H' CX

Différence des longitudes = ' — 8.26,8

Le signe — indique que la 2* station est à l’orient de la ir*.

Apès avoir retranché 6* 19' de h , on n’a pas le temps écoulé, parce que le retard diurne de la montre est alors négligé ; ce qui est ici sans inconvénient , parce que l’intervalle est très petit. Mais si l’on veut y avoir égard , il faut recommencer le calcul en tirant du i‘r résultat une valeur plus exacte de aj. f f'ojr. n° 5a5. ) ,

Azimut d’un astre et cC un signal.

44* • Connaissant l’heure et la latitude , trouver l’azimut Sun astre. Le pôle est en p (fig. 129), le zénith en 2, ah est l’horizon , pzm le méridien , q un astre, zq son vertical, aq sa hauteur , qz sa distancé au zénith , pq son cercte horaire dé—* terminé par l’heure proposée ( n° 402). Eh effet .

i°. S’il s’agit du Soleil , observé à l’ouest , l’angle p est l’heure vraie actuelle traduite en degrés : avant midi , cet angle est le complément de l’heure vraie- à 12*.

*2°. four une étoile, on a

ÏSzp — heure sidérale — AL# — heure sol. + JftQ — A * ;

on prend -f- quand l’astre est à l’ouest , — dans l’autre cas.

Cela posé, dans le triangle sphérique pzq, on connaît deux côtés et l’angle compris ; car outre l’angle p , on a la colatitude du lied, pz=c, et la distance polaire de l’astre, pq=df compl.* de sa déclin. Résolvons ce triangle, pour en tirer

AZIMUT

l’angle ptq ss A , azimut de l’astre, compté du nord vers le sud. Les deux, dernières analogies de Néper , u° 85 , deviennent ici

tang H A -K?) = cot^p x

tang | ( A — q) — cot ;pX

cos i(d — c) cos£ ( d+ c)’ sin \{d— c) sini(d+T>'

Le calcul fait donc connaître les arcs j ( A -f- gr ) et ^ ( A — q) dont la somme est l’azimut cherché A : leur différ. est q, ou ce qu on appelle l’angle de position. Quand l’astre observé est une étoile , il faut en obtenir l’asc, dr. et la déclin., en tenant compte des précession , nutation et aberration , ce qu’on trouve tout calculé, dans la Conn. des Tems , pour le Soleil , la Lune et les principales étoiles. La réfraction et la parallaxe s’exerçant en entier verticalement n’ont ici aucune influence ; l’azimut n’en est pas altéré.

Le A3 juillet j836, on demande l’nrimnt d’Algéoib vers l’est , à Strasbourg (longit. ai'4o", latit.

4 9*48' 5", 79 temps moyen

A© moyen 8. 4 58, 4° 4 midi moyen de Paris,

( table V, ae col.) i.3a,8i corr. pour g‘48'6" — ii'4o* (p. 235),

heure sidérale -—17.54.37, 00 A* — v. •+- o. 4 -49.50

vers l’est 6.10.12, 5o ....... j = 46* i&33*,75 = - p,

c=4t.25. 3 ' cot -p.... T.98065...; T. 98065

d—c = 34.18.32, ^.... 17. 9'i6'', eos 1.98024 sin... T. 46975

d+o-=iV}. 8.38, |.... 58.34.19, cos — 1.71719 sin— T.g3no

6o.ij.34 tang 0.24370, T.51930

A = 78*35't2* azimut compté du nord vers l’est.

On demande quel est l’azimut du Soleil, le matin du 18

3gti géomouphie astronomique.

octobre i836, à 7'i$5'3i'',47 *• vr-l» au Caire (lat. 3o°a'4"N r

longit, i‘557n% Ê. )• L’angle horaire du Soleil est

p — 4*4,2^,^4> 3 J° = 3°“33'34‘'. L’heure propose'e revient à 5',5g'5o",4<* du maliu t. vr. à Paris, ou le 17 octobre à I7*45'6*,r6 t. raoy. avec ce nombre, la Conn. des Temps donne déchu. O = 9°38'57,',4 A, et l’on procède au calcul , comme il Suit.

