SECTION PREMIÈRE

De la niéihode des démonstrations géométriques^ c^est-à-dire

méthodiques et parfaites.

Je ne puis faire mieux entendre la conduite qu'on doit garder pour rendre les démonstrations convaincantes, qu'en expliquant celle que la géométrie observe.

Mais il faut auparavant que je donne l'idée d'une méthode encore plus éminente et plus accomplie, mais où les hommes ne sauraient jamais arriver; car ce qui passe la géométrie nous surpasse ; et néanmoins il est nécessaire d'en dire quelque chose, quoiqu'il soit impossible de le pratiquer*.

Cette véritable méthode, qui formerait les démonstrations dans la plus haute excellence, s'il était possible d'y arriver, consisterait en deux choses principales : l'une, de n'employer aucun terme dont on n'eût auparavant expliqué nettement le sens; l'autre de n'avancer jamais aucune proposition qu'on ne démontrât par des vérités déjà connues ; c'est-à-dire, en un mot, à définir tous les termes et à prouver toutes les propositions. Mais, pour suivre l'ordre même que j'explique, il faut que je déclare ce que j'entends par définition.

On ne reconnaît en géométrie que les seules définitions

1. Après ce paragraphe, le manuscrit contient entre parenthèses les lignes suivantes, qui étaient sur un papier à part :

« [Mon objet] est bien plus de réussir à l'une qu'à Pautre, et je n'ai choisi cette science pour y arriver que parce qu'eue seule sait les véritables règles du raisonnement et, sans s'arrêter aux règles des syllogismes qui sont tellemeat naturelles qu'on ne peut les ignorer, s'arrête et se fonde sur la véritable méthode de conduire le raisonnement en toutes choses, que presque tout le monde ignore et qu'il est si avantageux de savoir, que nous voyons par expérience qu'entre esprits égaux, et toutes choses pareilles, celui qui a de la géométrie l'emporte et acquiert une vigueur tonte nouvelle.

» Je veux donc faire entendre ce que c'est que démonstration par l'exemple de celles de géométrie, oui est presque la seule des sciences humaines qui en prodmse d'infaillinles, parce qu'elle seule observe la véritable méthode, au lieu que toutes les autres sont par une nécessité uaturelle dans quelque sorte de confusion, que les seuls géomètres savent extrêmement connaître. »

DE l'esprit Géométrique. î9

que les logiciens appellent définitions de nom^ c'est-à-dire que les seules impositions de nom aux choses qu'on a clairement désignées en termes parfaitement connus ; et je ne parle que de celles-là seulement.

Leur utilité et leur usage est d'éclaircir et d'abréger le discours, en exprimant par le seul nom qu'on impose ce qui ne pourrait se dire qu'en plusieurs termes ; en sorte néanmoins que le nom imposé demeure dénué de tout autre sens, s'il en a, pour n'avoir plus que celui auquel on le destine uniquement. En voici un exemple.

Si l'on a Lesoin de distinguer dans les nombres ceux qui sont divisibles en deux également d'avec ceux qui ne le sont pas, pour éviter de répéter souvent cette condition, on lui donne un nom en cette sorte : J'appelle tout nombre divisible en deux également nombre pair.

Voilà une définition géométrique, parce qu'après avoir clairement désigné une chose, savoir tout nombre divisible en deux également, on lui donne un nom que Ton destitue de tout autre sens, s'il en a, pour lui donner celui de la chose désignée.

D'où il paraît que les définitions sont très-libres, et qu'elles ne sont jamais sujettes à être contredites ; car il n'y a rien de plus permis que de donner à une chose qu'on a clairement désignée un nom tel qu'on voudra. Il faut seulement prendre garde qu'on n'abuse de la Uberté qu'on a d'imposer des noms, en donnant le même à deux choses diflférentes.

Ce n'est pas que cela ne soit permis, pourvu qu'on n'en confonde pas les conséquences, et qu'on ne les étende pas de l'une à l'autre. .

Mais si l'on tombe dans ce vice, on peut lui opposer un remède très-sûr et très-infaillible : c'est de substituer mentalement la définition à la place du défini, et d'avoir toujours la définition si présente, que toutes les fois qu'on parle, par exemple, de nombre pair, on entende précisément que c'est celui qui est divisible en deux parties égales, et que ces deux choses soient tellement jointes et inséparables dans la pensée, qu'aussitôt que le discours

en exprime l'une, l'esprit y attache immédiatement Tau tre. Car les géomètres, et tous ceux qui agissent méthodiquement, n'imposent des noms aux choses que pour abréger les discours, et non pour diminuer ou changer ridée des choses dont ils discourent. £t ils prétendent que l'esprit supplée toujours la définition entière aux termes courts, qu'ils n'emploient que pom* éviter la confusion que la multitude des paroles apporte.

