Quand on veut pouvoir prendre au compas, avec preçi

sion , de très petites fractions de l’uni te', on se sert d’une échelle de transversales ; nous renvoyons , pour cette théorie , aux traités de Géométrie. La figure 3 est une échelle de dixmes y l’unité principale est extrêmement petite , car elle est contenue 100 fois dans chacune des divisions verticales portées sur la longueur, et 10 fois sur chaque division en largeur : les obliques permettent d’apprécier ces unités, et voici comment. Si, par exemple, l’une des pointes du compas est sur la ligne horizontale notée 3oo , et l’autre sur l’oblique n® 80 , la distance étant d’ailleurs prise sur la verticale n° 4 (car il faut toujours que les deux pointes du compas portent sur une même ligne verticale), la longueur mesurée contiendra 384 imités : elle sera de 384 mètres , toises ou lieues , selon l’unité métrique principale qu’on aura adoptée. ,

L’échelle de dixmes est commode pour le système décimal des nouvelles mesures ; mais on établirait de mèqie les subdivisions d’après d’autres bases que 10. ( Voyez mon Cours de Mathématiques pures , t. I, p. 254, et l’art. Échelle 4u Dictionnaire île Technologie.)

4- Rapporteur. Cet instrument , représenté fig. 5 y 6 et 8, est destiné à mesurer les angles tracés sur le papier, Ou à construire ceux dont on a la graduation. C’est un demi-cercle en cuivre ou en corne, dont le limbe est divisé en degrés de o® à 180® , et même en demi-degrés : le numérotage procède , tant dans un sens qu’en sens contraire; et même on marque aussi, sur une demi -circonférence concentrique, les arcs de 180 à 36o degrés , afin d’évaluer ceux qui dépassent 180®. {Voy. fig. 5.) 1

Pour mesurer un angle tracé sur le papier, on applique le diamètre du rapporteur sur l’un des côtés AC (fig. 7) et le sommet C de l’angle au centre; l’autre côté CK

TOPOGRAPHIE

coupe la demi-circonférence en un point K , où on lit la graduation » elle est ici dé 54°-.' i> > - l

Si l’on veut faire un angle LOK ( fig. 6) d’un nombre de degre's donné , par exemple , de 36°, placez le rapporteur de manière à faire tomber le rayon du 36* degré sur la droite IK qui doit être l’un des côtés de l’angle, et à faire passer le bord 0 b par le point E, où l’on veut que l’autre côté se dirige : la droite Lp fera l’angle LOK de 36°, puisqu’elle est, par la construction du rapporteur, parallèle au diamètre ACo.

Comme la vue ne permet guère d'estimer sur le limbe que des quarts de degré , cette tonstruction est peu exacte. On a imaginé de faire des rapporteurs qui ont un e alidade mobileCD (fig. 8) , traînant avec elle un vernier D propre à donner les minutes.'^/^oj". n° q , l’usage du vernier et sa construction.) lie centre C du demi-cercle est au milieu d’un trou à jour, où il est marqué par deux soies qui se croisent. En construisant l’instrument, on a soin que le bord ID de l’alidade soit exactement aligné sur ce centre dans toutes les positions.

jAu reste , il est encore plus exact de se servir des cordes des arcs. La figure 4 est ùne échelle de cordes: on trace d’abord uri arc de cercle AK (fig. 7) avec un rayon égal à la corde' de 6o®, qui, comme on sait, est le côté deriiexagone inscrit : puis, prenant sur l’échelle (fig. 4) une ouverture de compas égale à là corde AK de l’arc dont on donne la graduation , par exemple, celle de 54®, on porte sur cet arc l'ouverture AK dont il *’agit. Ces cordes sont prises , avec le compas, sur l'échelle , depuis l’origine zéro jusqu’aux n°* 6o et 54- Les rayons CA, CK , menés aux extrémités de l’arc ainsi déterminé , font l’angle demandé C. Pour ne pas donner à la figure 7 de trop grandes dimensions , les cordes ont été prises sur une plus petite échelle que la figure 4 ; ce sont les longueurs prises sur cette même échelle réduites au cinquième.

Pour que Cette construction ait mie grande précision, au lieu de prendre la longueur de la corde sur la figure 4 > il faudra d’abord obtenir cette longueur en. parties du rayon ; ainsi on

LEVÉ DES PLANS

la calculera par l’équation n° 35, ou plutôt, on en prendra la Valeur numérique dans une table de cordes {voyez mon Cours de Math, et ma Goniométrie) / on prendra ensuite , avec un compas , sur une échelle de dixmes (fig. 3) une ouverture qui sera la longueur de la corde à porter sur l’arc en AK (fig. y). Ainsi la corde de 54° est 9080, le rayon étant 10000 t avec un rayon CA (fig. 7) de 10000 parties d’une échelle quelconque, on décrira l’arc AK , sur lequel on portera la corde AK de 9080 parties de l’échellê, etc.

5. Jalons. Ce sont des bâtons bien droits , dont up bout a une pointe de fer et qu’on fiche verticalement en terre. Ce si gnal|est plus facile à apercevoir de loin, lorsqu’on y a fixé une petite planchette blanche appelée voyant , ou une feuille de papier. On plante les jalons aux divers points de la campagne qu’on veut prendre pour signaux, ou pour stations successives. On s’en sert aussi pour marquer une direction rectiligne, en se plaçant à l’une des extrémités , dirigeant un rayon visuel sur l’autre , et faisant planter par un aide les intermédiaires.

6. Chaîne. On mesure les petites distances avec une règle métrique divisée; pour les grandes distances, on se sert de la chaîne d’arpenteur. Cette chaîne est formée de chaînons ou tiges en gros fil de fer, dont chaque bout est courbé en boucle, et qui sont réunis deux à deux par un anneau. Ces chaînons ont tous a décimètres de long , entre les centres de deux anneaux consécutifs ; il y a 5o chaînons , en sorte que la chaîne a un décamètre de longueur {*). Les anneaux sont eu fer, excepté ceux qui sont de mètre en mètre, qu’on fait en cuivre. Chaque bout de la chaîne aune poignée qui fait partie de sa longueur totale. {Voy. fig. 1.) L’anneau du milieu est un peu plus fort que les autres.

(*) On donne à 1a chaîne 5 millimètre» de plus que ta longueur de iom, pour compenser l’cpaisseur de la fiche et la perte qu’on fait par le defaut de tension de la chaîne.

TOPwGIlAPHlï.

Comme l'effort qu’on exerce perpétuellement sur la chaîne pour la tendre doit eiltin l’allonger, il faut souvent la soumettre à une vérification attentive. Aussi , dans les grandes opérations cadastrales, l’ingénieur a-t-il soin , avant de commencer son travail , de s’assurer que sa chaîne a exactement 10 mètres (et 5 mill.) de long; ensuite il marque cette longueur sur une muraille, et présente chaque jour sa chaîne à cet étalon pour reconnaître si elle a varié.

Pour mesurer une distance, on commence par la jalonner afin d’en suivre la direction rectiligne dans l’opération. Partant du premier jalon , l’arpenteur tient sa poignée fixée sur le sol , au point a de départ de la distahee qu’il veut mesurer, et son aide, ou porte-chaîne, marche en avant dans l’alignement; il tend la chaîne. contre terre, eu évitant les tortillemens, les pierres, les touffes d’herbe, et tout ce qui dérangerait la direction rectiligne. L’aide plante alors en terre, à l’extrémité d, une fiche, ou petit piquet de fer, qu’il entre dans sa poignée , et qu’il laisse en place. L’arpenteur et l’aide procèdent en avant, en traînant la chaîne, et l’arpenteur vient appliquer sa poignée sur cette première fiche, qu’il prend pour point d’arrêt, pendant que l’aide tend la chaîne et plante une seconde fiche, et ainsi de suite. L’arpeutcur enlève chaque fois le piquet etle conserve ; autant il a de ccs fiches en main à la fin de l’opération , autant de décamètres sont contenus dans la distance totale. En comptant les chaînons ab , bc... qui sont tendus depuis la dernière fiche jusqu’au jalou terminal, on a les fractions de décamètre. Si la distance a plus de 100 mètres, quand l’arpenteur a rainasse les dix fiches, il les rend à son aide, et marque sur le papier ce qu’il appelle une portée, dont la valeur est de 100 mètres, et ainsi de suite.

Quand le terrain est en pente , ou qu’il présente des acci— dens, on tient la chaîne horizontale en l’élevant au-dessus du sol ; car les mesures qu’on porte sur le plan doivent toujours être prises parallèlement à l’horizon. Mais comme la chaîne se courbe sous son poids , ce procédé n’est pas exact ; il est donc

LEVÉ Otti PUUIS. <7

mieux de calculer la projection après avoir mesuré la longueur de là pente et 6on inclinaison. ( Voj . n° 45.)

