X — £ H NI MI
DF "■ Ml' '
ou
égalité qui indique que les trois points N, D, M doivent être en ligofi droite (la résultante du poids II et de la poussée correspondante q doit en effet passer par D et N). Donc, prolongeant la droite ND jusqu'à l'horizontale Ktl, la verticale menée par le point obtenu M limite la ' partie de voûte sur laquelle toute charge additionnelle contribue àb stabilité. Ainsi, tout poids ajouté à gauche de M a pour effet de rendre l'équilibre plus stable en éloignant le point N de S; c'est ce qui fai^ que le remplissage des reins, au-dessus de ÂFG, a porté la courbe
Fig. 302.
pression de KDN en KDN', parce que le centre de gravité du solide ajouté se trouve à gauche de M. Un effet tout opposé aurait lieu si Ton chargeait la partie MK, surtout vers le point A; le point N atteindrait le point S, et une fois qu'il l'aurait dépassé, la culée se renverserait en tournant autour de ce point, tandis que la voûte tournant autour du point D tomberait à Fintériçur.
Il y a donc deux moyens de s'opposer à l'effet de la poussée : c'est d'abord d'augmenter l'épaisseur de la culée, et ensuite d'augmenter la charge des reins. Si l'on voulait, par exemple, amener la courbe de pression en N", milieu de ST, on tracerait la droite N"DM", et l'on augmenterait la charge à gauche de la verticale menée par M". Nous reviendrons sur ce résultat (1373).
1368. Considérons maintenant une voûte complète {fig, 302). Prenant
encore le milieu K de l'épaisseur à la clef pour point d'application de la poussée, si le point $, situé sur l'intrados au milieu de la montée, est le point dé rupture, la tangente tg à l'intrados au point $ rencontre l'horizontale menée par K au même point g que la verticale G^ tracée par le centre de gravité G de la partie de voûte sans surcharge ABSf , et alors on peut tracer la courbe de pression K$N dans toute l'étendue du massif (1365). Si la verticale menée par le centre de gravité G rencontrait l'horizonlale K^ en 'un point g' ou g'* autre que g^ le point 8 ne serait pas le point de rupture, et il faudrait pour le déterminer avoir recours au procédé de tâtonnement indiqué auin'^ 136i. Le point de rupture une fofs déterminé^ il servirait, avec le point K, à tracer la courbe de pression, comme on vient de l'indiquer pour la courbe K8N.
La surcharge de la voûte jusqu'à la ligne UV a po-ur effet de faire descendre le point de rupture de 6 en l' (1367). Ce dernier point se> trouve facilement par tâtonnement au moyen de la condition que la' tangente à l'intrados en ce point doit passer pav la projection du centra de gravité de la partie supérieure de la voûte surëhargée 9ur la di-: rection de la poussée (1369). On trace alors, par K et B', la courbe K.5'N1 relative à tout le massif (1365).
Si Ton voulait déterminer la limite verticale des charges qui conti*!bueraient à la stabilité de la voûte, on prolongerait la/ droite N'd^ jusqu'à l'horizontale K^, et la verticale menée par le point dé reincontre M serait! la limite cherchée (1365).
Dans cet exemple et dans celui du numéro précédent, orï ne doit pas tenir compte des charges qui se trouvent à gauche* du joint de rupture $YL' pour le tracé de la courbe de pression dans ]la>partier d'B de isl
-- f-Tl — H-
voûte; mais on en tient compte pour le tracé de cette courbe dans la partie de voûte inférieure au point Zf,
On voit que les voûtes complètes, en plein cintre ou eUiptiques, n'offrent pas plus de difficultés que les voûtes incomplètes qaaotaa tracé de la courbe des pressions.
1369. Considérons maintenant une voûte en ogive {fig. 303), c'est-àdire une voûte dont Tintrados est formé Fig. 303. pj^j. ^gy^ ^j.^,g gg coupant à la clef suivant
A un angle plus ou moins ouvert, ta J\ avons vu que dans ces voûtes le point d'application de la poussée se rapprochait plus de l'intrados que de l'extrados (1358); mais comme il est indéterminé, supposons-le d'abord au milieu K du joint, et traçons la courbe des pressions dans cette hypothèse. Pour cela, on divise, comme nous l'avons indiqué au n* 1336, la voûte en un certain nombre de parties d'un égal volume, et l'on détermine sur l'horizontale - Kg^ les projections g^, g^-.- des centres de gravité des parties de voûte Bi, B2... Faisant alors rouler une règle tangentiellement à l'intrados jusqu'à œ que le numéro qu'elle indique sur cet intrados soit égal à l'indice de It lettre ^ sur l'horizontale K^^, comme pour la figure 303 cette coïncidence a lieu au joint 3, le point 3 est le point de rupture, et l'on peut tracer la courbe de pression K3N à l'aide des deux points K etSoo mieux des tangentes K^^, et 3^,. On peut, du reste, déterminer le poini de passage de cette courbe sur chaque joint et la tracer avec toute ii rigueur désirable (1365).
Comme le montre la figure 303, la courbe de pression K3N des voûtes en ogive perce le plan des naissances tout près de l'intrados, ce qui indique qu'il y a peu de tendance au renversement extérieur. On peut, du reste, s'assurer que ce renversement est réellement impossible, cd traçant une nouvelle courbe de pression par le point B, ou seulement en menant la tangente à l'intrados au joint de rupture relatif à ce point* après avoir descendu sur l'horizontale menée par B les projectioBS des centres de gravité; on reconnaîtra facilement que le nouveaa point de rupture 6 est situé un peu au-dessus du premier, etquela tangente à l'intrados en ce point diffère très peu de celle menée an point 3.
Quand cette vérification, qu'on peut considérer comme à peu pré* superflue dans l'exemple de la figure 303, est faite, il convient de s'assurer de la stabilité de la partie supérieure de la voûte par rapport an renversement extérieur. Si le point K est le point d'application del» poussée, le tracé de la courbe de pression R3 donne toute satisfaclioa à cet égard ; mais il peut très bien 9e faire que, par le mode de construction de la voûte, ce point d'application remonte vers A; si, par exempfc
le joint à la clef était ouvert à Tintrados par construction et que le décintrement ne Teût pas complètement fermé, le point d'application de la poussée pourrait se trouver tout près de A. Or, la courbe des pressions qui a son sommet en A sortant de Tintrados (ce qu'indique le tracé ponctué Al), la partie supérieure de la voûte se renverserait à Textérieur, ce qui permettrait à la partie inférieure de tomber en dedans.
Ainsi, quoique la voûte figure 303 soit stable si sa construction ne présente rien de particulier, puisqu'alors la poussée passe plutôt au-dessous qu'au-dessus du point K, il peut arriver qu'elle tombe au décintrement si un vice de construction fait monter le point d'application de la poussée vers le sommet. On peut prévenir cet accident en augmentant l'épaisseur de la partie supérieure de la voûte à partir du point 2, comme l'indique la ligne ponctuée A2, ou, ce qui serait plus hardi, en enlevant le sommet jusqu'au niveau de la ligne K^4, ou, ce qui reviendrait au même^ en refouillant le joint de la clef depuis le sommet jusqu'au point K.
Si la voûle portait une surcharge, les conditions d'équilibre ne seraient pas plus difficiles à trouver.
1370. 11 nous reste à examiner le cas des voûtes en plate-bande, c*est-
à-dire de celles dont l'intrados est ^'^ ^^^' une horizontale (fig. 304). Il est clair
que pour ces voûtes, comme pour les voûtes incomplètes (fig, 301), le joint de rupture se trouve aux naissances D et D', puisque c'est évidemment en ce point que se trouve le maximum du moment de renversement. Donc si K est le point d'application de la poussée à la clef au moment du décintrement , la courbe dynamique passe par les points K et D, et se confond avec la courbe ^}p' statique quand l'équilibre est élabli
^ ' (1352). Quant à la position du point K,
elle est toujours indéterminée, mais moins que dans les autres voûtes (1367 à 1369). En effet, il est évident que le point B descend d'une petite quantité au décintrement, qu'alors le joint s'ouvre en ce point et que la pression y devient nul(,e; par suite, AK est égal tout au plus au tiers de AB (1134). On devra donc dans le calcul de la poussée supposer AK égal au tiers de AB, puisque c'est l'hypothèse qui donne le maximum <ie cette poussée.
