SÛ

istance à la traction d'un wagon sur des rails se compose dé s éléments : t° du frottement sur les fusées tournant dans les its; 2° du frottement de roulement des roues sur les rails; 3° if mce de l'air au mouvement du wagon.

ivail dû au frottement des fusées. Adoptons les notations sui-

lil du rrottemenl des essieni par mitre linéralre parcoam par le nagon; slon des fusées sur les boites; I [QUI des roues et des essieux;

coefBeient du frollcment des essieuï dans leurs boites k l'état ordinaire; ins des circonstances exceptionnelles, avec un graissage continu parfaii, est descendu jusqa'ï ûfill (voir n' 63) ; létre el rajoa des fusées; lètre et rayons des rones.

d apport — était de 1/30 pour les anciens wagons; aujourd'hui, il varie de

'U !i i/îï pour les wagons et les voitures ï voyageurs.

îssion qui produit le frottement sur les fusées est, en désignani coefficient de frottement :

force est tangente à la surface de contact de la fusée, vail de ce frottement pour un tour de roue est, en désignani rayon de la fusée :

D*autre part, le chemin parcouru par le wagon pour un tour de roue •est exprinaé par 2nR. Donc le travail du frottement évalué par unité de •chemin parcouru est donné par la formule :

^'- sTr -/(P-P)r

<qui exprime en même temps le frottement de la fusée (1).

2*» Frottement de roulement des roues sur les rails. Le frottement des roues sur les rails est proportionnel à la pression et inversement proportionnel au rayon de la roue. En désignant par /' le coefficient de frottement de roulement pour l'unité de pression (1 kilog. par exemple) et pour une roue dont le rayon est Tunité, Teffort de roulement d'une Toue de rayon R chargée de (P + p) est :

r(P-fp) R

</' = 0,001 pour des roues R de 0",90 de diamètre)*

Le travail de cet efifort pour un tour de roue a pour expression (l'effort étant de même direction que le chemin parcouru) :

«iL2qP±£-) = 2./'(P + P);

•enfin ce travail rapporté à Tunité du chemin 2nR parcouru par le v^agon a pour expression :

3® Résistance que Vair oppose au mxmvem^nt des wagons. Des expériences faites à Brest par Thibault, lieutenant de vaisseau, il résulte que la résistance de Fair contre la base d'un prisme droit à base carrée, •dont les arêtes latérales sont placées dans la direction du mouvement, rapporté à Tunité de chemin horizontal parcouru par le prisme, a pour ■expression :

R8=08AV^ (a)

R| traTail de la résistance que Tair oppose au mouvement du prisme ;

^ = 0,0625 coefficient constant ;

€ coefficient qui dépend du rapport de la longueur du prisme au côté de sa base : Si la longueur du prisme est égale à trois fois le côté de la base, e ^ 1^10

Si elle lui est égale^ c*est-à-dire si le solide est un cube e = 1,17

Si elle est beaucoup plus petite (plaque mince) s = 1,43

A base du prisme en mètres carrés ;

^ vitesse du prisme par rapport à Tair, en mètres par seconde.

(1) La quantité R| exprime le travail du frottement de la fusée pour une unité de ■chemin parcouru par la roue de rayon R ; on peut donc écrire :

Ri= Fx 1 mètre,

r f désignant le frottement, on en déduit F = Ri = /*(P — p) — •

QUATRIËHE PARTIE.

de Tbibault il résulte aussi qu'en plaçant deux surisquant eiactement, l'une derrière l'autre, la résistance Bcoode surface est nulle quand celle-ci n'est séparée i d'un très petit espace, et qu'elle est les 7/10 de celle remière quand l'écartement est é^l au c&tédela sure surface avait une section plus grande que ta pret calculer la résistance de l'air en remarquant qu'une rface est frappée directement par l'air, et que l'autre ie par la première comme dans le cas précédent, de Thibault il résulte encore que pour une surface A, avec la direction du mouvement, la résistance de l'air aurait lieu contre la projection A sîn a. de la surface A indiculaire à la direction du mouvement. aour un wagon parcourant un chemin horizontal en une vitesse V le travail total des différents frottements ice horizontale parcourue par le wagon et l'effort total traction ont pour expression commune :

exprime donc une force en kilogrammes ou un travail

totale à la traction sur nn chemin en pente et en

est :

p +/' (P + p) cos« + AeA V ± (P + p) sin a.

