V. Montaigne, UI^ p. 213, et Diogène Laéree, IV, h

un mot par le mot même. J'en sais qui ont défini la lumière en cette sorte : La himihe est un mouvement luminaire des corps lumineux; comme si on pouvait entendre les mots de luminaire et de lumineux sans celui de lu-

mière^

On ne peut entreprendre de définir Tétre sans tomber dans cette absurdité : car on ne peut définir un mot sans commencer par pelui-ci, c'est^ soit qu'on l'exprime ou qu'on le sous-entende. Donc pour définir Têtre, il faudrait dire : c'est^ et ainsi employer le mot défini dans sa définition*.

On voit assez de là qu'il y a des mots incapables d'être définis; et si la nature n'avait suppléé à ce défaut par une idée pareille qu'elle a donnée à tous les hommes, toutes nos expressions seraient confuses. Au lieu qu'on en use avec la même assurance et la même certitude que s'ils étaient expliqués d'une manière parfaitement exempte d'équivoque; parce que la nature nous en a elle-même donné, sans paroles, une intelligence plus nette que celle que l'art nous acquiert par nos explications.

Ce n'est pas que tous les hommes aient la même idée de l'essence des choses que je dis qu'il est impossible et inutile de définir.

Car, par exemple, le temps est de cette sorte. Qui le

i. DéftnitioQ du P. NoCl, jésnite. On lit dans sa j^remière lettre (imprimée au tome IV des Œuvres de Pascal) : «... Puisque la lumière, on plutôt rillumiuation, est uu mouvement luminaire des rayons composés des corps lucides qui remplissent les corps transparents et ne sont mus luminairement que par d'antres corps lucides. »

« La période qui précède vos dernières civilités, répondit Pascal, définit la lumière en ces termes : 2a lumière est un mouvement luminaire de rayons composés de corps lucides, c'est-à-dire lumineux; où j'ai à vous dire qu'il me semble qu'il faudrait avoir premièrement défini ce que c'est que luminaire, et ce que c'est que corps lucide ou luminaire ; car jusque-là je ne puis entendre ce que c'est que lumière. Et comme nous n'employons jamais dans les définitions le terme du défini, j'aurais peiue à m'accommi)der à la vôtre qui dit : la lumière est un monvemeni luminaire des corps liunineux. » Lettre au P. Noël, 1647.

3. V. plus loin ÏEntretien de Pascal avec M. de 8aei : « Qui sait ce que c'est que vérité, et comment peut-on s^assorer de l'avoir sans la connaître? qui sait même ce que c*est qu'être, qu'il est impossible de définir, puisau'il n'y a rien de plus général , et qu'il faudrait d'abord , pour l'expliquer, se servir de ce mot-là même, en disant : c'est être,.. »

DE l'esprit OÉOMÉTftIQUE. 33

pourra définir? et pourquoi l'entreprendre, puisque tous les hommes conçoivent ce qu'on veut dire en parlant de temps, sans qu'on le désigne davantage? Cependant il y a bien de différentes opinions touchant l'essence du temps. Les uns disent que c'est le mouvement d'une chose créée; les autres, la mesure du mouvement, etc. Aussi ce n'est pas la nature de ces choses que je dis qui est connue à tous ; ce n'est simplement que le rapport entre le nom et la chose ; en sorte qu'à cette expression, temps, tous portent la pensée vers le même 'objet ; ce qui suffit pour faire que ce terme n'ait pas besoin d'être défini, quoique ensuite, en examinant ce que c'est que le temps, on vienne à différer de sentiment après s'être mis à penser; car les définitions ne sont faites que pour désigner les choses que Ton nomme, et non pas pour en montrer la nature.

Ce n'est pas qu'il ne soit permis d'appeler du nom de temps le mouvement d'une chose créée; car, comme j'ai dit tantôt, rien n'est plus libre que les définitions.