D'après Coulomb, pour que les joints d'une plate-bande soient norznaux à la résultante des pressions (1343), ils doivent être dirigés suivant les rayons d'un même cercle. Ëa effet, £F étant un joint quelconque, menons l'horizontale Kg, et du point de rencontre g de cette horizontale avec la verticale sT^ passant par le centre de gravité du voussoir ABFE, menons la perpendiculaire gn sur le joint ËF. Cette
perpendiculaire pourra être considérée comme étant la résultante des pressions sur le joint EF (1333, 1365), et si Ton termine le triangle rectangle gnh qui a gn pour hypoténuse, les côtés gh et hn sont proportionnels au poids p du voussoir ÂBFE et à la poussée horizontale Q qui agit en K ; ainsi Ton a :
hn Q
mais les triangles semblables BOF et hng donnent :
BO hn Q „ , i>A r^^
— = —-==, dou BO = Q-»
X gh p ^p
Or le poids p étant proportionnel à la surface ABFE, et celle-ci à 6F ou X, on voit que la valeur de BO est indépendante de x^ et que tous les joints se rencontrent au même point 0 de la verticale AB. Pour déterminer ce point, il faut remplacer Q par sa valeur dans Texpression ci-dessus. Supposons, pour simplifier, la voûte terminée aux naissances par des plans verticaux, le point g^ étant alors le milieu de la largeur de la demi-voûte, h'iy est proportionnel à la poussée Q et g'h' au poids P de la demi-voûte ; de sorte qu'en appelant a la demi-ouverture et y la hauteur KB, on a :
Q h'jy a ^ Pa
et par conséquent, en remarquant que - = ~>
„^ Pa a a* B0= s- X K = S —
Pour construire BO, on prend KK' = KB, et par les points K' et D oo trace une demi-circonférence K'DO ayant son centre sur le prolongement de AB, laquelle détermine BO. En effet, d'après les triangles OBDf et lyh'g'f on a :
BO iyh' Q
BD'~ gh' " P'
ce qui montre que BO représente la valeur de la poussée Q, quand le poids P de la demi-voûle est représenté par a.
Enfin, faisant passer une circonférence, ayant son centre mr fiO, par les points K et D' qui appartiennent à la courbe des pressions, on a^ en appelant R le rayon de cette circonférence :
R* = a«-f(R^y)«, d'où R=g + |,
équation qui fait voir que le centre 0' de cette circonférence n'est qu*à une distance égale à | du point 0 obteau ci-dessus, quantité négligeable par rapport au rayon.
On peut donc poser comme règle pratique que, dans une plate-bande, les joints normaux à la résultante des pressions se confondent avec les rayons de la circonférence qui passe par les naissances et par le point d'application de la poussée. Si Ton prend un rayon plus petit, cela n'a d'autre inconvénient que de donner des angles de voussoirs trop aigus, sans utilité pour la stabilité de la voûte; si Ton prend un rayon plus grand, les voussoirs ont une tendance à glisser.
Une charge uniformément répartie sur toute l'étendue de l'ouverture de la voûte ne modifie pas le tracé des joints, puisque le rapport
- ne change pas, La pression qui agit sur chaque joint augmente, mais
ne change pas de direction.
1371. Examinons ce qui se passe au décintrement dans une voûte
dont l'intrados n'est pas sy- ^^' ^^'- métrique {fig. 305). 11 est évi-
dent que la grande voûte tourne autour du joint de rupture 8 comme si elle était contre-butée par une demivoûte symétrique, et qu'elle ne s'arrête que quand la poussée de la petite voûte est devenue égale à celle que produirait la voûle symétrique. Ainsi, dans la grande demi-voûte, tout se passe comme si la voûte entière était symétrique, et la courbe de pression se détermine de la même manière (1368); mais dans la petite voûte, la poussée devenant égale à celle de la grande voûte, et dépassant par conséquent celle qui se serait spontanément produite, la courbe de pression KN' doit être tracée au moyen de l'intensité de la poussée de la grande voûte (1336); d'où il suit qu'elle s'avance plus ou moins dans l'intérieur de la maçonnerie, que par suite il n'y a plus de point de rupture à l'intrados, et qu'il peut même passer à l'extrados et il peut même y avoir renversement de la voûte. Le tracé de la courbe de pression ne présente donc pas plus de difficulté pour ces espèces de voûtes que pour les voûtes symétriques; car une fois la courbe tracée dans la demi-voûte où la poussée est la plus grande, et cela au moyen du point K et du joint de rupture 8 (1336), on connaît pour l'autre côté de la voûte l'intensité de la poussée et son point d'application, ce qui permet de tracer entièrement la courbe (1" du n* 1337).
Quant au point d'application K de la poussée sur le joint de la clef, il est évident que cette disposition de voûte est de nature à la faire descendre vers l'intrados. En effet, les raisonnements que nous avonç faits au sujet des voûtes symétriques ne sont plus applicables (1355); mais le joint AB se portant à droite de la verticale par suite du léger renversement de la petite voûte en arrière, la pression augmente en B et diminue en A, et la résultante doit descendre vers le point B. Il est donc prudent de vérifier les conditions d'équilibre de la petite demi-voûte
Fig. 306.
Fig. 307.
et de son pied-droit en supposant que B est le point d'application de la poussée.
1372. Les arcs rampants n'étant qu'un cas particulier de voûtes non symétriques (fig. 306), on en détermine les conditions d'équilibre en
opérant comme pour ces dernières (1371). Ainsi, menant une tangente horizontale à l'intrados et traçant par le point de contact le joint vertical ÂB, on a, à gauche de À6, un arc dont on détermine les conditions d'équilibre comme ponr une voûte symétrique. L'intensité de la poussée étant donnée par cette première opération , on en conclut la courbe des pressions pour le petit arc situé à droite de ÂB.I1 est évident que ce procédé s'applique à toute espèce de courbe et à toute espèce d'inclinaison.
1373. Lorsqu'une voûte n'est pas symétriquement chargée {fig. 307), il se passe quelque chose d'analogue au cas des voûtes non symétriques (1371). Non seulement le point de rupture peut quitter l'intrados de la demi-voûte la moins chargée, mais même se transporter à l'extrados.
On commence par chercher le point de rupture $ du côté le plus chargé de la voûte; ce point se trouve plus bas que dans le cas ordinaire (1362, 1363), parce que la tangente à l'intrados en ce point, devant rencontrer la verticale passant par le centre de gravité sur l'horizontale menée par le point d'application K de la poussée (1361), sera nécessairement plus inclinée dans le cas qui nous occupe. Quoi qu'il en soit, on arrivera facilement par tâtonnements à déterminer la tangente Sçr passant par la projectionsor K^r du centre de gravité de la partie de voûte supérieure au joint de rotation (1361). Le point $ étant déterminé, on trace facilement la courbe des pressions Kn8N (1334), celte courbe présente un angle en »à cause de la discontinuité de la charge. La poussée horizontale en K étant connue, on trace l'autre branche K/i'N' de la courbe de pression; la partie Kn' est symétrique de Kn, mais la partie n'N' s'écartant beaucoup plus de l'intrados que la partie nN, il en résulte que si la calée de droite n'avait pas une épaisseur suffisante, elle serait renversée à l'extérieur, poussée par la demi-voûte du côté gauche, qui tournerait autour du point S.