le ptaa inchné avec l'horizon;

polda P, aonuaU au pUa invlm£i c'est la pression des fuséM

lanlo da poids tolal des wsgons, normale au plan incliné ; c'esl 11 m sur Us rails;

du poids du traia, parallèle au plan incliné ; elle est posiUre Tant que le train monte ou descend.

ordinaires des chemins de fer, on peut, sans erreur a = 1, et alors l'expression de la résistance à la chemin en pente et en ligne droite, devient très ap-

g+/'(P-l-ri + 0<AV»±(P + p)sin,.

pente du chemin soit de 0°,005 par mètre (sjjâ) ^"^

cende seul, et lorsqu'elle atteint ^, un train chargé

faire remonter un même train vide.

la pente ne dépasse pas O^tOOS par mètre ; mais sur

quelques chemins, on Ta portée à O^jOOS ou à 0",010 et même plus, ce qui obli{2;e d'avoir recours à des locomotives de renfort.

1023. Résistances des wagons dans les courbes. Outre les résistances précédentes (1021 et 1022), la courbure de la voie donne naissance à trois frottements de glissement.

Le premier de ces frottemeats est dû à la fixité des roues sur V essieu. Une des roues glisse sur les rails sur une distance égale à la différence de longueur des deux courbes qui composent la voie. Le travail absorbé parce frottement, est pourTunité de poids et en remplaçant la différence de longueur des courbes par sa valeur en fonction de a, r et e :

a demi-largeui de la Toie ou demi-longueur de l'essieu ; on a le plus souvent a =:0°',75y

environ ; r rayon de Tare suivi par le centre de gravité du wagon ; e longueur de Tare parcouru par le centre de gravité du wagon ; {" coefficient de frottement du fer sur le fer à l'état où se trouvent les jantes des roues

et les rails; il varie de 0,12 à 0,40 selon l'état des rails^ et il est moyennement

compris entre 0,20 et 0,30.

Divisant le travail précédent par l'espace parcouru, on a la résistance due au frottement précédent, qui est alors :

Pour un wagon, cette résistance devient, en remarquant que la moitié du poids total P + 1> du wagon repose sur les roues qui glissent :

Le deuacième frottement provient de ce que le parallélisme des essievx oblige le wagon de glisser sur les rails en tournant autour de son centre de gravité pour changer de direction. Ce frottement et le précédent combinés absorbent, pour tout le parcours de l'arc et pour chaque unité de poids du wagon, un travail représenté par :

• '■'fi

Pour un waffon ce travail est :

Divisant par e, on a la résistance qui s'oppose directement au mouvement du wagon, qui est alors :

b demi-distance des essieux.

..iâ

«UAIhlËHE PARTIE.

ision (1) fait voir que le travail absorbé par le glissement db des roues et au parallélisme des essieux dépend de la Ion-

essieux et de leur écartement, et qu'il est proportionnel l dire au supplémeul de l'angle que font entre elles les deui

chemin raccordées, mais qu'il est indépendant de r pour une

iur de l'angle -. L'expression (2) montre que la résistance èi

I dépend également de a et de b, mais qu'elle est en raison T. Ainsi pour tourner d'un certain angle, le travail absoité .tement en question est indépendant de r, mais la résistance on inverse de r. Celte dernière cause, à part les accidents que sonner un Irop petit rayon adopté pour les courbes, est ce le sur les chemins & grande vitesse la valeur de r est généra- }érieure à 1 000 mètres.

Ihne frottement est dû à la force centrifuge, qui pousse les •.6 roues contre les rails.

uement, la force centrituge étant moindre que la résistance Itement des wagons sur les rails, même pour les vitesses en our un rayon de 500 mètres, qui est à peu près le plus petit ans la construction des chemins de fer, le rebord des roues pas frotter contre les rails. C'est en effet ce qui aurait lien )ns n'avaient pas de mouvement de lacet; mais comme cet oduit toujours, lien résulte un frottement qui est exprimé, agon, par :

f.p + p ^ Yltî

n centre de gravilé du wagoa, en mètres [ de la roDe, pria k l'inléricur du rebord ; horizontsle de Is lerticïle passant par U Db ta parlie rrottaale du rebord de U roue du rail ; it du rroUement du rebord de la roue contre le rail (t024).