c bs 59,87^6 col -p...... 0.1188018 o.a»88if8

d— e = 39.41. 1,4, -j. . i9*5o'3o",7, co«. . 7.9734103, sia 7.530744’ d+c rinSg. 36.53,4, . .79.48.a6, 7, cos -t.i47868G, sin -7.g93o9t5

lang. 0.9543735,

azimnl O compte do nord vers l’csu

44a. Étant donnée la distance zénithale dîunastre, trouver son azimut? Dans le triangle pzq (fig. 129) on connaît les . trois côtés , savoir, pz = c = 900— l, zq =s±z, pq =d. Ou trouve V azimut K compté du nord par l’éq. (17) du n« 76, qui devient ici

sin k. siu (fc — d)

, coa î sin z siu c

on corrigera la dbt. zénit. observée de réfraction— parallaxe pour avoir z ; èt cela quoique l’azimut A n’en soit pas influencé, attendu que ces effets dénaturent le triangle sphérique pzq.

Reprenons les deux es. précédens, mais eu y supposant l’heure inconnue, et la dist. zénith, donnée.

Pour Algéuib ou a, correction faite, z = 8i°i'6*, outre les valeurs citées de f et de d. ,

AZIMUT

sin.

sin

— 7.8i5ig86

sin

k—d = a3.ai.t7

sin

cos*

cos

A = 78.34.16 comme cj-dcvanl.

Pour l'observation du Soleil on avait (vo^. ik>'4o8 ).

x. = 7g0 49*57", 6 sin T.g75a3i3

e sx 59.57.56,0 sin 1.9373798

zk = 33o.a6.5i, o • — 7.9136111

k = n5.i3.a5, 5 sin T.g56j8o8

k — il = i5.34.o8,i sin.... 7.43893931

^ A £= 56.58. 3o)3i cos T. 7363994

A = ii3‘,57' o",6a comme ci-devant.

443. Trouver F azimut d’un astre à son lever et à son coucher, ou son amplitude active et occase qui en est le complément. Celte question est un cas particulier de la précédente. Quand l’astre paraît être à l’horizon, la réfraction et la parallaxe en changent le lieu réel : la distance zénithale au lieu d’être de 90° est 90* -J- K , en prenant

K = réfraction horiz— parai. horiz = 33'45’ — parai, horiz.

Pour les étoiles Ja parallaxe est nulle ; elle est de 8"8 pour le Soleil, savoir K — 33'36".a, z = goa33'36% 2. Enfin, s!il s’agit de la Lune, on calculera la parallaxe équatoriale qui convient à l’heure du lever ou du coucher, qu’ou évalue 4 peu près d’abord en prenant z as 90° ; on cherchera ensuite cette parallaxe pour la latitude du lieu. Ces opérations étant semblables aux précédentes, nous n’en donnerons pas d’ap-

388 GÉ0M0BPHIE ASTROiVOMIQCE.

plication , d’autant plus que les réfractions étant incertaine»

près de l’horizon, les résultats sont peu sûrs.

444. Trouver l’azimut d'un signal? Nous avons dit que cette mesure est une des plus importantes opérations de la Géodésie, puisqu’elle fait connaître les directions des côtés des triangles du réseau : et qu’une fois l’un de ces azimuts connu, les autres s’cn déduisent par de simples calculs , en procédant de station en station. Sauf cependant les vérifications indispensables qui obligent à mesurer (à et là d’autres azimuts, pour les comparer aux résultats des calculs (n°234).

Un observateur est placé au centre Cde la sphère céleste, (fig. 137) d’où il envoyé des rayons visuels CM à tous les objets remarquables qui l’environnent, fl fait le relèvement des signaux, c.-à-d. qu’il en trouve les azimuts, Ou angles que font avec le méridien les plans verticaux passant par les objets M. Ainsi il s’agit de trouver l’angle du méridien de C avec le plan CZM passant par l’objet M et le zénith Z.

Soit S un astre quelconque en un point de son cours, ZCS son vertical. La réfraction change les lieux apparens de M et de S, qui sont jugés en m et s, sur les mêmes verticaux ; et même si S est le Soleil ou la Lune , la parallaxe abaisse çes points, ensorte que cependant celle-ci soit plus basse que son lieu réel , parce que la parallaxe lunaire surpasse toujours sa réfraction. Ainsi on juge la Lune plus basse qu’elle ne le serait si on la voyait du centre de la Terre , et qu’il n’y eût pas d’atmosphère.