7. Alidades , pinnulet. Les iustrumens de topographie sont pourvus d’un appareil spécial pour viser les signaux d’observation ; la forme varie selon la nature de l’instrument ; mais en décrivant celui qui sert aux levés à la planchette , on comprendra aisément tous les autres.

L’alidade est une règle mobile qu’on dirige vers les objets dont on veut déterminer la position relative, en les prenant pour points de mire. Cette règle (fig. 10) porte à ses deux extrémités des lames de cuivre AB, CD perpendiculaires à la règle sur laquelle ces lames sont articulées à charnière , afin de pouvoir se rabattre et se coucher sur elle quand on n’en fait pas usage , et d’être commodément transportables dans une boite. On nomme ces lames pinnules. Â l’une est un petit trou, ou une fente verticale très étroite A,D, contre lequel on applique l’oeil ; à l’autre , et vis-à-vis , est une fenêtre à jour B , C *

dans le milieu de laquelle est tendue une soie, ou un fil, ou un crin , perpendiculaire à la règle ; le plan passant par ce fil et par le trou opposé , rase le bord ID de la règle. Comme il est utile de prendre indifféremment l’une ou l’autre pinnule pour place de visée , chacune porte un trou et une fenêtre avec sa soie , l’une au-dessus de l’autre , et en regard réciproque avec ceux de l’autre pinnule. '

Pour viser un signal , on tourne l’alidade dans la direction de cet objet , de manière que le rayon visuel qui part du trou de la pinnule antérieure rase le fil de l’autre , et que ce fil paraisse coïncider avec l’objet. Cet alignement détermine un plan de collimation perpendiculaire au plan de la règle , et qui doit exactement en raser le bord. On vérifie si cette condition est remplie en pointant un objet, et marquant sur un papier une ligne le long du bord de la règle ; puis retournant l’alidade bout pour bout, et visant le même objet; on voit si le nouveau plan de collimation donné par cet alignement coïncide avec le premier. Sans cela, fl y aurait une erreur, et il faudrait déplacer le fil pour la faire disparaître.

TOPOGRAPHIE

'• ■ Les instrumens qui ont des arcs de cercle destinés à mesurer les angles, out de Semblables alidades; mais elles sont assujetties à un mouyement de rotation autour du centre. {Voy. ciaprès et fig. aa.)

8. Quand les signaux sont bors de la portée de la vue, au lieu de simples pinnules, on se sert d’une lunette (fig. 18) formée de deux verres lenticulaires ; l’un tourné vers les objets , est Y objectif , l’autre où l’œil doit être appliqué est l’oculaire. Ces deux vertes sont écartés l’un de l’autre jusqu’à ce que leurs foyers respectifs aboutissent presqu’au même point, dans l’intérieur du tube. En ce fojer commun est placé un Réticule; c’est u» diaphragme à jour où deux fils sont tendus en croix. Çet appareil doit être mobile le long du tube de la lunette, afin de pouvoir être exactement placé au foyer de l’objectif. {Voy. ci-après, n° io3.)

Pour pointer un objet, on y dirige la lunette, et le signal doit apparaître juste à la croisée des fils, ou en coïncidence avec l’un d’eux. Cette lunette renverse les images, ce qui ne présente aucun inconvénient pour l’usage qu’on en fait. Il est bon aussi que la lunette soit montée sur uu axe I qui lui permette un mouvement de bascule au-dessus de l’alidade.

g. Vernier, Nonius. Pour lire les fractions de division d’un instrument coupé en parties égales, onse sert d’une petite lame de métal , dout le bout arase les divisions , et qui est ellemême coupée en parties égales. Si n — i parties principales sont divisées sur cette lame en n parties égales , cet appareil servira à fractionner les premières en n parties de leur longueur. Cette lame , ainsi divisée et mobile le long des divisions de cet instrument, est ce qu’on appelle un vemier ou un nonius, des noms de deux géomètres, dont le premier est l’inventeur de l’appareil, et dont l’autre en a répandu l’usage. Voici la théorie du vemier.

SoitHAI(Gg. 11) une règle fixe divisée en parties égales,... 8, g, i o ... ; la réglette CD, mobile parallèlement et le long de la première, est juste de la longueur, par exemple, de 5 de ces

LEVÉ DES PI. ANS. 9

parties, et on l’a couple en 6 divisions égalés et numérotées. Imaginons que l’extrémité C coïncidé avec la ioe division. En prenant pour unité l’une des divisions de AB , et comparant les traits de AB et de CD , on voit que le n“ i de la réglette est au-dessus du n° 1 1 , de ~ d’unité ; le »° s est plus haut que 12 de J d’unité ; le n° 3 est plus haut que 1 3 de f ; le n° 4 est plus élevé que i4 de | ; le n° 5 l’est plus que i5 de enfin le n° 6 l’est plus que 16 de § ou.i , c’est-à-dire que le n* 6 correspond àla 1 5e division exacte de la règle.

' Cela posé, que la réglette CD, qui est le vernier, soit déplacée et portée eu C^D', il sera facile d’évaluer la fraction de division qui répond à C', c’est-à-dire la longueur i3 *. En effet, cherchez sur le vernier et la règle quels sont les deux traits qui se trouvent en exacte coïncidence, et vous trouvez ici que c’est le n° 5 qui répond à H ; d’où vous concluez que la longueur 1 3ï est les | d’une division de la règle HA , en sorte que le point C' répond à i3 unités et | d’unité. En effet, le n°4 estau-dessousde 1 7 de | ; le n° 3 au-dessous de 1 6 de |, été.; enfin C' est au-dessous de 1 3 de A. Sans prendre la peine de compter une à une ces parties , le chiffre 5 de la division en coïncidence, donne de suite la fraction §. Les unités sont ici fractionnées en sixièmes , parce que 5 de ces unités ont été partagées en 6 sur le vernier. La fig. 1 2 est établie sur le système décimal; la longueur de 9 parties de l’échelle est coupée en 10 sur le vernier AB ; d’après la disposition qui f est représentée, le traiti, appelé ligne de foi , répond à 57 unités et une fraction qu’on évalue en remarquant que le trait n° 6 est le seul qui coïncide avec les traits de l’échelle , ce qui donne 7^ : ainsi le trait A répond à 56,6. 4,

Le même raisonnement s’applique au cas où les divisions •égales sont tracées sur une circonférence (fig. 9). Supposons que l’alidade AC, mobile autour du centre C de l’arc gradué AD, porte le vernier IF fixé à l'alidade. Ce veniier FI est terminé par un arc concentrique , qui arase les divisions de l’arc AD dans toutes les positions de l’alidade. Un arc de g degrés du limbe est porté de I en F, et divisé en 10 parties égales,

TOPOGRAPHIE

et le vernier donne des dixièmes de degré. En sorte que si l’alidade a d’abord été fixée de manière que le trait F, appelé ' ligne de foi , soit sur le zéro du limbe , les divisions du ver— nier, comparées à celles de l’arc gradné, seront au-dessus de leurs correspondantes , successivement de -i, etc.

L’alidade étant tournée dans une autre position , telle que CB, on voit que la ligne de foi F répond à 56 degrés et une fraction ; et l’on évalue cette fraction en dixièmes , en considérant que le 6e trait du vernier est juste sur l’un de ceux du limbe ; ce qui donne 56° ,6 pour la grandeur de l’angle ACB.

Dans la plupart des instrumens qui servent à mesurer les angles, le limbe est divisé en 36o degrés, et le vernier donne la minute : on fait l’arc du vernier de 5g degrés , qu’on divise en 6o parties égales, ce qui donne alors des soixantièmes de degré , c’est-à-dire des minutes. Si le limbe est divisé en demidegrés, on prend l’arc du vernier de 2g degrés qu’on divise en 3o , ce qui donne des trentièmes de demi-degré , c'est-àdire encore des minutes.

Mais lorsque la construction soignée de l’instrument et ses dimensions permettent d’en obtenir une plusgraude précision, on peut diviser le limbe et le vernier en parties plus serrées, et y lire les fractions de minutes. Par exemple , pour que les divisions puissent être estimées de 5" en 5', on coupera chaque degré du limbe en 12 parties égales, dont chacune occupera unafe de 5 minutes; puis preuant sur le vernier un arc de 5g de ces parties, on divisera cet arc eu 60; alors les fractions - Tp seront de ^ de 5 minutes, ou de 5 secondes. Les cercles répétiteurs et théodolites août souvent divisés de cette manière n°* g2 et io5); mais les instrumens d’arpentage ne donnent pas une aussi grande précision , parce qu’on n’y trouverait aucune utilité, les observations n’étant pas assez soignées pour cela.