Du côté de la charge, la courbe de pression rencontrant la base an point N situé tout près de l'intrados, on voit qu'on peut suppléer « l'épaisseur de la culée par une charge sur les reins de la voûte (1367,1363).
1374. En résumé, pour s'assurer de la stabilité d'une voûte en berceau, il suffit de tracer sur son profil la courbe des pressions, et de s'assurer que cette courbe ne touche Textrados en aucun point. Pour tracer la courbe des pressions, on cherche d*abord les points de rupture de la voûte, c'est-à-dire les points de Tintrados où la tangente passe par la projection, sur la direction de la poussée, du centre de gravité de la partie de voûte supérieure à ces points (1361, 1362). Le point d'application de cette poussée à la clef est indéterminée mathématiquement, mais renfermé entre des limites assez rapprochées (1367, 1373) pour que le constructeur soit assuré que, quoi qu'il arrive, l'équilibre sera maintenu.
Le problème de la stabilité des voûtes se résout donc complètement a l'aide d'un procédé graphique très simple.
1375. Comparaison de la théorie de Dupuit à celle de Méry. Dans la théorie de Méry (1318), le champ où la courbe de pression peut venir se placer n'a d'autres limites que celles des voussoirs eux-mêmes; dans la théorie de Dupuit, il est beaucoup plus restreint : la condition du point de rupture à l'intrados le réduit d'abord de moitié; la condition du point de passage de la poussée, tantôt au-dessus, tantôt au-dessous de la moitié de l'épaisseur à la clef, selon la nature de la voûte, le réduit encore à la moitié de ce qui reste (1374). Il en résulte qu'au-dessus du point de rupture, l'indétermination est réduite de plus des trois quarts; au-dessous, elle disparaît presque entièrement.
Méry attribue l'indétermination que sa construction graphique laisse à la position de la courbe de pression au tassement de la voûte, tassement dont on ne sait pas tenir compte avec exactitude (1319, 1350)- Ce n'est, dit-il, que par des considérations plus ou moins incertaines sur les effets de tassement que Ton pourrait prévoir quelle est celle qui doit se réaliser. 11 en est effectivement ainsi ; mais il faut distinguer dans le mouvement des voûtes deux espèces de mouvements : l'un nécessaire, inévitable et indispensable, qui a pour résultat d'amener l'équilibre par la production de la poussée, c'est le mouvement virtuel de rotation qui fait que les deux parties supérieures de la voûte s'appuient l'une contre l'autre; l'autre accidentel, qui tient à la manière dont la voûte a été construite, à la dureté des mortiers, au plus ou moins de solidité des culées, etc. Celui-ci, en effet, est incertain et inaccessible au calcul, puisqu'il dépend de circonstances tout à fait fortuites; mais, comme le démontre Dupuit, les résultats de ce mouvement accidentel sont renfermés dans d'étroites limites.
CONDITIONS DE STABILITE d'uN ASSEMBLAGE DE VOUTES.
1376. Massif soumis à une force quelconque. Les ponts, les grands viaducs et les édifices étant souvent composés de plusieurs voûtes dont les poussées réagissent les unes sur les autres et modifient leurs conditions d'équilibre, et une voûte unique étant souvent poussée par des terres que soutiennent ses culées, il est essentiel de se rendre compte
Iê96
Lv^L'
Fig. 308.
de Taction des forces extérieures sur une voûte quelconque. De plus, un assemblage de voûtes étant toujours soutenu par des piles ou piliers de l'équilibre desquels dépend celui de la voûte, il s'aigit d'examiner d*abord, d'une manière plus complète qu'aux numéros 1338 à 4349, l'équilibre de ces massifs verticaux.
Quel que soit le nombre d'étages des voûtes qui reposent sur un pilier, celui-ci est soumis à une force inclinée R, dont la composante verticale V représente le poids d'une partie de la voûte, et la composante horizontale Q sa poussée (fig. 308). Dans sa généralité, le problème ne présente pas plus de difficulté que le tracé de k courbe de pression. Ainsi, à partir du point g, rencontre de la force R avec la verticale passant par le centre de gravité d'une tranche quelconque du massif, prenant gr et gp proportionnels respectivement à R et au poids de la tranche, le point où la diagonale ^R' rencontre la base de la tranche considérée appartient à la courbe des pressions, dont on peut ainsi déterminer autant de points qoe l'on veut, gp étant proportionnel au poids total du massif ABDC, le point N est le point où la courbe de pression rencontre la base CD.
Quoique l'on puisse, par cette méthode, toujours tracer la courbe des pressions dans un massif vertical, il est utile d'avoir une idée précise de la nature de cette courbe, parce que cela permet de résoudre beaucoup de problèmes pratiques à la seule inspection des figures, et que pour les autres problèmes il suffit de déterminer un petit nombre de points. Appelant :
Ç l'abscisse de la résultante du poids de la tranche considérée et de la force TCrti-
cale V, en prenant pour origine le point d'application n de la force R ; Y l'abscisse du centre de gravité du pilier,
l'équation générale de la courbe de pression étant (1335, 1347)
comme pour un massif vertical et prismatique divisé en assises horizontales, on peut poser :
a quantité constante égale au produit pede la densité p de la maçonnerie par l'épaisseur e du massif.
Les forces verticales p et V donnent :
Ç:y = p:(v + p), d'où
remplaçant ;? et Ç par leurs valeurs dans l'équation de la courbe des pressions, on en conclut l'équation suivante :
qui représente une hyperbole. Pour y = od, on a :
on voit que cette hyperbole a une asymptote verticale située à la distancé — + Y du point n, c'est-à-dire à la distance — du centre de gravité du massif. D'après Téquation (1), cette verticale est celle qui correspond au cas où V = 0, c'est-à-dire au cas où il n'y a qu'une poussée horizontale Q. Nous avons vu, en effet, que dans ce cas la courbe de pression se réduit [Jig, 288) à la droite çN, qui est parallèle à la verticale g^ contenant les centres de gravité.
Si le pilier n'est soumis qu'à la force horizontale Q, appliquée au point extérieur B, l'équation (2) donne pour a; = e, c'est-à-dire pour le cas où la courbe de pression se confond avec l'arête extérieure AC, en
remarquant que a = peetY=5^'
On peut arriver à cette formule en égalant simplement les moments des forces par rapport à l'arête extérieure C; ainsi l'on a, H étant la hauteur du massif:
Qll = peHx|.
Cette équation donne bien pour e la valeur ci-dessus, qui est indépendante de H, parce que la ligne de courbe se confond avec l'arête AG.
Pour Q = 9000 kilog et p= 2000 kilog., la formule (3) donne e = 3"^ pour l'épaisseur de culée mathématiquement suffisante pour une hau- • teur quelconque.
De ce qui précède, il résulte que dans un pilier vertical qui sert de culée à plusieurs étages de voûtes, la courbe des pressions se compose d'une série d'arcs d'hyperbole placés l'un à la suite de l'autre, lesquels sont concaves vers la poussée résultante.
1377. Conditions de stabilité de deux voûtes qui s'appuient sur un même pilier et qni ont les naissances à la même hauteur. Il est évident que si les deux arches sont égales, la courbe des pressions dans le pilier se réduit à une verticale , comme si les voûtes n'existaient pas (1339), et que dans chaque voûte la courbe de pression est celle qui se réalise dans le cas d'une voûte unique égale comprise entre deux culées immobiles (1336).
Il n'y a donc lieu de s'occuper que du cas où les voûtes sont inégales {fig. 309). Traçons dans les deux voûtes, depuis les clefs juiSqu'aux naissances, les courbes des pressions KD, K'D', comme si le pilier était immobile (1367). Au-dessous du joint horizontal DD', la courbe des pressions devient une branche d'hyperbole DN qui a pour équation, en
prenant le point D pour origine des coordonnées (1376) :
QiT Qi poussées horizontales des deax voûtes^ agissant Tune en D et Tautre enD';
p poids du pilier aa-dessas de Tassise considérée DD', y compris celui des deux
demi-Toûtes ;
l abscisse de la résultante des forces yerticales qui agissent sur le pilier, c'est-i-
dire du poids de la grande demi-Toûte appliquée en D, de celai de la petite demi-Toûte appliquée en D' et de celui du prisme D D' G.
