C : 2P- = a6 ou i/x« + y*:2y, d'où C = P ^V^' + y
La force C, agissant suivant ab, peut être supposée appliquée au point 6, où eUe se décompose en deux autres :
L'une verticale et égale à P -;
L'autre horizontale et égale à P -^ — i^ x / . . , = P -.
xy Vaî' + 2/' y
Considérant alors le voussoir 6c, on voit qu'il est sollicité par la force Ijorizontale P - appliquée au point b, et par les forces verticales
Q, P et P - appliquées la première au point g et. les dernières
au point 6; par conséquent, pour que ce voussoir ait de la stabilité, on doit avoir
ou, en simplifiant,
û;j' + Pa:'-.p^>0.. '' (a)
Ajoutant Vz^Vz au premier membre de cette inégalité, on a
Qz' + P(x' + z) — (?z-\-lP^\> 0.
Qz* est le moment du voussoir 6c, prâ par rapport au point c, P [x' 4- z) est le moment du voussoir ab, pris par rapport au même point; par conséquent la somme de ces deux expressions est égale au moment total MA de la demi-voûte, pris par rapport au point c (Int. 1561 et suivants).
M ssQ4-P poids de la demi-ToiUe;
A distance horizontale du centre de gravité de la demi-Yoûte au point c.
Le dernier terme du premier membre de Tinégalité précédente devient, en réduisant au même dénominateur,
P;,y±y:=Pflî.
H=v + ^' kauteur totale de la voûte.
L'inégalité précédente devient donc en définitive
MA— PH- ou H(^ — P-1>0.
Ainsi il y aura rupture qvand le terme négatif sera plus grand que le terme positif, équilibre quand il lui sera égal, et Ton obtiendra une star bûité d'autant plus grande qu'il deviendra plus petit relativement à ce terme positif.
Le terme -=- étant constant, et celui — étant seul variable, il est n y
évident que si une voûte doit se rompre, ce sera au point pour lequel P - est maximum ; ainsi la première chose à faire pour s'assurer qu'une voûte projetée résistera, c'est de déterminer la position du joint qui donne P — maximum.
U convient de remarquer que dans cette recherche on n'a à considérer que le voussoir supérieur, et que les joints pour lesquels on doit calculer les valeurs correspondantes de P, y et z doivent être choisis Toisins du joint qu'à l'œil on suppose devoir être celui de rupture. I? convient aussi, pour abréger les calculs, d'observer que les valeurs de P étant proportionnelles aux surfaces correspondantes du profil .de la voûte, et que les valeurs de 2 et de ^ données par ces surfaces étant les mêmes que celles des portions correspondantes de la voûte, on peut opérer sur ces surfaces pour déterminer les valeurs successives de y et de X, et que la position du joint de rupture sera déterminée par la va-
leur maximum du produit de - par la surface correspondante.
if
Si Ton arrivait a une valeur de P - trop grande, on augmenterait la
;largeur des pieds-droits de manière à faire croître conTenablement HA.
Ce qui vient d'être dit s'appliqua aux voûtes surbaissées comme à celles en plein cintre.
Dans tout ce qui précède, nous avons supposé que la voûte n'avait à supporter que son propre poids ; mais ordinairement elle est surmontée d'un massif de maçonnerie formant un^ surface horizontale ou légèrement inclinée au-dessus de la voûte et des pieds-droits; déplus encore ce massif supporte ordinairement une surcharge accidentelle ou permanente.
Dans ces divers cas, les poids P, Q et M comprennent non-seulement ceux des parties correspondantes de la voûte proprement dite, mais aussi ceux des massifs de maçonnerie et les portions de surcharge qui reposent sur ces parties de la voûte. On a également égard à ces poids additionnels en déterminant les positions des centres de gravité.
Pour les ponts, l'épaisseur totale de la chape, du remplissage, de la couche de sable et du pavé ne peut guère être inférieure à 0",60, et Ton peut supposer que les matériaux qui la composent ont la même densité que la maçonnerie. Le remplissage des reins se faisant en détritus aussi légers que possible ou en parties creuses voûtées, sa densité est moindre que celle de la maçonnerie. La charge d'épreuve est de 400 à 500 kilog. par mètre carré.
