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1,321 9il

=ss

Ajoutant ladifférence des rayons successirs au premier rayon, on aie deuxième ; cette différence ajoutée au deuxième rayon donne le troisième, et ainsi de suite. A l'aide de ces divers rayons, que l'on peut transformer en mètres en les multipliant par l'ouverture exprimée en mètres, on fera le tracé comme il a été indiqué ci-avant.

Au pont de Keuilly, Perrounet aeinployé une anse de panier à 11 centres, qu'il a tracée comme l'indique la fig. 27, PI. III. On prend un point k, que l'on croit devoir êlre le premier centre, et

l'on divise fk de manière que ^■=-^' = *- = -^= ^. Cela fait, on prend/a =3/X; on divise/a en 5 parties égales aux points e, d, c, '6; on joint ek, dj, ci, bk et ag, et si le point k a été bie n choisi, la courbe ayant pour centres successifs les points k, r, o, m, n, a passera par le sommet q do la montée. On conçoit que ce n'est que par tâtonnement que l'on arrivera à la position convenable du point A, Supposons qu'on a fait une première hypothèse, et que le point A- choisi ne convienne pas; on aura la valeur convenable x, de fk, à l'aide de la formule

b=f<i montée;

m 'Bleur qu'on s priae pour fk dans la première hjpothèse;

s développ émeut de la ligue brisée anmork qu'a donné la premiëre bjpolbëse.

Dans un mémoire présenté à l'Institut, noti'e camarade H. Revellal donne la solution analytique det courbes à pluiiears centres, décrites d'après le procédé géométrique de Perronnet (Comptes-rendus de l'Académie des Sciences, année 1873, 2" semestre, t. LXXVII, n° 6). De cette solution découle le tracé géométrique suivant: Soit à décrire, par exemple, une courbe à 11 centres sur les demi- Fig. 191. axes/i = 10-,00 et/g = 5",00 {fig. 192). Achevant

le rectangle y7p9, menant la diagonale ql, et abaissant du sommet p une perpendiculaire à ql, cette perpendiculaire rencontre les axes aux points k et a, et détermine sans tâtonnement les deux rayons extrêmes kl ei aq.

Ayant k et a, on termine l'épure comme l'a fait Perronnet {fig. 27,P1. 1 1 1), c'est-à-dire en divisant/A

en 5partie3 satisfaisant klaloi fr; = -= -r-^j ■■■.

en divisant fa en 5 parties égales, et en menant

ek, dj... Si l'opération graphique est bien faite,

lacourbe décrite des centres k, r, o, m, n, a passera

" parle sommet?, et M.Revellatluidonnelenomde

courbe ellvptiqae.A'aiiOTA parce qu'elle a les mêmes rayons principaux

de courbure que l'ellipse décrite sur les mêmes axes, et ensuite parce

qu'elle a la même aire.

S'il s'agit d'une courbe k 9 ou à 7 centres, on opère comme pour H centres; seulement on divise, suivant la loi posée par Perronnet, fk et/o en 4 parties dans le l" cas et en 3 dans le second.

Lorsque, en opérant comme ci-dessus, le tracé de la courbe ne réussit pas, c'est qu'alors la condition d'ellipticité ne peut être remplie par les

données de la question. La série des courbes possibles peut commencer à 5, à 7 ou à 9 centres, et finit à 11 centres.

Dans plusieurs ponts nouvellement construits, on a adopté l'ellipse pour directrice de Tintrados et de Textrados (867 et suivants).

858. Formes des piles. Fondations. Ce qui a été exposé au n" 780 comprend comme cas particulier la fondation des ponts.

La coupe horizontale des piles proprement dites est un rectangle ; mais on les termine en amont et en aval par un massif de maçonnerie faisant saillie sur les têtes du pont ; le massif d'amont s'appelle avantbec, et celui d'aval, arrière-bec. Ces becs s'élèvent jusqu'au-dessus des plus hautes eaux, afin qu'ils préservent complètement le massif de la pile du choc des corps flottants; ainsi, dans les ponts en plein cintre et en anse de panier, ils peuvent s'élever au-dessus des naissances ; dans les ponts en arcs de cercle, on les termine aux naissances, les eaux ne s'élevant pas plus haut. On les surmonte de demi-cônes qui les raccordent avec les tympans du pont.

Le fruit des piles ne doit pas être supérieur à 1/20 ou 1/15.

Les becs ne sont pas seulement destinés à préserver les massifs des piles du choc des corps flottants, mais aussi à faciliter, parleur forme, le passage de Teau, de manière à diminuer la contraction et les tourbillonnements de l'eau et par suite des. afi'ouillements (851). Il est évident queles formes qui doivent le mieux satisfaire à ces conditions sont celles qu'il convient de donner aux proues et poupes verticales pour faciliter le mouvement des bateaux (534). Par des expériences directes sur des piles de 0",15 d'épaisseur^t de diverses formes, le canal ayant O^jSO de largeur, l'eau y circulant sur une épaisseur de O^jOi avec une vitesse de 3",90 par seconde, Gauthey a reconnu que la forme rectangulaire était la plus défavorable, que la forme d'un triangle rectangle favorisait peut-être encore plus les afifouillements, que celle en demi-cercle était préférable, que le triangle équilatéral l'était davantage, et qu'une forme , plus convenable encore que cette dernière, était celle composée de deux arcs de cercle tangents aux faces de la pile et ayant leurs centres respectivement sur ces faces.

