Il faut aussi trouver le demi-diamètre R' de la Lune

pour la hauteur inconnue où elle se trouve , connaissant le demi-diamètre R vu du centre de la Terre , tel qu’on le tire de la Conn. de, f Temps : car on sait que plus la Lune s’élève sur l’horizon , et plus elle se rapproche de l’observateur, ce qui açcrolt les dimensions apparentes de cetastre [yoy. p. 33g), on trouve, pour cet accroissement , en secondes 0

x = R(x' sin 1*) cot (y — a) — A R (x' sin i')*, . x — R' — R, R' == R -f- x.

430. Pour avoir égard commodément à la parallaxe du Soleil, qui est à peine de 8" à l’horizon , on la suppose nulle ; maison diminue, dans les calculs précédens, celle P de la Lune de la parallaxe solaire , qui d’ailleurs ne varie pas avec la station. On est de la sorte dispensé de calculer les parallaxes du Soleil en longitude et en latitude.

^7^ CÉQMOIIPHIE ASTRONOMIQUE.

Nous renvoyons, pour les démonstrations, b Y Asir. pratique, V- 1 3o , pour ne pas nous écarter de notre but - une simple récapitulation de ces formules suffit â notre objet.'

43 1. Supposons donc qu’on connaisse les longitudes vraie et apparente © et ©’ du Soleil , celles C et <£' de la Lune , la parallaxe *• de longitude lunaire, celle *' de latitude, les detm-d.amètres apparens r et R' des deux astres.

On distingue, dans une éclipse de Soleil, deux phases principales, Y immersion et Y émersion, lorsque les bords opposés sont en contact extérieur avec la Lune. La 1" arrive au bord droit ou occidental du Soleil, la a* au bord gauche ou oriental. Mais en outre il peut y avoir deux contacts du cote intérieur. Si le diamètre lunaire est plus grand que celui du Soleil, on a une éclipse totale, et s’iL est plus petit une éclipse annulaire . « .

Les nombres de la Conn. des^Tems supposent le spectateur place au centre de la Terre : les calculs préparatoires qui précèdent sont destinés à donner les déplacemens apparens en longitude, latitude et demi-diamètres , qui résultent de la parallaxe, lorsque les deux astres sont observés de la surface de la Terre, eu ayant égard au lieu de l’observateur, et même à l’aplatissement terrestre.

4,32. Soit donc P le pôle de l’écliptique, dont AB (fig. i35) est un arc apparent. Ale centre du Soleil; C celui de la Lune,

=* AC Je»»- distance apparente, à l'instant d’un contact extérieur ou intérieur; BG est la latitude apparente a' de la Lune, AB =« est la différ. de leurs longitudes apparentes. Comme ces arcs sont fort petits', le triangle ABC peut être regardé comme plan et rectiligne, rectangle en B. On a donc <Y“=ia* -f- a'% d’où ' -, • '

Or, A est la somme ou la différ. des demi-diamètres appa— rensj selon 1 espèce de contact : en exprimant les arcs en secondes, le 2' membre sera connu, et l’on trouvera «.

Pour l’entrée occidentale, on 1" contact extérieur, on a 0 = 0' —p, (£=€'—*> “ = ©' — €»

d’où O — C = * + («■ — p) ; (2)

pour le 2' contact extérieur, ou la sortie, (£ > 0, et il faut prendre ici (£ — © ; l’expression est la même , en donnant le signe — à sr — p. Ainsi , pour les deqx cas , A étant la somme des demi-diam. appareus , on a

Différ. des longitudes vraies = « dt (x — p)=k,

en prenant -f- pour le commencement, et — pour la fin de l’éclipse.

Le même calcul convient aux contacts intérieurs ; mais alors A représente la différ. des demi-diamètres apparens.

433. On est en droit de regarder le Soleil comme immobile en un point de l’écliptique, pendant la durée de l’éclipse, pourvu qu’on suppose, qu’au lieu de son mouvement horaire M, la Lune a la différ. M — m des mouvemens horaires des deux astres. Ainsi la marche de la Lune en longitude , ou dans le sens de l’écliptique , est M — n», en iA ou 3600* de temps vrai. On trouve le nombre T de secondes nécessaires pour parcourir l’arc k, distance des deux centres en longitude, en posant cette proportion 1 .

