ARBRES RONDS

en fonte.

On substitue souvent des arbres creux en fonte aux arbres pleins. Cette disposition présente de grands avantages comme économie de poids. Pour l'arbre plein, la formule (1) donne :

Pp=F

PREKIËnE PARTIR.

'eux on a, en remplaçant I* par sa valeur précédente action en couronne circulaire et en faisant :

s'assurer que le cylindre creuï est plus économique

.ein,

lire plein de diamètre D et de section Ù, le moment

i pour valeur [voir le tableau ci-dettus, page 5i3):

ule générale du moment de torsion donne :

PP=^F = 5d.F. (A)

re creux, on a :

ées, prenons l'épaisseur de la couronne e = s, d'oJi

^=ïi^

mules (A) et (B), on fait Q

nts de torsion la valeur : -

= b), il en résulte pour le . Ainsi, l'effort de torsion

lein est dans cet exemple les t= de celui du cylindre

ctioDs équivalentes et même couditiou de sécurité. ■^ées ne sont guère employées que pour les arbres tncé égale ^ ils sont plus lourds que les arbres atièré y est moins bien utilisée, puisque les quatre soumi^s & l'ef^rt tangentiel i '

Pour l'arbre à section carrée, on a : l„ = -r et n = — :

formule générale du moment de torsion donne :

Pour un arbre cylindrique plein, on a, en tenant compte du i d'inertie polaire :

. Eq prenant le rapport de (1) à (2), on trouve que l'effort F de de l'arbre carré est les 0,82 de celui de l'arbre cylindrique plein

Si un arbre est animé d'un mouvement de rotation varié, c'est sollicité par un moment de torsion Pp plus grand à l'une de s( mités qu'à l'autre. Dans ce cas, la section devra être détermin résister à la plus grande valeur de Pp.

Souvent des considérations spéciales imposent la condition déplacement relatif au pourtour des sections extrêmes de la p l'arbre soumise à la torsion ne dépasse pas une limite donnée qu'on calcule les dimensions en vue de remplir cette conditic résultent de la formule suivante (1'), déduite de l'équation (I).

Pour un arbre cylindrique de rayon ;■, la formule (a) (p. 512)

Orflr= y; donc F = G j, et, par suite:

t longoeur de t'arc dierit par chaque poiDt du ponrtoar de l'une des sei

rapport aux points de l'iuire Mciion ; I longueur de la partie de l'arbre soumise h la torBion.

Avant d'adopter les dimensions ainsi détcrminéps, il faut s qu'elles répondent à des valeurs de F égales, au plus, aux efforts qu'on peut faire subir à la matière composant l'arbre.

Les formules qui précèdent montrent que le moment de toi est indépendant de la longueur l de l'arbre, et la formule i = 6 tre que f est proportionnel ï L

Pour les transmissions de mouvement non soumises à de comme, par exemple, celles des ateliers ordinaires de constru machines, dans la formule (3) (p.BlS), d étant exprimé en cent et non en mètres comme dans ce qui précède, le coeflcient de 0,35 à 0,50.

Dimensions de quelques arbres de couche en fer.

Force en cbeyaux 1 2 3 4 5 6

Tours par minute 40 36 34 33 30 ^

Diamètres en centimètres. . â,5 4,4 5,1 5,1 7,6 8,3

Longueurs en mètres .... S,32 2,44 2,44 2,44 2,44 2,62

De la comparaison des valeurs de F consignées aux tableaux pages 514 et 515, on peut déduire les valeurs de K à employer dans les dififérents exemples pour les arbres en acier ou en bois.

423. Résistance d'un arbre soumis à la fois à un effort de torsion et à on effort de flexion. Le théorème général de la superposition des effets des forces donne la solution de ce problème, que Bélanger résume ainsi :

<i Lorsqu'un prisme est simplement soumis à un efifort de torsion, la force F par unité de surface, résistant au glissement transversal des points les plus éloignés de Taxe dû prisme, ne doit pas excéder certaines valeurs, que nous donnons au numéro précédent.

a Si le prisme subit seulement une flexion plane, les forces élastiques longitudinales R aux mêmes points les plus éloignés de l'axe ne doivent pas non plus dépasser les limites données au n** 399.

« Dans les machines, il arrive fréquemment qu'un arbre cylindrique subit simultanément les deux déformations dues à la torsion et à la flexion. Dans ce cas, une règle fort simple, et qui doit suffire dans la pratique, consiste à calculer, en fonction du rayon inconnu du cylindre et des forces connues, d'abord la force de glissement F par unité de surface, puis la tension R, aussi par unité de surface, et de s'imposer la condition que la résultante :

des deux forces rectangulaires F et R (InL 1524) n'excède pas la limite qu'on se donne quand le corps ne subit qu'une des deux déformations. Pour le fer forgé, par exemple, cette limite de R' serait au plus de 6 kilogrammes par millimètre carré. Nous disons au plus, par la raison qu'une pièce tournante, fléchie alternativement dans les deux sens, est plus exposée à l'altération de son élasticité qu'une pièce toujours fléchie du même côté, comme dans les constructions sensiblement immobiles. »

Supposons un arbre à section circulaire reposant sur deux coussinets placés de niveau, et commandé à une extrémité, en dehors des coussinets, par un moment de torsion Pp (422); supposons de plus que cet arbre supporte entre ses coussinets un volant dont le poids est Q' et une roue d'engrenage du poids Q" qui reçoit de la part de l'engrenage qu'elle commande une réaction verticale q de haut en bas.