Mais en suite de cette définition il y aura deux choses qu'on appellera du nom de temps; l'une est celle que tout le monde entend naturellement par ce mot, et que tous ceux qui parlent notre langue nomment par ce terme ; l'autre sera le mouvement d'une chose créée, car on l'appellera aussi de ce nom suivant cette nouvelle définition. D faudra donc éviter les équivoques, et ne pas confondre les conséquences. Car il ne s'ensuivra pas de là que la chose qu'on entend naturellement parle mot de temps soit en effet le mouvement d'une chose créée. Il a été libre de nommer ces deux choses de môme ; mais il ne le sera pas de les faire convenir de nature aussi bien que de nom. Ainsi, si Ton avance ce discours : Le temps est le mou-vement d'une chose créée^ il faut demander ce qu'on entend par ce mot de temps^ c'est-à-dire si on lui laisse le sens ordinaire et reçu de tous, ou si on l'en dépouille pour lui donner en cette occasion celui du mouvement d'une chose créée. Que si on le destitue de tout autre sens, on ne peut contredire, et ce sera une définition libre, en suite de laquelle, comme j'ai dit, il y aura deux choses qui auront

ce même nom. Mais si on lui laisse son sens ordinaire et qu'on prétende néanmoins que ce qu'on entend par ce mot soit le mouvement d'une chose créée, on peut contredire. Ce n'est plus une définition libre, c'est uûe proposition qu'il faut prouver, si ce n'est qu'elle soit U*ès-évidente d'elle-même; et alors ce sera un principe et un axiome, mais jamais une définition, parce que dans cette énondation on n'entend pas que le mot de temps signifie la même chose que ceux-ci, le mouvement cFune chose créée; mais on entend que ce que l'on conçoit par le terme de temps soit ce mouvement supposé.

Si je ne savais combien il est nécessaire d'entendre ceci parfaitement, et combien il arrive à toute heure, dans les discours familiers et dans les discours de science, des occasions pareilles à celle-ci que j'ai donnée en exemple, je ne m'y serais pas arrêté. Mais il me semble, par l'expérience que j'ai de la confusion des disputes, qu'on ne peut trop entrer dans cet esprit de netteté, pour lequel je fais tout ce traité, plus que pour le sujet que j'y traite.

Car combien y a-t41 de personnages qui croient avoir défini le temps quand ils ont dit que c'est la mesure du mouvement, en lui laissant cependant son sens ordinaire ! Et néanmoins ils ont fait une proposition, et non pas une définition. Combien y en a-t-il de même qui croient avoir défini le mouvement quand ils ont dit : Motus necsimpliciter actuSy nec mera potentia est, sed Ojcivs entis in potentia^ i Et cependant, s'Us laissent au mot de mouvement son sens ordinaire, comme ils font, ce n'est pas une définition, mais une proposition ; et^ confondant ainsi les définitions qu'Us appellent définitions de nom^ qui sont les véritables définitions, libres, permises et géométriques, avec celles qu'ils appellent définitions de chose^ qui sont proprement des propositions, nullement libres, mais sujette» à contradiction, ils s'y donnent la liberté d'en for-

i. Voir Âristote {Phys., lU^ 1 et 2) : Le mouvement n'est ni simplement un acte ni une pure puissance, mais la mise en action de ce qui est en puissance, en tant qu'étant en puissance : *H tou èuvd((jL£i dvTo;

DS L'B«PRIT GéOMÉTRIQUE. 35

mer ans» bien que des autres : et chacun définissant les mêmes choses à sa manière, par une liberté qni est aussi défendue dans ces sortes de définitions que permise dans les premières, ils embrouillent toutes choses, et, perdant tout ordre et toute lumière, ils se perdent eux-mêmes et s'égarent dans des embarras inexplicables.

