Plaîi incliné (Int
Fîg. 7.
Le corps glissant par son propre poids ^ pour qu'il y ait équilibre dynamique, on doit avoir
P sin « =/P cos a, d*où /= = tang a,
'' ' ^ COSa ®
P poids du mobile;
a angle que fait le plan incliné atec Thorizon;
f coefficient de frottement (56).
Ainsi, il y aura équilibre dynamique lorsque la tangente de Fangle d'inclinaison du plan à Thorizon sera égale au coefficient de frottement /.
De là résulte un moyen de déterminer le coefficient de frottement de deux corps. Formant le plan incliné avec Tun des corps, et le mobile avec l'autre, puis inclinant doucement le plan jusqu'à ce que le mobile soit prêt à se mettre en mouvement, c'est-à-dire jusqu'au point où le mobile conserve le léger mouvement qu'on lui imprime; à cet instant, le mobile est en équilibre dynamique, et la tangente de l'angle a que fait le plan avec Thorizon est égale au coefficient de frottement/.
Ayant trouvé a=:ia«25', on a (Int. 4094), tang a =/= 0^22, valeur donnée par le bronze glissant sur la fonte sans enduit (57).
Pour /= 0,08, on a tang a = 0,08, et par suite a = 4*» 35'.
Si le mobile est sollicité non seulement par son. poids et le frottement ^ mais aussi par une ou plusieurs autres forces dont la résistance Q agit dans le plan vertical ^AE passant par le centre de gravité du corps et la ligne de plus grande pente du plan incliné^ pour qu'il y ait- équilibre dynamique, on doit avoir :
P8in« = Qco8P+/(Pcos«~Qsinp), d'où 0 = P eo°spI/s?nr <*>
p angle que fait la force Q avec AE, la ligne de plus grande pente. 11 faut donner à cos p un signe négatif quand l'angle p est plus grand qn*un droit (Int, 1049).
Tlan incliné au lieu de le descendre, on aurut,
a— Osinp), d'où C = P-
B -|-/coa«
ip+/sin?
agir de manlèFCi k tendre & soulever le mobile comme nous l'avons supposé dans les deux ans la figure, agissait en' dessous de DE de e sur-leplan, il Bufflrait simplement do remp par le signe + dans les deux formules pré-
X est nul, c'est-à-dire quand le plan est honosa! = l, Q c«s ^ est seul puissance, etl'équa- B est :
^st^-dire si Q agissait parallèlement au plm 0, cos ^=àzi,et l'équation (1) deviendrait :
n« = d:Q+/Pcosn.
igles a et p étdieni nuls, on aurait, pour l'éqni-
ttement sur un plan horizontal.
9 de la preaae à coin {Int. 170ti).
Pour l'éqiiitibre dynamique,
. , 2U +/tanga) " tangi — 2/-/*tang«
P Torce motrice agisssDi nomialemeal il la tiie
Q riiiiluice utile qu'oppose laiinaliirc k comprimer ; a avec chscuae des faces IravaiUaDtes ; , qu'on suppose tire le mèoie pour les deat fsces Irar le bloc Interposf enire le coin et la matitre sur sua
zSTlff, d'où iliit. mi) tonga^ 20,203 ou 0,16, qui convient au chêne frotlé de savon fibres étant parallèles (S7|, l'équation précé-
s X iOOO = 0,437 X 1000 = 437'.
ir."-
MACHINES SIMI»LES.
Telle est la relation qui doit exister entre la puissance P et la résistance utile Q pour qu'il y ait équilibre dynaoQique, c'est-à-dire pour que le moindre effort mette la presse en mouyement, et que ce mouvement se conserve uniforme quand cet effort additionnel cesse son action. 11 est évident qu'un tel mouvement ne peut se réaliser qu'autant que la résistance Q reste constante, ce qui n'a pas lieu quand on comprime des matières; mais, dans toutes les positions, les valeurs de P et Q sont liées par la relation précédente.
L'application qui vient d'être faite montre que la presse à coin est peu avantageuse pour obtenir de grandes compressions, et qu'il ne convient guère de l'employer quand la force motrice n'est qu'une simple pression, et non le résultat d'un choc.
Relation entre le travail moteur et le travail utile résistant» Pour un abaissement e du coin, le bloc comprimant avançant de Se', les travaux moteurs et utiles sont :
On a {InL 1078^ :
Pxtf et Ûx2<î'.
e^é tang a<
Multipliant membre à membre les équations (a) et (6), on obtient :
P^ tangg-f /tang«dc *^''-tang«-2/-/«tang«"^^'
formule donnant le travail moteur P& en fonotion du travail utile
80. Équilibre dynamique de la presse à vis à fileta carrés (/n^. 1707).