Du point où agit la puissance P au point de calage de la roue d'engrenage, l'arbre donne (422) :

L'arbre résiste par flexion aux forces verticales Q' et Q" + q, en supposant que la réaction q agisse pour faire fléchir l'arbre comme le ferait une force égale appliquée sur Taxe au même point que le poids Q". Appelant [Xm le plus grand moment fléchissant produit par Tensemble des forces Q' et Q" 4- g, plus grand moment qui a lieu au point d'application de Q' ou de Q" + g et généralement de Q', on a :

n et I ont les mêmes significations qu'au n*" 399;

/ »L\ //' jim est égal à PL dans la formule (1) du n*» 399, et ^ (1* + ^) T" dans le cas, plus

analogue k celui qui nous occupe, du n** 414.

d Tzd} Comme pour le cylindre de diamètre d, on a : n = 2: et I = -; —

(page 473), la formule précédente devient :

Admettant que R' = 6 x 10®, on peut donc poser :

6xlO«=^S/(Pp)* + 4(M'.

La même formule peut servir à calculer le diamètre à donner à une section intermédiaire quelconque, en y remplaçant \k^ par le moment fléchissant dans cette section.

424. Tourillons. Des expériences de Buchanan il résulte que le diamètre d'un tourillon en fonte est, pour résister à la flexion, donné par la formule :

et celui des tourillons en fer par celle :

d diamètre du tourillon, en centimètres ;

k coefficient variable de 0,87 k 0,95 d'après les observations de Buchanan, et de 0,71 à 0,85 d'après celles de Tredgold. On pourra considérer la valeur maxima de Buchanan comme convenable aux tourillons soumis li des réactions brusques, comme ceux des arbres à cames ; on pourra la réduire k 0^85 pour les roues hydrauliques. Dans les machines k vapeur, on peut faire, d'après Robertson, A=0,69, en augmentant de 1/8 pour l'usure; cependant, cette règle donne des diamètres trop forts pour les machines d'une puissance supérieure à 20 chevaux ;

Q charge du tourillon ou pression qu'il exerce sur son coussinet, exprimée en kilogrammes.

Ces deux formules font voir que la résistance à la flexion d'un tourillon en fonte est à celle d'un tourillon en fer de même diamètre dans le rapport de 9 à 14. Ainsi, faisant k =z 0,80 pour la fonte, le diamètre d'un tourillon enjei* placé dans les mêmes conditions sera donné par

la formule :

La longueur convenable des tourillons est, d'après Tredgold, égale à 1,2 fois le diamètre; ce sont en effet les proportions généralement adoptées dans la pratique, à l'exception des tourillons en fer dont le diamètre est inférieur à O'^jOT, pour lesquels la longueur se prend le plus souvent égale à 1,5 fois le diamètre, on va même à SI fois pour les petits diamètres.

Du cours de M. Y. Gontamin nous extrayons ce qui suit : Lorsque les tourillons terminent un arbre, ils sont soumis aux réactions exercées contre eux par les coussinets sur lesquels ils s'appuient par leurs poids, par celui de l'arbre et des organes qu'il supporte, et par les efforts exercés par les courroies et les dents engrenées contre ces organes. Lorsqu'ils ne terminent pas un arbre, mais qu'ils sont suivis par une autre portion d'arbre, ou par une portée cylindrique sur laquelle on cale une manivelle, ils peuvent avoir à résister, en outre des réactions provenant des coussinets, à des efforts de torsion dus aux organes qui actionnent les pièces montées sur ces parties cylindriques. Les dimensions à leur donner dépendent de ces diverses forces et de deux conditions d'établissement d'une très grande importance qui s'énoncent comme suit :

Les tourillons doivent être graissés convenablement pour résister à l'usure que produirait le frottement direct des métaux^ et pour diminuer le travail perdu du fait de ce frottement. Pour que ces résultats, qui sont solidaires, soient atteints, il faut que les graisses puissent rester entre les parties en contact et qu'elles y conservent leurs propriétés physiques. Elles ne restent entre les surfaces en contact que si les pressions mutuelles entre ces surfaces ne sont pas tellement élevées que les corps lubrifiants soient expulsés, et elles n'y conservent leurs propriétés physiques que si la chaleur développée par le travail du frottement n'élève pas la température du milieu dans lequel elles se trouvent à un degré qui puisse les décomposer.