On n'y tombera jamais en suivant Tordre de la géométrie. Cette judicieuse science est bien éloignée de définir ces mots primitifs, espace^ temps, mouvement, égalité^ majorité, diminution j tout^ et les autres que le monde entend de soi-même. Mais, hors ceux4à, le reste des termes qu'elle emploie y sont tellement éclaircis et définis, qu'on n'a pas besoin de dictionnaire pour en entendre aucun ; de sorte qu'en un mot tous ces termes sont parfaitement intelligibles^ ou par la lumière naturelle ou par les définitions qu'elle en donne.

Voilà de quelle sorte elle évite tous les vices qui se peuvent rencontrer dans le premier point, lequel consiste à définir les seules choses qui en ont besoin. Elle en use de même à l'égard de l'autre point, qui consij-e à prouver les propositions qui ne sont pas évidentes.

Car, quand elle est arrivée aux premières vérités connues, elle s'arrête là et demande qu'on les accorde, n'ayant rien de plus clair pour les prouver : de sorte que tout ce que la géométrie propose est parfaitement démontré, ou par la lumière naturelle. Ou par les preuves.

De là vient que, si cette science ne définit pas et ne dé7 montre pas toutes choses, c'est par cette seule rçtison que cela nous est impossible. Mais, comme la nature fournit tout ce que cette science ne donne pas , son ordre à la vérité ne donne pas une perfection plus qu'humaine, mais il a toute celle où les hommes peuvent arriver. H m'a semblé à propos de donner dès l'entrée de ce discours

cette

On trouvera peut-être étrange que la géométrie nepuisse définir aucune deschoses qu'elle a pour principaux objets : car elle ne peut définir ni le mouvement, ni les nombres, ni l'espace; et cependant ces trois choses sont celles

qu'elle considère particulièrement et selon la recherche desquelles elle prend ces trois différents noms de mécanique, d'arithmétique, de géométrie y ce dernier nom appartenant au genre et à l'espèce.

Mais on n'en sera pas surpris, si Ton remarque que cette admirable science ne s'attachant qu'aux choses les plus simples, cette même qualité qui les rend dignes d'être ses objets les rend incapables d'être définies ; de sorte que le manque de définition est plutôt une perfection qu'un défaut, parce qu'il ne vient pas de Jeur obscurité, mais au contraire de leur extrême évidence, qui est telle qu'encore qu'elle n'ait pas la conviction des démonstrations, elle en a toute la certitude. Elle suppose donc que l'on sait quelle est la chose qu'on entend par ces mots, mouvevientj nombre^ espace; et, sans s'arrêter à les définir inutilement, elle en pénètre la nature, et en découvre les merveilleuses propriétés.

Ces trois choses, qui comprennent tout l'univers, selon ces paroles : Deus fecit omnia in pondère ^ in numéro, et mensura^, ont une liaison réciproque et nécessaire. Car on ne peut s'imaginer de mouvement sans quelque chose qui se meuve ; et cette chose étant une, cette unité est Torigine de tous les nombres ; et enfin, le mouvement ne pouvant être sans espace, on voit ces trois choses enfermées dans la première.

Le temps même y est aussi compris ; car le mouvement et le temps sont relatifs l'un à l'autre ; la promptitude et fa lenteur, qui sont les différences des mouvements, ayant un rapport nécessaire avec le temps.

Ainsi il y a des propriétés cpmmunes à toutes ces choses dont la connaissance ouvre l'esprit aux plus grandes merveilles de la nature.

La principale coniprend les infinités qui se rencontrent dans toutes : l'une de grandem*, l'autre de petitesse.

Car, quelque prompt que soit un mouvement, on peut en concevoir un qui le soit davantage, et hâter encore ce

1. « OffiDia ia mensura et numéro et pondère disposuisti. » {^^O'hi 11,21.)

DE l'esprit Géométrique. 37

dernier ; et ainsi toujours à l'infini, sans jamais arriver à un qui soit de telle sorte qu'on ne puisse plus y ajouter. Et au contraire, quelque lent que soit un mouvement, on peut le retarder davantage^ et encore ce dernier ; et ainsi à l'infini, sans jamais arriver à un tel degré de lenteur qu'on ne puisse encore en descendre à une infinité d'autres, sans tomber dans le repos.