Si M — m est décrit en 3600*, l’arc k l’est en T secondes

36oo" .

STTsC-*

Cette éq. donne le temps écoulé entre la conjonction vraie (la néoménie ) et celui de la phase d’éclipse observée , en prenant + quand il s’agit d’un contact du bord ouest du Soleil, et — pour le bord oriental. Mais c’est le contraire quand les longitudes vraies du Soleil et de la Lune sont < N, attendu que x et p sont alors négatifs.

Nous avons dit qu’il fout diminuer la parallaxe horizontale P de là Lune , pour le lieu d’observation , de celle 8", 8' du Soleil , et qu’ensuite on considère celle-ci comme nulle : mais

378 GÉOMOBJHIE ASTRONOMIQUE.

alors la valeur * calculéç tient lieu de » — p; ainsi l’éq. (3) se réduit à

Si l'on appelle t l’heure de l’observation d’un contact , celle de la conjonction vraie est t± T, en prenant + pour un contact occidental , et — pour un oriental.

Nous ne ferons pas ici d’application numérique de ces éq. Ces calculs sont longs , sans être difficiles. Mais il est évident que si l’on observe le même contact en deux pays , les opérations donneront les heures de la conjonction vraie pour ces deux stations , et que la différ. des heures est celle des longitudes en temps, lorsqu’on l’a exprimée en temps sidéral.

434. Quant aux occultations d'étoiles par la Lune, comme les étoiles 11’ont ni diamètre, ni parallaxe, il suffit de supposer ces quantités nulles dans nos formules. Mais les étoiles ne sont pas sur l’écliptique , comme le Soleil, et BC (fig. i35 ) est la différ. entre la latitude v de l’étoile et la latitude apparente a' de la Lune : AB n’est plus l’écliptique, mais lui est parallèle, et l’arc de ce grand cercle, compris entre les cercles PA, PB, est —»cosv. La distance AC, à l’instant d’un contact , est le demi-diamètre apparent R' de la Lune. Ainsi v faisant — a', le triangle ABC donne

. 1 cos* «/ = R'* — J*,

d’où

cost»

et comme le mouvement propre de l’étoile est nul , m = o donc

çn prenant -f* pour l’immersion , et — pour l’émersion.

435. Ainsi, après avoir noté l’heure exacte de l’occultation^ on aura l’heure sidérale du lieu , puis l’heure vraie de Paris contemporaine. On tirera de la Conn, des Temps les données-

lunaires qui sont ne'cessaires ; nos éq. feront trouver la parallaxe horizontale P de la Lune, celle v de la longitude et -k de la latitude , après avoir calcule' N et h , longitude et hauteur du nonage'sime; en sorte que l’on connaîtra la longitude, la latitude ét le demi-diamètre apparent de la Lune, pour l’instant de l’immersion ou de l’émersion.

On cherchera ensuite la longitude et la latitude de l’étoile ; on entrera dans la formule (5) avec la dilfér. ^ des latitudes apparentes , et l’éq. (6) donnera l’heure T, et par suite l’heure ( ±T de la conjonction vraie.

Ces calculs étant effectués pour un autre lieu où la même phase a été observée , on aura l’heure de cet autre méridien où la conjonction arrive : la différence de ces heures est, en temps sidéral, celle des longitudes.

Et si l’observation conjuguée n’a pas été faite ailleurs, on calculera l’heure de la conjonction vraie pour Paris , heure que la Conn. des Tems donne souvent. Alors la longitude du lieu sera rapportée au méridien de Paris. Voy. YAstr. pratique , où l’on trouve des ex. où ce procédé est appliqué.

Il ne faut pas oublier que lorsqu’un même phénomène instantané a été vu de deux stations, et qu’on a noté les heures sidérales où il a existé, heures de ces méridiens respectifs , la différence de ces heures est celle de9 longitudes de ces stations ; le lieu le plus oriental compte toujours l'heure la plus avancée.

436. Parles passages de la Lune au méridien observés aux deux stations. Soit L la longitude de la station occidentale , par rapport à l’orientale. Si l’on observe en ces deux endroits le passage méridien d’une étoile quelconque , l’heure sidérale sera la même (u° 3g3 ); mais un temps physique L sera réellement écoulé dans l’intervalle des deux observations.

