DEFINITION

De ce que j'ai avancé plus haut que les définitions sont les principes féconds de la géométrie, il ne faudrait pas conclure que toutes les définitions sont fécondes ; car pour quiconque voudra parcourir les livres des géomètres , il sera évident que , s'il y a beaucoup de définitions , plus ou tnoins fécondes , il en est aussi quelques-unes tout à fait infécondes.

Pour me mettre plus à même de distinguer les de* finitions fécondes des définitions infécondes et d'assigner ensuite l'origine des notions qu'elles expriment , il me parait utile de ranger les définitions en diverses classes , suivant les notions diverses qu'elles sont destinées à exprimer.

Je rangerai en conséquence les définitions en trois classes : j'appellerai les unes définitions éiémen-^

ta ires j les autres définitions complexes y les^anttes définitions de rapport.

Quelles sont les notions exprimées par chacune de ces définitions diverses ? Pour répondre à cette question d'une manière satisfaisante ^ il faut remonter au but de la géométrie.

La géométrie , comme je l'ai dit déjà , a pour objet la mesure de l'étendue ; or l'étendue a trois dimensions, longueur , largeur et profondeur. Si l'on considère ces trois dimensions réunies , ou d'eux seulement d'entire elles , savoir : la longueur et la largeur , ou une seulement , savoir : la longueur, ou enfin si on suppose l'absence de ces éléments , on aura toutes les notions renfermées dans les définitions que j'ai appelées élémentaires , notions auxquelles on a donné les noms suivants, corps, surfstce, ligne, point. J'ai appelé ces définitions élémientaires,. parce qu'elles expriment les notions dont la connaissance est indispensable pour l'intelligence des autres définitions.

Les géomètres considèrent les corps, les surfaces, les lignes soumises à diverses conditions , modifiées de diverses manières; ainsi ils considèrent la ligne droite et la circonférence du cercle, la surface plane, le prisme, la pyramide, la sphère, le cylindre; ce sont ces diverses espèces de lignes , de surfaces , de corps que considèrent les géomètres , dont les notions sont renfermées dans les définitions que j'ai appelées complexes , définitions que j'ai appelées ainsi parce qu'elles expriment des collections de

DE LA GJBIOMÉTRIE. 4^1

concepts, savoir : les concepts de certains éléments, c'est-à-dire du corps, de la surface , de la ligne, et en outre les concepts des modifications diverses auxquelles ces éléments sont soumis.

Enfin les géomètres considèrent diverses espèces de rapports établis entre les diverses espèces de corps, de surfaces , de lignes; Ce sont ces divers rapports dont tes notions sont contenues dans les définitions de troisième classe que j'ai appelées définitions de rapports. Tous les rapports qui peuvent être établis entre les notions géométriques peuvent se ramener à quatre , savoir : les rapports d'égalité ^ de similitude ^ d'équivalence et de symétrie. Ces rapports ne peuvent pas exister entre toutes les notions géomé«triques ; mais il n'est point de notions géométriques entre lesquelles ne puisse exister un de ces rapports au moins. Entre des lignes il peut exister le rapport d'égalité ; entre «des surfaces il peut exister, outre ce premier rapport:, des rapports d'équivalence ou de similitude; entre des corps, les quatre rapports peuvent exister.

Ainsi dans la première classe de définitions que j'ai établies sont renfermées seulement quatre notions, savoir : les notions de corps, de surface, de ligne, de point.

Dans la seconde classe sont renfermées les notions des diverses espèces de corps, de surfaces, de ligpes que considèrent les géomètres.

Dans la troisième, enfin, sont renfermées les notions des diverses espèces de rapports qui peuvent

4oa SUR LA HÉTAPHTSIQUE

être établi» ^tre 1^ diverses espèces de corps , de sur&ces ». de ligûe$;

Quelles sont maintenant , parmi ces définitions, les fécondes et les infécondes ?

Les définitions de la première classe sont toutes infécondes ; des notions de corps y de ligne , etc. , il ne pe^t sortir assurément aucune proposition géométrique^.

Les définitions de la troisième classe sont toutes fécondes f anasi , aux yeux 'de tous les géomètres » la définition des triangles semblables est une définition très féconde.

Parmi les définition^ de la seconde classe ^ il y en a de fécondes , il y en à d'infécondes.