Fig. 309.
Si la courbe DN sort du pilier, ce pilier sera d'abord renversé en tournant autour de Tarête horizontale S; pendant ce mouvemeat, une courbe dynamique passant par ce point se formera; mais le pilier, en se renversant, poussera la voûte de gauche sur la culée D"T'; ce mouvement tendra à fermer le joint D'C et à faire descendre le point K vers 6; cette poussée se transmettra en D", et si la culée D"T'S'L n'esl pas renversée, ce qu'on reconnaîtra par le tracé delà courbe des pressions, réquilibre se maintiendra.
Pour effectuer ce tracé, il suffit de donner à Qj la valeur qui a poar efifet de faire passer la courbe des pressions par le point S, valeur qu'on déduit de l'équation suivante, obtenue en considérant l'équilibre èi pilier par rapport à Taxe horizontal de rotation S :
Q2^ + (^p + p')e = QA d'où Q, = Q,-Qp + p')l
h hauteur du pilier D T S D' ; e épaisseur horizontale de ce pilier ; p poids de ce même pilier;
p' poids de la demi-?oûte BD; le poids de la demi-?oûte 6D' étant appliqué esV peut être négligé, puisque son moment est nul.
A l'aide de cette valeur de Qj et du point de rotation D', on poum tracer la courbe des pressions dans la petite voûte (2* du n^ 1337). Si soi sommet se trouvait plus bas que 6, cela indiquerait que la oourbe(te pressions ne passe pas par la naissance D', et l'on prendrait sur le joifit D'C un point plus élevé, de manière à obtenir ce résultat. On ne pe«i
pas affirmer que cette courbe sera celle qui se réalisera, parce que des vices de construction peuvent changer le point d'application de la poussée à la clef; mais ce sera du moins une courbe parallèle, et le constructeur pourra prendre celle qui sera le plus défavorable à Téquîlibre. Une fois ce parti pris, on tracera la courbe des pressions symétrique dans l'autre demi-voûte, puis dans le massif D'TS'L formant culée, et si cette courbe ne sort nulle part de ce dernier massif, tout le système de voûtes sera en équilibre. Gela tient à la résistance de la culée extrême D"T'S'L, sur laquelle se reporte la poussée de la grande YOÛte par Fintermédiaire de la petite voûte.
Puisque, pour que la petite voûte puisse reporter sur sa culée la poussée de la grande voûte, il faut que la courbe des pressions ne sorte pas du profil de la petite voûte, on a, en prenant le sommet de la courbe des pressions de la petite voûte pour origine des coordonnées p» du numéro 1337) :
y flèche de ]a courbe des pressions de la petite Toûte pour la demi-ouvertare x^ de
cette Yoûte ; p'' poids de la demi-voûte 6D'; X abscisse du centre de grayité de cette demi-Toûte,
OU en faisant y =/, x' = a et en remarquant qu'on peut poser
? = - a, il vient :
^J=\ra, d'où /=|^.
On voit que / n'augmente que proportionnellement à p", puisque a est invariable ainsi que Qg d'après l'équation (1), laquelle est indépendante de la petite voûte. Si la poussée Q, est très grande, la flèche / est très petite, et il peut arriver que la courbe des pressions ne puisse pas se loger dans le profil de la petite voûte, dont la montée peut être quelconque.
Supposons, par exemple, qu'on ait substitué à la petite voûte sur baissée de la figure 309, le plein cintre de la figure 310. Dans cette dis-
i900 SIXIÈME PARTIE.
position, la courbe des pressions dans la petite voùle passant, même dus la position la plus favorable, au-dessous de la def, Féquilibre ne pest avoir lieu ; la culée n*est pas renversée, il est vrai, mais le pilier intermédiaire le sera, et la petite voûte sera soulevée à la clef.
On voit que, dans ces circonstances, les plates-bandes etleswùlef très surbaissées sont les plus favorables pour transmettre des pressions horizontales. Du reste, remarquons-le en passant, a moins de conditions d'architecture bien impérieuses, la disposition de la figure 309 dfli être rejetée dans la pratique, parce que le pilier intermédiaire repo* sant par Tarête S supporterait dans sa partie inférieure des pressJwi tellement considérables, que ces dernières pourraient amener ïkrm ment des matériaux (1333, 1334). Si rien ne s*y opposait, il faadni tâcher de ramener la courbe des pressions vers le milieu de ST,enchifJ géant soit la petite voûte, soit le pilier, soit même la grande voûle pR^I des naissances, ou enfin augmenter l'épaisseur du pilier (1367, 1368,13^1
C'est là même une observation générale qui s'applique à tous les»! que nous allons considérer. Dans une construction solidement établit telle que celle qu'exigent les travaux publics, la courbe des pressioBS» doit pas passer par les angles des piliers qui la supportent, quoiipK dans ces conditions l'équilibre puisse être très stable. Donc si, coin* dans la figure 309, on trouvait par le premier tracé que la courbe* pression naturelle sort des piliers comme DN, au lieu de cherchefli courbe des pressions définitive, il serait préférable de modifier lesifr positions du projet, de manière à ramener la courbe des pressions d riotérieur des bases.
Il semblerait, d'après cela, qu'il n'y a pas lieu de s'occuper da où les voûtes se poussent les unes sur les autres; mais le constructei ne doit rien ignorer de ce qui concerne l'équilibre des constructi de plus, il peut se rencontrer des circonstances exceptionnelles obligent à avoir recours à cet expédient; enfin, dans les grands par économie, toutes les arches ne sont pas construites à la fois, l'on tire parti de la poussée réciproque des voûtes pour obtenir équilibre provisoire sur des piles qui sont loin d'avoir l'épaisseur cessaire pour résister comme culées.
1378.. Équilibre d'un système se composant d'une grande voûte et petites voûtes. Supposons qu'on ait plusieurs petites voûtes placées la suite d'une grande voûte {Jlg. 311 ), et cherchons comment s'étaii la poussée d'une voûte à l'autre.
La formule (1) du numéro précédent (page 1898) donne encore po« ce cas la poussée Qj de la première petite voûte ; ainsi l'on a :
Q2=Qi-(|p + P')|
Considérant l'équilibre du pilier n*» 2, on conclut de même pour! poussée de la deuxième petite voûte :
p poids du pilier n* 2, supposé le même pour tous les piliers ;
p" poids de la moitié de la première petite voûte à gauche de la grande voûte ; nous
admettrons que toutes les petites voûtes sont égales et que par suite p'' conserve
la même valeur pour toutes ces voûtes.
Considérant l'équilibre du pilier n* 3, on a de même :
et ainsi de suite. Ces valeurs successives montrent que la poussée décroît d'une voûte à Tautre, suivant une progression arithmétique décroissante dont la raison est :
{ïp+p")i
Kg. 311.
Par conséquent, élevant sur le milieu de la première petite voûta une verticale proportionnelle à Q„ et sur le milieu de la seconde petite voûte une verticale proportionnelle à Q,, joignant les sommets de cea deux lignes, on obtient une ligne inclinée qui détermine la poussée de chaque petite voûte et, par son point de rencontre avec Fhorizontale II, le nombre n de petites voûtes nécessaires pour faire équilibre à la grande voûte. On peut déterminer analytiquement ce nombre n en faisant la somme des équations précédentes, ce qui donne :
et en égalant à 0 le second nombre de cette équation ; ce qui exprime la condition que la poussée Q» de la n"" voûte est nulle. Ainsi Ton peut faire équilibre à une voûte par une série de petites voûtes accolées à la culée; ce n'est certes pas un moyen économique, mais des convenances architecturales peuvent conduire à adopter cette disposition.