Appelant :
P la puissance agissant dans un plan perpendiculaire à Taxe; la force P est supposée repartie uniformément autour de Taxe de la yis, afin quelle ne fasse naître aucune pression contre la surface latérale des filets ; ainsi elle est
composée, par exemple, de deux forces ^ P formant un
couple dont le bras de levier est divisé en deux parties égales par Taxe (Inti 1547) ; r le bras de levier de la puissance P ; r' le rayon moyen de la surface hélicoïdale en contact ; ordinairement la section des filets est un carré ; r^ le rayon de la surface par laquelle le bout de la vis frotte sur AB ; « Tangle que fait Thélice moyenne, ou mieux la tangente il cette hélice, avec le plan
perpendiculaire h Taxe ; h le pas de Thélice (Int. 1259); c'est Tespace parcouru suivant Taxe de la vis pour une révolution de cette vis; si la vis est à un simple filet, h est la distance d'axe en axe de 3 filets consécutifs, et suivant que la vis est à 2 ou 3 filets, h est égale Il 2 on 3 fois cette distance ; h est toujours la distance d'axe en axe de 2 filets consécutifs pris sur la même spire ; f le coefficient de frottement (66), qu'on suppose être le même pour les filets et le
bout de la vis ; Q la résistance utile que la matière oppose au mouvement de translation de la vis ; eile agit luivant l'axe de la vis.
OQ a, pour l'équilibre dynamique :
ou, en remplaçant tang a par son égal ^—ji
Dans le cas où Von néglige le frottement du bout de la vis sur la surface AB; ces formules deviennent respectivement :
r; tang«+X et P-0-x^^^ti<t ^-^7^1~/tanga» ®' ^-«r^2«r'-/A-
Application. Pour Q = 9000 kil., r = i-,00, r' = 0*,034, r" = 0*,025, h = 0",016 et/= 0,08, la formule (6) donne :
Quand on ne tient pas compte du frottement du bout de la vis, on a :
Ce qui montre que ce frottement n'est pas négligeable.
81. Equilibre dynamique de la presse à vis à filets triangulaires (InL 1708). Le plan méridien passant par Taxe de la vis coupe le filet suivant un triangle isocèle. Désignant dans ce triangle chacun des côtés égaux par a, la hauteur, qui est la saillie du filet sur le corps de la vis,
par s^ et le demi-angle au sommet par p, on a cos ^ = - , et représentant par m ce rapport - , les formules (a) et (h) du numéro précédent de-
viennent respectivement, en conservant aux lettres les mêmes significations :
i'-«\^^ ^m-nanga"^ 3*^ r)'
^-^\r ^ %Ttf'm-'fh^ 3^ r)'
Pour les vis en chêne, orme, etc., Tangle ^ est égal à 45*, d'où
cos p = - = m = 0,707; pour celles en bois plus durs, comme le buis,
le cormier, le sorbier, etc., et pour celles en fer, on fait ^ = 30% d'où m = 0,866.
Pour p = 30*, Tapplication du numéro précédent donne P = 63^,55.
Pour les vis à filets carrés, p = 0, cos p = m = 1, et faisant m = i dans les formules précédentes, elles deviennent bien celles du n* 80.
et
S2. Frottement des engrenages. Lorsqu'un corps se meut en roulant et glissant à la fois sur ud autre corps, on admet que le travail total absorbé par les deux frottements est le même que si un simple frottement de glissement avait lieu sur la différence des chemins parcourus réciproquement par une surface sur Tautre, et un simple frottement de roulement sur le plus petit des chemins parcourus {Int, 1709). Dans les engrenages, les deux mouvements de roulement et de glissement sont réunis, et Ton trouve, en négligeant le frottement de roulement, qui est toujours très faible (Int. 1710) :
9*M travail moteur dépensé par la roue qui conduit ;
T!\t travail utile dont on peut disposer sur Tarbre de la roue conduite ;
STmX ^ (— + -t) travail absorbé dans le frottement ;
f coefficient de frottement, variable suivant la nature des dents et la manière dont
eUes sont graissées (57) ; a pas de Tengrenage; c'est la distance d'axe en axe de deux dents consécutives,
prise sur la circonférence primitive ; r et r* rayons des circonférences primitives ou de contact des deux roues.
La formule précédente fait voir que pour des roues de rayons donnés, le travail absorbé par le frottement est proportionnel au pas a, qu'il faut par conséquent prendre le plus petit possible. La même formule montre aussi que pour les mêmes valeurs de a, r et r', le rapport entre le travail moteur et le travail utile est le même, quelle que soit la roue qui commande Tautre. Enfin, d'après la même formule, le travail absorbé
par le frottement étant proportionnel à - + p, c'est-à-dire à — p— ,
comme cette quantité est d'autant plus petite, pour une môme valeur de r + 7-^9 que le produit r/ est plus grand, et ce produit augmentant à mesure que r diffère moins de ^ (Int 549), le travail absorbé par le frottement est donc d'autant plus petit, pour une même valeur de r + r', que r diffère moins de r', et il est minimum quand r = /.