Les divisions très serrées du limbe cl du vernier ne peuvent être bien distinctes que par le secours d’une loupe , et l’art de la construction des instrumens est poussé à un tel degré de perfection, qu’on peut compter sur l’égalité parfaite des di-

LEVi DES PLANS. II.

visions, parce qu’on les trace par le secours de machines ingénieuses. Comme il serait difficile de compter le nombre des traits du vernier depuis la ligne de foi à son extrémité, jusqu’au trait de coïncidence , pour évaluer la fraction , on numérote les divisions du vernier, et il suffit de lire le chiffre qui affecte ce dernier trait; ce chiffre exprime le nombre de minutes ou de secondes, etc., qu’il faut ajouter au chiffre des parties entières indiquées par la ligne de foi sur le limbe. Un instrument bien centré et bien divisé donne des valeurs angulaires dont l’exactitude étoane.

Comme les divisions sont en général 1res serrées , la différence de largeur de celles du vernier et du limbe se perd souvent dans la fine épaisseur des traits de séparation , et l’on trouve que la coïncidence paraît exacte sur deux traits consécutifs. On s’arrête alors sur la moyenne entre ces deux indications.

io. Vis de rappel. On donne ce nom à un appareil destiné â imprimer des mouveinens très lents à une pièce mobile le long d'une pièce fixe. Par exemple , lorsqu’on vent pointer un signal avec la lunette d’un graphomètre , on la dirige d’abord à peu près vers l’objet ; puis il reste à mettre ensuite cet objet en exacte coïncidence avec le fil du réticule , en donnant un petit mouvement à la lunette. C’est ce qu’on produit par une vis de rappel.

La difficulté que présente ce problème consiste à laisser la lunette indépendante' de l’appareil, dans les grands uiouve-r mens, et à ne le mettre en usage que pour les petits , en sorte que la lunette soit libre dans un cas et arrêtée dans l’autre, Voici comment cet ajustement est combiné.

AB (fig. 16) est le limbe d’un graphomètre , CD le brais ou rayon mobile qui porte la lunette, D un curseur entraîné par le bras CD avec la vis de rappel V tournant dans un canon b , Dans une fenêtre ab du curseur est logée une pièce susceptible d’y glisser d’un certain espace, et qui, solidaire avec le bras CD et la lunette , porte un écrou i dans lequel la vis V

Digitiz

TOPOGRAPHIE

fl

mord : en sorte qu’en tournant la vis, La pièce ab s’approche ou s’éloigne de b, et imprime un petit mpuveinent au bras et à la lunette qu’il porte. Sous l’appareil est une agrafe formée de deux mâchoires, et armée d’une vis de pression K; ces mâchoires lâchent ou saisissent lé limbe selon qu’on tourne la vis K dans un sens ou dans l’autre.

Voici l'effet que produit ce mécanisme: quand la vis dépréssion K est lâchée, le bras CD emporte le système CD et la lunette qu’on peut pointer à peu près sur le signal. On serre alors la vis K qui attache le curseur D et la vis \bau limbe, et les rend solidaires. Qu’on fasse alors tourner la vis de rappel V dans son canon b. Cette vis, mordant dans l'écrou », fera avancer ou reculer la pièce ab dans la petite fenêtre où elle est logée ; et comme cette pièce est fixée au bras qui porte la lunette , celle-ci prendra une marche très lente , et. permettra d’amener le fil du réticule à coïncider avec le signal. En effet , on sait qu’un tour entier de la vis ne fait marcher l’écrou dans le sens de l’axe que d’une longueur égale au pas de la vis. Si ce pas est d’un dcini-iiiillimèire, en faisant tourner la tête de la vis de 3o degrés ( i a* de la circonférence ), l'écrou »' et la pièce ab ne marcheront donc que d’un vingt-quatrième de millimètre.

La disposition des vis de rappel varie avec la forme de l’instrument; mais c’est toujours le principe précédent qui en détermine la construction. Le plus souvent le vernier, au lieu d’être placé dans une fenêtre au bout du bras mobile, comme dans la figure 16, est fixé latéralement comine fig. 9, ce qui est tout-à-fait arbitraire, puisqu’on ne consulte le vernier que pour estimer des fractions de degrés.

Pour lire sur le limbe et le vernier la graduation indiquée parles deux traits en coïncidence, on s’aide d’une loupe M qu’on tient à la main , ou qui est attachée au bras, de manière qu’en lournaut sur l’axe 1 , on puisse l’amener au-dessus du vernier. Une articulation en I permet de porter la loupe à la distance du limbe exigée par la force de vision du lecteur.

Le canon b et l’écrou » sont montés sur pivots pour que l’axe de la vis puisse rester perpendiculaire au bras Cl) , et

LEVÉ DES PLANS. l3

qu’un léger mouvement de torsion permette à cette vis de marcher librement.

1 1 . Supports. Le pied qui porte les instrumens d’arpentage est à trois branches (fig. 1 5), qu’on peut écarter à volonté pour obéir aux plis du terrain. Ces pieds sont réunis en haut, chacun par une vis de pression , avec une tige verticale en tronc de pyramide , terminée par un cylindreou axe qui reçoit la douille de l’instrument. Cette douille est un cylindre creux où entre cet axe, et qui peut y pirouetter, à moins qu’on n’arrête la rotation avec une autre vis de pression. Chaque pied a une face plate suivant laquelle il s’applique contre upe face de la tige triangulaire commune , et peut y tourner sur la vis de pression qui l’y fixe. En serrant fortement ces trois vis, après que les pieds ont été convenablement écartés , l’ensemble est assez stable et solide. Le bout inférieur des pieds est muni d’une pointe en fer qui entre en terre , et rend le système immobile ; on observe aisément les signaux avec l’instrument ainsi établi sur son pied. Lorsqu’on veut transporter l’instrument, les trois branches du pied peuvent être rapprochées et réunies en un faisceau que maintient une frette mobile.

Comme ce pied est léger, les branches en sont faibles, et cèdent au mouvement de torsion qu’on est obligé de donner à l’instrument. On évite cet inconvénient en faisant chaque branche de deux barres de bois, réunies en Y très allongé ; les deux bouts sont entrés dans un sabot de cuivre qui porte la pointe de fer, et l’ouverture «l’en haut serre , à l’aide d’une vis de pression, une oreille quadrangulaàre qu’on a ménagée à la partie supérieure du pied (voy. fig. i4). < ■ , r y

1 2. Genou. 11 est nécessaire de pouvoir tourner le limbe de . l’instrument, pôur lui donner les positions horizontale, verticale ou oblique, selon la nature de l’observation qu’on veut faire. Le genou est un mode d’articulation de l’instrument avec le pied , qui permet ou défend ces mouvemens à volonté et selon les «as. Il en est de plusieurs espèces.

L t' genou à coquilles du graphotaètre et de la boussole'

TOPOGRAPHIE

est composé d’une courte tige i fixée à l'instrument r et terminée par une boule de cuivre O (fig. i3). Le cylindre de cuivre LN qui porte en bas la douille où entre le haut du pied P, est terminé à la partie supérieure par deux coquilles EE; ce sont deux pièces distinctes , concaves en cuillère , dont l’une fait corps avec le cylindre LN , et l’autre, opposée par sa concavité, est libre, et peut être rapprochée et serrée contre la première , à l’aide d’une vis de pression M. C’est entre ces coquilles , évidées latéralement, que la boule O est entrée et saisie comme entre deux mâchoires. En desserrant la vis de pression M , on rend à ' la boule sa mobilité en tout sens, ce qui permet de faire prendre au limbe toutes les positions. Quand on a dirigé le limbe à peu près comme on veut, on serre légèrement la vis M ; le frottement suffit pour retenir la boule , et cependant, lui permet encore de rouler un peu dans les coquilles, pour achever de mettre l’instrument en situation : après quoi

on serre fortement la vis M , pour que le tout soit solidaire.

>1 - .jpuwx C*tWC|«qpMr feurî-J» UJBXO.I tic -JU •

i3. Le genou de Cugnot ( flg. 19) est composé d’une noix N, formée de ^ux cylindres qui sont un peu plus élevés l’un que l’autre , et dont les axes sont à angle droit. Des boulons B’B' et B traversent dans la direction de ces axes-, et ont l’une des extrémités taraudée , pour donner prise à un écrou à oreilles. Lorsque cette noix est engagée ehtre les languettes LL qui portent la table PP de -l'instrument, ou peut en desserrant les écrous, faire mouvoir cette tabie dans deux sens perpendiculaires, et par conséquent la disposer horizontalement. En serrant les écrous, on arrête le mouvement , et la table PP teste fixe dans la position qu’on lui a donnée. Les raouvemens qu’on fait prendre à la table sont précisément de même espèce que ceux de la suspens sionde Cardan, qui permet de conserver la position horizontale aux boussoles et chronomètres marins, malgré les osoUlatious du navire. Le genou de Cugnot est surtout en usage pour l.’ins* trument appelé planchette , dont noua parierons pins tard.