De même, quelque grand que soit un nombre, on peut en concevoir un plus grand, encore un qui surpasse le dernier ; et ainsi à l'infini, sans jamais arriver à un qui ne puisse plus être augmenté. Et au contraire, quelque petit que soit un nombre, comme la centième ou la dixmillième partie, on peut encore en concevoir un moindre, et toujours à l'infini, sans arriver au zéro ou néant.

Quelque grand que soit un espace, on peut en concevoir un plus grand, et encore un qui le soit davantage ; et ainsi à l'infini, sans jamais arriver à un qui ne puisse plus être augmenté. Et au contraire, quelque petit que soit un espace, on peut encore en considérer un moindre, et toujours à rinflni, sans jamais arriver à un .indivisible qui n'ait plus aucune étendue.

Il en est de môme du temps. On peut toujours en concevoir un plus grand sans dernier, et un moindre, sans arriver à un instant et à un pur néant de durée.

C'est-à-dire, en un mot, que, quelque mouvement, quelque nombre, quelque espace, quelque temps que ce soit, il y a toujours un plus grand et un moindre : de sorte qu'ils se soutiennent tous entre le néant et l'infini, étant toujours infiniment éloignés de ces extrêmes.

Toutes ces vérités ne se peuvent démontrer ; et cependant ce sont les fondements et les princiqes de la géométrie. Mais, comme la cause qui les rend incapables de démonstration n'est pas leur obscurité, mais au contraii'e leur extrême évidence, ce manque de preuve n'est pas un défaut, mais plutôt une perfection.

D'où l'on voit que la géométrie ne peut définir les objets, ni prouver les principes, mais par cette seule et avantageuse raison, que les uns et les autres sont dans

une extrême clarté naturelle, qui conyainc la raison plus puissamment que le discours.

Car qu'y a-tril de plus évident que celte vérité, qu'un nombre, td qu'il soit, peut" être augmenté? ne peut-on pas le doubler? Que la promptitude d'un mouvement peut être doublée, et qu'un espace peut être doublé de même?

Et qui peut aussi douter qu'un nombre, tel qu'il soit, ne puisse être divisé par la moitié, et sa moitié encore par la moitié? Car cette moitié serait-elle un néant ? Et comment ces deux moitiés, qui seraient deux zéros, feraientelles un nombre?

De même, un mouvement, quelque lent qu'il soit, ne peut-il pas être ralenti de moitié, en sorte qu'il parcoure le 'même espace dans le double de temps, et ce dernier mouvement encore? Car serait-ce un pur repos? Et comment se pourrait-il que ces deux moitiés de vitesse, qui seraient deux repos, fissent la première vitesse?

Enfin un espace, quelque petit qu'il soit, ne peut-il pas être divisé en deux, et ces moitiés encore? Et comment pourrait-il se faire que ces moitiés fussent indivisibles sans aucune étendue, elles qui, jointes ensemble, ont fait la première étendue?

H n'y a point de connaissance naturelle dans l'homme qui précède celles-là, et qui les surpasse en clarté. Néanmoins, afin qu'il y ait exemple de tout, on trouve des esprits, excellents en toutes autres choses, que ces infinités choquent, et qui n'y peuvent en aucune sorte consentir.