Il convient de faire l'épure qui sert a déterminer le joint de rupture à une grande échelle; cela aide à fixer la position des centres de gravité, et à calculer les surfaces et par suite les poids des diverses parties de voûte qu'on a à considérer {Art 322).
2" Le deuxième cas de rupture d'une voûte a lieu lorsque, par TefiFet de
force horizontale maximum P - du voussoir agissant, la culée ou
pied-droit glisse sur sa base, il est évident que ce glissement ne pourra s'eflfectuer lorsqu'on aura
MK>P-.
K ^coefficient du frottement de la culée sur sa base; on peut le faire égal à 0,76 (58). Les autres lettres ont les mêmes significations qu'au cas précédent.
3» Le troisième cas de rupture d'une voûte se présente quand, parla forme de la voûte ou par le mode de répartition de la charge, les piedsdroits tendent à tomber en avant; alors, la voûte s'ouvre à l'intérieur aux reins et à l'extérieur à la clef, comme Tindique la fig. 29, PL III. Ce cas peut être considéré comme exceptionnel, et Ton pourra généralement se dispenser de faire les calculs suivants ; il se présente cependant dans les voûtes d'édifices, et a donné lieu à ces clefs pendantes que Ton remarque dans les églises gothiques, où elles sont décorées de sculptures.
On établit les conditions d'équilibre comme dans le premier cas, en prenant pour axes de rotation des voussoirs les points a, b, c, et pour qu'il y ait stabilité, on trouve que l'on doit avoir
> 0, c esl-a-dire P - > -=7--
H=flc? hauteur de la voûte mesurée k l'intrados; M poids de la demi-voûte ;
A distance horizontale du centre de ip'avité de la demi-voûte au point de rotation c; P poids du voussoir agissant ab ;
z distance horizontale du centre de gravité du voussoir agissant au point de rotation b; t/ distance verticale des points de rotation a et b.
Si Ton n'arrivait pas à P - > -rj- , on ajouterait un massif de maçon-
nerie au pied- droit, en dehors de 1 arête c, ou bien on chargerait la clef. Dans ce troisième cas de rupture de voûte, ainsi que dans le deuxième, on a, comme au premier cas, égard à la maçonnerie et à la surcharge qui peuvent reposer sur la voûte.
8S8. Épaisseur des voûtes à la c/^/(932). La méthode exposée dans le numéro précédent est une méthode de tâtonnement, puisqu'on part d*une hypothèse sur Tépaisseur de la voûte. Afin de ne pas faire cette supposition au hasard, oq a recours a la formule empirique suivante, que Perronnet a déduite de ses observations,
e épaisseur de la voûte à la clef en mètres ; d distance des pieds-droits.
Comme, pour des valeurs de d supérieures à 30 mètres, cette formule donne des épaisseurs trop fortes, il conviendra dans ce cas de se guider, dans sa première hypothèse, sur les constructions existantes (Art, 323).
Partant de Tépaisseur ainsi fixée, on détermine le joint de rupture comme il a été dit au n*" 857, et par suite la valeur de la poussée hori-
zontale P - de chaque voussoir agissant sur le voussoir résistant. Si
cette poussée s'exerçait uniformément sur toute la hauteur e du joint à la clef, il serait facile de calculer quelle devrait être la valeur de e pour y résister; mais remarquons que le voussoir agissant a5, fig. 28, PI. III, par sa tendance à tourner autour du point a, rend nulle la près* sion du point intérieur A, tandis qu'elle est maximum au point extérieur a. U est évident que la voûte ne résistera qu'autant que cette pression maximum au point a ne dépassera pas la limite R que comporte la pierre de la voûte. La pression étant nulle en A, et R en a, supposant que chaque point de « résiste en raison inverse de sa distance au point a^
R Re
il en résulte que la résistance moyenne est —, et la résistance totale, — .
Cette résistance totale peut être représentée par la surface d'un triangle dont la base est R et la hauteur e; son point d'application est situé au
centre de gravité du triangle, c'est-k-dire à une distance - de la base
OU du point a {Int. 1595), et comme le moment de cette résistance, pris par rapport au point de rotation b, doit être égal au moment du poids du voussoir agissant a6, pris par rapport à ce même point 6, on doit donc avoir (Jn<.J565).
