DE PLUSIEURS TRAVÉES

Extrait da Cakul des ponU mètalliquet à poutres droites et conthueSf par M. Piarron de MoDdésir, ingénieur en chef des ponts et chaussées.

960. Equations d'équilibre applicables aux ponts à travées quelconques. Soit {Jig. 256) une poutre métallique de forme prismatique reposant harizontalement sur m + 2 appuis, et appartenant à un pont de m + i travées.

Fig. S56.

Mm

Ht

Hm-i

Pl

Pt-i'»-!

Pm^i Pm-t'"»— 1

Pm P«=

Appelons :

P> 1*1» Ps»»»»» 1**»

M, M|) Mg,..., Mm» Mm+1 H, H^, H^v*» Hm

les ouvertures des travées successives;

les poids uniformément répartis sur les travées, par mètre

de longueur; « les poids totaux des travées ; les réactions verticales des appuis sous la poutre ; les moments fléchissants de la poutre sur les appuis (255) ; les efforts tranchants à droite des appuis (255) ; E\, H's, H'3,..., H m» H m4i les efforts tranchants k gauche des appuis (966, 967).

D'après la fig. ^6, dans tout ce qui va suivre, m est le nombre des piles, m + 1 celui des travées, m + 2 celui des appuis, et un indice quelconque k correspond à la pile k ou à la travée d'ordre k + 1.

Sous rinfluence des poids qui la chargent, la poutre tend a fléchir vers le milieu des travées et à se roidir sur les piles. ,

En prenant pour origine des axes le point de la fibre neutre de la poutre situé sur la pile quelconque k et en comptant les x sur l'horizontale, de la théorie de la flexion des poutres résultent les trois équations suivantes pour le calcul d'un pont métallique :

S^dco = Sv'dw', da:« n *

— Htaî-f-

;?jX'

L'équation (1), dans laquelle v désigne la distance à Taxe neutre de rélément de» pris dans la partie distendue de la section transversale de la poutre et v' la distance au même axe de l'élément dco' pris dans la partie contractée de la même section transversale, ne peut servir qu'à

SOiÉWS ri&Tis.

déterminer la position de Taxe neutre, dans le cas où la section de la poutre ne serait pas symétrique.

L'équation (2) est celle des efforts tranchants. Quand Hà sera déterminé, eHe donnera Teffort tranchant H« en un point quelconque de la trayée d'ordre A: + 1 ayant x peur abscisse.

L'éqnatiûn (3) est celle des moments. Quand on connaîtra H» et M*,

elle donnera la Talear du moment fléchissant an point quiconque de

la travée d^ordre ik + i ayant x pour ahscLsse; et cette valeor ne devra

RI pas dépasser celle de — , qui a été définie au n* 255. Voir le n* 2&i

pour la signification de E.

On Yoit, d'après ces équations, que le cakul d'un pont métallique dé> pend de la détermination des moments fléchissants et des efforts tranchants sur les appuis.

Le problème à résoudre présente en réalité trois groupes dlnc<»nues : les réactions, les efforts tranchants et les moments fléchissants, et Tun quelconque de ces groupes étant connu, on peut en déduire les deux autres. Nous nous contenterons de donner les équations générales nécessaires à la solution du problème qui nous occupe.

On a, en faisant :

Im.

Im •

(2 + 28JT,-

•tm = (2 + 2«o„)t«, — <o«T«, ;

B» = (2 + 2»N.)B«, — «taB—, ;

PïA,, T»Ai, 8»Ai.

A» = (2 + 2<a„)AM-i — <^A, C. = 2 + T„

PONTS MÉTALLlftVES.

D« =;: (2 + 2»m)Dm-i — u)«D«2 ;

K-th — g — 1»

4 40(mtiii

Tj = [4 + aj(To + Ao + T, + Al)] J + y - [* + «i(^o + ^i)]T,

T,=: — K(Xp+Ao+ti + Ai) + a2(^l +A, + T2 + A2)] j ^

+ [3 + Pi{B, + Bj)] J + -^ + [«,{t« + 1,) + <x^t, + x,)]T,

T, = [aj(T, + H^ + «, + A,) + «^xj + A, + X, 4- A,)] j

+ {P^,+ B,) + WBi + B.)] -^ + [3 + T.(C2 +C,)] f

— i«s(^2 + Aa + xg + As) + a*(x8 + Aj + '4 + A4)] J

+ [P,(B, + B.) + p,(B. + BJ] ^ - [T,(C, + C,) + Y»(C, + CJ] f + [3 + S»(D, + DJ] Y + ^ + f ''(^^ + ^»> + «*(^.+^*)]T,

[a^4(Tm-.2 + A«-2 + -=«-1 + A>«-l) +««(^*-4 + ^-* + "^ "^ ^^1 1

± [y™i(C«^2 + Cm-i) + -ïmif^m-i + Cm)] "^

ZF [3^-i(Dm-2 + Dm-iJ + 5«»(Dm i+ Dm)] \

±: ... +'[3 + -Wm(0m-4 + ÛJJ -^^ + -jp

nombre w + t des travées swadiupair.