Je n'ai jamais connu personne qui ait pensé qu'un espace ne puisse être augmenté, mais j'en ai vu quelquesuns, très-habiles d'ailleurs, qui ont assuré qu'un espace pouvait être divisé en deux parties indivisibles, quelque absurdité qu'il s'y rencontre ^ Je me suis attaché à re-

1. « Qa'il s'y reaeontre. » H s'agit da chevalier de Méré. Voir une lettre de Pascal à Fermât (Jaillet, 1651) : « Il a très-bon esprit. mû& il » n'est pas géomètre ; c'est, comme vous savez, un grana défaut: et » même il ne comprend pas qu'nne ligne matltématique soit Àtisible » à l'infini, et croit fort bien entendre qu'elle est composée de points » en nombre fini, et jamais je n'ai pu l'en tirer : si vous pouviez le » faire, on le rendrait parfait. »

DE L'fiSPRIT GÉOMÉTRIQUE. 39

chercber en eux quelle pouvait être la eause de cette obscurité, et j'ai trouvé qu'il n'y en avait qu'une principale, qui est qu'ils ne sauraient concevoir un continu divisible à l'infini : d'où ils concluent qu'il n'y est pas divisible.

C'est une maladie naturelle à l'homme de croire qu'il possède la vérité directement; et de là vient qu'il est toujours disposé à nier tout ce qui lui est incompréhensible; au lieu qu'en effet il ne connaît naturellement que le mensonge, et qu'il ne doit prendre pour véritables que les choses dont le contraire lui parait faux. £t c'est pourquoi, toutes les fois qu'une proportion est inconcevable, il faut en suspendre le jugement et ne pas la nier à cette marque, mais en examiner le contraire; et si on le trouve manifestement faux, on peut hardiment affirmer la première, tout incompréhensible qu'elle est. Appliquons cette règle à notre sujet.

Il n'y a point de géomètre qui ne croie l'espace divisible à l'infini. On ne peut non plus l'être sans ce principe qu'être homme sans âme. Et néanmoins il n'y en a point qui comprenne une division infinie; et Ton ne s'assure de cette vérité que par cette seule raison, mais qui est certainement suffisante, qu'on comprend parfaitement qu'il est faux qu'en divisant un espace on puisse arriver à une partie indivisible, c'est-à-dire qui n'ait aucune étendue. Car qu'y a-t-il de plus absurde que de prétendre qu'en divisant toujours un espace, on arrive enfin à une division telle qu'en la divisant en deux, chacune des moitiés reste indivisible et sans aucune étendue, et qu ainsi ces deux néants d^ étendue fissent ensemble une étendue .^Car je voudrais demander à ceux qui ont cette idée, s'ils conçoivent nettement que deux indivisibles se touchent : si c'est partout, ils ne sont qu'une même chose, etpartant les deux ensemble sont indivisibles ; et si ce n'est pas partout, ce n'est qu'en une partie : donc ils ont des parties, donc ils ne sont pas indivisibles. Que s'ils confessent, comme en efiet ils l'avouent quand on les presse, que leur proposition est aussi inconcevable que l'autre, qu'ils reconnais-

sent que ce n'est pas par notre capacité à concevoir ces choses que nous devons juger de leur vérité, puisque, ces deux contraires étant tous deux inconcevables , il est néanmoins nécessairement certain que Tun des deux est véritable.

Mais qu'à ces difficultés chimériques, et qui n'ont de proportion qu'à notre faiblesse, ils opposent ces clartés naturelles et ces vérités solides : s'il était véritable que l'espace fût composé d'un certain nombre fini d'indivisibles, il s'ensuivrait que deux espaces, dont chacun serait carré, c'est-à-dire égal et pareil de tous côtés, étant doubles l'un de l'autre, l'un contiendrait un nombre de ces indivisibles double du nombre des indivisibles de l'autre. Qu'ils retiennent bien cette conséquence, et qu'ils s'exercent ensuite à ranger des points en carrés jusqu'à ce qu'ils en aient rencontré deux dont l'un ait le double des points de l'autre; et alors je leur ferai céder tout ce qu'il y a de géomètres au monde. Mais si la chose est naturellement impossible, c'est-à-dire s'il y a impossibilité invincible à ranger des carrés de points, dont l'un en ait le double de l'autre, comme je le démontrerais en ce lieu-là même si la chose méritait qu'on s'y arrêtât, qu'ils en tirent la conséquence.