Pour les engrenages cylindriques, on peut mettre la formule précédente sous la forme plus commode :
n et n* nombres de dents contenus dans les engrenages.
Application. On a T» = 200^* par seconde ; la roue motrice a 100 dents elle pignon 21, le graissage des dents est bien fait et donne /= 0,08; il s'agit de déterminer le travail utile Tu que pourra transmettre l'arbre du pignon dans une seconde.
Remplaçant les lettres par leurs valeurs dans la dernière expression
de Tmf on a :
300 = r« + Tu X0,08 X 3,14 (r^ + ^) »
Jvic'i
d'où l'on tire :
Le travail absorbé par le frottement en une seconde est :
ar« — Tu = 300 — 295,71 = 4^«,29.
83. Pour les engrenages coniques, a, r et r' étant le pas et les
rayons moyens, mesurés par rapport au milieu de la longueur de la dent sur la génératrice de contact, appelant a Tangle que font entre eux les axes des engrenages, les formules (1) et (2) du numéro précédent deviennent respectivement :
Fig. 10.
Mtn — Mu "^ Vu X
fi
2cosa
2C0Sa
nn'
Ces formules font voir que le travail absorMpar le frottement aagmente depuis a = ISO*", ce qui correspond aux engrenages eylindriqaes intérieurs, pour lesquels il est le plus petit, jusqu'à a = 0, ce (pÀ Cûrrespond aux engrenages cylindriques extérieurs, pour lesquels il est h plus grand. Pour a = 0, ces formules reviennent à celles du nuinéro précédent, comme cela devait être.
84. Pour une crémaillère commandée par une roue d'engrenage ou commandant une roue d'engrenage, on a {Int. 1713) :
r«=ru+ ï'u'Çxî.
a pas de Tengrenage et de la crémaillère ;
r rayon de la circonférence primitive deTengrenage.
85. Suivant que les engrenages métalliques sont exécutés avec pins ou moins de soin, Tintervalle entre deux dents consécutives est égal à l'épaisseur de la dent, augmentée de 1/20 à 1/10 de cette épaisseur, c'est-à-dire qu'il y a de 1/20 à 1/10 de jeu entre les dents engrenées; ce jeu varie de 1/10 à 1/6 pour les engrenages à dents de bois.
Pour rendre le frottement des engrenages le plus petit possible, on fait les surfaces de contact en épicycloïde ou en développante de cercle {Int. 1237, 1252); mais à cause des difficultés d'exécution, pour les engrenages ordinaires, on se contente d'arcs de cercle décrits avec le pas de l'engrenage pour rayon, «i d'un centre pris sur la circonférence primitive, ou un peu plus rapproché de l'axe de la roue; des constructeurs prennent les 3/4 du pas pour rayon. Le roste des joues de chaque dent est un plan tangent à ces arcs et passant par le centre de la roue. C'est surtout pour les engrenages à grosses dents qu'il convient de recourir aux tracés en épicycloïde ou en développante; mais la développante de cercle donne des dents qui diminuent trop rapidement d'épaisseur lorsque le nombre des dents est inférieur à 30.
Pour les engrenages coniques^ il faudrait prendre des développantes ou des épicycloïdes sphériques; mais on se contente également d'arcs de cercle. (Voir la résistance des matériaux pour les dimensions des afférentes parties des roues d*engrenage.)
86. Travail absorbé par le frottement du bouton d*nne manivelle. Pour obtenir ce travail, on développe la circonférence du bouton de la manivelle, et Ton élève aux différents points de ce développement, que Ton considère comme axe des abcisses, des perpendiculaires ou ordonnées représentant l'intensité du frottement correspondant à ces différents points; Taire de la courbe aio!si obtenue, que Ton peut calculer à l'aide de la formule de Tbomas Simpson, ou de celle de Poncelet, représente le travail absorbé par le frottement pour une révolution {IfU. 1498).
L'intenâité du frottement correspondant à un point qujelconque de Taxe des abcisses est représentée par le coefficient de frottement maitiplié par la pression qu'exerce la bielle sur le bouton de la manivelle, au moment où son axe rencontre ce bouton au point considéré.
Si la bielle exerce un effort constant sur le bouton de la manivelle, le travail absorbé par le frottement est le même que pour un tourillon ordinaire (60), et, pour une révolution de la manivelle, on a :
Tn = 2w/P.
STi» traTail absorbé ;
r rayon du bouton de la manivelle ;
/ eoeffident de frottement ; .
P pression constante de la bielle sur le bouton de la maniTelle.