Dans des expériences sur l'avant-bec formé de deux arcs de cercle, on a fait descendre les naissances au-dessous du niveau de l'eau ; alors le remous a été considérable, et les courants ont divergé à peu près autant que dans les expériences faites avec les avant-becs rectangulaires. Ces expériences conduisent à adopter la forme triangulaire équilatérale, ou mieux la forme en arcs de cercle; mais les angles aigus Fig. 193. qu'elles présentent au choc des glaces et

des autres corps flottants sont prompte-

a,.„ ,.j«-^ jj^gj^^ endommagés; aussi donne-t-on en

' V'"'^ jS^B général la préférence aux avant-becs de-

~""aVT ' '"' \ mi-circulaires.

K ^ '"" \ Une forme elliptique concilierait ep par-

^K^ \ tie les avantages de la forme circulaire et

\ \ de celle en arcs de cercle.

\ Pour un pont biais , on emploie deux

arcs de cercle, AC et BC, tangents aux faces de la pile et, en un même point C, k une droite ab parallèle à la tête AB du pont. Menant ab parallèle à AB à une distance égale à la moitié de l'épaisseur BD de la pile, et élevant au point C, milieu de a6, une perpendiculaire, elle détermine , sur les perpendiculaires AO et BO' aux ftces de la pile, les centres 0 et 0' des arcs AC et BC.

856. Appareil des voûtes. Les voussoirs sont en nombre impair, et celui qui forme clef doit se trouver au milieu ; leurs plans de joints sont normaux à la surface cylindrique de la voûte, et on ne les raccordait avec la maçonnerie qui les surmonte que par des faces horizontales et verticales ; mais dans les ponts que Ton construit aujourd'hui, la courbe d'extrados est le plus généralement continue comme celle d'intrados. Les dimensions des voussoirs dépendent de celles des pierres qu'on a a sa disposition ; cependant il ne faut pas que leur longueur soit trop grande par rapport à leur épaisseur, parce qu'ils se rompraient; il faudrait, dans ce cas, les composer de plusieurs morceaux. Au pont de Neuilly, les voussoirs, qui sont les plus longs qu'on ait employés, ont 1",80 de longueur sur 0",46 d'épaisseur à la douelle (779 et 866).

857. Dimension des voûtes. Joints de rupture. Lorsque les dimensions d'une voûte et de ses culées sont réduites au point de ne pouvoir se soutenir, on remarque, au moment où l'équilibre va se rompre, qu'en général la voûte s'ouvre, comme l'indique la fig. 28, PL III, à l'intrados à la clef, à l'extrados en des points placés dans les reins de la voûte, et que les pieds-droits tournent autour de l'arête extérieure de leur base.

Quelquefois, k la rupture, on remarque que la voûte se fend à la clef et dans les reins, mais sans s'ouvrir, et que les pieds-droits glissent sur leur base.

Il est encore un troisième cas possible , c'est celui où le voussoir inférieur, c'est-k-dire l'ensemble du pied-droit et de la partie de voûte inférieure au rein, exerce, pour tomber en avant , un effort plus grand que celui produit par le voussoir supérieur pour le faire tourner en sens contraire. Alors la voûte s'ouvre comme dans le premier cas, mais à l'extrados k la clef, k l'intrados aux reins, et les pieds-droits tournent autour de l'arête intérieure de leur base (fig. 29, PI. III).

Une voûte peut être considérée comme composée de 4 voussoirs séparés par les joints où la rupture est pQssible , et qui doivent mutuellement se maintenir en équilibre.

1* Examinons d'abord le premier casy celui où il y a affaissement de la voûte et renversement des pieds-droits, fig. 28, PL III. Au moment où l'équilibre se rompt, on peut supposer théoriquement que les voussoirs ne reposent plus entre eux et sur le sol que par des arêtes a, 6, 6', c et c'; alors a6, 6c, ab' et b'c' sont entre eux dans le même état d'équilibre que des droites rigides ab, 6ô, ab' et b'c' y dont les poids sont ceux des voussoirs, et dont les centres de gravité sont placés aux points G', g', etc., situés sur les verticales passant par les centres de gravité G, g, etc., des voussoirs. (Int. 4586 et suivants.)

Il Convient, pour abréger les calculs relatifs à la poussée des voûtes, de ne considérer qu'une tranche de voûte de 1 mètre de longueur; s'il y a équilibre sur 1 mètre , il est évident que l'équilibre subsistera sur toute rétendue de la voûte.

. l Représentons : ad par x, de par x\ ef par y, fc par y\ bh par z et ci par z\ Soient P le poids du voussoir ah et Q celui du voussoir bc.

Le poids P, que l'on peut supposer appliqué en G' ou même en A, se décompose en deux forces verticales, l'une P- appliquée en a, et Tau-

tre P appliquée en 6. Le poids Q, que l'on peut supposer appliqué

en g' ou même en i, se décompose également en deux forces verticales,

l'une Q -, appliquée en 6, et l'autre Q — ^ appliquée en c. Les vous-

soirs ah' et h'c' fournissent les mêmes composantes, appliquées respectivement aux points a, h' et c'.

Ainsi au point a agit une force verticale 2P-, laquelle se décompose

en deux forces égales, dirigées Tune suivant ab et l'autre suivant ah\ Représentant par G chacune de ces composantes , on a