Et pour les soulager dans les peines qu'ils auraient en de certaines rencontres, comme à concevoir quun espace ait une infinité de divisibles^ vu qu'on les parcourt en si peu de temps, pendant lequel on aurait parcouru cette infinité de divisibles, il faut les avertir qu'ils ne doivent pas comparer des choses aussi disproportionnées qu'est l'infinité des divisibles avec le peu de temps où ils sont parcourus; mais qu'ils comparent l'espace entier avec le temps entier, et les infinis divisibles de l'espace avec les infinis instants de ce temps ; et ainsi ils trouveront que l'on parcourt une infinité de divisibles en une infinité d'instants, et un petit espace en un petit temps; en quoi il n'y a plus la disproportion qui les avait étonnés.

Ënfin^ s'ils trouvent étrange qu'un petit espace ait autant départies quun grande qu'ils entendent aussi qu'elles

DE l'esprit Géométrique. 41

sont plus petites à mesure ; et qu'ils regardent le firmament au travers d'un petit verre, pour se familiariser avec cette connaissance, en voyant chaque partie du ciel en chaque partie du verre. Mais s'ils ne peuvent comprendre que des parties si petites, qu'elles nous sont imperceptibles, puissent être autant divisées que le firmament, il n'y a pas de meilleur remède que de les leur faire regarder avec des lunettes qui grossissent cette pointe délicate jusqu'à une prodigieuse masse : d'où ils concevront aisément que par le secours d'un autre verre encore plus artistement taillé, on pourrait les grossir jusqu'à égaler ce firmament dont ils admirent l'étendue. £t ainsi ces objets leur paraissant maintenant très-facilement divisibles, qu'ils se souvien-» nent que la nature peut infiniment plus que l'art. Car enfin qurles a assurés que ces verres auront changé la grandeur naturelle de ces objets, ou s'ils auront au contraire rétabli la véritable, que la figure de notre œil avait changée et raccourcie, comme font les lunettes qui amoindrissent?

Il est fâcheux de s'arrêter à ces bagatelles ; mais il y a des temps de niaiser. ^

n suffit de dire à des esprits clairs en cette matière que

deux néants d'étendue ne peuvent pas faire une étendue.

Mais parce qu'il y en a qui prétendent s'échapper à cette

lumière par celte merveilleuse réponse, que deux néants

d'étendue peuvent aussi bien faire une étendue que deux

unités dont aucune n'est nombre font un nombre par leur

assemblage ; il faut leur repartir qu'ils pourraient opposer,

de la même sorte, que vingt mille hommes font une armée,

quoique aucun d'eux ne soit armée; que mille maisons

font une ville, quoique aucune ne soit ville ; ou que les

parties font le tout, quoique aucune ne soit le tout ; ou,

pour demeurer dans la comparaison des nombres, que deux

binaires font le quartenaire, et dix dizaines une centaine,

quoique aucun ne le soit. Mais ce n'est pas avoir l'esprit

juste que de confondre par des comparaisons si inégales

la nature immuable des choses avec leurs noms libres et

volontaires, et dépendant du caprice des hommes qui les

ont composés. Car il est clair que pour faciliter les discours on a donné le nom d'armée à vingt mille hommes, celui de ville à plusieurs maisons, celui de dizaine à dix unités; et que de cette liberté naissent les noms d'unité^ binaire, quaternaire, dizaine, centaine, différents par nos fantaisies, quoique ces choses soient en effet de même genre par leur nature invariable, et qu'elles soient toutes proportionnées entre elles et ne différent que du plus ou du moins, et quoique, en suite de ces noms, le binaire ne soit pas quaternaire, ni une maison une viUe, non plus qu'une ville n'est pas une maison. Mais encore, quoique une maison ne soit pas une ville, elle n'est pas néanmoins un néant de ville ; il y a bien de la différence entre n'être pas une chose et en être un néant.