Il est à remarquer que, quoique les petites voûtes soient toutes égales, la courbe des pressions est différente dans chacune d'elles, parce que ces voûtes sont soumises à des poussées différentes ; la flèche de la courbe
t.'C SÎ1
SIXIÈME PAETIE.
augmente à mesure que la petite Toute s'éloigne de la grande, précisément en raison inverse de la poussée (formule (2) du n* 1377). On ml ainsi se réaliser dans une même voûle cette infinité de courbes des pressions possibles qu'admet la tbéorie de Dupuit et qui sont, il est Tni, toutes compatibles avec Téquilibre de la voûte, mais qui ne peufeot se produire que sous Tiofluence de forces extérieures.
1379. La poussée borizontale d*une voûte étant la même dans toos les voussoirs, il en résulte qu'on peut contre-buter une voûte par uoe demi-voûte de même rayon {Jig. 312). Alors, dans le pilier iotenne
Rg. 312.
diaire, la courbe des pressioi»
se réduit à une verticale, comme dans le cas de deoi voûtes symétriques (i377;,et| la bauteur de la culée était diminuée de toute la flèck de la voûte, cela penrut d'en réduire considérabkmeot répaisseur.
1380. Arcs-bontants. Cd sur ce principe qu'est fondée la théorie des arcs-boulants, qui diffëreit; du cas des figures 309, 310 et 312, en ce que la seconde voûte n'est ptf I continue. Quoi qu'il en soit, la poussée que ces arcs doivent foumiitl calcule comme pour le cas de la figure 309. La poussée Q, pour toatelii longueur de la voûte étant obtenue à l'aide de réquation (1) n* 13u,| savoir :
Q, = Q,-(ip + ï^)l
on partage cette poussée Q, entre le nombre n des arcs-boutants;paÊt au moyen de la poussée trouvée pour chaque arc-boutant, on défe^ mine la courbe des pressions dans chacun d'eux et dans sa culée, i laquelle on donne une épaisseur suffisante pour prévenir le renverse* ment. On peut diminuer cette épaisseur en chargeant la partie sap^ Heure de la culée.
1381. Conditions de stabilité de deux voûtes qui s'appuient sur tf même pilier, et dont les naissances ne sont pas situées à la même itf* tenr. Si dans la figure 309 la petite voûte était descendue parallèlemeni à elle-même et de manière que sa naissance se trouvât au-dessoasdi point N, il est évident que la grande voûte ne serait pas en équilibit La naissance de la petite voûte doit donc se trouver au-dessus du point H pour que l'équilibre soit possible. Dans cette hypothèse, et en suppo*, sant que la naissance m de la petite voûte se trouve plus bas que celle de la grande voûte {fig. 313), pour que le pilier intermédiaire ne pas renversé, on doit avoir (formule (1) du n« 1377) :
Q2/^ + Qp + P')e = Q,H,
d*où :
Q. = Q.ÏÏ-(ip + P')|
Rg. 313.
H bras de levier DT de la poussée Q^ de la
grande voûte, appliquée en D ; h bras de levier D'S de la poussée Qj de la
petite voûte, appliquée en D'; p poids total du pilier intermédiaire; p' poids de la demi-voûte B D ; e épaisseur du pilier DTS.
La poussée Qj de la petite voûte étant plus grande dans ce cas que quand les naissances des deux voûtes sont au même niveau {i377), la courbe des pressions y prendra une flèche moindre, et là voûte devra être plus surbaissée pour contenir cette courbe; elle devra être-une plate-bande, par exenople. Du reste Q^ étant déterminée, on trace la courbe des pressions, qui ne doit sortir en aucun point ni de la voûte ni de la culée.
Si la naissance de la petite voûte est au-dessus de celle de la grande Fig. 314. (fig- 314), réquation qui donne la
valeur de Q, est la même que cidessus ; mais h étant plus grand que
H^ Q2 6^1 plu^ P^^i^ ^^^ d^iis le cas précédent, et la courbe des pressions a une flèche plus grande. 11 peut arriver cependant que Q^ soit assez grand, c'est-à-dire la flèche de la courbe des pressions assez faible, pour que cette courbe prenne une position K'n; alors le point n étant audessus du point F, il ne peut y avoir équilibre. Si la courbe des pressions •de la petite voûte sort du pilier au-dessous du point F, c'est-à-dire vient rencontrer le joint de naissance de la grande voûte, elle modifie la
Fig. 315,
courbe DN , qui devient DS. Le pilier intermédiaire est alors en équilibre, et il ne reste plus qu'à vérifier, par le tracé de la courbe des pressions, s'il en est de même pour la culée.
Si la culée était remplacée par une série de voûtes quelcon,ques, on trouverait par le même procédé les poussées Q„ Q4... relatives à ces voûtes, ce qui permettrait de tracer les courbes des pressions successives (1378).
Si le pilier intermédiaire est soutenu par deux étages de voûtes ou f>ar un plus grand nombre (Jlg. 315), il devient impossible de déterminer
exactement la poussée de chacune des petites voûtes. C'est une indétermination inévitable et de même nature que celle qui existe au sujet du point d'application de la poussée (1355). L'équilibre est, en effet, compatible avec des intensités de poussée très différentes dans les deux petites voûtes; ainsi on a, pour déterminer Q2 et Q,, Téquation unique, obtenue en égalant les moments pris par rapport au point S des forces qui agissent sur le pilier intermédiaire:
Q2^ + Q;v = QiH-(ip-p')
Q, poussée de la petite voûte supérieure ;
h hauteur D'S de son pilier;
Q', poussée de la petite voûte inférieure ;
h' hauteur D"S de son pilier;
p poids du pilier D T S ;
e épaisseur de ce pilier ;
p' poids de la demi-graude voûte.
11 ne suit pas de là qu'on puisse donner à Q^ et Q', des valeurs quelconques depuis zéro, quoique ces valeurs satisfassent à cette équatioo; il est évident que ces quantités ont au moins l'intensité due au poids et à la flèche de chacune des petites voûtes, comme dans les cas où le pilier serait immobile. De plus, si l'on suppose que la résultante passe parle pied du pilier DTSL, il y a un commencement de renversement de ce pilier, qui a pour effet de déplacer les naissances D' et D'^ de quantités proportionnelles à A et hl, 11 est donc permis de supposer, comme approximation, que les poussées sont aussi entre eUes comme les hauteurs, c'est-à-dire qu'on a ;
Q;:Q2 = A':/^, d'où Q;=Q2j-'-
Cette équation, combinée avec la précédente, donnerait Q^ et Q',; ce qui permettrait de tracer la courbe des pressions dans la culée. Ce procédé ne donnant qu'une approximation, il ne mériterait pas grande confiance s'il s'agissait de trouver les dimensions-limites de l'équilibre; mais comme dans la pratique on se tient toujours loin de ces limites, l'erreur qu'on peut commettre en le suivant ne saurait avoir de conséquences fâcheuses.
1382. Dans les exenâples que nous venons d'examiner (1377 à 1381) et dans tous ceux qu'on pourrait se proposer, on voit qu'il s'agit toujours d'établir les conditions d'équilibre du pilier intermédiaire. Pour cela, on commence» par y tracer la courbe des pressions dans l'hypothèse où les voûtes auraient leur poussée naturelle, c'est-à-dire oii elles agiraient seules. Si cette courbe des pressions est contenue tout entière dans le pilier, le problème est résolu; mais si elle en sort, cela indique que le pilier pousse les voûtes du côté où il doit se renverser. On cherche alors quelle, doit être la poussée de ces voûtes pour que l'équilibre soit rétabli (1377) ; ce qui détermine la poussée des voûtes pressées et leurs courbes des pressions. Si la forme des voûtes pressées permet à
Fig. 316.
la poussée d'atteindre l'intensité voulue par l'équilibre, il ne reste plus qu'à vérifier si la courbe des pressions ne sort pas de la culée. Si au lieu de culée il y avait un second pilier et d'autres voûtes, on procéderait pour ce second pilier comme pour le premier, etc.