Dans cette formule, les longueurs étant représentées en mètres et P en kilogrammes, R exprime le nombre de kilogrammes que peut supporter avec sécurité chaque mètre carré de la pierre qui compose la voûte (253).
La formule ainsi établie donnera la valeur de 6, et si cette valeur était d ifférente de celle qu'on a supposée pour déterminer le joint de rupture (857), on déterminerait de nouveau ce joint en adoptant cette seconde valeur de e, et la nouvelle valeur de Pz fournirait pour e une valeur plus approchée (860).
Dans un travail récent (brochure publiée au Mans), M. Léveillé, ingénieur en chef des ponts et chaussées, a reconnu que la formule de Perronnet était applicable à une voûte de pont d'une forme quelconque, d désignant, dans tous les cas, Touverture ou la distance des pieds-droits ; seulement, pour rendre les opérations plus faciles, M. Léveillé adopte
1 -f-0,id ^■^ 3 •
Ainsi cette formule, dans laquelle d désigne toujours Touverture, est applicable aux voûtes en plem cintre, en anse de panier et en are de cercle ; d'après des comparaisons faites à un grand nombre de ponts, il résulte qu'elle est même applicable aux voûtes qui portent des convois, et aussi à celles chargées d'une grande égaisseur de terre.
8sé. Épaisseur des pieds-droits (903, 933). Lorsque les pieds-droits font culée, c'est-à-dire doivent résister à la poussée horizontale de la voûte, il peut arriver qu'ils se renversent en tournant autour de leur arête extérieure. Ce cas ne peut avoir lieu qu'autant que l'inégalité (a) du n^ 857 ne serait pas satisfaite, et alors on augmenterait l'épaisseur du pied-droit et par suite z' de manière à y satisfaire. On opérerait d'une manière analogue pour le cas où le pied-droit pourrait tourner autour de de son arête intérieure (3^ 857).
Il peut arriver aussi que, par suite d'une trop faible épaisseur, le pied-droit glisse sur sa base. Ce glissement ne peut avoir lieu dès que l'inégalité du 2% n' 857, est satisfaite.
n peut arriver également que la voûte glisse sur ses naissances; on vérifiera encore si cet effet est possible à l'aide de l'inégalité du 2", n"* 857, dans laquelle M ne comprendra plus le poids du pied-droit, mais seulement celui de la moitié de voûte qui le surmonte. Ce cas est évidemment celui qui exige la plus grande épaisseur de pied-droit. Cependant, comme l'épaisseur statique calculée pour le renversement est
ordinairement plus que suffisante pour résister au glissement, on ne peut s'en tenir à celle calculée d'après le glissement.
Pour qu'un pied-droit offre une résistance au renversement qui inspire toute la sécurité dans la pratique, il faut que le premier membre des inégalités du n"" 857 soit supérieur au second dans un certain rapport, c'est-k-dire que le moment d'inertie du pied-droit dépasse dans un certain rapport la tendance au renversement
La valeur numérique de ce rapport ou coejgîcient de stabilité a été prise égale à 2,00 ou k 4,90 par un grand nombre d'ingénieurs, qui la fondaient principalement sur la mesure de stabilité qu'offrent des constructions établies par Yauban, et qui doivent être regardées comme des modèles. Dejardin {Routine de V établissement des voûtes), en s' appuyant sur le degré de stabilité des admirables édifices du style sarrasin, et encore sur celui des ponts suspendus, propose 1,50 pour la valeur du coefficient de stabilité; cela revient à multiplier par 1,23 l'épaisseur statique du mur ou pied-droit. Des constructeurs multiplient l'épaisseur statique, les uns par 1,38, les autres par 1,40, et quelques-uns par 1,90; mais cette dernière valeur paraît exagérée. La courbe de pression étant tracée, elle divise le joint de fondation en deux parties dont chacune doit pouvoir supporter sans tassement ni écrasement les 2/3 de la charge totale de la fondation (861).