S’il s’agit de la Lune , les choses se passeront autrement ; car l’asc, dr. va sans cesse en croissant , et de l’un de ces

passages h l’autre, il s'écoule un temps sidéral = L -j- la marche de la Lune en asc. dr. pendant ce temps. Soit donc Q

38o GÉOMOhPHIE ASTRONOMIQUE,

cette dernière durée , différ. connue eutre les heures sidérales des deux observations : ainsi , en temps sidéral , il se sera écoulé L -f- <p de l’une à l’autre.

Chaque heure sidérale, il passe au méridien un arc de i5* de l’équateur ; le temps <p répond à un arc de (i5p) degrés.

On tire de la Conn. des Terris les mouvemens horaires du Soleil et de la Lune en asc. dr. (p. 335), c.-à-d. le nombre de degrés d’équateur décrits de l’ouest à l’est , par ces astres, en i heure de temps vrai : soit m celui du Soleil en temps, d celui de la Lune en degrés. Une heure de temps vrai équU vaut à i* -f- m de temps sidéral. Ainsi , dans le temps sidéral i^-f - rn , la Lune parcourt d degrés d’asc, dr. , et dans le temps sidéral L — f- , elle décrit l’arc i5p : de là cette proportion , ' - •"

ih + m : d :: l + $ : i5® =

I* -f-TO ’

et

L = Vj(i t+™ — Tîd)-

Ainsi , après avoir observé le passage au méridien d’un bord lunaire en deux stations, et noté les heures , la différ. entre ces heures, réduite , s’il est nécessaire , en temps sidéral, sera le nombre <p, eu prenant l'heure pour unité. On tirera de la Conn. des Tems , i°. le temps sid. m, 24e de la diff. éntr» deux asc. dr. Q consécutives ; 2°. le mouvement horaire d de la Lune en degrés ; et l’éq. ci-dessus donnera la différ. L des longitudes des deux stations.

Nous 11’insisterons pas sur ce procédé , quoiqu’il soit très exact ; mais il suppose qu’on a une bonne lunette méridienne, bien orientée, ce qui arrive rarement aux observa— toirês mobiles et exposés , dont on se sert en Géodésie. Mais nous avon9cité cette méthode comme servant d’élément à la suivante , qui suppose bien aussi qu’on dispose d’une lunette des passages; mais qui n’exige pas que l’instrument soit juste dans le méridien.

D’ailleurs , un cercle répétiteur placé verticalement à fort

> Digili

Jr-

peu près dans .ce plan, peut suffire. En outre, la méthode cidessus exige que la pendule soit parfaitement régle'e , et le résultat est influencé- par les erreurs des tables , circonstances dont la suivante est indépendante.

437. Parles culminations d'une étoile et d’un bord de la Lune , observées aux deux stations. On note les heures de la pendule aux instans des passages du bord de la Lune et de quelque étoile qui ait à peu près la même déclinaison, afin de 11e pas être obligé de déplacer beaucoup la lunette : on dit de ces étoiles qu’elles sont de culmination lunaire. Désignons par A l’asc, dr. de la Lune, par p son demi-diamètre , par t l’erreur de la pendule et de la lunette , par * l’asc, dr. de l’étoile : l’beure de la pendule à l’instant du passage du bord lunaire sera r+A±p ; celle de l’étoile sera t -f- «, et la différ. de ces heures entre les passages

Nous supposons ici que l’étoile passe la t”, ou que son asc. dr. a est moindre que celle de la Lune ; s’il en était autrement , t serait pris ci-après en signe contraire. Du reste , l doit être exprimé en temps sidéral, ou réduit à cette unité (T. V, à la fin de l’ouvrage ). ' , *

On -fait les mêmes' observations à la 2* station , que nous supposerons ici être A l’occident. On aura pour l’heure de temps sidéral entre ces deux passages , à ce 2e méridien ,

nous conservons les mêmes valeurs de p et de a.

La différ. entre ces deux résultats est t — i =A — A'. -Or il est visible que ce nombre est précisément ce que nous avons appelé dans l’éq. (7), et qu’il est rendu de la sorte indépendant der> * et « ,. , .

Tout étant ainsi connu dans l’éq. (7) , le calcul fait connaître la différ. L des longitudes des stations, sans avoir be-

38i géomohphie astroxomiqüe.

sdin de connaître arec précision les erreurs de lâ pendule et de la lunette , ni les asc. dr. de la Lune et de l’étoile. On a seulement besoin des mouvemens horaires du Soleil et de la Lune, qu’on tire de la Conn. des Tems. Ainsi ce procédé est susceptible d'une grande précision.