1383. Équilibre d'une voûte qui s'appuie directement sur une autre
sans l'intermédiaire d'aucun pilier.
Soit, par exemple, un évidement pratiqué sur une pile de pont [^fig, 316). La courbe des pressions se détermine dans la petite voûte comme dans le cas le plus simple (1334); elle passe à la naissance et en un point de la clef qui est d^autant plus élevé que la grande voûte s'abaisse davantage au décintrement. Dans la grande voûte, si celte dernière était isolée, la courbe des pressions serait K8N, qui correspond à la poussée Qq facile à déterminer, puisque le point de rupture 8 serait connu (1362); mais la présence de la petite voûte donnant naissance à une force extérieure appliquée en M, situé audessus du joint de rupture, la poussée de la grande voûte augmente, son point d'application descend légèrement en K', et le joint de rupture V se trouve au-dessous de 8. Pour avoir une valeur approchée de la nouvelle poussée Q, appelons, en supposant Q appliquée en K que nous prenons pour origine des coordonnées :
^o> ^0 ^^^ coordonnées du point de rupture ô de la grande yoûte quand la petite
▼oûte n^existe pas; les coordonnées du point de rupture 5' laquelle se produit quand la petite yoûte
agit ; on choisit d'abord arbitrairement 6' un peu au-dessous de 6 ; les coordonnées du point M ;
les poids de la portion de la grande voûte de B en 6 et de B en 6' ; le poids de la petite demi- yoûte appliquée en M ; les abscisses des centres de gravité des portions de voûte B6 et B6' : la poussée de la grande voûte, abstraction de la petite voûte; la poussée de la grande voûte eu égard k la petite voûte ; la poussée horizontale de la petite voûte, appliquée en M ; les forces p" et R
sont les composantes de la pression que la petite voûte exerce en M sur la
grande voûte, tangentiellement & la courbe des pressions de la petite voûte.
On a pour l'équation d'équilibre autour de l'axe 8' :
Qy'=p'(x'-ÇO +j>"(a/-x'0 + R(y'-y'0,
Po.
io,
Qo
Q^P'Ça^-?') , P"{f-x")
+ R — RÎÇ
d'où . w,— , i ^j • -* — .^
Le premier terme de la valeur de R diffère peu de ^-21-2 21= q^,
t/o qui correspond à la poussée Qo du cas ordinaire [il est un peu plus
petit, puisque le point dont les coordonnées sont Xq et y^ est celui qui
donne le maximum à la fonction
], on peut donc le remplacer
par (2^. Le second terme de la valeur de Q est en général très petit et
d*autant plus négligeable qu'on a augmenté la valeur du premier. Oq a donc approximativement :
,rr
Q = Q. + R-Rr7
A Taide de cette valeur de Q, facile à calculer a prioriy od tracera d'abord la courbe des pressions depuis le point K', qu'on peut prendre un peu au-dessous de K, jusqu'au point 71', en composant, comme à l'ordinaire (1334), la poussée Q]avec le poids de chaque voussoirdela grande voûte; puis la partie n'^\ en remarquant que la pression en 1 de la petite voûte sur la grande a pour composante horizontale b poussée Ky et pour composante verticale le poids p". Or la poussée B, transportée de M au niveau de la poussée Q, diminue Q de
par conséquent, pour la partie n'N', la poussée devient Q^ d'après réquation (1), et permet de la construire. Ainsi, menant une verticale par le point d'application de la résultante du poids de la portion k voûte BB, par exemple^ et du poids p^' appliqué en M, prenant sur cetie verticale, à partir du point où elle rencontre Thorizontale mentt par K', une longueur proportionnelle à cette résultante, et sur celle horizontale une longueur proportionnelle à Qo, la diagonale du paraitélégramme de ces deux forces rencontre le joint passant par § en ni! point de n'N'.
Si Ton a pris pour Q une valeur un peu trop faible, la courbe R'«'ï coupera l'intrados en deux points, et Ton prendra le milieu entre ces deux points pour le nouveau point de rotation. Si Ton a pris, au contraire, une valeur trop forte, la courbe K'w'N' sera toute intérieure,^ Ton prendra sur l'intrados le point qui en sera le plus voisin pour point de rotation. Il n'est même pas nécessaire de calculer d'abord une valeur approximative de Q, on peut lui attribuer de suite une valear arbitraire plus grande évidemment que Qo; le calcul préliminaire ne fait qu'abréger le tâtonnement.
1384. Voûte consolidée par des armatures. Si dans la voûte deb figure 317, on ne solidifie par des armatures que la partie inférieure aa
point de rupture 8, il est en- ^'«- 3*^- dent que la courbe des pre»*
sions KSN ne sera pas chafi' gée, et que le renversement de la voûte se fera connu* dans le cas ordinaire. Mais si les armatures s'élèTerf jusqu'en B', situé au-dessus 1 de 8, la poussée diminue, ^ pied N' de la courbe des pressions, qui devient K^w'N', s'avance vers T à mesure ^
s NW T
8' monte davantage, et finit par l'atteindre pour un certain point l" où la poussée atteint son minimum. Pour ce point 8", la presssion que la demi- voûte iacomj>lète B8" exerce au point 8" sur le monolithe 8''T ne fait que sulBfire à l'équilibre de ce monolithe, en Tempêchant de tomber en avant; on a, en prenant les moments par rapport au point T :
P poids du monolithe 8"T ;
X* distance horizontale du centre de gravité de ce monolithe au point T;
p poids de la demi-voûte B6", supposé appliqué au point $'' ;
Q poussée horizontale de la demi-voûte hh'\ supposée appliquée en S''; p et Q.sont
les composantes verticale et horizontale de la pression que la demi-voûte BS"
exerce en 6" sur le monolithe ô"T ; x^ y distances horizontale et verticale du point ô" au point T.
Si à partir de V' le monolithe augmente aux dépens de la petite voûte, c'est alors lui qui pousse la voûte, de sorte que la poussée de la voûte reste constante, et la courbe de pression conserve la position K8"T; il est donc inutile que le monolithe s'élève plus haut que le point 8".
Il est à remarquer que dans ce cas l'équilibre n'exige plus que la courbe de pression soit tout entière com^nrise dans la surface de la voûte, elle peut en sortir dans toute la partie qui forme monolithe, qui alors résiste par la cohésion des matériaux.
1385. Dans le cas où c'est la partie supérieure ABIE qui forme monolithe {fig. 317), cette partie ne pousse pas, et il sulBfil de déterminer la poussée de la partie inférieure. Pour cela, on la considère comme une voûte en ogive chargée à la clef d'un poids égal à celui de la partie de voûte BI. On détermine le point de rupture 8, en cherchant sur l'intrados le point où la tangente à cette courbe vient rencontrer l'horizontale JQ, au même point g que la résultante du poids qui agit en I et du poids de la partie de voûte 18, appliqué au centre de gravité de cette partie. Le point \ étant déterminé, on en déduit par les procédés ordinaires la courbe des pressions (1336). On reconnaît facilement que l'armature de la partie supérieure de la voûte fait descendre le point de
rupture, et qu'elle diminue d'autant plus la poussée que le monolithe supérieur est plus considérable.
i386. L'exemple précédent résout le cas des tirants en fer qu'on place quelquefois dans les voûtes, surtout dans celles qui couvrent des édifices très élevés, afin de réduire la poussée et par suite l'épaisseur des culées.
Si le tirant se trouve au-dessous du joint de rupture (/î^. 3 18, côté gauche), le mouvement de la voûte se fait comme dans le cas ordinaire; mais l'épaisseur de la cul0e
Fig. 318.
peut être réduite, puisque la poussée est détruite par le tirant convenablement serré.
