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dit page 112, les i de base aux forpériences d'HodgdoDt le diamètre

ISTINCE DES UATsnUtIX A LA COUPHESSIOM.

îmètre à 1 ceDlimëtre 1/3 et la longueur d

indre que les formules déduilea de pareilles ipplicables à de grandes dimensions. Au: (en 1831), des ingénieurs américains ont 1 d'expériences sur des supports métalliques en tdie de dive dont quelques-uns mesuraient 0-,33 de diamètre. Ces eip variées ont permis de constaier que la formule de Rank différente des formules françaises, donne des valeurs acce les applications. Cette formule e" '" suivante :

danti laquelle :

P est la cLarge exprimée «n lÎTres que peut porter la colonne avant la f II charge d'écrasement d'an pilier court;

1 longueur du pilier;

r rayon de gjrratlon ite ta section transtersate [M. 1835) ; a coefficient qui dépend de U manlire d'assujettir les extrémités ou du support;

Colonne avec embases plaies, a^ :

Colonne avec embase plate ï une extrémité, l'autre extrémité étanl libi

Colonne donl les deux bouts sont arrondis :=■■■■■■ 36000

Comme on le voit, Rankine tient compte dans sa formule c ment des piliers, circonstance entièrement négligée dans 1 expériences d'Hodgkinson et dans les formules de M. Love l'interprétation. En 1S58, Bélanger a publié pour un solîd bout une formule théorique qui exprime la plus petite fort de produire la flexion d'une telle pièce. Voici cette formai produite dans un grand nombre d'ouvrages :

a- ^, dans laquelle :

2 = lDi]gueur de la pièce;

I=:momcot d'inertie de la section transversale, pris par rapport i un laïre au sens dans lequel le solide a le plus de ebance de fléchir. C du moment d'inertie que peul donner la section transversale i centre de gravité;

E module d'élasticité de la matière;

t' eal pris égal k 1, 3, 3, etc., suivant que la pièce s'est infléchie une trois fois, etc.

Afin de donner à la formule précédente {ïj une interprétai on admet qu'il n'y a qu'une seule inflexion, si les extrémité soumise à la compression sont arrondies: ce qui leur peri ner; la pièce se courbe, et dans ce cas on fait i = 1 dan précédente. *

Il y a double inflexion lorsque les deux extrémités du support sont fortement maintenues par une embase, comme cela se présente le plus souvent pour les colonnes en fonte et les piliers en tôle. On dit alors qu'il y a double encastrement et, pour ce cas, on fait t = 2 dans la formule précédente. On admet aussi que Tencastrement est réalisé lorsque les deux extrémités du support sont bien dressées. Si Tune des extrémités est arrondie et Fautre encastrée, le support se trouve dans un cas intermédiaire pour lequel on fait t* = 2.

On peut modifier la formule de Bélanger de manière à la rapprocher de celle de Rankine.

390. Modification de la formule de Bélanger. Dans la formule théorique (2) de Bélanger du numéro précédent, le module d'élasticité E est supposé constant; mais dans le cas d'un solide chargé debout, le module d'élasticité est susceptible de varier; aussi en partant de cette hypothèse M. P. Planât, dans son ouvrage (Mécanique appliquée à la résistance des matériaux) a remplacé, dans la formule (2) de Bélanger, la quantité E par la fonction hyperbolique :

Cl)

B étant une constante qui dépend de la charge N, et qui se détermine comme il sera dit ci-après.

En faisant cette substitution dans l'expression (2), elle devient successivement ;

t*7u«EI Bi*7unN

Cl) Ii*3C*

en divisant par la section transversale (o, on obtient :

Afin d'exprimer N en fonction du rapport r de la longueur l de la pièce au plus petit côté h de sa section transversale, posons :

I = OcoA»,

KÉSISTINCE DES HATËRIAUS À LA GOHPHESSIOI

S étant un coefficient qui varie suivant la forme de la se nièrc relation devient :

Telle est l'expression de la plus petite force N capable le solide soumis & la compression. Il reste & déterminei de la charge de rupture d'un prisme de petite longueui ses dimensions transversales.

391. Détermination da coefficient B pour les snppori Voici la marche indiquée par M. P. Planât pour calculer

Pour des colonnes de petites hauteurs par rapport à le le second terme du dénomiDateur dans l'expression ci-di

geable; mais alors — est la charge de rupture par un

Adoptons 7500 kilog. pour cette charge par centimèi prisme de fonte de petite hauteur par rapport à ses dim versales. La charge de rupture par mètre carré sera :

Si l'on prend pour la valeur moyenne du module d'i fonte :

E = 9 X 10*, ces diverses valeurs permettent d'écrire :

d'où B=i20.

