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Gons.
OBSEBYiTlORS.
n Nature du terrain, difficultés d'exécution, etc.
n Nature dn terrain, difficultés d'exécU' tioD, etc.
On opérerait de la même manière pour le profil 3 et pour tous les autres que pour les profils 1 et 2. Il est à remarquer que les piquets placés sur la ligne d'opération portent les mêmes cotes que sur le tableau du profil en long.
Cotes de points intermédiaires. Le sol entre deux piquets successifs doit avoir une pente uniforme ; de sorte que, ayant les cotes c et c' de deux piquets successifs A et B, éloignés entre eux de la quantité d, la cote c'', d'un point intermédiaire situé à la distance d' du piquet A, sera donnée par la formule {Int. 1398, 1399)
Si au contraire on voulait avoir la valeur de d^ correspondant à une
colé donnée <f'^ on aurait
A Taide des résultats des deux tableaux précédents , on établira le plan de la zone de terrain nivelée; on dessinera un profil en long suivant la ligne d'opération, et sur ce profil on rapportera une ligne indiquant la position de Taxe de la route. Cet axe, d'après sa position par rapport à la surface du sol , donnera un aperçu des quantités de déblais et de remblais à faire , de la distance des transports , et par conséquent des points où il conviendra de modifier le premier profil. Les cotes indiqués sur les profils feront prévoir de combien il convient de reporter Taxe de la route à droite ou à gaucbe de la ligne d'opération, pour avoir le moins possible de déblais et de remblais, et pour que les déblais compensent les remblais avec la moindre distance de transport. Dans ces modifications du premier profil, il ne faut pas perdre de vue que la route doit toujours o£frir un aspect agréable et par conséquent être d'une pente autant que possible uniforme, et avoir le moins possible de contours. Ce n'est que la raison d'économie qui fait s'écarter du premier profil que l'œil a choisi comme réunissant le mieux toutes ces conditions.
Une fois qu'on a obtenu un profil satisfaisant, on l'arrête sur le plan de la zone nivelée par une ligne rouge représentant la position de l'axe de la route. Sur le profil en long, l'axe de la route se représente par une ligne rouge avec un petit liséré rouge, et la surface du sol par une ligne noire avec liséré noir; cette ligne noire est supposée droite entre les différents points nivelés. La ligne figurant le plan horizontal de comparaison, ainsi que celles représentant les cotes des points remarquables du terrain et de la route, se font en lignes noires pointées.
Une fois le profil en Long dessiné k une échelle convenable, deO",009l à 0*,001 ou moins encore par mètre pour les longueurs, et de 0",005 à 0",01 pour les cotes du terrain et de l'axe de la route, on fait le dessin des profils en travers, que l'on étend de part et d'autre de l'espace que doit occuper la route. Sur chacun de ces profils on dessine celui de la route , y compris les fossés et les talus. Ces profils , qu'on fait à une échelle de 0",005 k 0'*,01 pour mètre, se placent ordinairement sur la même feuille que le profil en long, en regard des points qui leur correspondent, ce qui facilite les comparaisons ; quelquefois on les dessine sur une feuille séparée, en les éloignant de 0*,10 à 0*,i2 afin d'éviter toute confusion. Gomme pour le profil en long, la surface du sol se représente par une ligne noire avec liséré noir, celui de la route et des fossés ou talus par une ligne rouge avec liséré rouge , et la ligne indiquant le plan de comparaison , ainsi que celles représentant les cotes des points remarquables du profil, par des lignes noires pointées (668).
Pour dessiner exactement ces derniers profils, il conviendrait de faire de nouveaux nivellements; mais ordinairement on peut les établira l'aide des cotes fournies par les premiers nivellements ( lid. 1427 à 1430).
820. Cotes rouges. Points et lignes de passage. On appelle cotes
tftGS SIXIÈME PARTIE.
rouges les distances verticales des points de lu surface dw sol aux points correspondants de la surface du projet. Ainsi Ton déterminera une cote rouge à Taide d'une simple soustraction, quand on connaîtra tes cotes du terrain et du projet au point considéré.
Les cotes des points remarquables du terrain sa»! données parles nivellements, et celles des points intermédiaires parla formule page 1506. Ayant les cotes de la surface du projet, cette même formule servira également à déterminer la cote d'un point intermédiaire.
