DÉTAILS
l^ontres.^
Longueur totale
Portée
Ecartement d'axe en axo » .
Hauteur
Epaisseur de la tôle verticale
•D^^ér^m i Largeur de la semelle Poutres \ hSrizontade
Epaissear id. . .
Largeur des semelles
. horizontales
Épaisseur id. . .
Largeur et hauteur to-
, taies
Epaisseur
Ecartement d'axe en axe
Hauteur
Epaisseur de la tôle verticale
Largeur des semelles horizontales. .
( Largeur et hauteur to-
Gomières. . , taies
Epaisseur
Poids total du tablier
de tètes.
Poutres intermédiaires.
Cornières. .
Entretoises.
2,00 tf,23 0,0t O.lf
1420. Planchers de ponts en poutres de fonte double T et voûtes ei briques. Ce système a été employé anciennement avec beaucoup dé succès par Flachat pour porter les chaussées au-dessus du cheniifl d'Auteuil, et aussi dans la construction des caves de rancienne gare de rOuest rive droite.
Au chemin d'Auteuil, pour une ouverture de 7 mètres entre les calées et une largeur de pont de 8 mètres, dont 1 mètre de chaque rf pour trottoirs, le plancher se compose de 4 poutres double T espacées
de 2 mètres d'axe en axe pour supporter la chaussée de 6 mètres, et de deux poutres de tête, espacées de 1 mètre des voisines pour supporter un côté des trottoirs, qui sont en madriers de 0°*,08 d'épaisseur. Les poutres intermédiaires ont 0",60 de hauteur et celles de tête 0"*,80. Les faces inférieures des poutres sont toutes de niveau et à une hauteur de 4™,50. Les 4 poutres de la chaussée sont reliées par deux cours d'entretoises en fonte double T, de Or,30 de hauteur et de 0",12 de largeur de semelles, divisant la distance des culées en trois parties égales de ^"'jSSS. C'est sur les semelles de ces entretoises et sur les culées que reposent les voûtes en briques ordinaires, de 0~,22 d'épaisseur et de 0"»,33 de flèche, lesquelles, par cette disposition, ne poussent pas les poutres au vide et reportent une partie de Jeur poids sur les culées. Les entretoises reposent sur les semelles inférieures des poutres, et leurs extrémités portent des oreilles qui permettent de les relier solidement aux joues des poutres par 4 boulons.
On a donné aux poutres la forme de solides d'égale résistance, en faisant varier, non la hauteur h de la pièce (417), mais seulement h' y c'est-à-dire l'épaisseur des nervures.
Pour déterminer la section de la poutre située à la distance x du point d'appui voisin, on calcule le moment fléchissant pour cette section; ce moment est, en supposant la charge uniformément répartie :
Pour une poutre à double T symétrique, on a (401) :
I (hN' — h'h'^) n "~ 12n
formule dans laquelle n est la moitié de la hauteur h de la poutre quand les deux nervures sont égales, comme on le fait généralement. Au chemin d'Auteuil on a pris pour les poutres de la chaussée proprement dite p = 1600 kilog. par mètre courant de poutre, surcharge comprise, A = 0",60, 6 = 0"^,28 environ, 6' = 0",26 (l'épaisseur de l'àme de la poutre est 0",02), et de la formule précédente on a déduit h' = 0°*,52,
c'est-à-dire — - — = 0™,04 pour l'épaisseur des nervures au milieu de
la longueur de la poutre.
La formule précédente donne de même les valeurs de A', et par suite les épaisseurs des nervures, pour les différentes sections transversales de la poutre répondant à la variation de x\ mais comme il ne convient pas que l'épaisseur des nervures soit inférieure à celle de l'âme de la poutre, que l'on prend aussi petite que le comporte un moulage satisfaisant, dès qu'on arrive à cette limite, la diminution de la section se reporte sur A, dont la formule donne encore l3S valeurs, et comme pour a; = o;^on aurait A = 0, on assigne à Aune valeur-limite inférieure, laquelle, une fois atteinte, reste constante jusqu'à l'extrémité de la poutre. Cette valeur inférieure de A, au chemin d'Auteuil, est de 0",40.
If:
Pour les enlreloîses, on a fait L = 2~,00, A = 0»,30, 6 = 0" ,20,
6 — 6'=:0-,012 et ^!LZL^ = o-,014.
L'épaisseur du plancher au milieu de la chaussée est de 0~,75.
1421. Situation défayorable d*un système de poids roulant sur une poutre horizontale (i). Pour les ponts métalliques, soit pour routes ordinaires, soit pour chemins de fer, les calculs des poutres doiveot être faits en se reportant au règlement administratif (1446). Mais lise présente par rapport à l'application de ce règlement une question assez complexe : Pour une composition des trains-types [fig, 336 et 337), quelle est la situation la plus défavorable du système roulaot, c'est-à-dire la situation qui correspond au plus grand moment fléchissant et par conséquent à la plus grande section transversale despoDtrès? Nous allons examiner cette question {fig. 341).
