Déterminons le centre de gravité de ce massif : menons une horizontale au tiers de l'épaisseur de la clef du côté de l'extrados. Cette horizontale rencontre

en C la verticale passant parle centre de gravité du massif. Construisons un triangle rectangle dont la bauteur soit égale à 1050O kilog. et dont

Fig. 328.

l'hypoténuse passe au tiers (côté de l'intrados) du joint AB considéré. Ce triangle donne pour la poussée au sommet de la voûte :

Base H = 7200 kilog.

Lîi pression sur Je joint AR est donnée par l'hypoténuse :

Ri = 12800 kilog.

Ensuite, on calculera le poids de toute la partie de la culée située à gaiiclie cîa plan vertical BB", c'est-à-dire du solide ARB'TÏMNA ; ce gui donne 28000 kilog. environ. Ce poids composé avec la poussée R^ donne la résultante R.^ = 38000 kilog. qui est la pression sur la base MN de la culée. La distance Mu = 0",68 : par suite la charge par mètre carré tout près de l'angle M est (1334) :

En prenant :

R = 38000 MNe = 2",00 Mmd = 0",68,

on trouve P = 38700 kilog. par mètre carré ou 3*^^87 par centimètre carré, ou un peu moins en remplaçant R par sa composante normale.

En admettant que le moellon à mortier hydraulique puisse présenter une résistance permanente de 1/20 de la charge d'écrasemenl, il faut quele moellon employé puisse porter au moins 38700 X 20 = 774000 kilog. ou 77^8,4 par centimètre carré.

Pour la pile intermédiaire , on calculera les pressions sur les plans de joints ab, a'b'. Ces pressions Rg et R; donnent la résultante R = 10500 kilog. On calculera le poids P^ du massif Wab E'6'6'a'N , ce qui donne 17000 kilog.; puis on composera la résultante R avec ce poids P^; ce qui donne la résultante R5 = 31000 kilog. qui passe à 0™,375 de l'arête N; par suite, la pression maximum rapportée au mètre carré près de Tarête N a pour valeur d'après la formule (1) cidessus :

P = 55280 kilog-

ou 5*^8,5 par centimètre carré.

Enfin, la. culée à droite se calculera de la même manière en composant la poussée oblique R' = 5800 kilog. sur le joint a"6'' avec le poids P' = 27000 kilog. du massif M V6'TXN"; ce qui donne la résultante fi nale R'' = 32000 kilog. qui passe à la distance m' N" = 0»,625 de l'arête N" la plus proche. La charge par mètre carré est donc d'après la formule (1) :

P = 37 300 kilog.

La charge réelle serait un peu moindre par la raison qu'en toute rigueur, il faudrait prendre la composante normale à la base horizontale M"N" de la culée.

1398. Fouilles souterraines (voir Art de construire, n° 229, pour l'exécution des fouilles dans les terrains mouillés ou traversés par les eaux). Lorsque les tranchées atteignent une profondeur telle que la surface du sol est à 7 ou 8 mètres au-dessus de l'extrados de la voûte du passage à 'établir, on conçoit que la fouille de l'énorme quantité de déblais, et sa mise en cavalier, ou son transport à une grande distance, entraînent dans des frais considérables de main-d'œuvre et d'acquisition de terrain pour dépôts, et que très souvent, au lieu d'opérer à ciel ouvert, il puisse y avoir économie à opérer souterrainement, surtout si les berges des tranchées, au lieu de pouvoir être dressées suivant le talus naturel des terres, doivent être taillées à pic, disposition qui occasionne ordi-

nairement des dépenses et des difficultés d'étayement et de soutènement considérables.

Quoiqu'il ne puisse y avoir de règle fixe pour donner la préférence à Tun ou à Tautre de ces modes d'opérer, dans les travaux déroutes, de chemins de fer ou de canaux, on admet cependant que lorsqu'une tranchée doit avoir 8 à 10 mètres de largeur au fond, que les berges peuvent être inclinées suivant le talus naturel des terres, et que la profondeur dépasse 16 mètres, il y a avantage à établir un tunnel, quoique les difficultés d'exécution soient presque toujours plus grandes.

Pour des tranchées étroites dont les berges coupées à pic doivent être maintenues au moyen d'étayements pour pouvoir construire les galeries, l'économie et la prudence pour assurer la sécurité des ouvriers se réunissent pour prescrire la substitution du percement souterrain à la tranchée à ciel ouvert, dès que la profondeur de celle-ci atteint 10 à 12 mètres.

L'exécution de la fouille proprement dite s'effectue avec les mêmes outils et à très peu près par les mêmes moyens que pour les tranchées à ciel ouvert (1268) ; seulement on doit la faire précéder de travaux préparatoires, ayant pour objet d'assurer toute sécurité aux ouvriers, et consistant notamment dans l'étayement, le blindage et le rauraillemeat des galeries, ainsi que dans l'emploi des moyens de ventilation.