Si Ton avait la cote du projet en un point, pour avoir la cote d*an autre point relié au premier par une pente uniforme , et situé à une certaine distance, on ajouterait à la cote du premier point où Ton en retrancherait, suivant que la pente serait descendante ou ascendante, le produit de la pente par mètre par la distance horizontale des deux points. Si la pente n'était pas uniforme entre les deux points, on déterminerait successivement les cotes des points intermédiaires d'inflexion, et du dernier de ces points on passerait au point considéré.
On appelle point depc^sagcy le point où la ligne du projek rencontre celle du terrain , pour passer de dessus en dessous , ou réciproquement. Ayant les cotes rouges c et d sur deux verticales A et B reliées par des pentes uniformes et éloignées entre elles d'une distance d, on aura la distance d^ de la verticale A au point de passage, à l'aide de la
formule
,. dx c
d":=d — d' sera la distance du point de passage à l'autre verticale B; on pourrait du reste la calculer de la même manière que d\
Les distances d, d' ei dl' sont comptées ensemble suivant la surface du sol, ou celle du projet, ou encore horizontalement.
Lorsque la surface du projet, après avoir été au-dessous du sol, passe au-dessus , ou réciproquement, elle rencontre la surface de ce dernier suivant une ligne continue appelée ligne de passage. Cette ligne se détermine par points , en cherchant les points de passage qui ont lieu sur différents plans verticaux menés parallèlement à l'axe de la route; ces plans se mènent par tous les sommets des angles rentrants ou saillants des surfaces du sol et du projet (821}.
821. Calcul des déblais et remblais {Int. 863). Après avoir fixé la position de la route et fait tous les profils en travers, il convient de se rendre compte des volumes de déblais et de remblais qu'exige le projet adopté, afin de modifier ce projet si les déblais ne compensent pas convenablement les remblais , et de se rendre compte du prix de revient des travaux.
Ce travail, qui n'offre aucune difficulté, du reste, exige qu'on procède avec ordre , et qu'on dispose convenablement les différents résultats. Pour cela, on commence par considérer les intervalles des profils consécutifs comme étant indépendants les uns des autres, et l'on calcule les volumes de déblais et de remblais compris entre deux profils , en espérant de la manière suivante :
Soient î et 2,^5r. 21, PI. III, deux demi-profils consécutifs. On mène des plans verticaux parallèles k Taxe de la route par tous les angles ^aiUants et rentrants que présentent les profils de la route et du terrain. Ces divers plans divisent les cubes, de formes plus ou moins bizarres, de déblais et de remblais, en solides d'une assez grande régularité pour qu'on puisse les évaluer avec une exactitude suffisante.
Après avoir mené ces divers plans, on détermine, s'il y a lieu, c'està-dire si ces plans coupent à la fois une partie en déblai et une partie en remblai, les divers points de passage (820), et en réunissant ces points par des droites, on obtient les lignes de passage iki'lmno et pqr de la surface du projet sur la surface du sol. Cela fait, après avoir préparé le tableau suivant, on considère les solides a et a' détachés par le premier plan parallèle à l'axe. Le solide a est une pyramide, désignée par pyramide a dans la deuxième colonne du tableau, qui a pour base sa section stu sur le profil 1, et pour volume, cette base multipliée par le tiers de sa hauteur 31*,61, distance du point de passage A; au profil 1. Le triangle stu peut être considéré comme ayant pour hauteur la largeur l'",75, qu'on place dans la troisième colonne du tableau, et pour base la cote rouge 1",68 ; on prend la moitié 0",84 de cette cote rouge, on l'inscrit dans la quatrième colonne du tableau, et le produit l",75x0"',84 = 1"',47 est ,1a surface de la base de la pyramide {InL 682) ; on l'écrit dans la cinquième colonne. On prend le tiers 10",64 de la hauteur 31 ",61 de la pyramide, on inscrit ce tiers dans la sixième colonne du tableau, et le produit 1,47 x 10,54 = 15"%49 est le volume de la pyramide (Int. 856) ; on l'écrit dans la septième colonne. On opère de la même manière pour la pyramide a' et pour celles e' et g', en plaçant les cubes dans la septième ou la huitième colonne du tableau, selon que la pyramide est en déblai ou en remblai.