£7 LEVÉ DES PLANS. l5

14. Le genou des niveaux est une simple charnière qui permet au tube d’un niveau à bulle d’air (n° $1) de prendre un mouvement de bascule , pour amener la bulle au milieu du tube : ce n’est, à proprement parler, qu’une noix ayant un seul des deux cylindres du genou qu’on vient de décrire; Comme les inouvemens sont ici très brusques , il ne serait pas facile défaire rester la bulle au milieu du tube, sans le secours d’une vis de rappel m (fig. 38) qui ne fait marcher que par degrés insensibles.

iS: Équerre d’arpenteur. C’est une espèce de pomme de canne (fig. 17) coupée par deux fentes rectangulaires verticales ACDG, EFOI qui servent de piunules ; une partie inférieure A estévidée en forme de fenêtre, et l’on applique l’œil à la fente opposée , en dirigeant vers un signal. A la base est une douille B qui reçoit à frottement le haut d’un bâton , dont l’autre bout porte une pointe de fer. On plante cette canne verticalement en terre (fig. 1 7 bis) , et l’on fait pirouetter l’équerre sur sa douille jusqu’à ce qu’on puisse aligner quelque signal à distance. En plaçant l’œil à l’autre fente, sans dérauger l’instrument, on a une direction perpendiculaire à la première, et l’on y peut faire planter un jalon. Dans les sols pierreux, on remplace le bâton de l’équerre par un pied à trois branches (n° 11).

L’équerre d’arpenteur sert à mener sur le terrain des lignes à angle droit ; on peut même s’en servir pour lever le plan de pièces de terre , et en mesurer l’étendue superficielle. Voici comment on opère.

Supposons qu’on veuille lever le plan d’un champ semblable à la fig. 20; on se portera successivement aux divers points de la droite AB, et l’on cherchera en quels lieux D,F,H, il faut planter l'équerre pour que , l’une des pinnules s’alignant selon AB, la direction de l’autre aille aboutir aux divers sommets ou coudes C;E,G, qui limitent le contour du champ. Bien entendu que si ce contour es tlerminé par une ligne courbe (fig. 21), on concevra cette ligne coupée en parties qu’on puisse regarder comme de petites droites. On fait

TOPOGRAPHIE

planter nn jalon h chaque station D,F,H (fig. so) et aussi à chaque sommet C, £, G, et l’on mesure les longueurs .AD ,DF, ,FH, HB, ainsi que celles des perpendiculaires CD, EF, GH. On a alors tout ce qu’il faut pour figurer le contour, .et évaluer l’aire.

En effet , après avoir tracé sur le papier une droite indéfinie ab, on portera, avec le compas , des parties ad,df. . . de l’échelle , qui représentent celles qu’on a mesurées sur AB ; puis en chaque point de division , on élèvera des perpendiculaires de Je, hg , qu’on prepdra d’autant de parties de l’échelle que les longueurs CD, EF, GH contiennent d’unités métriques. Il ne restera qu’à joindre les extrémités de ces perpendiculaires par des droites pour former le plan demandé cacbjg. Il est clair que ce plan qst réduit à l’horizon quand les lignes mesurées sont horizontales. On en conclut ensuite si l’on veut, les longueurs des côtés et l’ouverture des angles du polygone, à l'aide de l’échelle et du rapporteur.

Gelte opération très simple est à la portée des plus faibles intelligences ; aussi l’équerre est-elle d’un usage continuel : et cela d’autant plus qu’on obtient, sur le champ, l'étendue superficielle , en calculant à part chacun des trapèzes et triangles dont ellé est composée, et dont on connaît les bases et les hauteurs.

Lorsque la figure du champ n'est pas limitée par un côté rectiligne, on prend pour bâte de départ une ligne droite qui le traverse et qu’on, jalonne (fig. ai); on lève à l’équerre les plans de chaque côte. On peut ainsi lever les. sinuosités d’un sentier, d’un ruisseau, les contours d’une enceinte fermée , etc, Mais les accidens du terrein, la difficulté de mesurer, les distances horizontalement, les obstacles que .rencontre la vue ou que les localités présentent, enfin la lenteur des opérations, obligent souvent à recourir à un nuire instrument. ...

On donne le plus souvent .à .cette pomme de canne la forme d’un octogone régulier, fendu selon quatre diamètres

LE »i DES PLANS. 17

respectivement inclinés à 45 degrés , parce que ces angles peuvent être employés comme ceux de 90°, et de la même manière. -

Pour vérifier si les pinnules de l’équerre sont exactement fendues sous des angles de 90°, ou de 45°, on vise par. ces pinnules, et l’on fait planter, à distance, deux jalons dans leurs directions ; puis faisant pirouetter l’instrument sur sa douille , on amène à droite la fente qui était du côté gauche : il faut alors que la pinnule qui suit coïncide rigoureusement avec le jalon de droite, quand la première tend juste au jalon de gauche.

16. Le pantom'elre de M. Fouquier est une équerre perfectionnée (fig. 23); il est cylindrique, coupé en deux horizontalement : la partie inférieure ABCD est fixée en haut du pied , par sa douille K et sa vis de pression P ; la supérieure EFGH peut tourner sur un axe concentrique , de manière à présenter successivement sur les différons points du bord inférieur CD , une ligne de foi tracée sur le bord EF. La circonférence fixe CD est divisée en degrés, de sorte qu’on peut lire en n l’arc dont on a fait tourner le cylindre supérieur : il y a même un vernier m pour trouver les fractions de degré. On a ménagé sur le cylindre fixe AD une fente a, et à sa partie diamétralement opposée, une fenêtre b où une soie verticale est tendue. Le cylindre supérieur porte de même- une fente d et une fenêtre c avec sa soie. On a soin que ces pinnules répondent juste l’une au trait fixe , l’autre au zéro de la graduation , condition dont il est facile de s’assurer en mettant ces deux points en coïncidence et visant à un signal.

L’usage du pantomètre est facile à comprendre. En faisant tourner la totalité de l’instrument sur sa douille 4 et le cylindre supérieur sur son axe , ou ajuste par les pinnules deux signaux situés au loin , de manière qu’on les voie coïncider avec les fils, l’un par les pinnules fixes, l’autre par celles qui sont mobiles. On lit ensuite sur le cercle CD et

J g ToPOGRAl’HIE. •

le vernier m la valeur angulaire des deux rayons visuels dirigés aux signaux. C’est donc un moyen de mesurer des angles , et nous verrons bientôt , en traitant du graphomètre, l’usage qu’on en fait pour lever le plan.

Le diamètre de l’instrument n’a guère plus de 4 centimètres et l’on n’y marque les degrés que de a en 2. Le verniey donne ensuite des quarts de degré , précision suffisante pour l’arpentage vulgaire. En faisant le diamètre double , on pourrait mesurer les angles à 3 minutes près.

Le haut G11 porte ordinairement en-dessus une petite boussole, dont on se sert, comme il sera expliqué, pour lever les objets que des obstacles interposés empêchent d’apercevoir, les routes sinueuses des bois , etc. Enfin , on y fixe un petit niveau à bulle d’air pour que l’axe soit planté à peu près verticalement.

,7. Graphomètre. Cet instrument (fig. 2a) est destiné à mesurer les angles que forment des droites dirigées dans l’espace d’une station à deux signaux éloignés. C’est un rapporteur (n° 4) pourvu d’alidades pour pointer les objets. Il est formé d’un limbe demi circulaire et gradué , ayant depuis 4 jusqu'à 10 pouces et plus de diamètre, monté sur un genou, qui a été décrit n" 12, afin de pouvoir en diriger le plan à volonté et en tout sens.

Perpendiculairement au limbe et vers son bord sont fixées deux pinnules p,p, dont lei crin qui partage en deux la fenêtre, et le trou ou la fente qui perce son plan, sont diamétralement opposés à un appareil semblable sur l’autre pinnule ; le plan perpendiculaire au limbe ainsi déterminé , passe par le diamètre noté zéro et 1800. Une autre alidade Lf est sur une règle mobile autour du centre O, et ses pinnules sont un peu moins écartées du centre que les premières. Cette règle est fixée à un axe de rotation centrale, et dans toutes ses positions, rase le limbe en se dirigeant selon tous les rayons du cercle. Lorsqu'elle est amenée selon le diamètre principal, les quatre fils des pinnules doivent pa-

LEVÉ DES PLfcNS. iy

raitre coïncider quand on applique l’œil à uue extrémité. Cette alidade traîne avec elle un vernier V, dont les divisions, en rasant celles du limbe , permettent de lire les fractions ou minutes.