Les fouilles de souterrains s'attaquent ordinairement à la fois parles deux extrémités et par des puits que Ton pratique de distance en distance sur toute l'étendue de la percée, et autant que possible sur l'afl des côtés de la galerie, afin d'assurer la sécurité des ouvriers. Les déblais des extrémités s'enlèvent le plus souvent à la brouette, au tombereau ou au wagon. Pour racheter ladiff'érence de niveau du sol naturel et du fond du souterrain, on établit parfois des plans automoteurs sur lesquels, à l'aide de cordes passant sur des poulies, les wagons pleins en descendant remontent les wagons vides (1033). Le montage des déblais enlevés par les puits s'effectue au moyen de treuils ou autres machines établis à l'orifice de ces puits.

1399. Excavation souterraine dans un terrain de rocher. Lorsque le terrain est assez dur pour ne pas nécessiter de revêtement en maçonnerie, on commence le travail en entrant en très petites galeries par les extrémités, et en perçant les puits sur l'axe ou mieux sur l'un des côtés du souterrain. La distance entre ces puits dépend de la rapidité d'exécution que l'on veut obtenir. Avec les premiers déblais, on élève de l-,50 à 1",75 les bords des puits, afin d'éloigner les eaux pluviales et de faciliter le déchargement des bennes et le chargement des déblais en tombereau ou en wagon. Lorsque les puits sont arrivés à la profoftdeur voulue, on perce, en avant et en arrière de chacun d'eux, dans l'axe du souterrain, une petite galerie d'aoce^ qu'on désigne sous le nom de trou de rat, et dont les dimensions sont de 1",50 à 1",80 de hauteur sur 1 mètre à l-,50 de largeur. Parfois on attaque presque en entierle demi-cercle supérieur de la galerie, en agissant toujours sur unesft:tion suffisante pour permettre le roulage de petits wagons de terrasse-

nent sur chemin de fer; Cette partie supérieure, appelée couronne ? avancement^ se perce entièrement d'un puits à l'autre avant d'attaquer a partie inférieure. S'il arrive qu'on rencontre l'eau, on descend les mits à 1™,50 ou 2 mètres en contre-bas du sol de la petite galerie, et à a hauteur de ce sol on les recouvre d'un fort plancher, percé seulenent de trous pour le passage des tuyaux des pompes d'épuisement, esquelles sont mues par des hommes, des chevaux ou des machines à rapeur, selon le volume d'eau à épuiser.

Les eaux sont amenées dans chaque puits par une petite rigole de }"*,*50 de largeur environ, qui est creusée assez profondément dans le sol de la galerie pour que les eaux s'y écoulent facilement. Cette rigole se recouvre au moyen de planches, ou mieux de pierres plates quand Les déblais en fournissent.

Si l'on a commencé par une petite galerie d'axe, après l'avoir percée dans toute l'étendue du tunnel, afin qu'elle permette de fixer exactement la direction de celui-ci et de donner écoulement à l'eau de l'amont vers l'aval, on procède au déblayement complet de la couronne d'avancement. Ce travail terminé, on procède à la fouille du revanche, c'està-dire de la partie inférieure comprise entre les pieds-droits du tunnel, en ayant soin de se débarrasser des eaux par les mêmes moyens, et en prenant toutes les dispositions d'étayement et de blindage nécessaires, ainsi que les précautions que nous avons indiquées au n° 1273 pour Textraction.de la roche au moyen de la poudre.

1400. Excavation souterraine dans un terrain ordinaire, sable, tuf, marne, etc. Dans un terrain qui n'est pas susceptible de se soutenir sans un revêtement en maçonnerie, on commence par creuser les puits jusqu'à 2 mètres environ en contre-bas du sol de la petite galerie, pour faciliter l'assèchement du terrain à fouiller. Au fur et à mesure de la descente des puits, on a soin de les blinder à l'aide d'un cuvelage en planches ou en madriers retenus par des cercles en fer ou en bois. Il convient de diviser ces puits en plusieurs compartiments verticaux à l'aide de cloisons en planches : dans l'un on dispose les échelles destinées à la descente et à la montée des ouvriers; un second est spécial au service des treuils, et il est bon qu'il y en ait un troisième pour les pompes. Quand les puits sont creusés, on les recouvre avec soin, à la hauteur de la galerie d'axe dite trou de rat, d'un fort plancher à travers lequel passent les tuyaux de la pompe d'épuisement. On perce alors la galerie d'axe, à laquelle on donne environ 1",80 de hauteur sur 1 mètre à i^^fiO de largeur, et que l'on a soin de blinder et de soutenir à mesure qu'elle avance, si le terrain n'a pas assez de consistance pour se soutenir de lui-même. Le ciel ou plafond de cette petite galerie d'axe doit se trouver, autant que possible, à la hauteur définitive de l'extrados de la voûte du souterrain.

Le plus souvent, le blindage en charpente est posé par les ouvriers mineurs, et il se compose généralement, comme le montre la figure 329, en élévation et en plan, de cadres formés de deux traverses horizontales T, de 0",20 sur 0"',20 d'équarrissage, et de deux poteaux légèrement inclinés