Car, afin qu'on entende la chose à fond, il faut savoir que la seule raison pour laquelle l'unité n'est pas au rang des nombres est qu'Euclide et les premiers auteurs qui ont traité d'arithmétique, ayant plusieurs 'propriétés à donner qui convenaient à tous les nombres hormis à l'unité, pour éviter de dire souvent qu'en tout nombre, hors l'unité, telle condition se rencontre, ils ont exclu l'unité de la signification du mot de nombre, par la liberté que nous avons déjà dit qu'on a de faire à son gré des définitions. Aussi, s'ils eussent voulu, ils en eussent de même exclu le binaire et le ternaire, et tout ce qu'il leur eût plu; car on en est maître, pourvu qu'on en avertisse : comme au contraire l'unité se met quand on veut au rang des nombres, et les fractions de même. Et en effet, l'on est obligé de le faire dans les propositions générales, pour éviter de dire à chaque fois : En tout nombre, et à l'unité et aux fractions, une telle propriété se trouve ; et c'est en ce sens indéfini que je l'ai pris dans tout ce que j'en ai écrit. Mais le même Euclide qui a ôté à l'unité le nom de nombre, ce qui lui a été permis, pour faire entendre néanmoins qu'elle n'en est pas un néant, mais qu'elle est au contraire du même genre, il définit ainsi les grandeurs homogènes. Les grandeurs, dit-il, sont dites être de même genre, lorsque l'une étant plusieurs fois multipliée peut

DE l'ësprit Géométrique. 43

arriver à surpasser Tautre. £t par conséquent, puisque l'unité peut, étant multipliée plusieurs fois, surpasser quelcpie nombre que ce soit, elle est de même genre que les nombres précisément par son essence et par sa nature immuable^ dans le sens du même Ëuclide qui a voulu qu'elle ne fût pas appelée nombre.

Il n'en est pas de même d'un indivisible à l'égard d'une étendue; car, non-seulement il diffère de nom, ce qui est volontaire, mais il diffère de genre, par la même définition ; puisqu'un indivisible, multiplié autant de fois qu'on le voudra, est si éloigné de pouvoir surpasser une étendue, qu'il ne peut jamais former qu'un seul et unique indivisible ; ce qui est naturel et nécessaire, comme il est déjà montré. Et comme cette dernière preuve est fondée sur la définition de ces deux choses, indivisible et étendue, on va achever et consommer la démonstration. '

Un indivisible est ce qui n'a aucune partie, et l'étendue est ce qui a diverses parties séparées.

Sur ces définitions, je dis que deux indivisibles étant unis ne font pas une étendue. Car, quand ils sont unis, ils se touchent chacun en une partie ; et ainsi les parties par où ils se touchent ne sont pas séparées, puisque autrement elles ne se toucheraient pas. Or, par leur définition, ils n'ont point d'autres parties : donc ils n'ont pas de parties séparées; donc ijs ne sont pas une étendue, par la définition de l'étendue qui porte la séparation des parties. On montrera la même chose de tous les autres indivisibles qu'on y joindra, par la même raison. Et partant un indivisible, multiplié autant qu'on voudra, ne fera jamais une étendue. Donc il n'est pas de même genre que rétendue, par la définition des choses du même genre.

Voilà comment on démontre que les indivisibles ne sont pas de même genre que les nombres. De là vient que deux unités peuvent bien faire un nombre, parce qu'elles sont de même genre; et que deux indivisibles ne font pas une étendue, parce qu'ils ne sont pas de même genre. D'où l'on voit combien il y a peu de raison de cora-

parer le rapport qui est entre Tunité et les nombres à celui qui est entre les indivisibles et l'étendue.

