MACHINES EN GÉNÉRAL

agissent dans le sens du mouvement, les résistances utiles et les résistances nuisibles sont négatives. Par conséquent, si l'on suppose le système animé d'un mouvement uniforme, la somme des travaux de toutes les forces pour un temps quelconque sera nulle, puisque le gain ou la perte de puissance vive est nul, et Ton aura (30 et Int. 1637) :

a*»— aTu— a^n=o ou j%=j^u+a\.

fit)

Ce qui fait voir que, le mouvement étant uniformey le travail moteur JP, dû aux forces motrices, est égal au travail utile Vui dû aux résistances utiles y plus le travail nuisible flTn, dû aux résistances passives.

Réciproquement, si, à chaque instant, cette équation est vérifiée, le mouvement est uniforme; car la vitesse ne peut varier qu'autant que la somme des travaux de toutes les forces n'est pas nulle.

Lorsque pour une machin£ cette relation est vérifiée, on dit qu'il y a équilibre dynamique.

Quand le mouvement d'une machine est périodique uniforme (8), le gain ou la perte de puissance vive n'est nul que pour la durée d'un nombre entier de périodes; pour ce temps, on a encore :

On dit alors que la machine est en équilibre dynamique périodique : c'est l'état ordinaire des machines, non seulement à cause de la forme de leurs organes, mais aussi à cause des variations plus ou moins grandes des forces motrices et surtout des résistances.

46. Impossibilité du mouyement perpétuel. Dans le cas où l'on néglige les résistances passives, la formule précédente devient :

Ce qui exprime que le travail utile Vu est égal au travail moteur Vm*

Il est impossible de réaliser ce résultat dans la pratique ; car, dans une machine quelconque, il y a toujours des résistances passives qui diminuent le travail utile.

Le travail nuisible, inévitable, des résistances passives fait voir l'impossibilité d'obtenir le mouvement perpétuel. On ne saurait trop insister sur cette vérité pour éviter des déceptions à ceux qui croient ce mouvement réalisable.

11 est évident que s'il n'y avait pas de résistances passives, c'est-à-dire si l'on avait Vm, = Vu^ on pourrait obtenir le mouvement perpétuel . puisque, par exemple, à l'aide d'une quantité d'eau tombant d'une certaine hauteur, on pourrait en élever une même quantité à la même hauteur; celle-ci pourrait ensuite faire monter la première à Ja même hauteur, puis la première élever la seconde, et ainsi de suite indéfiniment. Un pendule écarté de la verticale oscillerait indéfiniment sans la résistance de l'air et le frottement de son axe de suspension.

47. Calcul de la puissance et de la résistance d'une machine. Pétant la force motrice agissant sur une machine quelconque, et Q la résistance

utile vaincue par cette machine, E et ^ étant les espaces parcourus par les points d'application de P et Q dans les directions de ces forces et dans un même temps quelconque, au commencement et à la fin duquel la vitesse de la machine est la même, Téqualion d'équilibre dynamique donne, en supposant nulles les résistances passives.:

PE = Qe ou P : û = e : E.

De régalité entre le travail de la puissance et celui de la résistance,

il résulte que pour un môme travail moteur P x E, selon que la force Q

1 i sera multipliée par -9 - 2, 3..., l'espace e sera respectivement divisé

par les mêmes nombres; d'où découle la maxime bien connue : Ce qu*on gagne enforce, on le perd en espace, ou, ce qui revient au même, en vitesse.

La proportion précédente permet de calculer Tune quelconque des quatre quantités P, Q, E, e, quand on connaît les trois autres.

Pour une machine quelconque, s'il s'agit de calculer la résistance Q que pourra vaincre une puissance P, on détermine les espaces E et e parcourus dans le même temps par les points d'application des forces P et Q. E et e sont quelconques si ces points d'application ont des mouvements uniformes; mais on les prend correspondant à une période ou à un nombre entier de périodes si le mouvement de la machine est périodique. Lorsque la machine est construite, c'est en la mettant en mouvement qu'on détermine les valeurs de E et e. Lorsqu'elle est seulement projetée, on déduit d'une valeur de E celle de e d'après les rapports des espaces parcourus par les différents organes qui transmettent le mouvement du point d'application de P à celui de Q.

Supposons que la résistance à vaincre Q = 100^, et qu'il s'agisse de déterminer quelle sera la puissance P en négligeant les résistances passives.

On détermine les valeurs correspondantes de E et e en opérant comme il vient d'être indiqué, soient E = 2",5 et e = 0"',80; puis on remplace les lettres par leurs valeurs dans la proportion précédente, ce qui donne :

P ; 100^ = 0,80 : 2.5, d'où P = ^^ ^^^^^ = 321.

Al, 9

Si Ton avait donné la puissance P, on aurait déterminé Q en opérant comme pour P.

Pour calculer la force théoriqy£ en chevaux-vapeur (36), on détermine le temps pendant lequel les espaces E et e sont parcourus quand la machine est en marche normale, et les produits égaux P x E et Q x ^ donnent chacun le nombre de kilogrammètres produit par P ou absorbé par Q dans ce temps« Divisant ce nombre de kilogrammètres par ce temps exprimé en secondes, on obtient la puissance de la machine en kilogrammètres par seconde. Ce nombre de kilogrammètres divisé par 75 donne la puissance de la machine en chevaux. Si, dans l'exemple précédent, E et c sont parcourus en 4",6, PE = 32x2,6 = Qe = 100