La courbe des pressions qui eût été K8N et qui indique que la culée n'est pas en équilibre, devient K8N'.
Si le tirant est placé au-dessus du joint de rupture {^fig. 318, coié droit), il a pour effet de détruire la poussée horizontale de la partie de voûte qui lui est supérieure; celle-ci ne fait plus que presser verticalement; le poids de BI est appliqué en I, et la courbe des pressions, aa lieu d'être KS'N, devient K8 jN'.
1387. Voûtes en dôme. Dans les ouvrages qui traitent de la stabilité des voûtes, on ramène le problème de la stabilité des dômes à celui des oûtes en berceau, en considérant une petite portion de ces dômes comprise entre deux plans méridiens verticaux {Jlg, 319). L'équilibre de cet
élément A6DC du dôme peut alors se cal-
^^»?- ^^^' culer de la même manière que celui d'une
-j^ ^ section de la voûte en berceau, en ayant
t^-i soin de calculer le poids et la position da
I centre de gravité des portions de voûte
depuis la clef jusqu'au joint considéré, non
d'après la section méridienne , mais d'après
le solide. On peut imaginer, du reste, ni
v" t ^D 0 "" extrados fictif ANV, tel que la surface AB5!î,
comprise entre la clef et un joint quelconque 8N, soit proportionnelle au volume correspondant AB^n de Télément de voûte. Alors on pourra opérer avec cet extrados comme s'il s'agissait d'une voûte en berceau. A Faide de la figure 319, on voit quefe joint de rupture 8 est plus bas que dans la voûte en berceau extradossê parallèlement, puisque pour un joint quelconque oN, Tabscisse K^da centre de gravité du profil AB8N est plus grande que l'abscisse du cenUt de gravité de ABSn, et que par suite la tangente g^ s'approche plus de la verticale (1361).
Ayant les deux points K et S de la courbe des pressions, on peut tracer cette courbe dans toute la portée du dôme et dans le mur circulaire qui le supporte (1334). Cette courbe représenterait Tétat d'équilibre du ààmt et de son pied-droit si la maçonnerie était établie par plans méridiens juxtapo6és sans aucune liaison entre eux; mais comme au contraire des liaisons nombreuses sont établies dans les assises horizontales, et rendent difficile la division suivant les plans méridiens, il en résulte que s'il y a équilibre dans Thypothèse d'une division en plans niéridiens sans liaison, il y a à plus forte raison équilibre dans le mode de construction ordinaire, et que même s'il, n'y a pas équilibre dans celte hypothèse, on ne doit pas en conclure que l'équilibre n'existe pas dans le mode ordinaire de construction. L'hypothèse des plans méridiens verticaux ne représente donc pas exactement le mode de résistance de U construction. De plus, il faut complèteaient l'abandonner quand k dôme est percé à sa partie supérieure par un vide circulaire, comtoe cela arrive souvent dans les édifices, où ce vide est surmonté d'uoe
tour appelée lanterne; rassimilalion à la voûte en berceau devient impossible, puisque ce dernier genre de voûte exige une clef.
1388. Avant d'examiner f.omment s* éiaMliV équilibre des dômes tronqués, rappelons la formule suivante, qui découle du théorème bien connu de mécanique : Quand une couronne circulaire est pressée uni/ormément sur tout son contour far une force constante qui agit suivant son rayon, selon que celte force agit de Tintérieur vers Textérieur ou de l'extérieur vers l'intérieur, la tension tangentielle du cercle dans le premier cas ou sa compression tangentielle dans le second est (772;
T = FR, d'où
T tension ou compression tangentielle en chaque point de la couronne ; F force agissant suivant les rayons de la couronnef par mètre de longueur de sa circonférence ; R rayon de la couronne, en mètres.
Cela posé, si Ton imagine qu'on dôme soit décintré avant que la clef soit posée, ou qu'il entre dans la nature de la construction d'avoir un vide circulaire à son sommet, il est évident que par celte disposition la partie inférieure ne tombera pas, et qu'il n'y aura qu'une légère inflexion vers l'intérieur de la partie supérieure au joint de rupture; ainsi, l'intrados deviendra B'ô, de B8 qu'il était avant le décintrement (fig. 319). Il en résulte que les assises horizontales du dôme, qui forment des espèces de couronnes, diminuent de diamètre : d'où naît une force tangentielle T, qui donne lieu à une force horizontale F dirigée suivant le rayon. Cette force horizontale maintient l'équilibre de l'assise du voussoir sur son joint, en faisant l'office de poussée.
11 est plausible d'admettre que la compression tangentielle T pour chaque assise est proportionelle à la diminution du développement circulaire de l'assise, ou bien à la diminution d'un mètre de ce développement; par conséquent, en appelant E le coefficient d'élasticité de la maçonnerie, on peut poser (360)
Remplaçant T par sa valeur ci-dessus (1), on peut poser :
Fig. 320.
R — R' allant en diminuant d'une manière sensiblement régulière depuis le sommet du dôme jusqu'au point de rupture 8, tandis qu'au contraire R croît comme les rayons des assises, par ce double motif la valeur de F décroît rapidement à mesure que R augmente. Ainsi en prenant à partir de la verticale ôV ifig. 320), sur les horizontales menées au niveau de chaque assise, des
abscisses proportionnelles aux poussées F relatives à ces assises, on obtient la courbe Fn$, qui fait avec SY un angle plus aigu que la droite F8. L*aire tVFn de cette courbe représente la poussée Q du dôme tronqué, et cette poussée passe par le centre de gravité de cette aire. Pour calculer exactement l'intensité de la poussée et son point dapplication , il faudrait faire des hypothèses sur la courbe FnS (i361], et Ton conçoit que les résultats obtenus ne peuvent pas avoir beaucoup d'exactitude. Ce que nous avons voulu surtout mettre en évidence, c*est que la poussée, au lieu d'être constante pour tous les yoqssoirs comme dans la voûte en berceau, prend une valeur dififérente pour chaque assise ; de sorte que le tracé de la courbe des pressions se fait d'une manière différente. Ainsi pour trouver son point de passage sur un joint donné, on doit d'abord, comme pour la voûte en berceau (i335|, chercher non seulement le poids de la partie de voûte supérieure an joint et l'abscisse de son centre de gravité, mais encore la résultante des poussées des diverses assises supérieures et son point d'application; résultante qui croît et point d'application qui descend à mesure que l'on considère un joint placé plus bas; avec ces éléments, on détermine le point de passage par le procédé ordinaire.
Ce qui précède s'applique aux dômes complets comme aux dôioes tronqués. On peut se demander cependant si dans un dôme complet la poussée à la clef ne peut pas tenir lieu des poussées des assises sac* cessives, et faire que ces poussées ne soient pas indispensables kVé([é libre; mais pour ôtre convaincu que ces poussées se développent, il suffit d'observer que, môme dans un dôme complet, il se produit on tassement général qui fait descendre la clef de Ben B' (^^.319), et qu'alors toutes les assises circulaires se resserrent et donnent naissance à ces poussées.
Nous devons dire cependant que si la voûte est bien construite, la poussée ne doit pas prendre de valeur finie à la clef, formule (2), et (pie ce qu'il y a de plus rationnel à supposer, c'est qu'elle croît graduelfement depuis le joint de rupture jusqu'au sommet suivant une loi incoinue. Quoi qu'il en soit, il résulte de cette analyse que le point d'application de la résultante des poussées est sensiblement plus bas queoe le donnerait l'hypothèse des onglets compris entre deux plans méridiens. Op, comme la tangente à l'intrados au point de rupture doitrco' „. contrer la direction de la résultante des pousséesaa
même point que la verticale qui passe par le centre - r---- Jk de gravité de la partie de voûte supérieure (136i).3 y;/-^-^<rr jg, s'ensuit que rabaissement de la résultante desponS'
sées doit relever le point de rupture- Pour s'assflitf ; de cette conséquence, supposons qu'on ait déterm . \^ ' le point de rupture ^ (fig. 321) correspondant ai — .^1:^ point d'application K, la tangente ^g coupera la di ^ rection K^r de la poussée au même point g que^' verticale menée par le centre de gravité de la partie de voûte supr rieure au point 8, tandis qu'elle coupera la droite K'g' en g', plus éloi^fie
que g de la droite KK'. Il faudra donc remonter sur Tintrados en V pour que la tangente Vg" rencontre la nouvelle direction YJg^ de la poussée au même point g" que la verticale passant par le centre de gravité de la partie de voûte supérieure au point 8'.