Mais si Ton veut prendre dans les nombres une comparaison qui représente avec justesse ce que nous considérons dans rétendue, il faut que ce soit le rapport du zéro aux nombres; car le zéro n'est pas du même genre que les nombres^ parce qu'étant multiplié, il ne peut les surpasser : de sorte que c'est un véritable indivisible de nombre, comme l'indivisible est un véritable zéro d'étendue. Et on en trouvera un pareil entre le repos et le mouvement, et entre un instant et le temps ; car toutes ces choses sont hétérogènes à leurs grandeurs, parce qu'étant infiniment multipUées, elles ne peuvent jamais faire que des indivisibles, non plus que les indivisibles d'étendue, et par la même raison. Et alors on trouvera une correspondance parfaite entre ces choses ; car toutes ces grandeurs sont divisibles à l'infini, sans tomber dans leurs indivisibles, de sorte qu'elles tiennent toutes le milieu entre l'infini et le néant.

Voilà l'admirable rapport que la nature a mis entre ces choses», et les deux merveilleuses infinités qu'elle a proposées aux hommes, non pas à concevoir, mais à admirer ; et pour en finir la considération par une dernière remarque, j'ajouterai que ces deux infinis, quoique infiniment différents, sont néanmoins relatifs l'un à l'autre, de telle sorte que la connaissance de l'un mène nécessairement à la connaissance de l'autre. Cardans les nombres, de ce qu'ils peuvent toujours être augmentés , il s'ensuit absolument qu'ils peuvent toujours être diminués, et cela clairement : car si l'on peut multiplier un nombre jusqu'à J 00,000, par exemple, on peut aussi en prendre une 100,000* partie, en le divisant par le même nombre qu'on le multiplie , et ainsi tout terme d'augmentation deviendra terme de division, en changeant l'entier en fraction. De sorte que l'augmentation infinie enferme nécessairement aussi la division infinie. Et dans l'espace le môme rapport se voit entre ces deux infinis contraires ; c'est-à-dire que, de ce qu'un espace peut être infiniment prolongé, il s'ensuit

DE l'rsprit Géométrique. 45

qu'il peut être infiniment diminué, comme il paraît en cet exemple : Si on regarde au travers d'un verre un vaisseau qui s'éloigne toujours directement*, il est clair que le lieu du diaphane* où Ton remarque un point tel qu'on voudra du navire haussera toujours par un flux continuel, à mesure que le vaiseau fuit. Donc, sila course du vaisseau est toujours allongée et jusqu'à Tinfini, ce point haussera continuellement; et cependant il n'arrivera jamais à celui où tombera le rayon horizontal mené de l'œil au verre, de sorte qu'il en approchera toujours sans y arriver jamais, divisantsans cesse l'espace qui restera sous cepoint horizontal, sans y arriver jamais. D'où l'on voit la conséquence nécessake qui se tire de l'infinité de l'étendue du cours du vaisseau, à la division infinie et infiniment petite de ce petit espace restant au-dessous de ce point horizontal.

Ceux qui ne seront pas satisfaits de ces raisons, et qui denieureront dans la créance que l'espace n'est pas divisible à Vinfîni, ne peuvent rien prétendre aux démonstrations géométriques ; et, quoiqu'ils puissent être éclairés en d'autres choses, ils le seront fort peu en celles-ci : car on peut aisément être très-habile homme et mauvais géomètre. Mais ceux qui verront clairement ces vérités pourront admirer la grandeur et la puissance de la nature dans cette double infinité qui nous environne de toutes parts, et apprendre par cette considération merveilleuse à se connaître eux-mêmes, en se regardant placés entre une infinité et un néant d'étendue , entre une infinité et un néant de nombre, entre une infinité et un néant de mouvement, entre une infinité et un néant de temps. Sur quoi on peut apprendre à s'estimer à son juste prix, et former des réflexions qui valent mieux que tout le reste de la géométrie même*.

J'ai cru être obligé de faire cette longue considération en faveur de ceux qui, ne comprenant pas d'abord cette

i. «Directement,» ea ligne droite, sur une mer supposée plane.