Dans les anciens ponts, on faisait les arches très-petites et en plein cintre ou en anse de panier, et les piles faisaient culée; mais dans les arches actuelles, que Ton fait grandes et en arc de cercle afin de faciliter la navigation, le joint de rupture étant aux naissances pour un arc dont la montée est le 1/6 ou le 1/8 de l'ouverture, il en résulte que la poussée est trop considérable pour pouvoir établir des piles faisant culée; on se contente de leur donner des dimensions suffisantes pour que les pierres résistent avec sécurité k la charge qu'elles ont k porter (253), en ayant égard aux effets des glaces et k toutes les autres causes de dégradation.
Dans son travail (858), M. Léveillé a donné les formules suivantes pour calculer l'épaisseur des pieds-droits ou culées :
Arc de cercle, E = (0,33 -h 0,212i) V/g x ^^;
Plein cintre, E = (0,60 -f 0,162d) K/^ ^ ^^^^ ><^
Anse de panier, E = (0,43 + 0,154d) ^tt^^ ^ ^
25d-he' Sid
£ épaisseur des culées;
d ouverture de la voûte ;
h hauteur des culées, ou distance verticale entre les naissances et le dessus des fondations ;
€ épaisseur de la voûte à la clef (858) ;
f flèche ;
b pour les voûtes en anse de panier, la formule a été établie dans Fhypothèse que
Fintrados est une ellipse ayant (f=2a pour grand axe, et 6=/" pour demi petit axe; H distance Terticale entre le dessus de la chaussée et le dessus des fondations. On a habituellement H = A + /"+ e -|- 0",60, le terme 0",60 représentant la surcharge et le pavage qui, d'ordinaire, recouvrent la voûte, et dont le poids, après tassement, peut être considéré comme sensiblement égal à celui de la maçonnerie.
Le numérateur des fractions ayant H pour dénominateur représente la hauteur du point où le joint de rupture rencontre l'intrados au-dessus des fondations. Dans les voûtes en arc de cercle, le joint de rupture étant en général au-dessous des naissances, on Ta supposé aux naissances. Dans les voûtes en plein cintre extradossées horizontalement, le joint de rupture faisant un angle de 60» avec la verticale, on doit prendre A -f 0,â5e/ pour le numérateur de H ; en ce point, le rapport de la flèche à la corde est de 0,288, valeur que le rapport de la flèche k la corde atteint rarement dans les voûtes en arc de cercle.
Pour les voûtes en anse de panier, le joint de rupture, normal à Tintrados, fait avecla verticale un angle de 45<* ; et si Ton suppose que Tintrados est une ellipse, il est rencontré par le joint de rupture à une hauteur 0,546 au-dessus des naissances ; de sorte que le numérateur de H est h + 0,546.
Tableau des ponts auxquels M. Léveillé a appliqué ses formules. Dans tous les calculs^ rëpaisseur calculée de la clef a été substituée à Tépalsseur réelle, et Ton a pris 0",60 pour la hauteur de surcharge.
VÈStMATUm BBS NMTi.
1* Ponts e» are de cercle.
Pont sur le chemin des Frnitiers (chemin de fer du Nord).
— de Paisia
— de Mérr (chemin de fer dn
Nord)
— de Mélisey
— de Gontnretke, à Arbois. . .
— sar ie Salât
— de Li rue des Abattoirs, à Pa-
ris (chemin de fer dfe Strasbourg) ,
— Snr la i^'orth, à Stirling. . .
— Saint-Maience, sur l'Oise. .
— da cbemin de fer du Nord,
sur l'Oise
— deDorlastOD . . .
2" Ponts en plein cintre.
Aquednc pr^ d^Enghien (chemin
de ter da Nord)
Pont de Paty
— sur le llioa
— des Hévoisins, de Paris à
Chartres
— du Crochet (chemin de fer de
Paris à dbartres)
— de Long-Sants (chemin de fer
de Paris à Chartres).. . .
— d^Enghien (chemin de fer dn
Nord)
— de Pantin (canal St-Martin).
<— de la Bastille id. . . .
— des Basses- Granges (Orléans
à Tours)
•^ d'Eymontiers
S*" Ponts en anse ie panier.
Pont de Charolles
— du canal Saint-Denis. ....
— de Château-Thierry
— de Dôle sur le Donbs
— de Wellesley à Lymerick. . .
— d'Orléans (chemin de fer de
Yierzon)
— de Trilport
— de Mantes
— de Neuilly
ÉPAISSEUa
àUelef
iMli.
HAOnUA
> des culées.