En résumé, la forme sphérique de la voûte fait baisser le point de rupture par rapport a la voûte en berceau, tandis que la résultante des poussées dues à la compression des assises circulaires le fait remonter. On peut donc admettre que ces deux influences contraires se neutralisent, et que dans le dôme le joint de rupture est situé à peu près à la même hauteur que dans la voûte en berceau (1362). Pour le déterminer exactement, il faudrait faire une hypothèse sur la position de la poussée, et ici le champ de l'incertitude est beaucoup plus considérable que dans les voûtes en berceau, parce que dans ces dernières voûtes la poussée passe nécessairement dans l'épaisseur de la clef, tandis que dans les dômes la résistance des poussées peut être au-dessous.
On remarquera qu'au-dessous du joint de rupture et môme un peu audessus, la courbe des pressions peut se tracer par le procédé ordinaire : c'est-à-dire en supposant la poussée constante en intensité et en direction ; on pourrait donc chercher le point de rupture par des tâtonnements analogues à ceux que nous avons indiqués pour les voûtes en berceau (1361). En commençant le tracé de la courbe par le joint de naissance sur lequel on se donnerait un point, on éviterait la complication qui résulte de la nature spéciale de la poussée.
Au-dessus du joint de rupture, toutes les assises du dôme sont de plus en plus contractées; au-dessous de ce joint, elles sont distendues par la poussée. La poussée totale du dôme étant (1335)
p poids de la calotte au-dessus du joint de rupture ;
y hauteur du point d'application de la poussée au-dessus du point de rupture ;
X distance du point de rupture au centre de la voûte ;
\ distance du centre de gravité de Tonglet au centre de la voûte,
la poussée par mètre courant de la circonférence du mur qui le supporte est —^ 7 et la distension de ce mur suivant un plan méridien ver-
tical est, d'après l'équation (1), — • Ce mur ne pouvant être renversé
qu'autant qu'il se forme une disjonction suivant un plan méridien vertical, on voit que ce renversement ne pourra avoir lieu qu'autant que la cohésion sera vaincue. Si donc il se forme des fissures verticales dans la tour qui supporte le dôme, elles se produiront nécessairement suivant les génétratrices qui se trouvent interrompues par des portes, fenêtres ou ouvertures quelconques, et qui, par suite, présentent le moins de résistance. Il suit de là aussi qu'on peut empêcher le renversement de la tour au moyen de cercles en fer placés au-dessous du joint de rupture. Presque tous les dômes sont pourvus de ces armatures
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qui tiennent lieu des tirants dans les voûtes en berceau (1386), mais qui ici ne sont pas apparentes et ont aussi Tavantage de ne rien ealeverà Félégance et à la hardiesse de la construction.
D'après ces conditions spéciales d'équilibre, non seulement un d6ine n*a pas besoin d*être fermé à la partie supérieure, mais aussi il peat être ouvert suivant des plans méridiens, pourvu que Tare conservé dans chaque assise soit assez grand pour que la tendance de Tassiseà augmenter de rayon ne puisse pas faire glisser les pierres extrêmes. L'onglet compris entre deux plans méridiens quelconques et limité à h clef est en équilibre, si les assises sont des monolithes et que la verticale menée par le centre de gravité de Tensemble des assises sopérieures tombe vers Textérieur de la voûte par rapport à la corde de rassise inférieure. Dans un hémicycle, si toutes les assises forment monolithe, il y aura équilibre, puisque aucune d'elles ne peut tourner autour de son diamètre. Si les assises de Thémicycle sont composée» de voussoirs, chacune d'elles peut être considérée comme une voftiepla» cée sur la surface conique de l'assise inférieure, et alors le frotteraenl suffit pour empêcher toute dislocation. On peut du reste ajouter à l'effet de ce frottement, à l'aide d'un mur de tête dont les voussoirs de face font partie. Souvent aussi rhémicycle termine une voûte en berceau de même profil, et l'on conçoit qu'alors l'équilibre soit aussi solidement établi que si le dôme était complet
Les tours ou lanternes que l'on peut établir au sommet des dômeî tronqués, par leur poids et leur influence sur la position du centre de gravité, doivent entrer dans le calcul de la poussée; cette dernière s'en rouve nécessairement augmentée. Ce cas particulier ne fait naître aucune difficulté qui ne soit résolue par la théorie précédente.
1389. Voûtes en arc de cloître. Ce sont des voûtes qui recouvrent dei polygones en général réguliers, et qui sont formées par des portions de voûtes en berceau coupées par des plans méridiens se réunissant aa centre du polygone. Ce sont, pour ainsi dire, des voûtes en dôme dans lesquelles on aurait remplacé les cercles par des polygones. Mieux encore que pour les voûtes en dôme, on pourrait considérer l'équilibre de deux portions opposées (1387, 1388); mais on ne tiendrait pas compta ainsi de l'efifet de la conti'action des assises horizontales; d'où résultf
dans les plates-bandes de chaque assise une for» qui pousse à l'extérieur. Par des calculs et raisonnements analogues à ceux faits pour le dônoe* on trouverait que la compression de chaque assise engendre une poussée d'autant plus grande qu'elle est plus près du sommet. Par ce molï les voûtes en arc de cloître peuvent être tronquées à leur partie supérieure et recevoir des lanternes ou tours.
1390. Voûte d'arête. Ces voûtes, étant forfflée' par la pénétration de deux cylindres à angl« droit, s'appuient seulement sur quatre piliers {fig, 322), au lieu dek
Fig. 3ÎÎ.
faire surjdes murs continus comme les dômes et les voûtes en arc de cloître. Pour calculer leur équilibre, on considère isolément chacune' des parties pentagonales en plan, opposées à leur sommet 0, et qui forment une voûte en berceau dont les génératrices vont en croissant depuis les naissances jusqu'à la clef. Pour chacune de ces parties, le joint de rupture et la courbe de pression se déterminent facilement, en ayant égard à la longueur variable des voussoirs pour calculer leur poids etjla position de leur centre de gravité (1336, 4361). Ainsi, on voit de suite que le joint de rupture doit être plus élevé que dans une voûte en berceau ordinaire, puisque le centre de gravité de la partie de voûte supérieure restjdavantage.
En opérant de la même manière sur chacune des trois autres parties de la voûte, on déterminerait les arêtes de rupture séparant la partie centrale de la voûte tendant à tomber verticalement, des parties renversées dans le sens [des diagonales. Si Q est la poussée due à un système de voûte et que l'espace couvert soit un carré, la poussée suivant la diagonale est la résultante de deux forces rectangulaires Q,
c'est-à-dire Q v2> 6t Ton donne au pilier des dimensions en conséquence.
Ces dimensions sont en général cansidérables ; aussi les voûtes d'arête ne sont-elles guère employées que pour couvrir de petits espaces, ou de grands espaces divisés en plusieurs compartiments. Alors les poussées se font équilibre sur les piliers, qui ne supportent plus que le poids des voûtes, et elles sont reportées sur les murs d'enceinte, dont il est facile d'augmenter l'épaisseur.
Si la surface ABCD était un rectangle, que AD fût plus grand que AB, on pourrait la couvrir par une voûte d'arête qui serait elliptique pour les triangles AOD, BOC, et circulaire pour les triangles AOB, DOC.
