PL^Q
pL
g = f^ X GB + ^ = f (L-x') + V
Le moment fléchissant par rapport au point de contact G d'une roue, distante de la résultante Q d'une quantité a, a pour expression {équilibre de la partie AC) :
Me = g X AC — I X AC' — SMc (Pi, P;...).
Or donc
AC = x' +a;
Me=[^(L-a:')+^](x' + «)-|(x' + «)«-SMc(Pi, P;...).
Dans cette relation, S Me (Pi, P,'...) est la somme des moments des poids discontinus, situés à gauche du point de contact C; ces moments sont pris par rapport au même point G.
Exprimons l'effort tranchant T de la poutre dans la section transversale faite en G ou plus exactement très près et à gauche de C. A cet effet, prenons la dérivée Se l'équation (2), ce qui donne :
La valeur absolue la plus grande de Te répondra à la plus petite ou à la plus grande valeur de x',' attendu que la grande parenthèse est constante pour une valeur donnée de a. Gela posé, donnons à a:' la plus petite valeur possible, c'est-à-dire
x' = DG = (i,
qui est la distance de la roue de tête à la résultante Q. D'après cette valeur de x', la relation (3) devient :
Telle est la valeur de l'effort tranchant maximum en C lorsque la résultante est le plus près possible de l'appui A, c'est-à-dire lorsque la roue de tète D est sur la culée A ou tout près d'y arriver (le sens du mouvement étant celui de B vers A).
NOTB SUR LES EFFORTS TRANCHANTS. 2129
Remarque. — 1* La relation (4) est applicable à chacune des roues, en y prenant ±: a pour la distance de la roue considérée à la résultante Q, suivant que cette roue est à droite ou à gauche de cette résultante.
2* La valeur de l'effort tranchant sous une roue quelconque est fonction de la charge uniforme p de la poutre, de la résultante Q des charges discontinues ainsi que de la situation de cette résultante et enfin de la distance a de cette roue à la résultante Q.
3*> L'effort tranchant est indépendant du poids^ en particulier, de la roue considérée.
Par rapport à la roue C, il y a, comme il a été dit, une autre situation défavorable qui rend l'effort tranchant maximum. Cette situation se détermine en rapprochant autant que possible la résultante Q du point B, c'est-à-dire en donnant à x' la plus grande valeur possible (compatible avec la présence de toutes les roues dans retendue AB de la portée). On déplacera donc le système roulantde manière que la dernière roue Pj à droite soit placée en B ou tout près de B. On fera
d! étant la distance de la résultante Q à la roue extrême D' à droite. En comparant les résultats numériques donnés par ces deux situations, on sera fixé sur la situation la plus défavorable
Enfin, en retournant le système bout pour bout, on obtiendra deux situations symétriques des premières donnant les efforts tranchants maxima par rapport à chacune des roues.
Situation favorable d'un système roulant par rapport aux efforts tranchants. Si dans la formule (3) on fait x' = -,1a résultan te Q est au mi-
lieu 0 de la portée. Il est essentiel de remarquer que cette donnée suppose que la longueur DD' du système est -moindre qu^ la portée L ou tout au plus égale à cette portée; c'est-à-dire qu'on a dans ce cas :
d -f d' < L ou d-\'d' = L.
Avec ces données, la formule (3) donne pour Feffort tranchant en un point de contact C de Tune quelconque des roues :
..=^(^n,),a.f-.(fi.A
OU
valeur négative ou positive suivant le signe de a. Pour chacune des roues, située à gauche du milieu 0 de la portée, a est négatif, et par suite l'effort tranchant correspondant est positif; pour une roue située
2130 XOTE SCR LES EFFORTS TRAXCHl^PTS.
à droite de la résultante, la distance a est positÎTe étant comptée df gauche à droite et l*effort tranchant négatif. De pins, la valear absolu de l'effort tranchant est proportionnelle à la distance a de la roae considérée au milieu de la portée. Les efforts tranchants sur les appuis sont égaux et ont pour valeur celle des réactions en ces points; c'est-à-dire qu'on a :
Tm=T«=î = | + ^.