Cette formule fait voir que le travail absorbé est proportionnel au rayon r, qu'il faudra, par conséquent, prendre le plus petit possible. Aussi doit-on éviter l'emploi des excentriques pour la transmission des grands efforts , l'expression du travail absorbé par le frottement étant la môme que pour le bouton d'une manivelle, et r étant trè^ grand» puisque c'est le rayon de figure de l'excentrique.
87; Une manivelle peut être à double effet ou à simple effet. Dans le premier cas, qui est celui de la formule du n* 86, la force qui agit sur la bielle est dirigée dans un sens pendant la première moitié de la révolution de la manivelle, et dans l'autre sens pendant la seconde moitié. Dans le deuxième cas, la force n'agit que dans un sens et ne sollicite la manivelle que pendant la moitié de sa révolution ; de telle sorte que le travail absorbé par le frottement, pour une révolution complète de la- manivelle, n'est que
îcr/P.
SB. £qnilibre dynamicpie dHme inanivelle à double effet. Cet équilibre ne peut être que périodique (45), et l'on doit avoir, pour une période ou un tour de manivelle, en négligeant les frottements (47) :
Fx4R = Qxia«r, d'où F = |qJ ou Q=^F^.
64 PHKXIÈRE PARTIE.
F force agissant soÎTant Taxe de la bielle, qae Ton siq>pose assez long pour qu'on
puisse le eonsidérer comme restant tonjoors parallèle à Ini-mème, et néi^ger
sa variation de direction ; R rayon de la mani?elle ; 4R espace parcoum par la puissance F pour nn tonr de manhelle, c'est-à-dire pour
une allée et une tenue de la bielle ; F x4R travail développé par la puissance ¥, aussi pour un tour de manivelle ou une
allée et une venue de la bielle; Q résistance agissant sur l'arbre de la manivelle k l'extrémité d*un bras de leyier
constant r ; ivr chemin parcouru par la résistance Q, pour un tour de manivelle ; Qx^icr travail absorbé par la résistance Q, aussi pour un tour de manivelle.
Pendant chaque demi-révolution de la manivelle, le moment de la puissance F, par rapport à Taxe de la manivelle, varie pour toutes les positions de la bielle, et les valeurs minimum, moyenne et maximum de ce moment, valeurs qui sont les mêmes pour un tonr entier de manivelle, sont respectivement :
quantités qui sont dans le rapport des nombres :
ou 0, 1 1,57.
Ces nombres proportionnels font voir combien la marche d'une manivelle est irrégulière.
Les valeurs minimum et maximum du moment de F sont évidemment F X 0 et F X R. Quant à la valeur moyenne, comme elle est
égale à Qr, remplaçant Q par sa valeur précédente en fonction de F,
on a bien F x - R pour cette valeur moyenne.
89. Équilibre dynamique de deux manivelles à double effet montées à angle droit sur le même arbre. Chaque manivelle agit en particulier comme dans le cas précédent, et leur ensemble ne peut encore donner qu'un équilibre dynamique périodique, pour lequel on doit avoir, pour un tour des manivelles et en négligeant les frottements :
2F X 4R = Q X 2iîr, doù F^yQ-^ ou û=*f5.
F force qui agit suivant Taxe de chacune des bielles ;
Q R et r ont les mêmes significations qu'au numéro précédent.
Les sommes de moments minimum, moyenne et maximum des forces F, pour une révolution des manivelles, sont successivement :
FxR, 2Fx?R, 2Fx-^;
valeurs qui sont dans le rapport des nombres :
ou 0,785, i, 1,11.
i11k«-ir ^
wr^
Rg. H.
Appelant a Tangle que fait Tune OA des manivelles avec la direction des bielles, la figure H montre que dans une position quelconque des manivelles, les forces F appliquées en A et B ont des moments exprimés respectivement par FRsina et FRcosa, et dont la somme est:
FR (sin a + cos a) = FR v^ sin (45»+ a). {Int. 1074)
La valeur minimum de cette somme correspondant à a = o, c*est*àdire au point où l'une des manivelles est au point mort, et la valeur maxi-^ mum à a = 45°, c'est-à-dire au point où les manivelles sont toutes deux inclinées à 45° sur la direction des bielles, ces valeurs sont :
FRv^ X -^ = FR
et FRv^xl =2F = i^.
Quant à la valeur moyenne de la somme des moments des deux forces F, comme elle est égale à Qr, remplaçant Q par sa valeur pré-
cédante en fonction de F, elle est 2F x - R.
90. Équilibre dynamique de trois manivelles à double effet montées wi le même arbre et faisant entre elles des angles égaux. Cet équilibre ne peut encore être que périodique, et Ton doit avoir, pour une période, en négligeant les frottements :
3Fx4R=Qx2^, d'où
ou Û=^f5,
Les lettres ont la même signification que dans le cas précédent, et les sommes de moments minimum, moyenne et maximum des forces F, pour une révolution des manivelles, sont successivement :
FRv^,