grandes lignes, les courbes, ne descendant généralement tsous de 800 mètres de rayon, peuvent être asseï facilement même en grande vitesse, par des wagons dont les essieux ont écartés de 3-,i0. L'écartement des essieux extrêmes des 3 paires de roues est inême souvent plus grand, ■istancs totale qui s'oppose au mouvement d'un wagon >v lurbe en pente. Celte résistance est égale à la somme de tontes ices précédentes (1021 à 10S3); elle est donc :

=/P^ +/'(P + P) + 8<AV'+/''(P + p) v^M^ ;

•W^^er-STéf-^

kI'où Ton tire :

résistance égale à trois fois celle due aux autres frottements (1023, 1029). 1026. Moyens pour déterminer la résistance totale x qvà s'oppose an mouvement du wagon. Le premier moyen consiste à faire descendre librement un wagon sur un plan incliné et à constater l'espace parcouru pendant un certain temps (1022); dans ces conditions, le wagon est soumis à Faction de deux forces ; Fune accélératrice, due à Faction de la pesanteur, et qui est (P+p)sin«, composante du poids du wagon parallèle au plan incliné (78); l'autre retardatrice, qui est le frottement du wagon. Sous Finfluence de ces forces, le wagon prend un mou- 'vement accéléré, et après un certain temps, on a, en remarquant que •dans ce cas Faccélération de la vitesse est à Faccélération ^ due à la pesanteur dans le rapport de (P 4-p) sin a — x à P + p (pour l'espace parcouru) :

ll(P + p)8ina — x^,

^-2^ pT^^ ^'

-dou :

x = (P + p)sin«-^(P+p).

Cette valeur x serait exacte si tout le système était animé d'un simple mouvement de translation ; mais les roues et les essieux possédant, outre le mouvement de translation, un mouvement de rotation, il

- = de 1/12 à 1/20;

•dete (n» 1021, 3»};

f" = 0,20 moyennement (1023, 1031);

Pour a=A = 0V5, on a Vu* + ** = VM2 = 1 à peu près (1023); /'" n'a pas encore été déterminé par des expériences directes, on peut approxlmativemeot le supposer compris entre 0,30 et 0,40 (1023, 1031).

1025. Résultats des expériences faites sur le chemin de Roanne à indrézieux pour déterminer le frottement dû à la force centrifuge.

Vitesse du wagon, 16 kilomètres II Theure ; Rayon de la courbe, 100 mètres ; Traction au dynamomètre, 0,33 (P -hp) ; Soit X la résistance due k la force centrifuge.

Remplaçant les lettres par leurs valeurs dans la formule du n' 1024, •elle donne, en faisant la résistance due au frottement des essieux et au pourtour des roues égale à 0,005 (P+p), comme cela a lieu ordinairement sur les chemins de fer, et en négligeant la résistance de l'air, qui -est faible pour la vitesse adoptée :

QUATRIÈUB PARTIE.

ille qu'au poiol de vue du Iravail produit la masse réellement au mouvement de traaslatioo se compose de ceUe dont le poids p, plus d'une masse, laquelle, appliquée à la circonférence de la : ayant par conséquent la vitesse de translation, aurait, par à l'axe des roues, le môme moment d'inertie que les roues et , Si les roues étaient des cylindres pleins de matière homogène, lire si les essieux remplaçaient exactement les vides laissés entre , on aurait (hi^ori que ment cette masse fictive (101 et suivanU]. lériences directes de H. N. Wood, sur des essieux garnis seule- 3 leurs roues, ont donné 0,5i pour le rapport de cette masse fîca masse des roues et des essieux. I.a masse réellement amenée vement de translation par la force motrice (P + p) sin a— i, au tre ^-t£, étant L±£±MÏ£^ l'accélération réelle de vitesse est

+ P ■ i,Up'

on a donc, en simplifiant : ..^i (P + p)sin»

P + i,5ip m tire :

r = (P+î.)sin«-|^{P + l,5ip).

:e parcouru pcodanl le temps T qu'a àati l'obserTatton ;

du wagon ;

des roues et des essieux. On a à peu pris p = S30 kilog. pour un wagon i

que fait le plan incllni avec l'harizon; :ance totale qui s'oppose au mouiement du wagOD.

isislance de l'air étan t comprise dans la valeur de x, comme cette ice est variable avec la vitesse (1021, 3"), il en résulte que le nent n'est pas exactement uniformément accéléré, et que la tof récédente ne donne qu'une approximation, jn plan incliué au centième, les wagons ordinaires prenant un ment uniforme après quelques tours de roues, il en résulte que

tel plan la composante (P + p) sin a est égale à x, et comme on .Iculer la valeur de la résistance de l'air, puisque le mouvement forme, en retranchant cette valeur de (P + p) sin a, on aura l«

de toutes les autres résistances qui s'opposent au mouvement ;on.

euxième moyen pour déterminer la résistance totale d'un wagon e à faire mouvoir librement ce wagon sur deux plans in clioe* s inverse et se raccordant par une courbe à leur partie iole-

lûtes les résistances qui s'opposent au mouvement du wagon nulles, le wagon, après avoir librement descendu d'une certaine r verticale sur une rampe, remonterait à la même hauteur sur . Soient :

VIAGONS.