le

Tm-Hi = T" + 71" [('^«» ^ fm-i)Pm — ('^«c-i — 'f|»«-t)<*>mPi»-l

2* Efforts tranchants :

H = T, dont la valeur est donnée ci-dessus,

Hj = a,(Te + Ao 4- ti + Al) j + -^ — «i(To + Ti)H,

H, = - «2(^1 + Xi + T, + A,) ^ + U^i + B>) X + T "^ "'^^* "*■ ^»^**' H. = -«.(t8 + A3 + t,4-A,) j + WB8+BJ^-r,(C,H-C,)^»

Hm = ± a«(T„»^j 4- A«i + Tm + Am) ^ q= Pm(Bm-i + Bm) J

3* Moments fléchissants :

M, = ^ [- a,(T, + A JP + P, + 4a,T J],

Mj = j [«2(tî + AJP - p^B jPi + P2 - 4«2T2T],

M^ = -l [- «3(T3 4- A8)P + PsBjP, - T3C3P2 + P3 + 4«3T3T),

Mm = -^ [^ am-i(Tm-| + A^-iJP ± Pm-iB„»,Pi qp Ym-iCm-iPâ

•^ ^flj jDm— 1P3 ^... — )fm-iKfli iFTO— 2 "1 Pin-i^4aTO— iT,»il J, Mm^.1 = 0.

Ces formules, qui sont applicables à un nombre quelconque de travées, donnent la valeur de T ou H directement en fonction des poids et ouvertures des travées, et les autres valeurs des réactions, des efforts tranchants et des moments en fonction de T ou H.

961 . Formules applicables aux ponts à travées symétriques par rapport au milieu du pont. Dans ce cas, à cause de la symétrie des travées,

on a

(Xfn = 1 ) Ym ^ ***m — - > ^m --^ Yjn -— ^ ""»•••>

et l'on peut poser, en affectant d'un indice prime les poids des travées de la partie droite,

Tm-8 ^«1-4 D , . "^î ^1 T>/ ^ ^i ^ D'

P' prend le signe + quand le nombre m + 1 des travées est impair.

Dans cette formule il ne reste que la série t, les séries A, B, C... ont disparu et ne se trouvent plus que dans les expressions des autres réactions, et dans celles des efforts tranchants et celles des moments. De plus, pour l'établissement de la série x et de celles A, B, G..., il suffit de calculer les rapports a, ^, Yv> jusqu'au milieu du pont seulement, puisqu'on a (page 1752)

L'application que nous faisons au n** 966 à un pont symétrique de onze travées rentre dans ce cas.

962. Dans le cas oii toutes les travées centrales du pont symétriqv£ deviennent égales, la valeur de T ou H se simplifie encore. On a d'abord aj = a, = ttj =...= a, et si Ton désigne par / l'ouverture d'une travée centrale, par p, p^, j^s... les poids par mètre courant des travées de la partie gauche et par p', p\, p\,., ceux des travées de la partie droite, on peut poser

On prend le signe + pour jd' quand le nombre m-^l des travées est impair.

Cette formule est applicable à partir de 2 et 3 travées, et elle ne comporte qu'une seule série t, dont le développement est :

Tj = 2 + 2«,

T2 = 4Tj — X^, T, = 4X2 — X^,

Xm-i -— 4X„j 2 — X|n j,

^tr.

lifte

SIXIÈSK PAETU.

Pour m= 1, cas du pont de deux frayées, on a a = i et x, =^ 4 911 u 963. Lorsque toutes les travées sont égales^ on peut poser

liP.^,=F 3P.-»

formule dont les coefficients sont donnés par les deux séries

\-ii.

•,=ao9.

it=m.

Les antres fommles da n* 960 deviennent

(13P + PJ — 6T,

(— 42P + 7P, + Pt) + 24T,

[±6(e«, +X^-,)P:t:63L.îP, ±<a«5Pî=F...+7P«,+P.]=p6§«-,T;