Soit P,, F,, P,, F,, un système mobile de poids discontinus (les roues d'une locomotive par exemple) pouvant se déplacer sur la poutre AB, posée sur deux appuis. Proposons-nous de déterminer la situation la plus défavorable de ce système et le plus grand moment fléchissant correspondant.
!• Cas où Fon fait abstraction de la charge uniformément réparti^ sur la poutre, cette dernière portant des charges discontinues. Soient \fig^ 341) :
G fO je T"
IB
P, , P', , Pj , P'j poids discontinus ;
R = Q = Pj + P', -1- P, + P'g résultante d« poids discontinus engagés surlapoutrt;
7 ^la réaction verticale de Tappui A;
L = AB portée de la poutre ;
0, milieu de la portée AB de la poutre;
a= distance GG du point d^appIicationGiir la résultante au point d*applicatiOD C de Tun des poids discontinus ;
X distance GO.
G point de passage de la résultante Û=B-
Il est facile de reconnaître qu'en faisant abstraction de la chaîne uniforme, les moments fléchissants de la poutre AB, pour une situation quelconque du système, sont donnés par les ordonnées d'un contour polygonal AMNSB {fig. 343), dont les sommets M, N, S sont à Taplomb des points d'application des charges discontinues. Lorsque l'on tient compte en même temps d'une charge uniforme, la ligof
(1) Nous reproduisons la démonstration du théorème de la situation défavonbk d*un système de poids discontinus, roulant sur une poutre, indiquée pour la premi^ff fois par L.-A. BaiTé, ingénieur ci\il, dans la sixième édition du présent oqtti^en 1863. Nous précisons cette date parce que ce théorème a été reproduit dans diwfs ouvrages, sans indication d'origine, notamment dans le BuUttin de la Société des ifr , gënieurs civilsj en 1869. J'ajoute dans la présente édition une généralisation quel*" trouïera ci après n" 1422. Sur la même question, on peut consulter le Cours de^^' conique de M. Ed Gollignon, 3* édition 1885, et la solution graphique de M. Mattrif' Lévy dans sa Statique graphique^ ^ édition 1886. L.-Â. Barr^.
polygonale devient curviligne, chaque côté étant une parabole. Etudions le premier cas qui fait abstraction de la charge uniforme.
Proposons-nous de trouver la situation du système pour laquelle le moment fléchissant pris par rapport à l'un des points d'application, G par exemple, est maximum, et admettons que cette situation soit celle représentée par la figure 341.
La réaction verticale de Tappui A a pour expression :
q=z^xBG', otBG = BO-\-OG=^xx ou ^ = ^ (| "^ ^) '
Le moment fléchissant M, pris par rapport au point C est :
M = gXAG — 2Mc(P„P',...),
en représentant par 2Mc(Pi, P',...) la somme des sommets, pris par
rapport au point C, des forces situées à gauche de ce point C. Remplaçant q et AG par leurs valeurs, on a :
M = ^Q+xV^+«-a;)-2:Mc(P„P'....)- (A)
Le moment de chacune des forces Pj, P',... restant constant, leur somme est une constante. Par suite, le maximum de M répond à la dérivée — = 0, c'est-à-dire à Tégalité des deux facteurs variables, puisque leur somme est constante. On a donc :
- + a; = -^H-a — X, d'où ^ = |- (K)
Ce qui montre que le maximum du moment fléchissant se réalise quand le milieu 0 de la portée divise en deux parties égales la distance GG de la résultante Q au point d'application G par rapport auquel on a pris le moment fléchissant. Ge résultat est indépendant de la portée L de la poutre.
Ge qui vient d'être établi pour le point G étant vrai pour chacun des points d'application des autres roues, en calculant le moment fléchissant maximum relatif au point d'application de chaque poids, le plus grand de ces moments sera le moment maximum absolu, qui déterminera la position la plus défavorable que le système puisse occuper sur la poutre.
2* Cas où Von tient compte^ en outre des poids discontinus, d'une charge uniformément répartie sur toute la longueur de la poutre. Pour une position quelconque des poids discontinus, le point de plus grande fatigue ou pour lequel le moment fléchissant est maximum peut être ou non au point d'application de l'un des poids isolés (41 4) ; mais pour la position la plus défavorable que peut prendre le système de poids discontinus, le maximum du moment fléchissant correspond toujours au point d'application de l'un de ces poids, ainsi qu'il va être établi.
fr:
il I ,
itî.-
Fig. 342.