Pour le fer, on peut prendre :

et 3600 kilog. pour la charge de rupture par centime prisme court ou 3600 X 10' par mètre carré. Un calcul ai cèdent, fait pour la fonte, donne :

Pour des supports en fer, constitués au moyen de t' nières rivées, la charge de rupture peut être évaluée, m 2500 kilog. par centimètre carré; dans ce cas, le calcul i

392. Applications dos formules donnant la chargs d d'un solide. Reprenons la formule (3) et appliquons-la p

S qu'il s'agisse d'une colonne en fonte pleine pour une secire ->, de rayon r et de diamètre d, le moment d'inertie a

[ans la formule ci-dessus:

oart, en prenant pour coefficient de sécurité le 1/6 de la rupture 7500 kilog. par centimètre carré ou 1250 kilog. et {ui répond au double encaslremeat, on obtient pour la forjlonnes pleines en fonte :

Ile «> est la section exprimée en centimètres carrés et N la tique en kilog.

mule diffère de celle de M. Love (p. 442) en ce que l'unité remlénominateur le terme 1,45. Elle donne des valeurs un peu es que celle de H. Love. On peut remarquer que pour de très

iurs du rapport -3, la charge N pour 1 centimètre carré se

de 1250 kilog.; ce qui doit être.

vn-encaslrement. Il faut dans la formule générale (3') prendre

ni donne pour les colonnes non encastrées :

Bénéfice de l'encastremeiit des pièces sosmises à la comprean applique les deux formules (A) et (B) pour des colonnes de iiètre, également chargées et de hauteur / et l', on en déduit :

0,003375 riy= 0,0135 (Ç\*'

que le bénéfice de l'encastrement se traduit ainsi : fur de la colonne doublement encastrée est double de celle rée, à charge égale et à égalité de técmité. Cette loi écono-

RÉSISTiNCE DES HATÉRUDX A U COMPRESSION.

mique est applicable aux piliers et à tous les solides soumis pression, quelles que soient leurs sections ("). Colormea en fer pleine». En prenant

9 = 0,0685 (pour un cercle),

i = a et i^ = 600kiiog.

pour le coefficient de sécurité par centimètre carré, on obtiei mule suivante, qui coavient pour les colonnes encastrées :

Si l'on fait n= 1, on obtient pour les colonnes non encastr ■ N — 600m

(Vo»V la note au bas de la page.)

Les deux exemples précédents montrent la marche à su établir la formule générale donnant la charge pratique de coi d'un solide. Dans chaque cas particulier, il faudra détermin ment d'inertie minimum de la section transversale du profil. mit, pour les cas les plus usuels, établir les moments d'ini diverses catégories et diverses proportions de sections. Nous donner quelques exemples.

393. Moment d'inertie d'un profil à douïle T, pris par rap] axe longitudinal. Les fers laminés k double T sont souvent pour constituer les arbalétriers des combles. Ces pièces suppi efforts de compression qui tendent à les faire fléchir dans h nervures des T, c'est-h-dire transversalemeni ou suivant leur [ dimension transversale. Pour leur appliquer la formule {3) ( faut donc déterminer le minimum du moment d'inertie de lei en le calculant par rapport & leur axe longitudinal. Hais vu h des modèles des diverses usines et afin d'obtenir une formule ; à un grand nombre de profils, nous établirons entre la ha largeur des fers et l'épaisseur des nervures des rapports sii peuvent Être considérés comme des moyennes.

Admettons d'abord qu'il s'agisse de fers à petites ailes, prés proportions suivantes :

(Voir les Promis, page 460 : profil n-> 3.)

O Cette loi a «lé sienalée par H. L.-A. Barré, en 1890, dans ta S< ComlrucleuTi {-a' 34, vol. 14). Elle résulte de ce que i = 1 pour Us «actitrés et i := 3 pour les solides donblemenl encBsirés.

458 PREMUÈRE PARTIE.

Le moment d'inertie d'une telle section peut s'exprimer en fonction de la sectiou même u et de la dimension h, sous la forme :

I z=ewA« = 0,043 0)7^*, (C)

h étant le sens dans lequel la flexion du support a le plus de tendance à se produire.