Pour le solide se projetant suivant le trapèze b, et inscrit trapèze b
dans la deuxième colonne du tableau, on le considère comme ayant
pour base le trapèze tuvx. Ce trapèze a pour hauteur la largeur O^jSO,
que l'on inscrit dans la troisième colonne, et pour base moyenne la
hauteur moyenne — — ^— ^ — =l»,67, qu'on place dans la quatrième
colonne ; le produit 0,50 x 1 ,67 = O'^M est la surface de la base du solide b {Int. 687). Pour avoir son volume, on remarque qu'on peut le considérer comme étant équivalent à la moitié d'un prisme ayant même
31 61 4- 29 20 base et une hauteur égale à la moyenne — 2 — - — ^ = 30",405, ou
on IfiK
à un prisme ayant même base et une hauteur égale a — ^ — = 15",20
que l'on écrit dans la sixième colonne. Le produit0,84x 15,20= 12"%69 est le volume du solide b {Int. 854) ; on Finscritdansla huitième colonne. On opère de la même manière pour cuber les solides 6', c, c*, d, d', e, g, h et h'.
Le solide se projetant suivant le rectangle / a une base sur chaque proûlf et peut être considéré comme étant équivalent à un prisme ayant
XIËHE PARTIE.
pour base la moyenne des bases du solide /, et pour hauteur celle de ce solide, c'est-à-dire la dislance des deux profils. La base située sur le
profil 1 est égale à 1,35^—, et celle située sur le profil S, à 1,35-^,
la moyenne de ces surfaces est 1,36 ~
on placera donc l',35 dans la troisième colonne du tableau, 0',26 dans la quatrième, 0*^,35 dans la cinquième et 3S mètres dans la sixième ; le produit 0, 35x35=12", S9 est le volume du solide. Si ce solide, au lieu d'avoir des bases triangulaires, avait des bases Irapézoldales ou une base triangulaire et une base trapézoïdale, on opérait d'une manière semblable; ainsi les deux bases étant des trapèzes, en représentant les cotes rouges par a, b, cet d, pour une même largeur 1', 35, la base moyenne serait
,,3Bα»±£±i.
I triangle, c'est-à-dire si d était nul, la base
Si l'une des bases était ii moyenne serait
Dans tous les cas, la base moyenne multipliée par la distance des profils donne le cube du solide.
Tous les volumes des déblais et remblais qu'on peut avoir k évaluer peuvent toujours se décomposer en des solides semblables à ceux que
nous venons d'examiner, et que nous avons distingués par pyramides, trapèzes et rectangles.
Tableau des calculs des déblais et remblais.
com-
d«i solidei.
de jolidu.
SOlidH.
Larganr.
UluUnr,
Surf>c«.
en nmblu
P^riimide a.
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Nitnreda
On continuerait de la même manière pour l'autre portion comprise entre les profils 1 et 2. On ne ferait les totaux qu'après avoir calculé tout ce qui sépare deux profils, et Ton continuerait le tableau pour ce qui est intercepté par les profils 2 et 3, puis 3 et 4, et ainsi de suite.
Voir dans les Annales des ponts et chaussées^ 2* semestre 1874, page 192, une Note sur une méthode nouvelle pour le calcul des aires de déblai et de remblai dans les profils en travers, proposée par M. Woyciechowski, ancien élève de TËcole des ponts et chaussées.
822. Méthode expéditive pour calculer les déblais et remblais. A moins qu'il ne s'agisse de volumes considérables ou d'un sol difficile à attaquer, on peut généralement suivre la méthode que nous allons exposer :
1" La route étant complètement en déblai ou en remblai sur les deux profils, le volume D de déblai ou R de remblai se calcule comme pour le solide désigné par rectangle / dans la méthode précédente, c'est-àdire en considérant ce volume comme étant équivalent à celui d'un prisme droit ayant pour hauteur la distance des deux profils, et pour base une moyenne arithmétique entre les surfaces des deux profils.
Ainsi, S étant la surface d'un profil, s la surface de l'autre profil et d la distance de ces profils, on a
DouR=^d.
H n'est pas nécessaire que les déblais ou remblais aient la même largeur sur les deux profils.
2*" Si la surface S d'un des profils était complètement en remblai et celle s de l'autre profil complètement en déblai, on supposerait que la distance moyenne d' de la ligne de passage à l'un des profils, à celui en remblai, par exemple, est donnée par la formule du n" 820, dans laquelle les cotes rouges c et c' sont remplacées par les surfaces S et ; ; on a
^,dxS
La distance moyenne d" de la ligne de passage à l'autre profil peut se calculer de la même manière que d', mais on l'obtient en remarquant que<î"=d — d'.