Il importe i° que le centre de l’axe de rotation soit le centre de l’arc divisé ; 2° que la ligne de foi des pinnules fixes soit dirigée sur le diamètre o° et 180 ; 3°. que la ligne de foi des pinnules mobiles passe aussi par le centre. Lorsque ces conditions sont remplies , voici comment on mesurera un angle sur le terrain. On fera tourner tout l’instrument sur sa douille et sur sou genou , jusqu’à ce que le rayon noté zéro se dirige à un signal ; puis fixant tout dans cette position, on fera tourner l’alidade mobile, jusqu’à ce que sa ligne de foi se porte vers un autre signal : ces directions s’obtiennent en mirant les objets par la fente d’une des pinnules et faisant coïncider ; en apparence , les fils de l’autre pinnule avec les signaux , tet comme il est difficile de tourner l’alidade pour amener cette coïncidence , on ne la produit d’abord qu’à peu près , puis on l’achève avec une vis de rappel (n° 10).

Le genou est construit de sorte qu’on peut amener le limbe à être vertical, ce dont on s’assure avec un fil-à-plomb ; ou horizontal , ce qu’indiquent deux niveaux rectangles à bulle d’air n, n, logés dans le limbe même. Dans ce dernier cas, les objets visés étant élevés ou abaissés relativement au limbe , l’angle mesuré est celui que forment les deux rayons visuels qui vont aux objets , mais réduit à l’horizon (fig. 22) ; dans le premier cas , l’angle mesuré est vertical ; c’est la hauteur angulaire d’une sommité au-dessus d’une autre s et si le diamètre principal est horizontal , ce qu’indique un uiveau, l’angle est la hauteur d’un sommet au-dessus de l’horizon , et l’on n’a besoin de faire qu’un seul pointé.

On arme encore le graphoinètre d’une petite boussole dont le diamètre nord et sud, ou la division zéro de son cercle gradué, est parallèle au diamètre du limbe. Cette pièce sert à orienter les plans, et à diriger les pinnules fixes vers des points invisibles , comme on le dira en traitant de la boussole.

TOPOGRAPHIE

Ces niveaux et cette boussole sont fixes de manière à ne pas gêner les mouvemens de l’alidade et du genou.

Il faut avoir soin , lorsqu’on a manoeuvre' l’alidade mobile, de viser de nouveau avec les pinnules qui sont fixes , pour s’assurer si l’on n’a pas dérangé l’instrument; parce qu’il arrive souvent qu'une légère torsion force à recommencer les pointés , pour rétablir la coïncidence des fils avec les deux signaux.

Comme les objets éloignés sont souvent difficiles à voir, on remplace les pinnules, surtout celles des grands grapho— mètres , par des lunettes armées d’un réticule à deux fils situé au foyer commun des verres objectifs et oculaires. L’un de ces fils est parallèle, et l’autre perpendiculaire au limbe (< t>oy . n° 8).

La lunette fixe est placée sous le limbe; l’autre est endessus ; le fil de chacune doit répondre à la ligne de foi et au zéro de la division. Pour faciliter les observations, chaque lunette est montée à charnière sur un pied perpendiculaire au plan du graphomètre, et peut basculer pour permettre de viser les objets qui sont un peu écartés de ce plan. Lorsqu’on veut vérifier si les axes des pinnules ou des lunettes sont bien établis , on vise un même objet éloigné, et l’on voit si les lignes de foi des alidades sont en coïncidence avec le zéro. Quand il n’en est pas ainsi , il y a une erreur de collimation dont on trouve ainsi la valeur; cette quantité est une correction constante qu’il faut faire à tous les angles observés , soit additive , soit soustractive , selon les cas. Mais on préfère alors déplacer les fils pour détruire cette erreur. Il est utile que les réticules puissent recevoir un petit mouvement à l’aide de vis latérales qui font glisser les fils ensemble, tant le long du tube pour les amener au foyer de l’objectif , que transversalement pour détruire l’erreur de collimation.

Ces lunettes renversent les objets, mais ce n’est pas un inconvénient pour l’usage auquel on les destine ( voj . n° io3>.

Pour reconnaître si l’instrument est bien centré et bien divisé, d’une station , on mesure l’angle formé par les lignes

LEVÉ DES PLANS

menées à deux signaux, en les comparant à un troisième signal : car cet angle est la somme ou la différence de deux angles qu’on peut mesurer. On change ensuite le troisième signal , «t l’ou doit obtenir la même valeur angulairei En mesurant les trois angles d’un triangle, la somme de ces angles doit former i8o°*

18. Le graphomètre sert à beaucoup d’opérations topographiques : mais pour nous borner au levé des plans, soient ABCDE . . . (fig. a4) différens objets situés dans une campagne dont on veut faire le plan ; on mesurera la longueur d’une, base horizontale AE, dont on choisira la position de sorte qu’elle soit la plus propre à l’opération : il sera bon , par. exemple , que des extrémités AL, on puisse voir lp plus grand nombre possible des points qu’on veut lever, qu’il n’y ait pas d'angle trop aigu, trop obtus, etc.

On stationnera en A , et l’on prendra les valeurs de tous les angles formés par la base AE , avec les ligneG menées aux autres points ; ces angles seront réduits à l’horizon , quand le plan du graphomètre aura été fixé horizontalement : on connaîtra donc les angles BAE, CAE, DAli, HAE, etc. Puis transportant l’instrument en E, on en fera autant, c’est-à-dire qu’on mesurera les angles DEA, CEA* BEA, FEA , etc. Ou inscrira ces valeurs sur un croquis où seront dessinés les objets dansl’ordre où on les voit, afin d’éviter les erreurs nées de la confusion.

De retour au cabinet, ou tirera sur le papier une droite ae d’autant de parties de l’échelle que AE contient d’unités métriques. Du point a on tirera, à l’aide du rapporteur ou autrement {voy. n° 4) , des droites indéfinies ab , ai t, ad, af,

faisant avec ae des angles respectivement égaux à ceux qu’on a observés eD A; puis du point e ou mènera des droites edf ec, eb, ef,,.. faisant avec ea fq? angles observés en E. Ces lignes se couperont deux à deux, aux points b , c, d., f. . . qui seront la représentation des signaux observés.

Il faut remarquer que l’on peut, avec un compas et à l’aide de l’échelle du plan , trouver les longueurs mélri-

TOPOGRAPHIE

ai

ques A.B, BC, CD, CE,... , qu’on n’a pas effectivement mesurées. De plus , si quelque objet était invisible de l’une des stations , ou de toutes deux , on pourrait en trouver la place sur le plan , en prenant pour base la distance maintenant connue entre deux stations d’où cet objet peut être aperçu ; par exemple le point I , qu’on voit de G et de F , sera placé en /'lorsqu’on aura mesuré les angles IGF, IFG , et qu’on aura reporté ces angles en igf, if g.

Le graphomètre sert, comme on voit, à trouver la distance entre des points inaccessibles Nous verrons bientôt qu’il peut aussi donner les hauteurs des signaux au-dessus de l’horizon. Au reste , ces longueurs se déterminent numériquement par des résolutions de triangles , problèmes qui dépendent de la Trigonométrie rectiligne , et dont nous traiterons plus tard ( n” 45).

La méthode <T intersection dont on vient de parler ménage beaucoup le temps et la peine ; mais elle a l’inconvénient d'employer souvent des angles trop aigus ou trop obtus ,-qul conduisent à un tracé défectueux ; on préfère ordinairement faire autant de stations qu’il y a de signaux , en contournant l’ensemble , et mesurant chaque angle et chaque distance. La figure 29 donne un exemple de la méthode de cheminement comme elle sera exposée en traitant de la planchette (n° 26), nous Croyons inutile d’entrer ici dans des développemens plus étendus.

Le cercle répétiteur, le théodolite, dont nous parlerons bientôt, peuvent pareillement servir à mesurer les angles, comme lé graphomètre; mais la complication de ces instrumens , le temps qu’on passe à les dresser en place et à lair.e les observations , etc. , empêchent de les employer ; on les réservé pour des circonstances qui demandent une précision extrême, dont la topographie n’a pas besoin. Maison peut très bien user du sextant et du cercle de réflexion > dont nous parferons en traitant de la navigation ; ces instruméns sont très commodes pou# mesurer les angles , plus même encore que le graphomètre ; mais ils ne les réduisent pas à l'horizon-

LEVÉ DES PLANS

19. Boussole. C’est une boite (fig. 28) au centre de laquelle un pivot supporte une aiguille aimantée ns en acier. On sait que la propriété de cette aiguille est de prendre une direction constante dans chaque localité , direction qui n'est pas très éloignée du méridien nord et sud , et qu’on appelle méridien magnétique. Entrons à ce sujet dans quelques détails.