Pour calculer le coefficient 0, on attribue à la section des dimensions présentant les proportions ci-dessus; on en calcule le moment d'inertie 1 et la section ta; par suite, la relation (G) donne :

L'expression (C) permettra de calculer le moment d'inertie de tout profil semblable et approximativement de tout profil dont les proportions différeront peu des précédentes. Nous avons fait le même calcul pour un autre profil se rapportant à des fers larges ailes, présentant les proportions suivantes {profil n* 3, page 460) :

ce qui nous a donné :

Enfin, pour de forts échantillons de fers dont les nervures seraient très renforcées, nous avons fait le calcul avec les proportions suivantes {profil n« 3, page 460) :

ce qui nous a donné :

Projils en croix. Ces supports soumis à la compression sont en fonte ou constitués soit par des fers cornières, soit par des tôles réunies au moyen d'équerres. Les nervures peuvent donc présenter divers épaisseurs ; des épaisseurs minces pour la tôle et des épaisseurs plus grandes pour la fonte. En prenant les proportions suivantes (voir le tableau^ p. 460) :

On exprime le moment d'inertie sous la forme :

Pour des épaisseurs plus grandes et avec les proportions suivantes :

on trouve sensiblement la même valeur que ci-dessus :

Enfin^ en prenant :

on obtient :

Nous avons réuni dans le tableau suivant les valeurs du moment d'inertie de diverses sections de supports soumis à la compression.

Pour calculer un fer cornière isolé, soumis à la compression, il est nécessaire de déterminer son moment d'inertie minimum qui répond à un axe perpendiculaire à la bissectrice du profil. Si l'on réunit deux cornières, il faut prendre le moment dlnertie de Tensemble par rapport à un axe parallèle au grand côté (voir les sections n*' 7 et 8 du tableau page 461).

Ce tableau permettra d'établir la formule donnant la charge pratique de compression des solides ou supports dont les sections sont celles dudit tableau. Nous donnons (395) un exemple des calculs à effectuer.

Observations concernant les profils des pages 460 e/ 461. Dans le profil n* 2 {forme caisson) , l'épaisseur est la même pour les côtés du caisson et prend les valeurs des cinq exemples indiqués au tableau page 460.

Les proportions du profil n* 3 {fers à double T, symétriques) se rapportent à peu près à des échantillons du commerce. Les valeurs de ï sont, dans tous les cas, suffisamment approximatives pour Tobjet qu'on se propose dans la question de la compression, pourvu que Ton tienne compte exactement des sections. 11 serait du reste facile d'interpoler pour des proportions un peu différentes de celles du tableau. Cette observation est applicable à tous les profils à nervures des deux tableaux (n- 2, 3, 4, 6, 7 et 8).

Pour le profil n* 7 {forme cornière)^ la valeur du moment d'inertie I peut être prise par rapport à trois directions principales : !• par rapport à un axe passant par le cenlre de gravité et parallèle à l'un des côtés; 2* par rapport à la bissectrice du profil; 3*» par rapport à un axe passant par le centre de gravité et perpendiculaire à la bissectrice du profil. C'est ce dernier moment d'inertie qui est inscrit au tableau page 461, profil n* 7, parce qu'il est le minimum, c'est-à-dire que le solide a le plus de chance de fléchir suivant la bissectrice du profil. Le solide n<> 8 a tendance à fléchir suivant la direction perpendiculaire au grand côté 2c,

394. Types de solides (colonnes et piliers) soumis à la compresnoi. Moments d'inertie (minimum) calcnlés par L.-A. Barré.

SECnOHS.

Fig. J06.

//////////////////////ji

ÉPAISSEIIK

des nemues.

H H JH

c' =r côté intérieur.

CŒFFICIBIIT

MOHSNTS D^mEKIE

0,136coAS 0,146 fdA> 0,150 (oÀ« 0,155 (o^s 0,159 (d A3

0,043 (d/<s= 0,034 A« 0,055«(>A«=0,0275A* 0,060 (dA*=0,0223M

0,0438<dA>==0,0083M 0,0450wA«=0,0105A* 0,0465<ûAî= 0,0142A* 0,04770)^2= 0,0172A* 0,0498cùA»= 0,021 SA*

0,0416coc«=0,018c*

0,0594 coc»

0,0700 toc* 0,0725 (ù c* 0,0742 coc«

SOIFACES

des profils.

bh-b'h'

idem,

id.

(0 = 0,088 H< (o = 0,l!25Hi (A = 0,165 H)

bh-{b-e){hid, id.

id.

Types de solides [colonnes et piliers) soumis à la compression (suite). Moments dHnertie i^inimum) calculés par L,'A, Barré,

SECHONS.

Fig. 107.

ÉPAISSEUR

des nervares.