438. Il y a ici deux causes d’erreur s i# le demi-diamètre lunaire n’est pas rigoureusement le même p aux deux méridiens , parce que dans l’intervalle la Lune change de distance à la Terre ; a°. le mouvement horaire de cet astre varie sensiblement dans cette durée. Mais en calculant d pour le temps du milieu entre lès observations, dont l’heure L p est d’ailleurs à péu près connue , on n’aura à craindre aucune erreur sensible, quand la différence des longitudes n’excèdera pas : ce qui suffit à tous les besoins de la Géodésie. Nous jugeons donc inutile d’indiquer ici comment on peut donner à ce procédé une extrême précision , qui serait inutile à nos recherches. ( Voy. l’ Astr. pratique , p. 271.)

439. Le 3 mars 1822, on a observé à Dorpat et à Manheim les culminations du bord ouest de la Lunej et de 3og des Gémeaux; cette étoile est située à l’ouest s on a obtenu pour différence des heures sidérales des deux passages , à

Dorpat t sa to' 17*, 56, Manheim ( = i3'i8",3o,

d’où > p =a. 3'o",74 — «8o',74*

On sait, d’après ce qu’on connaît d'ailleurs , que l’heure de Paris pour le milieu des observations est 84i8' du soir. On tire de la Cenn. des Tems qu’à cette heure d — 35'45",o, et en temps , 75 d=2.'ïy,o. Le mouvement du Q en asc. dr. pour *4», est’ 3'43*, 4 1 et pour 1* vraie , m = g",3i.

fi ....... .w. . '9.9670543

licteur 3.5398674

dénom — a.i55336o

1* ■+• m es 60' 9",3t

dénom. = — 2 a3, 00 i5

facteur = 57.46,31

L s i*i3'i ,if , longitu de tleDorpat à l’est de Manheim.

loncitdde.

Quand le* pendules sont réglées sur le temps moyen , il faut réduire la durée t' en temps sidéral (T. V) pour avoir <p.

44o. Par les chronométrés". On détermine , à l’une des stations , par des observations astronomiques (p. 349) la marche de la montre , savoir i°. son avance absolue A à une certaine époque ; 20. son avance a de chaque jour : le tout réglé sur le temps moyen. On admet que la marche du chronomètre est uniforme dans l’intervalle de temps où on l’emploie à la détermination de la diiTér. des longitudes des deux stations. Les données A et a suffisent pour assigner l’heure exacte H' de temps moyen sous le i" méridien , quand la montre indique une heure quelconque h , le nombre/ de jours après celui où l’avance absolue est A. Voici la formule :

; heure de temps moyen H' = h — A — aj :

on prend en signe contraire celle des quantités A et a qui est un retard.

Cela fait, on se transporte à la 2e station, et l’on y détermine, par des observations, l’heure H" de temps moyen du lieu à un instant quelconque, et on lit sur le chronomètre l’heure h qu’il indique à cet instant. On calcule l’heure correspondante H' de temps moyen sous le 1" méridien ,. par la formule ci-dessus ; et H' — H* est la différence des longitudes demandée (*).

On a reconnu, à la 1" station , que le 8 août 1840 , à 6* 19', le chronomètre avance de A= 3' 17", 5 sur le méridien du lieu , et que chaque j our moyen il retarde de a = — 1 f ",34 . Le i5 août suivant , à la 2' station , on a vu que , le chronomètre marquant h = 19*3/13'', il était alors , sous ce nou-

(*) Oa sc sert indifféremment du temps moyeu , ou du tempe sidéral pour trouver les longitudes , puisqu’en réduisant le Ier temps au second , par l’éq. 3 , p. 338, les heures H ' et H" deviennent H' t&O et H'-fqui ont encore H' — H" pour diffe'r.

384 GJÉOMORPHIE ASTRONOMIQUE.

Veau méridien, H" ;= i9*43'47“» Otant 6*19' de h , on voit qu’il s’est écoulé depuis la 1" époque 7^ 1 3* 18' i 2l'z=r]>,55fô=j : donc

. . ... —fl; =4- 1.25,7