qr-—a
Considérons Ifig. 342) un système de poids discontinus P, P, P', ..., ei
une section quelconque m de la poutre. Par suite du mouvement du système sur la poutre, daiV3 le sens de la flèche, la section m peut se trouver à droite du point G, ao point G, entre G et D, au point D, entre D et E, les roues étant toutes engagées sur la portéee AB. Pour chacune de ces positions, soient :
R =r Q la résultante des poids P, F, P", ... discontinus;
p la charge uniformément répartie par mètre de longueur sur la poutre ÂB;
X la distance du dernier poids P [û gauche) au point d'appui A ;
a la disUnce constante de la résulUnte Q au point E;
ç la réaction Terticale de Tappui A ;
L portée de la poutre,
on a pour la réaction du point A :
Le moment fléchissant M au point m a pour expression :
en désignant par 2Mm(P, P', P"...) la somme des moments fléchissanls,
pris par rapport au point m, des poids situés à gauche de ce point m. Remplaçant q par sa valeur dans Texpression (2), il vient :
M= g(L-a;-a) H- ^]d-2Mm(P,P', F'...)^
Le terme 2 Mm (P, P', P" ...) étant une fonction de a; du premier degré, et en même temps une fonction des poids P, P*, P" ... situés à gauche do point m, c'est-à-dire de un, de deux, etc., de ces poid^, suivant la position du système roulant sur la poutre, la relation (G) est Téquation d'un contour polygonal. Les sommets de ce contour correspondent aux valeurs de x pour lesquelles les points G^D, £... sont venus successivement en m, et comme la plus grande ordonnée, c'est-à-dire la plus grande valeur de M, est évidemment celle d'un sommet, il eu résulte qu'au point m le maximum du moment fléchissant se réalisera quand l'un des poids y sera arrivé, et comme le point m est quelconque, il se trouve établi que dans la position la plus défavorable du système mobile un des poids répond au point de plus grande fatigue et au maximum du moment fléchissant.
Cherchant alors la position la plus défavorable du système relativement à chaque poids, on aura autant de moments maximums relatifs que de poids, et le plus grand de ces maximums sera le maximuai absolu, qui correspondra à la position la plus défavorable du système de poids discontinus sur la poutre.
Gela étant, admettons que la figure 341 représente la situation la plus défavorable du système par rapport au point de contact G. La poutre AB portant les poids discontinus dont la résultante est Q et la charge uniforme p par mètre courant, la réaction de Tappui A a pour expression :
et, en représentant par ^Mc^^*-) ^^ somme des moments, pris par rapport au point G, des poids discontinus situés à gauche de G, on a pour le moment fléchissant en G :
ou, en remplaçant q et AG par leurs valeurs,
'=m^') +ï](i+— )-2«o('-)-i(i— ')'■ (Cl
La valeur maxima de M répond à la valeur de x qui rend nulle la
dérivée -r- , c'est-à-dire à : dx
dx
d'où en faisant Q= R, on a :
Cette valeur de x se réduit à - pour p = 0; ce qui est conforme à ce
qui a été établi directement au 1', cette valeur est plus grande que -»
par suite OG est plus petit que 00 {fig> 341). Ge qui montre que la charge uniformément répartie a pour effet de rapprocher le point G de plus grande fatigue du milieu 0 de la portée.
Le rapport de - est compris entre ^ est l'unité. Il approche de la
première ou de la seconde limite, suivant que la charge uniforme pL est très petite ou très grande par rapport à R = S P.
Remplaçant dans la relation (G') la distance x par sa valeur précédente GO, cette relation donnera le maximum de M relatif au poids considéré P,, appliqué en G. On déterminera de même le moment maximum relatif à chacun des autres poids, et le plus grand résultat obtenu sera le moment maximum absolu; la valeur de x correspondante déterminera le point de plus grande fatigué de la poutre et la situation la plus défavorable du système.
Dans Tapplication aux ponts pour chemins de fer, la distance des
es
SIXIËUE PARTIE.
lUes et leurs charges ne sont pas asseï différentes pour qu'il soit né- ■ssaire d'appliquer le Ihéorènie pour toutes les roues ; le plus souvei!. suffira de le faire pour les deii\ roues voisines de la résullaole Q dti )ids isolés; le plus grand des deux moments trouvés sera le niaiimuDi >solu.
Pratiquement, le théorème de la situation défavorable trouve surloii <n applicaLion pour des ponts de petite portée. En cffcL, pour une griodi irlée on peut s'en tenir à une charge uniforme. Dans le calcula lire toises de ponts pour route, admettant une ou deux voilures f/f^.US], théorème peut encore trouver son application, bien qu'ordinairemegl le pièce de pont se calcule par une charge symétrique qui ne Aom is le maximum du moment ilécliissant.
1422. Généralisation dn théorème de la Bitnation défavorable du
stàme ronlant {fiff- 313). Les deux
f [ij7 ?
Tt PL
S examinés ci-dessus doaiiini heu à un énoncé général : si l'on désigne par H' la nsullanle générale du syste des poids discontinus et è la charge uniforme pi, li situation défavorable du fjstème mobile par rapporl i l'une des roues est réalisit lorsque le milieu 0 de b portée AB divise en deui flies égales la distance CG' de la résultante R' au pointd'a;^ plication C considéré. £i
tet, soit R la résultante des poids discontinus et pL la résullaoleit charge uniforme de la poutre, passant au milieu 0 de la portée AB. ur obtenir la situation de la résultante totale R' de R et de pi, ii it diviser la dislance OG en raison inverse de R et pL. Ce qui doaae:
OC
-pL
d'où