Aeste. à chercher maintenant cominent sont entrées dans L'intelligence toutes les notions renfer» mées dans les définitions, Je les passerai en revue suivant qu'elles se rencontreront d%ns les classes de définitions que j'ai établies. Je commencerai parles définitions élémentaires.

Quelle est l'origine des notions de corps , de surface y de ligne , de point ? Sont-elles dérivées de l'expérience sensible pu non ?

Pour résoudre cette question, il n'y a qu'à chercher ce que nous offre l'expérience. L'expérience nous ofire des corps qui ont certaines limites au moyen desquelles nous reconnaissons leurs figures ; ces limites, qui sont des surfaces, ont elles<mémes des limites , qui sont des lignes ; les lignes ont des limités qui sont des points. Si l'expérience nous offre

DE LA. GÉOMETBIE. 4^3

des corps existants par eux-mêmes, et des surfaces, des lignes, des points , qui , quoique non existants pareux-mémes, existent cependant joints aux corps, il suit que les notions de corps , de surface, de ligne, de point , sont des notions empiriques, dont la pre« mière est une notion concrète, et les trois autres des notions abstraites.

Je viens aux dé6nitions complexes. Quelle est l'origine des notions qu'elles renferment? Peuvent-elles être dérivées de l'expérience ?

Non , sans doute. Car les objets de ces notioits sont des figures régulières et parfaites, tandis qiie l'expérience ne nous offre que des figures grossières et imparfaites ; c'est sur des lignes tout à fait droites , des surfaces tout à fait planes, des sphères tout à fait rondes que travaille le géomètre , et nous ne trouvons dans l'expérience que des lignes à peu près droites , des surfaces à peu près planes, des sphères à peu près rondes.

Si l'expérience ne peut engendrer en nous des notions de figures parfaites, ces notions pourraientelles cependant , sans le secours de l'expérience , exister dans l'intelligence? Je ne le pense pas. Bannissez de l'intelligence toute notion empirique des dimensions de l'étendue, l'intelligence concevra-t-elle jamais des figures étendues régulières ? Bannissez de l'intelligence toute notion empirique de ligne , de surface , de corps , l'intelligence concevra-t-elle jamais des lign^ droites, des plans, des polyèdres ? Non certes ; et toute expérience détruite, jamais des no-.

4o4 i>lIR LA METAPHTSIQUE

lions de figures parfaites n'existeront dans l'intelligence.

Que si l'expérience ne peut engendrer ces notions dont nous cherchons l'origine ^ et que cependant , sans l'expérience 9 elles ne puissent exister dans l'intelligence, comment l'esprit humain a-t-il pu acquérir ces notions avec le secours de l'expérience ?

Si le temps me l'eût permis , j'aurais passé en revue toutes les figures régulières , soit surfaces , soit corps, soit lignes, sur lesquelles travaille le géomètre, et j'aurais tenté d'indiquer l'origine des notions de chacune d'elles ; mais ce sef a assez pour moi d'énoncer mon opinion.

Je pense que, parmi les figui*es sut lesquelles travaille le géomètre, il en est qui ont été conçues nécessairement par l'intelligence à Fôccasion de figures imparfaites offertes par l'expérience, et qu'il en est aussi qui sont l'ouvrage arbitraire des géomètres combinant à leur gré certains éléments.

Je placerais dans la première classe les notions de ligne droite, d'angle, de circonférence, de cercle, de plan , de prisme , de cylindre , etc.

Je placerais dans la deuxième classe les notions de toutes les figurés inscrites et circonscrites ; des angles ; des triangles et polygones inscrits dans les cercles; des prismes inscrits dans des cercles, /dans des cylindres; des pyramides inscrites dans des cônes, et beaucoup d'autres notions encore.

Ainsi ^ je mettrais en ayant que la notion de ligne droite est entrée nécessairement dans l'intelligence

0£ LA CiOMËTRIE. ^o5

du géomètre 9 à rpccasion d'une ligne presque droite offerte par l'expérience. Comment autrement l'intelligence du géomètre aurai t^Ue pu acquérir cette notipu? Est-ce qu'elle aurait été formée par le géomètre combinant à son gré divers éléments? Seraient*^ ce les notions de point et de plus court chemin?- Mais la notion de ligne droite peut exister dans l'intelligence sans la notion de plus court chemin ; la définition ordinaire de la ligne d^ite n'est pas satisfaisante; tous les géomètres en conviennent. L'opinion que j'ai énoncée me paraît la phis vraisemblable.