L’aiguille aimantée est une lame d’acier AB ( fig. 27 ) longue , mince, pointue aux deux bouts , qui a reçu la fa» culté magnétique, en la frottant avec un aimant , d'un bout à l’autre, en allant toujours dans le même sens. On adapte au milieu C de sa longueur , et vers son centre de gravité , une chape en laiton, ou mieux en agate : cette pièce est creusée en cône, et le sommet de ce cône reçoit la pointe d’un pivot très fin, sur laquelle elle peut se mouvoir , presque sans aucun frottement , et présenter ses deux bouts aux divers points de l’espace.

Si avant l’aimantation l’aiguille était horizontalement équilibrée sur son pivot, après, elle prend une position très inclinée à l’horizon ; mais en lestant d’un peu de cire la partie qui va vers le haut , on ramène l’aiguilk à ^horizontalité. Ainsi l’acte de l’aimantation force l’aiguille librement suspendue à prendre une direction déterminée qui est oblique à l’horizon et dans un plan voisin du méridien ; le lest ,lui ôte l’inclinaison, et lui laisse la faculté 'de se diriger horizontalement suivant une ligne qui , à Paris, va vers le nordouest, à 22* du point nord. H est vrai que cette direction change avec les temps et les lieux ; mais il nous suffit ici qu’elle reste constante pendant plusieurs jours dans chaque localité, ce qui arrive en effet. Le bout de l’aiguille qui va vers le nord , prend le nom de pôle boréal, l’autre extrémité est le pôle aiislral. On les marqué dés lettres N et S, ou seulement on bleuit au feu le pôle boréal JB, .pour le faire reconnaître.

Les actions qui déterminent la double direction de l’aiguille aimantée paraissent être la force d'attraction qu’exercent de grandes niasses de fer ’ contenues dans l’intérieur du globe terrestre , qui , par la propriété somme de l'aimant

a4 TOPOGRAPHIE.

d’attirer le fer , forcent l'aiguille à se placer dans la direction où cette puissance s’exerce.

20. Qu’on se représente donc une boîte plate et carrée ( fig. e8 ) contenant un cercle de cuivre argenté en forme d’anneau , et divisé en 36o degrés , et en demi-degrés. Au centre test un pivot d’acier trempé, perpendiculaire, et sur la pointe duquel une aiguille aiinautée ns tourne librement sur sa chape, de manière que les deux bouts arasent le limbe sans le toucher , et qu’on puisse lire aisément à quelles graduations les pointes répondent. La boîte est en bois ou en cuivre rouge ; le fer en est soigneusement écarté, et même. l’observateur ne doit porter sur soi ni clé , ni autres objets de ce inétal , qui feraient dévier l’aiguille de sa direction naturelle. Les assemblages de la boîte sont à tenons et mortaises en queue d’arondc , ou avec des vis en cuivre. Un verre , retenu dans une gorge par un cercle de cuivre en fil élastique , recouvre l’aiguille et le cercle pour les abriter du vent , et en est assez rapproché, sans les toucher, lorsque la boussole est horizontale, .pour qu’en la renversant l’aiguille n’échappe pas de son pivot.

Les aiguilles ont ordinairement six pouces de long ; les deux pointes en sont un peu relevées , pour que les oscillations aient plus de stabilité , sans cesser d’être extrêmement libres. Le pivot est perpendiculaire au limbe et au fond de la boîte ; il est exactement au centre du cercle gradué , ce qu’on reconnaît en ce qu’en changeant la position de la boite , l’aiguille , qui se replace toujours dans la même direction absolue, répond à diverses graduations du limbe, dont la diffé- - rence est de 180". / ■>' > y ,

Sur un des bords plats delà boîte (fig. i5)est une alidade AB mobile sur un axe , en son milieu ; cette alidade peut basculer verticalement quand la boussole est horizontale : elle est formée d’un petit tube creux et quadrangulaire , serré contre le bord de la boîte, et fermé d’une plaque à chaque bout. Ces plaques sont percées d’un petit trou, et d’une languette ver-

LEVÉ DES PLANS. • 25

ticale qui est au-dessus , et remplace le fil des alidades ordinaires. En visant un objet parce trou, la languette oppose'e doit paraître coïncider avec cet objet. 11 faut que l’axe de l’alidade soit exactement parallèle au diamètre du cercle qui répond aux degrés o et 180, et qui est la ligne nord et sud magnétique. Un axe de rotation adapté au milieu de l’alidade, lui permet de basculer, en sorte que son axe optique décrit un plan perpendiculaire à celui du cercle de la boussole.

Sous la boîte , on attache un genou et sa douille (fig. 1 3 ) ; l’axe Oi est terminé par un plateau à trois bras (fig. i3 bis) ; deux ergots a et b , et le petit verrou c, entrent dans des trous sous la boîte, et celle-ci y est fixée, en tournant ce verrou c. Ainsi la boussole est attachée en haut du genou de manière à pouvoir prendre la position horizontale abG , et tourner librement sur l’axe t. La vis de pression D arrête cette rotation, et l’on peut même, à l’aide d’une vis de rappel, produire de petits mouvcmens. On obtient l’horizontalité de la boussole , avec un petit niveau à bulle d’air qu’on pose sur le verre qui la recouvre, ou seulement en faisant tourner la boîte et voyant si , dans toutes les positions , les bouts de l’aiguille ailleurent le limbe et restent dans son plan. Au reste le degré de précision des observations qu’on peut faire avec cet instrument ne rend pas nécessaire que l’horizontalité soit exacte.

Lorsque la boussole n’est pas en observation , on soulage le pivot du poids de l’aiguille en la soulevant contre le verre, à l’aide d’un petit levier il ( fig. 28) dont un bout l apparaît au dehors de la boîte, et l’autre bout i porte un anneau sous l’aiguille.

Comme l’aiguille aimantée ne suit pas la direction nord et sud , lorsqu’on veut que la boussole indique sur le limbe cette direction , on ajoute un pignon latéral qui engrène dans une portion dentée du cercle divisé , et permet de le faire pirouetter sur son axe central d’environ 80°. On tourne la boîte de manière que l’alidade soit dans le méridien du lieu, et l’on meut le pignon pour amener le limbe à avoir son diamètre 0° •et 1800, dans la direction que prend alors l’aiguille.

Digili.

TOPOGRAPHIE

21. Pour concevoir comment -la boussole sert à mesurer le» angles , il suffit de remarquer que , dans toutes les positions que l’on fait prendre à la boite en la tournant autour de son axe vertical, l’aiguille conserve une direction constante , après que ses oscillations sout détruites , comme si elle fût demeurée immobile dans l’espace. Si cette aiguille se trouve répondre aux graduations 20° et 6o° dans deux de ses positions, la boite et son alidade ont donc tourné horizontalement , en passant de l'une à l’autre , de 40°, différence entre 60* et 20°.

Ainsi.en visant à deux signaux éloignés, et lisant chaque fois sur le limbe , après que les oscillations sont calmées, les graduations indiquées par le même bout de l’aiguille, la différence de ces arcs mesure l’angle, réduit à l'horizon , que forment les rayons visuels dirigés vers ces objets. On peut donc se servir de la boussole comme du graphomètre pour mesurer les angles et lever les plans, sauf le degré d’exactitude , qui est ici beaucoup moindre. On vise de la station À ( fig. 24) les jalons B, C, D. . . , et on lit chaque fois l’indication du bout de l’aiguille , qui est bleui au feu. Des soustractions font connaître les angles horizontaux dont le sommet est en A. On se transporte en un autre lieu E, et l’on en fait autant ; opérant ensuite comme il a été expliqué n° 18, on a enfin le plan abc... ( fig. 24). ■

Observez que quand, dans ses excursions sur le limbe^ l’aiguille passe de l’autre côté de zéro , il faut lire 3^0® aU lieu de io° , 38o° au lieu de 20®. . . , ce qui revient à ajouter au contraire les arcs situés des deux côtés du zéro.

Les déterminations angulaires de la boussole sont d’ailleurs peu précises ; car on 11e peut guère lire sur le limbe que jusqu’aux quarts de degrés; le peu d’étendue du limbe , la distance de la pointe indicative et sa mobilité , ne permettent pas de compter sur une grande précision. La boussole esc donc un instrument très imparfait, et dont on ne se sert jamais dans les levés exacts ; mais l’usage en est si facile et si prompt, ïju’on y recourt toutes les fois qu’uue grande précision n’est pas jugée utile. Après avoir jalonné le contour , on opère par

LEVÉ DES PLANS. 27

la méthode de cheminement , qui consiste h faire le tour entier du polygone qu’on veut lever. On stationne donc aux points AEDGB (fig. 29) ; de A on pointe vers E , on lit l’indication de la boussole, on mesure AE, et l’on se transporte en E; de E on pointe vers D , on lit la graduation , on mesure ED , et l’on va en D, ainsi de suite. ( V6y . p. 32.)