On observe, à un instant quelconque, avec un instrument, la distance angulaire du signal m à l’astre s, ou l’arc sm = J) en même temps , on prend aussi la distance zénithale de l’astre , et celle du signal , savoir sZ = z, mZ— z\ Ces distances sont apparentes, c.-à-d. affectées parla réfraction et la parallaxe ; pendant qu’on mesure <b, une autre personne mesure z , pour que ces valeurs variables soient contemporaines. Quant à z , on prend cet arc à loisir, attendu qu’il ne change pas.

On pourrait d’ailleurs calculer la valeur de z (vojr. n" 4°^)

AZIMUT

d’après l’heure à laquelle ou a pris l’arc mais il faudrait corriger cette distance zénithale vraie , de la réfraction — parallaxe, en sens contraire de ce qu’on a dit p. 336, «(fin de changer l’arc vrai en apparent. :

445. Dans le triangle sphérique Zsm (fig. 137), on connaît les trois côtés #Z — z, mZ = z', sm = J', et l’on en tirera l’angle mZs — a, angle qui est le même que SZM. Les cq. du n° 76 deviennen t -

ik =: z -f- z’ -+- ^ .

• , sin Æ.sin (A: — /)

cos’ a = — : ; .

smz.sinz

Or, l’heure de l’observation étant connue, il ast facile d’en conclure l’azimut A, qui est l’angle que le méridien fait avec le vertical CSZ, et par suite l’azimut du signal,

446. Mais, dans cette éq. . il faudra attribuer aux lettres des signes propres aux positions relatives de l’astre et du signal, d’après les règles, ordinaires des signes en géométrie. Les azimuts A et x sont des arcs de distance au méridien , comptés du nord ou du sud ; ils ont des signes différens , quand ils sont de côtés opposés du méridien. L’arc a est positif, lorsqu’il est situé au-delà du méridien par rapport à A, et négatif , quand au contraire il s'en trouve rapproché.

C (fig. x 38) est le lieu d’observation, CN la méridienne, S l'astre, M le signal, l’angle SCN=A, SCM = a, NCM = x. Tout est ici positif. Mais si le signal est en M', de l’autre côté de CS, a prend le signe — ,' x = A — a; et si le signal est en M" de l’autre côté du méridien , on a a > A , et x=A — a donne x négatif, pour indiquer que cet arc est du côté opposé du méridien par rapport à A.

Du reste, les azimuts positifs peuvent être pris indifféremment vers l’est ou l’ouest, pourvu qu’on observe la règle ci-dessus.

447* Quand l’astre est le Soleil, la distance angulaire observée est celle de l’un des bords au signal , et pour avoir J il

JkfO GÉOMOnPHIE ASTRONOMIQUE.

faut y ajouter, ou en retrancher, le demi-diamètre 0 , selon le bord préféré. Mais on aime mieux prendre successivement les distances des deux bords au signal, puis la moyenne entre elles ; et même pour éviter les petites erreurs d’observation, on prend 4 ou 6 de ces distances; on note les heures vr. de chaçone , et l’on regarde la moyenne entre les heures comme répondant à la moyenne entre les distances du, centre au signal : puis on calcule, pour cette heure du milieu, la dist. zénith, apparente de l’astre (n® 4°8).

Pour l’exactitude des calculs, il convient que l’arc SM (fig. 1 37) soit peu incliné; ainsi c’est un astre voisin de l’horizon qu’on doit observer. Il importe en outre que -l’arc a ne s’écarte pas beaucoup de 90 degrés.

, Le 3o mai i836, à Dublin, à 5hi8'5'i” t. vr., on mesure les distances des deux bords du Soleil à un signal ; la moyenne est la distance <1 du centre : on a trouvé aussi, ou calculé , comme ou l’a montré p. 356, les dist. apparentes au zénith de l’ajStre et du signal; on a obtenu ainsi

Z 67«4G'37*,8 z' = 89.58.36,2 t — io3.3g. 7,0

* nk =z 361.24. 5 k sa 130.43. 3,5 k— t se 37. *.55,5

A ss 80. 8.25,2,

5 in. .

sin . .

sin..

•in. .

cos*.

cos. •

objet situé à la gauche do Soleil, azimut du Soleil à l’ouest partant du nord ,

arc allant du nord au signal.

La valeur de A a été calculée par la formule du n° 442 > uvec les données qu’on a citées n° 4o8.