Si dans ce système Tune des roues est appliquée au point de passage G de la résultante, lequel se confond alors avec le milieu O de la portée, on a a = 0 et la formule (6) donne T = 0. On a ainsi un système présentant une quasi-symétrie au point de vue des efforts tranchants, en ce sens que les deux sommes d'efforts tranchants (sous les roues) à gauche et à droite du milieu de la portée L sont égales, quelles que soient la valeur et la distribution des charges discontinues.
On peut de plus remarquer que cette situation particulière donne le minimum des efforts tranchants en tous les points de la poutre. Cest donc la situation la plus favorable^ quant aux efforts tranchants.
Discussion de la formule générale (4), savoir :
Cette formule peut s'écrire sous la forme :
Cherchons la condition pour que l'effort tranchant soit positif. A ce> effet posons :
Q (L - 2d - a) +p ^ I - d - «) > 0, d'oi!i l'on déduit successivement :
Û^L:2d-a)>pL(^ + î-i).
Telle est la condition pour que Feffort tranchant T soit positif.
NOTE SUR LES EFFORTS TRANCHANTS. ill3l
On trouvera de même pour la condition correspondant à une valeur négative de Teffort tranchant, la relation suivante :
pL 2(L--2d — a)
La condition pour que le moment fléchissant soit nul est donnée par la relation :
'pL 2 (L — 2d — «)
VÉRIFICATION DES FORRiULES (3) ET (4) POUR PLUSIEURS CAS PARTICULIERS*
i"» Charge discontinue se réduisant à une seule r<me. Si Ton fait p = 0, la formule (4) devient :
Si Ton considère une seule roue, il faudra pour le maximum de l'effort tranchant placer la résultante Q aussi près que possible de Tappui à gauche par exemple, c'est-à-dire placer la roue unique au point A« On aura alors :
et la formule (9) donnera :
Ta=-I-(î,
c'est-à-dire la réaction même du point A.
2* Charge discontinue nulle. Soit Q = 0, la charge se réduit à une charge uniforme pZ. On a donc d = 0, a s= 0 et la formule (3) donne pour l'effort tranchant dans une section quelconque :
T = — xp-f— .
Pour x'=0, Ta= + ^.
pour «' = •2' To = 0,
pour ar = L, Jb = — ^*
Ce qui est conforme aux résultats que Ton obtient directement d'après la définition de l'eifoift tranchant.
3* Soient deux charges égales chacune à 3- et distantes de 2». j.eur
résultante passe à égale distance des deux charges. Admettons qu'il y ait en outre une charge uniforme p par mètre de longueur. On obtiendra
2132 î^OTE SUR LES EFFORTS TRANCBANTS.
le maximum de Teffort tranchant en rapprochant la résullante autant qiie possible de l'appui A. 11 faudra dans la formule générale (4) prendre d = a, dislance de la résultante à l'appui A, et la charge totale égale à û; cette formule donne pour l'effort tranchant maximum, sous la seconde roue à droite :
Directement, on peut calculer Feflfort tranchant, en remarquant que la réaction sur l'appui à gauche a pour valeur ;
par suite l'eflfort tranchant sous la seconde roue, ou un peu à gauche du point de contact, a pour valeur :
ou T. = Q-^ + ^-2/>.,
relation identique à la relation (10).
Enfin pour obtenir l'effort tranchant sur l'appui A à gauche, la même formule (4) donne en prenant d= « et en prenant —a pour la distance de la première roue à la résultante Q, la valeur :
ou ^^.^ ï7 ^ "2"
Or directement la figure donne, pour la réaction verticale ou lefforl ranchant en A, la valeur
q —Ta = l l^ "~ */ + ~2
qui est identique à la valeur ci-dessus.