Ayant d', on calculerait le cube R du remblai de la même manière que celui du solide désigné par trapèze b dans la méthode précédente (page 1509), c'est-k-dire en le considérant comme étant équivalent à la moitié d'un prisme ayant même base S et même hauteur d', ou encore
à un prisme ayant S pour base et - pour hauteur ; ainsi l'on aurait
Pour les mêmes raisons, on aurait
3" Si Tun des profits était complètement en déblai ou en remblai, et que l'autre fût partie en remblai et partie en déblai, par le point de rencontre des remblais et des déblais sur ce dernier profil, on mènerait un
1512 SIXIÈUE PARTIE.
plan parallèle à l'axe de la route ; ce plan diviserait ce qui sépare les deux profils en deux parties: Tune complètement en déblai ou en remblai, et que Ton évaluerait comme au 1* ; l'autre en déblai sur un proffl et en remblai sur l'autre, et que l'on évaluerait comme au 2".
4' Si les profils étaient tous deux partie en déblai et partie en remblai, mais que les parties en déblai et en remblai fussent correspondantes sur les deux profils, sans pour cela avoir la même largeur, on calculerait le cube des déblais, ainsi que celui des remblais, comme au 4".
S* Enfin, si les profils comprennent des parties en déblai et des parties en remblai, mais ne correspondant pas sur les deux profils, ce qui est le cas de lay?(gr. 21, PL llï, pour lequel nous avons formé le tableau page 1510, on considère la première surfaces du profil 1, qui est en déblai, et la première surface S du profil 2, qui est en remblai, et l'on calcule les cubes de déblai et de remblai qui correspondent à ces surfaces comme au 2°. Considérant ensuite la seconde surface S' du profil i, qui est en remblai, et la seconde surface s' du profil 2, qui est en déblai, on calcule également le déblai et le remblai comme au 2*.
Afin de donner une idée de la marche à suivre pour calculer les déblais et remblais, et de la manière de disposer les résultats dans les différents cas que nous venons d'examiner, nous allons former le tableau suivant pour le cas du 5*, c'est-dire pour la^^. 21, PI. lïï.
On considère d'abord la partie qui correspond aux premières surfaces 5 et S; c'est ce qu'on indique dans la deuxième colonne du tableau. On calcule ensuite la surface en déblai s en évaluant, d'après les largeurs interceptées entre les différentes cotes rouges menées aux points remarquables du projet et du sol, et les valeurs de ces cotes, les surfaces partielles interceptées par ces cotes ; les largeurs partielles s'inscrivent dans la troisième colonne du tableau ; dans la quatrième colonne, on place les cotes rouges, ou mieux les valeurs par lesquelles il faut multiplier les largeurs pour avoir les surfaces partielles; ces surfaces partielles s'inscrivent dans la cinquième colonne. La surface totale ^ = 5"",10 s'inscrit au bas des surfaces partielles. On calcule de la même manière la surface en remblai 8=0*^,73.
Ayant les surfaces des déblais et des remblais, la distance moyenne
d' de la ligne de passage au profil 1 est, d'après ce qui a été dit au 2%
et d étant égale à 35 mètres,
— J — = 15'',31 est la longueur du prisme droit ayant s pour base, et
dont le volume est équivalent k celui du déblai; on inscrit 15", 31 dans la sixième colonne du tableau.
Le cube du déblai est 5,10 x 15,31 =78'"%08; on l'écrit dans la septième colonne.
La distance moyenne rf" de la ligne de passage du profil 2 est 35 — 30,62 = 4",38, dont la moitié est 2",19, nombre qu'on pose à la sixième colonne.
Le cube de remblai est alors 0>73 x 2,19 r= 1**,60, nombre qu*on inscrit dans la huitième colonne.
En opérant de la même manière entre S' et s\ on trouve que le volume du remblai y est 20"%23, et celui du déblai 1$"'%13.
Faisant les totaux des cubes en déblai et des cubes en remblai, on trouve respectivement 96"*,211 et 21"%83, nombres différant peu de ceux 93"%17 et 23''%16 trouvés par la méthode exacte (tableau page 1510].