Rien n'éloigne plus promptement et plus puissamment les surprises captieuses des sophistes que cette méthode, qu'il faut avoir toujours présente, et qui suffit seule pour bannir toutes sortes de difficultés et d'équivoques.

Ces choses étant bien entendues, je reviens à l'explication du véritable ordre qui consiste, comme je disais^ à tout définir et à tout prouver.

Certainement cette méthode serait belle, mais elle est absolument impossible ; car il est évident que les premiers termes qu'on voudrait définir en supposeraient de précédents pour servir à leur explication, et que de même les premières propositions qu'on voudrait prouver en supposeraient d'autres qui les précédassent : et ainsi il est clair qu'on n'arriverait jamais aux premières.

Aussi, en poussant les recherches de plus en plus, on arrive nécessairement à des mots primitifs qu'on ne peut plus définir, et à des principes si clairs qu'on n'en trouve plus qui le soient davantage pour servir à leur preuve.

D'où il paraît que les hommes sont dans une impuissance naturelle et immuable de traiter quelque science que ce soit dans un ordre absolument accompli.

Mais il ne s'ensuit pas de^là qu'on doive abandonner toute sorte d'ordre. Car il y en a un, et c'est celui de la géométrie, qui est à la vérité inférieur en ce qu'il est moins convaincant, mais non pas en ce qu'il est moins certain. H ne définit pas tout et ne prouve pas tout, et c'est en cela qu'il lui cède; mais il ne suppose que des choses claires et constantes par la lumière naturelle, et c'est pourquoi il est parfaitement véritable, la nature le soutenant au défaut du discours.

DE l'esprit Géométrique. 3i

Cet ordre, le plus parfait entre les ordres, consiste non pas à tout définir ou à tout démontrer, ni aussi à ne rien définir ou à ne rien démontrer, mais à se tenir dans ce milieu, de ne point définir les choses claires et entendues de tous les hommes, et de définir toutes les autres; et de ne point prouver toutes les choses connues des hommes , et de prouver toutes les autres. Contre cet ordre pèchent également ceux qui entreprennent de tout définir et de tout prouver, et ceux çui négligent de le faire dans les choses qui ne sont pas évidentes d'elles-mêmes.

C'est ce que la géométrie enseigne parfaitement. Elle ne définit aucune de ces choses, espace^ temps, mouvement , nombre y égalité, ni les semblables qui sont en grand nombre, parce que ces termes-là désignent si na* turellement les choses qu'ils signifient, à ceux qui entendent la langue, que Téclaircissement qu'on en voudrait faire apporterait plus d'obscurité que d'instruction *.

Car il n'y a rien de plus faible que le discours de ceux qui veulent définir ces mots primitifs.. Quelle nécessité j a-t-il, par exemple, d'expliquer ce qu'on entend par k moi homme? Ne sait-on pas assez queUe est la chose qu'on veut désigner par ce terme? Et quel avantage pensait nous procurer Platon, en disant que c'était un anim^ à deux jambes sans plumes*? Conrnie si l'idée que j'en ai natiu'ellement, etquejepuis exprimer, n'était pas plus nette et plus sûre que ceUe qu'il me donne par son explication inutile et même ridicule; puisqu'un homme ne perd pas l'humanité en perdant les deux jambes, et qu'un chapon ne l'acquiert pas en perdant ses plumes.

II y en a qui vont jusqu'à cette absurdité d'expliquer

1. Cf. Descartes, Recherche de U Vérité par la lumière naturelle : «Noonalia, qn«, dam definire TolamtiSy obscuriora reddimus, quia nemp«, corn simpUcissima clarissimaque sint, haad melius ea scire et pereipere qnam per semetipsa vaiemus, dari dico. Imo fortasse prœcipmis, qui in sciéntiis committi poâsint, erroribos eoram aecensendus error est, mû id^ quod eoncipt tmtommodo débet, definire volant, qniqve ea, qns âara sont, ab obscur» distinguere, et id, qood ut eognoscatur définir! exigit meretnrque, ab eo, qnod opiime per se ipsum cognosci potest, discemere Bequeunt. » (hfpds, verit., 65.)