Ce que je dis de la ligne droite , je le dirais du plan , de l'angle , de la ligne perpendiculaire , des lignes pai^Uèlés, du cercle ^ du cylindre ^ du cône, de la sphère , etc.

Ainsîi, je dirais que Ja notion de surface plane s'est présentée à l'intelligence du géomètre, à l'occasion d'ujie surface presque plane offerte par l'expérience; je dirais qu'à la vue d'un cercle grossier, imparfait , offert par l'expérience , le vrai géomètre a placé surle-champ un point, au milieu du cercle , et qu'il a conçu immédiatement l'égalité de toutes les distances du point; central aux.points de là courbe.

Je ne parlerais pas.de la même manière des figures inscât^s et circonscritea et! de beaucoup d'autres figures ^ je croirai^ au contraire que les géomètres , après avoir conçu , à l'occasion de .l'expérience, 'des angles et dès cercles , des prismes et des cylindres , des pyramides et des cônes, ont inscrit à leur gré

4o6 SUR L4 J^f^ÀPHTSIQUE

d^ angles dans des cercles ^ des prismes 4lans des qyliiidres , des pyramides dans des cônes ; il me se^ rait facile de eit^r beaucoup d'autres figures formées par les géomètres combinant à leur gré certains Céments.

J'arrive aux notions de rapports , desquelles je ne 4irai qu'un mot. Nul doute que ces notions ne sont ppin): empiriques y puisque l'expérience n'ofire rien de parfait et que c'est sûr des rapports parfaits que travaille le géomètre; nul doute non plus que ces notions ne pourraient point exister dans l'intelli-' gence, toute expérience détruite; bannissez de l'es-^ prit humain toute notion d'égalité ou de similitude j^mparfaite , l'esprit humain conceyra-t-il jamais l'é- |[alité ou la similitude parfaite ? L'on peut donc dire avec vérité que , sans l'expérience ou avec Texpéijence seule ^ les notions des rapports géométri-» ques ne peuvent être acquises par l'intelligence.

Pour ce qui regarde les définitions, je conclus que 7 parmi les notions qu'elles renferment, les unes, mais en petit nombre, sont empiriques; que les gutres en plus grand nombre ne sauraient exister pour l'esprit, toute expérience détruite, mais que cependant, l'expérience seule ne saurait les engendrer. Les notions empiriques sont renfermées dans lès définitions élémentaires; ce sont les notions de icorps^ de surÊice, de ligne, de: point; les^notions non,ei|]qpiriques Sjout renfermées dans les définitions complexes et les définitiqns de rapports.

Ce serait ici le lieu d'énumérer et de décrire i*^ les

DE LA GISOMÉTRIE. 4^7

méthodes géométriques ; 'a^ les facultés et les lois de r^sprit qui peuvent concourir à la formation de la géométrie; mais j'ai déjà dit plus haut que je ne traiterais pas ces deux points.

GOUGLUSION.

Mous avons passé en revue i^ les données géométriques , c'est-à-dire les conceptions d'étendue et d'espace; a^ les principeft géométriques , c^est-à-dire les axiomes et les définitions.

Nous avons vu i^ que les conceptions d'étendue et d'espace et les axiomes ne pouvaient point exister pour l'esprit ^ toute expérience détruite , mais quMls ne pouvaient être dérivés logiquement de Texpérience ; 2^ que , parmi les notions renfermées dans les définitions 9 les unes sont empiriques et les autres non empiriques; que ces dernières ne pourraient point exister pour l'esprit , toute expérience détruite y mais que l'expérience est impuissante jpour les engendrer.

De tout cela on peut conclure , ce me semble , que la géométrie n'esi: point favorable à là philosophie empirique et qu'elle ne contrarie en rien au contraire cette autre philosophie qui admet que certaines connaissances peuvent être engendrées par l'expérience, mais qui prétend aussi que l'expérience seule ne saurait engendrer toutes les connaissances , quoique , toute expérience détruite y il ne peut exister pour l'intdligence aucune connaissance.