H la descente yerticale da wagon sur Tun des plans» et a l'angle d'inclinaison de ce

plan; h la montée verticale du wagon sur Tautre plan, et a' Tangle d'inclinaison de ce plan ; E l'espace parcouru sur le premier plan ;

€ l'espace parcouru sur le second plan, quand le wagon cesse de monter ; (P ■\-p) le poids total du wagon et de ses roues ; X la résistance totale qui s'oppose au mouyement du wagon.

L*accélératioa de vitesse sur le premier plan est, en supposant uniforme la résistance de Tair et en remarquant que la force (P+j))sin a— a;

sollicite, comme dans le cas précédent, une masse * — -:

(P +p)sintt— X P + l,54p

et la vitesse que possède le wagon quand il arrive au bas de ce plan est (19) :

(P + p)sina — X P+l,54p

Sur le second plan, Taccélération de vitesse retardatrice est, en remarquant que la force (P + p) sin a' -\- x sollicite la même masse

— -y mais en sens contraire du mouvement :

(P 4- y) sin a! -\- X ^ P 4- l,54p '

et quand le wagon a parcouru l'espace e, la perte de vitesse est : Or, comme le wagon cesse de monter, on doit avoir v = v\ c'est-à-dire

V"'''tr.',;r''=°v^

(P + y) sin a^ + X P+l,54p

d'où l'on tire, en remarquant que E sin a = H et e sin a' = A :

N. Wood a trouvé, par expérience, que la vitesse ne dépassant pas 16 kilomètres à Theure, la valeur de x (résistance de l'air comprise) va-

riait entre ôm^ et ^ (de 0,004 à 0,005) de (P -f p) pour un rapport g du

diamètre de la fusée à celui de la roue compris entre 4/15 et 1/13. De Pambour est arrivé à peu près aux mêmes résultats; il a trouvé que la valeur de x était, déduction faite de la résistance de l'air, de 2S69

aUATItlÉME PARUE.

i 0,0027 (P + p), pour les roues de 0",91» de Q-'fiiS, ou pour un rapport r: = sni '** issiuets en bronze et graissées d'uae manière

isiste dans l'emploi du dynamomètre. Gouin usage du dynamomètre de Horin, ont trouvé, •rochant beaucoup des wagons actuels, si ce t d'un diamËtre plus petit, que l'on avait :

(P + p) pour des titesses de SO à 90 kilom. à l'heure.

habituelles d'un service courant, c'est-à-dire re du matériel et de la voie, un vent moyen mètre de diamètre, Morin, Sauvage et Poirée I des chemins de fer, la résistance à la tracirs suivantes :

in dises. ,

H. Wood. Cet expérimentateur, en ealevanl a supprimé le frottement des essieux dans partie la résistance de l'air, et il a trouvé, en i ou moins chargés, sur des plans inclinéa, tour dea roues était à peu près 0,001 du poids

né directement le frottement des essieux dsos : tourner après les avoir chargés. H a reconnu

ne devait pas dépasser 6'',33 par centimètre contact avec ses bottes^ au-dessus de cette issée et les surfaces flottantes s'entament. 11 a le étant en très bon état et la graisse bien ffé'

le frottement n'était que le 1/60 de la charge, mé Coulomb; dans la pratique on admet qu'il

mis en usage aujourd'hui permet de dépasser 1 de 6^,33 par centimètre carré (1003, lOOS). ■dinaires, qui peuvent être, au maximum, charle de 1 mètre de diamètre, les fusées ayantO',n amëtre, si l'on suppose que la charge ne porte X 17 = 144'ï,5 de la fusée, la charge par centi-

QUATIIIËME PARTIE.

'orquenot, l'augmentation de résistance duc à la courbure st, par tonne :

RafDQ. ADgDi«ntatïciD. Il Raron. AugmeDUlioi,