448. Une partie des opérations dont on vient de parler, celle qui donne l’arc a, est inutile, quand on se sert d’un théodolite, parce que cet instrument réduit à l’horizon l’an-

AZIMUT

glemZs=«, sa u s aucun calcul ; et même ou choisit L'instant où l’astre S est précisément au méridien , parce qu’on a tle suite l'azimut du signal. Au reste , il suffit de taire l’observation quand l’astre est près du méridien , parce qu’alors son mouvement azimutal est proportionnel aux temps , et que le calcul se réduit à corriger la moyenne entre les distances a observées, mais réduites à l’horizon, d’après le 'rapport des vitesses horizontales de l’astre, telles que les donnent les observations mêmes. C’est une interpolation facile, dont l’objet est de ramener lés mesures de l’arc a à ce qu’elles eussent été, si on les eût prises l’astre étant au méridien. On peut aussi se servir de la boussole comme approximation ( ’vojr .

449* Relever un signal par les digressions de la Polaire. Cette étoile décrit , chaque jour, autour du pôle p, un petrt cercle nirif (fig. ! 3g). Sa marche est . très lente. 11 est facile de trouver les instans où elle atteint le point i vers l’est, et le point i' vers l’ouest , où elle est à sa plus grande élongation. En effet, Z étant le zénith, l’angle phi devient alors un nidxifnum, et le triangle sphérique phi est rectangle en i. Oh trouve l’angle horaire p, la dist; zénit. z, et l’azimut A da cette étoile , à cet instant , en résolvant ce triangle.

Faisons hp = colatitude , c = go” — l, pi x= dist. polaire d = go" — D, Z i = dist. zénith, z, l’angle phi — azimut A, l’angle hpiz=. angle horaire p de l’étoile. Les éq.' de la p. 6g deviennent

cosp = tangd cot c = cot D tang/, cosc = sinZ = cosz cosd= cosz siu D, cos l sin A e= sin d = cos D.

La ir' de ces éq. donne l’angle horaire p de l’étoile à sa plus grande élongation, d’où résulte l’heure sidér. ou moy. correspondante (p. 35o) et selon qu’on prend p en -f- ou en — , dans l’éq. citée, onal’heure de l’élongation à l’est ou àl’ouest.

La 2' éq. donne la dist. zénith, vraie z de la Polaire; en

3g» GÉOMORPH1E ASTRONOMIQUE.

retranchant la réfraction, on en tire la distance zénithale apparente.

Enfin la 3e éq . donne l’azimut A contemporain .

4 5o. A l’instant de l’élongation, le changement en hauteur est le plus rapide , et le mouvement azimutal nul ; et dans les instans voisins, soit avant, soit après, ce mouvement est insensible , et il est permis 4e n’y pas avoir égard. On a donc le temps de mesurer l’arc qi= S, distance apparente du signal q à la Polaire. On prend pour S la moyenne entre plusieurs me— sures successives.

Les trois côtés du triangle qZi sont connus , savoir , qi — S, Zi — z, qZ = z = dist. appar. du signal au zénith. On trouvera donc l’angle qZi = a que font entre eux les verticaux du signal et de l’étoile, en se'ser van t des éq. qui précèdent (n° 44^)* Ensuite la formule x = A -f- a donne l’azimut x du signal, en prenant A en + ou en — , selon la règle prescrite p. 38 9.

Ce procédé est extrêmement usité , parce qu’il est d’un emploi facile, et que les résultats en sont très exacts.

Le 7 décembre i836, on a pour la Polaire AEt :=? ïk ir2.5’ ,otz, D = 88°26'38",3o : à Toulon, la latitude est / = ^3°']' 20’. Ou s’est préparé aux observations par le calcul suivant :

tangl 7.gji5i3o «n/ T. 8347747 coiD,... a-43384i4

eolD 3. 434<»>i5 sin D —T. 9998398 cos l ... . — T. 8633617

cqs p. 3.4®55i45 cota.... T. 8349349 tin A.... 3.5705797

p == 88<‘33'33",og z = 46°5i'a8",7 A= 3«7'55',47

4 lois 5‘54.io ,14 réfr... — 1. 4. a azimut.

AR* ... 1. 1.35,03 46-5°>a4>5 distance zénit. appar.,

- au nord-ouest.

tsb.V, i**col. — 3.i6,o5 Woy. p. 344) corr. pour i3*5or39"

i3-48. 13, Oi, heure moyenne de la digression ouest.