4o8 SUR LÀ MÉTAPHYSIQUE

Sans doute, avant toute expérience, il ne peut exister aucune connaissance dans Fintelligence humaine; ou du moins c'est une chose que, dans notre état actuel , nous ne saurions concevoir ; mais., de ce que l'expérience soit indispensable pour qu'une connaissance, quelle qu'elle soit, existe dans l'intelligence , s'ensuit-il que toutes nos connaissances sont engendrées par l'expérience seule? De ce que , l'expérience détruite, le nécessaire comme le contingent ne peut exister pour nous , s'ensuit-il que te nécessaire dérive de l'expérience comme le contingent? Nop. Jamais on ne pourra faire sortir le nécessaire de l'expérience : or, si le nécessaire ne peut être dérivé de l'expérience, et que néanmoins, avant l'expérience , il ne puisse exister pour l'intelligence , quelle est donc son origine ? comment cette origine diffère-t-rçlle de celle du contingent?

J'ai déjà décrit plus haut l'origine de deux principes nécessaires, savoir : tout corps est dans un lieu,; le tout est plus grand que sa partie. J'ai dit que le primitif de ces principes était un fait individuel composé de deux parties, dont l'une est purement contingente et individuelle, savoir, les deux termes du rapport; et dont l'autre est un rapport qui nous apparaît contingent et individuel, tant qu'il est réuni à ses deux termes, mais qui, séparé d'eux , nous apparaît nécessaire et absolu ; j'ai, dit ensuite qu'aussitôt que le fait individuel tomba sous la conscience , sa partie purement contingenté s'abstrait d'elle-même, et qu'il reste alors dans Tini

telligence la notion du rapport qui nous apparaît absolu et nécessaire; j'ai dit enfin que, dès que cette notion apparaissait à la conscience , elle nous paraissait applicable à tous les cas possibles , et que dès lorB nous possédions le principe nécessaire.

Je vais maintenant décrire en peu de mots l'origine des connaissances contingentes , telles que l'exposent les empiristes ; je la comparerai ensuite avec l'origine des connaissances nécessaires que je viens d'exposer.

Un certain nombre de faits individuels déterminés, tel est le primitif des connaissances contingentes; la comparaison y qui nous conduit à la connaissance des parties semblables et des parties dissemblables de ces faits; V abstraction^ qui sépare les parties semblables des parties dissemblables auxquelles elles soiit réunies; la généralisation^ qui réunit ces parties : tels sont les procédés à l'aide desquels nous parvenons à un principe général.

Si nous comparons maintenant i^ les primitifs/ 2*^ les méthodes 9 nous verrons :

Que les primitifs sont semblables , en ce qu^ils sont individuels et déterminés ; qu'ils diffèrent d'abord y en ce que l'un est le fondement logique de la connaissance qu'il précède , tandis que l'autre précède la connaissance sans l'engendrer ( la certitude du principe général repose sur celle des faits individuels dont il est la somme : la certitude du principe nécessaire ne doit rien au fait individuel qui apparaît, avant lui , à la conscience); qu'ils diffèrent

4lO SUR LÀ MÉTAPHYSIQUE DE LA GEOMETRIE.

ensuite y en ce que le primitif des connaissances né* cessaires n'est autre chose quun fait individudi , tandis que le primitif des connaissances contingentes doit se composer de plusieurs faits ; n'y a*t-il qu'un seul fait ? point de comparaison possible ; et y sans comparaispn , point de principe général.

Si nous comparons les méthodes , nous verrons qu'elles diffèrent, i* en ce que celle qui nous procure la connaissance nécessaire consiste dans une simple séparation j tandis que celle à laquelle nous devons la connaissance contingente embrasse trois opérations , savoir : la comparaison , l'abstraction et la généralisation; a^ en ce que la première n'est pas volontaire ) tandis que la deuxième est volontaire. Que le fait individuel double ( primitif du principe nécessaire) apparaisse à ma conscience, je ne suis pas libre de faire ou de ne pas faire abstraction de son individualité ; si j'ai les notions de divers faits individuels, rien ne me force de les comparer, d'abstraire et de réunir leurs parties semblables ; toutes ces choses dépendent de ma volonté; je puis les faire ou non , selon qu'il me plaît.