Limite des efforts tranchante proposée par M. Ed. Collignony pour me poutre reposant sur deux airpuis. Il n'est pas sans intérêt de rapporter ici la solution approtUnative que donne M. Ed. CoUignon dans les Annales des ponts et chauf^ Q^Tivier, i" semestre 1889). La méthode approximative jpeot se résumer ainsi : Pour une composition de train, soit l'un des trains-types de la ci^ culaire ministérielle du 29 août 1891 (voir n» 1416),- soit toute autre disposition, il est facile de déterminer les réactions verticales sur les
NOTE SUn LES EFFORTS TRANCHANTS. 2133
deux uppais. Ces réactions changent (Vintensité avec la position géoniés trique du train mobile, et lorsque les plus lourdes charges se rapprochent de Tun des appuis, la réaction sur ce même appui augmente. Cela étant M. CoUignon pose la relation :
^P^ = Qy (a)
p étant une charge fictive uniforme. L'auteur démontre que la parabole construite d'après. Téquation
M = |pi:(L-x) (6)
donne dans tous les cas les moments fléchissants M de la poutre égaux ou supérieurs aux moments fléchissants produits par le système de poids discontinus des roues du train. L'auteur ajoute que le seul reproche qu'on puisse faire à cette parabole c'est de- donner des moments fléchissants un peu trop forts vers le milieu de la portée. Pour compenser cet excès, M. CoUignon propose de réduire le poids p calculé par la formule (b) d'un 4/10 par exemple. Quant à la parabole, qu'elle soit modifiée ou non, elle peut servir en même temps à limiter les efl'orts tranchants, par la raison que les tangentes à cette parabole qui expriment (comme on le sait) les efiforts tranchants correspondant à la charge uniforme p sont supérieurs à ceux donnés par les charges discontinues. Il en résulte que les premiers efforts tranchants (ceux donnés par la parabole) peuvent servir de limite supérieure aux efforts tranchants réels produits parles charges discontinues. Ces limites sont de 1/2 pL sur les appuis et 1/4 pL au milieu de la poutre. Cette dernière limite paraît grande, mais il n'en est rien par la raison que des nécessités de construction conduisent souvent à admettre pour la région du milieu d'une poutre des valeurs bien supérieures aux efforts tranchants calculés. D'après ces considérations, les constructeurs ont ainsi une méthode rapide et pratique de calcul donnant tout le degré de sécurité que comporte ce genre de recherches.
Remarque sur les méthodes approximatives de calcul des poutres. Nous ferons remarquer qu'une approximation basée sur les limites supérieures aux valeurs des moments fléchissants et des efforts tranchants, telles que celles rapportées ci-dessus, donne toute sécurité aux constructeurs pour le calcul d'un pont à une seule travée. La méthode élémentaire qui permet de substituer une charge uniforme fictive aux charges discontinues devra donc être préférée dans la plupart des cas aux méthodes rigoureuses donnant les maximums des moments fléchissants et les maximums des eflbrts tranchants. A cet égard, on s'exagère souvent le préjudice porté àla sécurité d'un ouvrage métallique, calculé avec une approximation numérique d'un 1/20 ou d'un 1/30 par exemple. Un seul exemple fera comprendre qu'une telle approximation est très suffisante dans la plupart des cas. Ainsi admettons que des calculs
2134 NOTE SUR LES EFFORTS TRANCHANTS
exacts aient été faits avec un coefficient de sécurité égal à 6 kilog. p:.r millimètre carré, tandis qu*un calcul approximatif attribuerait à cicoefficient une valeur plus grande ou plus petite d'un 1/20; il est facile de se rendre compte de Terreur absolue produite dans les deux cas. Pour l'erreur en excès, le coefficient de sécurité serait :
6^ + -^TT = 6*^,3 par millimètre carré au lieu de 6 kilog.;
et dans le cas de Terreur par défaut, le taux serait :
6^« — -SK = ^^S*^ P*** millinoètre carré au lieu de 6 kilog.
Ces deux résultats sont suffisamment approchés pour les praticiens.
1/important c'est de faire les calculs sur des données précises et de connaître le sens des erreurs commises en faisant usage de formules approximatives.
Mai 1892. L.-A. BARRÉ.
ri\.
TABLE ALPHABÉTIQUE DES MATIÈRES