On a z' = 89°i7'5o",5 pour la dist. zénith, apparente d’un signal , ainsi que celle de la Polaire , on mesure vers l’heure

azimut. ' 3g3

précédente plusieurs distances de ce signal à la Polaire, et l’on obtient la moyenne K

t = 46,5o'a4*,5 sin.... T. 8639944

é=. 89. 17.51*, 5 «in.... T.9999G33

/ — io3. i8.a3,o

ik = 339.36.38 k = 119. 43.I9 k — / =: i6.3{.56

signal à gauche de A a =» 109. 5»a3,o A = 3. 7.55,5

x = ni. i3. 18, 5

—1.8639617 sin.... T. 9387407 sin.... T. 4511751

coi*... T. 5369541

co*... T. 7634770. ... •• ~a — 54°33'4i',5 ctoile à l’ouest,

azimut dn signal da nord vers l'ouest-

45 r. Trouver V azimut de la Polaire à urte heure quelconque donnée P.

Le pôle est, en P (fig. i34), la Polaire en A sur son cercle diurne ; sa distance polaire est AP = d ; l’angle horaire est connu APZ-=P ; le méridien estPZ, le zénith Z; on a ZP=go0-/, ZA est la dist. zénithale. Résolvons le triangle ZAP, où nous connaissons deux côtés d et 90° — l, et l’angle compris P, afin de trouver l’angle AZP = A qui est l’azimut demandé. Mais comme cet angle et le côté opposé d sont fort petits , l’éq. générale se simplifie en se réduisant en série. En effet dans tout triangle sphérique ABC, l’éq. (6) p. 69 donne

sinccota — Cos c cos B

cot A — — ^ , tangA:

sin B 'o

sin fi tanga

sin c-cos c cosB tan>; a'

Lorsque le côté a est fort petit, on peut poser, en se bornant au 3‘ ordre, tang a = a + j a3, éq.(ig), p. 36 ; ainsi

. . sin B a -f- | a3

3n® siae 1 — cote côsB (a+i a )'

la puissance — 1 du dénominateur est , (au 3e ordre près), . . . = 1 ■+• a cotccosB -f- a1 cot’ecos’B,

d’où tang A= cote cos B+a! cot'ccos'B-f- ^

3g.$ cÉoMor.PBie astronomique.

Faisant (éq. ao, p. 36) A = tang A. — 3 tang3A, il vient

— P a+a’cotccosB+ia^i 4-3cotYcos’B) — ^ a;s‘n B~| sin c| 3 3 sm*c |

on a, dans ce dernier terme, à cause de -A- = coséc*= 1 4- cot* ,

sin* '

sin’ B

g-na<j =(t — cos’B) (t-f-cot’c)=i — cos’B -f-cot’c— cos’BcotV. Ainsi, en réduisant, on trouve

À=>î~ |a-j-a’cotccosB+^û3[cosaB(i -f-4cot*c) — cot’cjj .

Faisons l’application de cette formule générale au triangle ZAP (fig. i3g), en prenant a = d= AP, c=go°W=ZP, enfin l’angle B = P , et il viendra

-f*4tang‘/) — tang"/] J ,

et comme les arcs A et d sont fort petits, on les réduira en secondes (p. 3^) eu les changeant en A sin 1* etdsin 1*; d’otî

A d -J-cPsin i"cosP tang/

+ 5 </'sin’i*[cos’P(i -+-4,ang’/) — tang’/] j .

Par ex., étant à Montjouy le 4 décembre 1 793, Méchain a mesuré des distances de Matas à la Polaire , dont la dist. polaire était alors d = i047,4i”j4 : il A trouvé, par le calcul de la distance moyenne entre 4 observations, que l’angle aiimu— tal du signal à l’étoile était 3o°3'22*,g; la latitude du lieu était / = 4i°2i'44'',o. On demande l’arimut du signal de Matas, sachant par l’heure sidérale de la moyenne entre les observations que l’angle horaire était P = 86°28'i'f,5. Voici le calcul i

AZIMUT

«/» 7.6ao653a </J 11.4309798

sis 1" 6.6855749 £ » 1.5*18587

cos P a. 7891895 sin*t'.. TT. 3711498

tang/..... T.g447o35 o.3a5oo83