Si le tourillon termine un arbre , les réactions qu'il subit de la part du coussinet ont pour résultante une force unique égale et directement opposée a la résultante Q des pressions du tourillon sur le coussinet, résultante passant par le milieu de l'axe de ce tourillon, et un couple provenant du frottement des surfaces en contact. La réaction normale du coussinet s'exerce toujours sur toute la surface demi-cylindrique dont le diamètre est perpendiculaire à Q^ et uniformément en tous les points de cette surface. On a donc :

Q = 2 Ndw cos p = N ^dco cos p = N/d ;

d'où N = Û . (1)

Q pression totale da tourillon sur le coussinet;

N réaction normale du coussinet contre le tourillon, par unité d^ surface ;

RÉSISTANCE DES UATÉRIltJX A LA TORSION.

du élément de U surface de contact;

P angle de la normale II du aTee la direction de Q ;

Sdta résction nonnale de l'élément du;

Ndu C03 p projection de Ndu sur la direction de Q ;

£ signifie somme ;

du cos p projeclion de l'élément du sur la surface perpendiculaire !i Q, puis

aussi l'angle que fait du aiec ectle surfuce ; l longueur du tourillon et d son diamètre.

Pour que les corps lubrifiants interposés entre les surfaces en ne soient pas chassés, la valeur maximum dâ N ne doit pas i 15 kilog. par centimètre carré pour la graisse, 20 kîlog. pour 1' 10 kilog. pour l'eau. Dans le cas d'assemblage de bielle et de mi le coussinet étant en bronze et le graissage se faisant à l'huile atteindre 40 kilog. par centimèire carré si le tourillon est ei 60 kilog. s'il est en acier. La grandeur de ces deux dernières de N s'explique en remarquant que l'effort de la bielle ayant lii Hâtivement dans un sens et dans l'autre, l'huile passe d'un cCté à la faveur du petit jeu qui doit toujours exister dans l'articula

Le chaleur développée par le travail du frottement devant être d par la conductibilité et le rayonnement des pièces frottantes, excédent de température qui a été reconnu ne pas devoir i 45% il faut que la longueur des tourillons, et par suite la qui rayonne, soient proportionnelles au travail total dévetopi frottement des corps en contact.

L'expérience apprend que l'excès de température de 45" n'est passé toutes les fois que le travail du frottement par unité de est au plus égal à 15000 kilogramme très. On doit donc avoir :

16000 =s/No.

f coefficient de frottement (56. 59); 0 lilesse au pourtour du toarillon par seconde.

Remplaçant dans celte expression N par sa valeur précéd fonction de Q, et faisant v = -^i n étant le nombre de tours di par minute, on a :

15000 5=^^. d'où / ^ 0,0000034>Q.

La condition relative à réchauffement est, comme on le voi pendante du diamètre d; cela s'explique en remarquant qi pression N par unité de surface est en raison inverse du dian la vite!4se v est au contraire proportionnelle à d, et que, par i diamètre disparaît, comme facteur commun, dans te produit /

La longueur l à donner au tourillon dépend du coefficient d» ment, lequel est pour les tourillons en.fer tournant dans des co en bronze :

Graissage b l'huile /■=0,05

— au cambouis d'hnile f^OflS

— i l'eau el h \a graissa ^=0,19

— b l'eau sente /"sO.as

Les équations (1) et (2) ne peuvent pas déterminer seules les dimensions qu'il faut donner aux tourillons, puisqu'elles ne satisfont pas aux conditions relatives à la résistance. Les formules qui expriment ces conditions se partagent en deux classes, suivant que le tourillon n'a à résister qu'à la flexion, ou suivant qu'il a à résister simultanément à la flexion et à la torsion. S'il s'agit d'un arbre travaillant dans les conditions de celui dont il est question au n*" 423, le tourillon opposé à l'effort de torsion P n'est soumis qu'à un effort de flexion produit par la réaction égale et contraire à la résultante Q des composantes obtenues en décomposant chacune des forces Q' et Q" -\- q en deux forces appliquées au milieu de la longueur des tourillons, et il se calcule à l'aide de la relation (399 et 423) :

q|=1r. d'où R=^ = !^.

et d = .l,72i/^- (3)

Y MX

Quant au tourillon voisin de P, qui est soumis simultanément à un effort de flexion et à un effort de torsion, on le calculera à l'aide de la formule (423) :

On obtient ainsi une troisième relation qui, avec celles (1) et (2), permet, dans chacun des cas qui peuvent se présenter, de déterminer les deux dimensions l et d k donner au tourillon.

Si le tourillon n'a à résister qu'à un effort de flexion, par exemple, des équations (1) et (3) on déduit ses deux dimensions à la condition qu'elles satisfassent à l'inégalité (2).

Des équations (1) et (3) on déduit :

et, par suite :

Prenant N = 150 000 et supposant le tourillon en fer, cette dernière formule donne, pour le cas où R = 4 x 10* :

Si, le graissage se faisant à l'huile, on a N = 200000, la même formule donne :

l = l,97cï.

Enfin si, le graissage se faisant à l'huile, le tourillon est en acier et que R = 8 X 10% on obtient :

425. Dimensions des balanciers. — On peut eonsidérer un balancier comme étant un solide reposant sur un appui placé au milieu de sa longueur et chargé à ses deux extrémités; on obtiendra donc ses dimensions, en négligeant les nervures, que Ton ne considère que comme une garantie de solidité^ au moyen de la formule :