Il est clair qu’on connaît tous les côtés du polygone ainsi que tous les angles, et que non-seulement il est aisé de le construire sur le papier, à une échelle donnée; mais même que si le polygone ne se trouve pas fermé , au terme final de la construction, ainsi qu’il arrive presque toujours , on juge de l’importance des erreurs qui affectent principalement les angles, et qu’on peut leur faire subir de petites corrections; et si dans le cheminement on remarque quelque objet intérieur ou extérieur qu’il soit utile de lever, il est facile de le faire sans s’y porter, en suivant la méthode d’intersection ( n° 18).

La boussole n’exige pas qu’on puisse apercevoir tous les signaux qu’on veut lever, si ce n’est l’un après l’autre , puisqu’on ne fait le plus souvent qu’un seul pointé à chaque station ; aussi offre-t-elle le meilleur moyen de lever le cours d’un ruisseau, les sentiers des forêts, etc. Après avoir jalonné les principales courbures A, B, C, D . . figure 3o, on se placera en A , et l'on alignera le jalon B ; puis en B, le jalon C ; en C, le jalon D, etc. On mesurera les espaces AB, BC,CD. . ., et on lira chaque fois les indications de la boussole. On pourra donc construire la portion du polygone ABCD..., comme ci-devant.

Et même il n’est pas nécessaire , dans la méthode de cheminement, de faire des soustractions propres à déterminer les angles ABC,BCD,... (fig. 3o) ; car l’aiguille aimantée prenant, à chaque station, Une direction coustante, des parallèles AN ,BN,CN, . . tracées sur le plan , en représenteront les positions successives, et il suffira de construire, avec le rapporteur, les angles NAB,ÎŒC,NCD, . précisément égaux à ceux qu’on a lus sur la boussole.

TOPOGRAPHIE

Enfin , on peut éviter l’emploi du rapporteur ; car après avoir fixément arrêté sur une table la feuille de papier qui doit recevoir le plan, on pose la boussole sur la table et on la tourne jusqu’à ce que l’aiguille revienne aux graduations successivement observées sur le terrain. Dans ces états, la boîte reprend des positions parallèles à celles qu’elle avait alors, et les lignes tracées au crayon le long du bord, dont on se sert comme d’une règle, sont des droites parallèles aux directions visées par l’alidade. Pour la commodité de cette construction, on enlève l’alidade, qui ne tient à la boîte que par une vis et un écrou, servant d’axe de rotation.

22. On a apporté d’utiles perfectionnemens à la boussole. Au lieu d’une alidade , on y adapte une petite lunette ayant un réticule à deux fils croisés au foyer de l’objectif, comme celle dont on a déjà parlé page 8 ; l’un de ces fils doit être parallèle au diamètre principal (o° et 180''), et décrire un plan vertical quand ou fait basculer la lunette. En dehors du tube, on peut adapter aussi des pinnules ordinaires pour préparer le pointé. Lalunette étend au loin la portée de la vue.(^qy.fig. 28.)

On fixe en avant un petit arc de cercle vertical en cuivre ; la direction de la lunette par rapport à l’horizon est donnée par la graduation de cet arc ; cet instrument , qu’on appelle éclimetre , donne donc, outre la direction horizontale des signaux , leur angle de hauteur, c’est-à-dire l’angle que fait avec l’horizon le rayon visuel dirigé au sommet observé, ce qui permet d’en calculer l’élévation (n° 4b).

On adapte au genou des vis à caler qui servent à mettre promptement le limbe horizontal, et à la boite les vis de rappel qui produisent les petits mouvemens. ( Voj. fig. i3.)

23. Planchette. Cet instrument est l’un des plus usités pour le levé des plans; il n’exige presque aucune connaissance de la Géométrie , et est très facile à manoeuvrer. Il consiste principalement en une petite tablette rectangulaire de 6 à 8 décimètres de côtés, qu’on établit horizontalement

pied. Une feuille de papier étendue à la surface est

sur un

LEVÉ DES PLANS

destinée à recevoir le dessin du plan , qui s’y forme successivement et sur les lieux, à mesure qu’on fait les observations : on transporte la planchette et sou pied partout où il est nécessaire. ( Foy. fig. ig.)

L’instrument est composé d’un pied à trois branches , surmonté d’un genou de Cugnot (n“ i3) qui sert à établir la planchette horizontalement, ce qu’on reconnaît avec un niveau à bulle d’air placé en divers sens, ou simplement en posant sur la tablette une bille , et donnant le mouvement convenable aux articulations pour que cette bille demeure librement en repos sur le plan.

Comme une feuille de papier de 6 à 8 décimètres de côtés n’aurait pas, le plus souvent, assez d’étendue pour recevoir le plan qu’on veut faire , et qu’il serait difficile de changer de papier, on colle bord à bord plusieurs feuilles qu’on enroule sur deux petits cylindres parallèles, mobiles sur leurs axes, et disposés sur les bords' latéraux de la planchette. Chacun de ces cylindres ou rouleaux porte une petite roue dentée en rochet et un cliquet qui ne permet à leur engrenage de tourner que dans un sens. Quand il en est besoin, on dégage le cliquet de la roue , on déroule le papier de dessus l’un des cylindres, et on l’enroule sur l’autre, pour étendre l’opération plus loin. Le papier est toujours tendu sur la tablette , et on le fortifie en le collant sur une mousseline. Pour éviter la confusion , nous n’avons pas représenté dans la figure 19 ces rouleaux , cjue d’ailleurs on n’emploie que quand cela est nécessaire.

La tablette PP n’est que posée sur une autre moins grande pp , à laquelle elle est attachée par quatre vis de pression vvt et qui est elle-même solidement jointe au genou, et peut pirouetter sur un disque horizontal ce à l’aide d’un axe central E.

PP (fig. 19) est la tablette qui porte le dessin tendu à sa surface ; pp est la seconde tablette sur laquelle la première est fixée par quatre vis vv aux angles ; cc est le disque ou le plateau circulaire fixé au genou N. Le pivot est un gros boulon central , dont le bout inférieur Y est terminé en vis: après

TOPOGRAPHIE

avoir traversé le disque , cette vis passe entre les deux armatures latérales LL du genou : on serre cette vis , lorsqu’on * veut empêcher la tablette de tourner.

Au lieu du genou de Cugnot, on peut se servir du genou à coquilles (fig. i3 et 32) , qui est moins lourd et moins coûteux; seulement, on a plus de difficulté pour attraper la position horizontale, et la moindre pression suffit pour déverser la planchette.

Il est souvent nécessaire de donner un petit mouvement de translation à la tablette supérieure ; c’est ce qu’on fait par une vis de rappel R qui tient à la tablette de dessous cc. Il faut qu’un point déterminé du dessin soit verticalement audessus du point du sol qu’il y représente et qui a été pris pour point de mire. A l’aide de cette vis et d’un fil-à-plouib, ou d’un petit caillou qu’on laisse choir de dessous la planchette sur terre, entre les jambes du pied, on arrive bientôt à cette position. Sans cette vis, il faudrait déplacer le pied, et tenter divers essais très longs.

24. Il y a trois manières de se servir de la planchette , qui se combinent entre elles selon les cas qui se présentent. Les visées se font avec l’alidade représentée figure 10 ou 18. On fiche uue aiguille au point de la tablette qui représente sur le plan le lieu qu’on occupe sur le sol; et l’on applique le bord de l’alidade contre cette aiguille, en dirigeant les pinnules vers les signaux qu’on veut rapporter sur le plan ; l’aiguille sert de point d’arrêt et de pivo). On trace le long de la règle une ligne au crayon; cette ligne est la projection du rayon visuel.

Avant d’expliquer ces trois procédés , montrons comment on peut lever le plan d’un triangle RSP (fig. 25). On établira la planchette en R horizontalement, et visant l’alidade aux sommets S et P, on marquera au crayon , sur le papier, des traits indéfinis rp , rs , dans leurs directions. On transportera ensuite la planchette en S , et l’on mesurera la distance RS ; puis , prenant sur le trait rs une longueur rs d’autant de par-

LEVÉ DES PLANS. 3l

lies de l'échelle du plan que cette distance RS contient d’unités métriques , s sera , sur le plan , le point analogue de S. Arrivé à la station S , on fera en sorte de disposer la planchette de telle sorte que ce point s soit verticalement au-dessus de S, et que la droite sr déjà tracée , soit dans l’alignement SR : l’alidade placée le long de sr, doit avoir ses pinnules dirigées sur le signal R. On fixera la planchette danscette situation et l’on tournera l’alidade vers le troisième sommet P, la règle pirouettant autour du point s. On tracera la droite indéfinie spV, qui ira couper rp au point p, analogue de P. Ainsi le triangle spr sera le plan de SPR , puisque ces figures sont évidemment semblables, ou du moins, tout étant ici réduit à l’horizon , spr est semblable à la projection horizontale de SPR.

On voit que l’on peut , de cette figure spr, déduire la gra- , duation des angles S, P, R, et les longueurs des côtés SP, RP, en s’aidant d’un rapporteur et d’un compas : en sorte que la planchette offre un moyen de mesurer des angles et des distances inaccessibles.

Cette explication bien comprise, exposons les trois procédés pour faire les levés à la planchette.

25. Le premier procédé est la méthode d’ intersection exposée page 21. On mesure à la chaîne une base AE (fig. 2^), et l’on établit successivement la planchette aux deux extrémités A, E. On a tracé sur la feuille une droite ae, sur laquelle on a porté de a en e, en parties de- l’échelle du plan, une distance ueégale au nombre d’unités métriques de AE. Lorsqu’on stationne au point A, la planchette étant disposée horizontalement , on la fixera , le point a étant verticalement au-dessus de A , et la ligne ae dans la direction de AE, ainsi qu’il a été expliqué ci-devant.

On dirige ensuite l’alidade vers les signaux B,C,D. . , successivement, en faisant pirouetter le bord de la règle autour de l’aiguille qu’on a fichée au point a ; et l’on trace, à chaque alignement, les droites correspondantes, savoir ! ab , ac , ad. . . qui coïncident avec AB,AC,AD... On a ainsi une suite de

TOPOGiUPIUE.

Sa

lignes divergentes indéfinies partant de a, et ayant les directions sur lesquelles doivent se trouver les plans des signaux B,C,D. . .

Transportant la planchette en E , on fera les manœuvres nécessaires pour que le pointe, déjà reconnu analogue de E, soit juste au-dessus de E, la planchette étant horizontale, et la ligne ea dirigée selon EA. Après avoir fixé la planchette dans celte position, on répétera en E ce qu’ouafait en A , c’està-dire qu’on tirera du point E des droites divergentes ed, ec, eb . . . qui, passant toutes en e , coïncident avec les directions respectives ED, EC, EB. . . Ces droites iront couper les premières aux points d,c,b. . . qui seront les représentations, sur le plan , des signaux D, C, B. . . Observez que pour éviter la confusion et les erreurs d’intersection, on aura eu soin, lorsqu’on stationnait en A , d’écrire le long de chaque ligue , un signe ou une désignation de l’objet pris pour point de mire, afin qu’arrivé en E, on reconnaisse celle de ces lignes dont on a besoin, pour déterminer le point d’intersection. On voit qn’après ce tracé on peut trouver sur le plan, les distances et les angles qu’on n’a pas efiectivcincnt mesurés ; le plan sera facile à terminer.

26. La méthode de cheminement exposée page 27 est plus longue, mais plus exacte. Pour lever le polygone (fig. 20), on stationne successivement à chaque angle. Lorsqu’un est en A, on y établit la planchette , en se conformant aux règles ci-devant prescrites. On vise lastationE avec l’alidade, et l’on trace sur la feuille la droite indéfinie qui se dirige en E. On mesure la distance AE , et l’on prend sur la droite tracée une longueur ae d’autant de parties de l’échelle que AE contient d’unités métriques , et l’on aura le point e qui représente E sur le plan. On se transportera en E, et l’on y orientera la planchette en plaçant e au-dessus de E , et la droite ea alignée sur EA : fixant la planchette dans cette position, et déplaçant l’alidade seule, ou la tournera vers B, autour du point e, et l’on tracera la droite indéfinie qui coïncide avec EB. On me-

LEVÉ DES PLANS

surera la distance EB , et l’on prendra eb d’autant de parties; et ainsi de sommet en sommet , en faisant le tour entier du polygone. Le tracé se vérifie en voyant si, revenu au signal A , le polygone se ferme exactement.

Cette opération est surtout pratiquée dans les bois fourrés , le long des sentiers, sur le bord des ruisseaux , et lorsque , d’une station , on ne peut apercevoir plusieurs des signaux environnans. .

27. Enfin le troisième .procédé .(onsiste à établir la planchette à une seule station C .(fig. 26), ordinairement dans l’intérieur de la figure qu’on veutlever, en choisissant ce point C tel, que de là on puisse voir tous les autres signaux. On y dirige successivement l’alidade selon CA, CB, CD. . . et l’on trace au crayon, sur le papier, les lignes Ca, C b, C d. . . qui sont dans ces aliguemens. Après quoi on mesure avec la chaîne toutes les distances CA, CB, CD,., . . et l’on porte avec le compas, et en parties de l’échelle , toutes ces longueur^ sur leurs lignes

respectives, ce qui détermine les points a, b, d analogues

de A, B, D. . . et le polygone abd. . . semblable à ABD

28. Le secours du déclinatoire abrège beaucoup l’orientation de la planchette : c’est une petite boussole, dans une boite en carré long , dont le bord extérieur sert de règle , et dont l’aiguille ne peut parcourir qu’environ 4<> degrés. Lorsqu’à la première station on a orienté la planchette , ainsi que nous l’avons dit, on pose le déclinatoire sur la planchette, en faisant tourner la boîte jusqu’à ce que l’aiguille se place suivant une droite longitudinale parallèle au bord, ou ligne de foi. On trace une droite, sur le plan , dans cette direction , le 'long du bord de la boîte, lequel sert de règle. Quand la planchette aura été transportée ailleurs, on lui donnera l'orientation convenable, en posant 1 e bord du déclinatoire le long de cette même droite, et l’on tournera la planchette jusqu’à ce que l’aiguille aimantée se place sur la ligne de foi. Dans cette position , on fixera la planchette , qui aura précisément la direction nécessaire pour procéder aux pointés suivans ; en sorte

TOPOGRAPHIE

q a’ elle se trouvera de suite dans la position qu’elle aurait reçue, si on l'eût disposée par un pointé sur la station précédente.

29. Ce que nous venons de dire pour expliquer la construction et l’usage de quelques iustrumens de topographie, suffit pour faire comprendre comment on peut tracer le plan d’une ville, d’une campagne, d’un parc, d’une forêt, et de toute localité peu étendue. Il existe beaucoup d’autres instrumens destinés au même objet ; mais outre que ce qui vient d’être dit peut suffire pour en concevoir l’usage , la plupart de ces instrumens sont peu employés , ou le sont seulement dans des circonstances spéciales.

Si l’on rencontre dans la nature quelques particularités qui ne se prêtent pas aux méthodes précédentes, on mesure certains angles avec le grapliomètre, quelques distances avec la chaîne, et l’on se trouve conduit à résoudre des triangles pour obtenir la position des signaux sur le plan. C’est de cette théorie que nous allons nous occuper.

CnAP. II. — TRIGONOMÉTRIE RECTILIGNE.

Les formules trigonométriques sont d’un usage perpétuel en topographie ; il convient doue de les rappeler avant tout : mais comme ces équations sont établies sur des considérations purement géométriques, nous jugeons inutile de donner les démonstrations de ces formules , renvoyant, à cet égard, à notre Cours de Mathématiques pures.

On a des tables de sinus naturels des arcs , ou de valeurs des sinus pour un rayon divisé en parties égales : mais on préfère se servir des logarithmes de ces nombres , tels qu’on les trouve dans les tables de Callet, parce que les calculs sont plus faciles à faire.

trigonométrie rectiligne. 35

3o. sin(A ±; B) = sinAcosB dz sinBcosA (i)

cos(A ± B) = cosAcosB qp sinAsinB (a)

sin 2 A = 2sinAcosA (3)

cos a A = cos*A — sin’ A

= a cos’A — i = i — 2 sin *A . . (4)

i cos^ = acos’iA (5)

i — cos A = 2sin“ jA (6)

3i. Les équations suivantes servent à rendre propres auxlogarithmes les formules qui contiennent des sommes et des différences de sinus et de cosinus , en y introduisant des produits et des quotiens.

sin A dt sinB = 2 sin ‘ (A dt B).cosj(A qz B) (10)

cos A + cosB = 2 cos j (A -f- B).cos|(A — B) (ti) cos B — cos A = 2sinj(A + B).sint(A — B) (12)

sin* A — sin*B = sin (A -J- B). sin (A — B).... (i3)

tangA — tangB sin (A — B) ,

tangA -f- tangB sin (A + B)

8inA ■+• sin B sin A — sin B

tang ;(A + B) tang ~ (A — B)

TOPOGRAPHIE