COB l

«in t —T. 8|66o46 coa I) , . . T. 9983340

. „ • ... - ■■ V t ’ IÜUà •,

W. ..—0.1190865. .... N...... o.iigo665 O11 calcule la décl.O i io^4’>8*

«in r. T. 6430309 ' t. moy., dn matin , et Ton*

4 as 44.37.31,0 -, *'• 1 1;i>

p‘ =-18.36.37,3 Th ; o.tigo865 * *- • ,ai: ‘I»"9* ’*

- = — g. 18. 18,6... «in» ..... ^.‘4173016 *in8'.= o.SSSsjsij

,jD=— 5.io.4i,3 1.5363881..^.,..,....., o,o343#6$-

I— fis 53.53. 3,*' l = 48.4 i.ao,-

log as 1.7706009. . .co»(i — D)= 0,5696889

444 navigation

Ainsi !ê nombre supposé pour l est trop faible de 2'ai*, et il faudra corriger le calcul en prenant ce résultat pour hypothèse.

-O 5*0. La méthode de Douwes n’est qu’approchée, et la précision n’en est pas toujours satisfaisante. La Trigonométrie sphérique donne des formules plus exactes, et qui ne sont guère plus compliquées.

- Dans la figure i44»*et sont deux positions du Soleil, dont l’observation a fait connaître les dist. zénith, vraies ** = z,s'z = *', corrigées de réfraction — parallaxe , demidiamètre, etc. Le pôle étant enp, le méridien est pm , et l’on connaît en outre les distances polaires sp = s'p = d, complément de la déclin. Nous supposons ici que d est constant, ou plutôt nous prenons pour d la déclin, qui a lieu dans l’instant du milieu entre les deux observations. Il est clair que si l’on connaissait l’angle zsp — u , on aurait deux côtés sz, sp du triangle zsp et l’angle compris u , et qu’on pourrait calculer le côté zp = c, colatitude dit lieu, ainsi que l’angle ‘ horaire spz . p, et le problème serait résolu. <

Or, pour trouver cet angle u , il faut d’abord chercher les deux angles s’ sp — 4 et s'sz — x, dont u est la différence , ce qui conduit à résoudre les deux triangles ss'p et ss'z; on a donc trois triangles sphériques à résoudre successivement. Voici comment on ordonne ces calculs.

D'abord l’angtè sps' = t est connu , puisqu’il est , en degrés, le temps solaire vrai écoulé entre les deux observations de hauteur, différence ou somme des deux angles horaires corr espondans , selon que l’astre a été observé d’un même côté ou des deux côté?, du méridien. Si la montre marche comme le temps moyen , il sera bien facile de réduire en degrés la durée écoulée ; ce sera l’angle t.

i®. Dans le triangle isoscèle sps', on connaît deux côtés égaux sp — s'p =: d , et l’angle compris t; on trouvera le 3* côté ss' =3 et l’angle s'sp =; 4 > Pai les équations ( m et p, p. 80).

ASTRONOMIE NAUTIQÜE.

sin J J' = sin d. sin [ t , (a)

j. cot^." cos d.tangi t. ....... . (b)

a°. On connaît maintenant les trois côtés du triangle szs’, savoir sz ■— z , û = i et ss' i== J" : on trouve l’angle s'si==x par leséq. (16, p. 74) >,• • -

sin - x

ai = a + s' -J- -

sin (i — a).sin(i — /)

sin a. sin f

d’où / i/=4'ipar,

■en faisant l’angle isp = u. Nous mettons ici parce que le double signe résulte de l’extraction de racine qui a donné l’arc x ; mais on doit observer que c’est presque toujours le signe — qu’il faut prendre , parceque le cas représenté par la figure 1 44 est seul admissible , à moins que la déclin» du Soleil et la latitude ne soient à peu près égales : car alors il faudrait calculer les deux solutions , sauf à choisir ensuite entre

elles. Comme la latitude est toujours à peu près connue d’avance , l’incertitude est bientôt dissipée. Au reste, s’il arrive que l’on veste dans le doute , il suffira de mesurer une 3* hauteur de l’astre , et l’on fera de nouveau le calcul de la latitude, en comparant cette observation à l’une des deux premières , et l’on s’arrêtera à celle des 'deux solutions qui sera commune aux deux opérations-. Il est, d’ailleurs rare qu’on soit réduit^ user ne ce procédé. %

3°. Enfin dans le triangle zps ,. on connaît deux côtés et l’angle compris, savoir sz= z, sp — d et l’angle u qu’on vient de trouver., On pourra donc calculer le côté pz == c\ colatitude cherchée, et l’angle horaire spz = p de l'observation de l’astre quand il était en s. Ou pourra recourir aux formules données, p. ,77 , i°. , ou 79, 4*- Mais les éq,, ' que nous allons proposer sont d’un usage plus commode, , . ,

Si l’on connaît les côtés b et c du triangle ABC (fig. 5a), l’angle compris A , pour trouver le 3' côté a , on prendra l’éq .

fondamentale

«avigatioS.

cosa= cosù cos« + sinù sine cos A ,

et on la rendra propre au calcul de« log~. par l'artifice suivant. D’après les éq. (5) et (6), p. 35, on a cos A =acos*i A — i , cos «j — J — asin* \ a ; ainsi

i — asin*; a = cos (b -f- c) -+■ asin b sine. cos* ± A

si» asin* J (5+c) + aiin b sin c.cos*; A, sin“j- a = sin*; (6 -f c) — sin b sin c coa’j A .

Prenons un arc auxiliaire v, tel que

sin v zsz cos ; A» l/sinù.sinc,

et nous aurons . „ . •

sm*t a as sin*; (5 + c) — sin* v . / * c= sin î (5+ c +2^).sin; (54- c — 2t»),

d’après l’éq. (i 31), p. 35.

En appliquant ces formules à la figure i44> on a % : . , -x- siu v — cos ; u • \/ sin d «sin z , (d)

sin*; c = sin; (d + 1 + av) .sini (d-f-t — 2 b), (e)

sin z • sin u

sin />=

sine

Cette dernière équ. est donnée par la réglé des quatre sinus

(pu 68).

La théorie qu’on vient de présenter exige l’emploi de iglog. et l’addition de plusieurs arcs ; elle est beaucoup plus longue que celle de Douvres, mais elle à plus d’exactitude. On peut vérifier les calculs, en y remplaçant partout * par z! ; alors 4 désigne l’angle zs's, et u l’angle zs'p : e’èst le triangle zs'p qu’on résout parles éq. (d), (e), (/), et l’on obtient de nouveau c; on a en outre l’angle horaire p' = zpt', propre à l’observation de l’astre en d. *

Appliquons ces éq: au cas , où, par 4a® de latitude nord es-

tiinée , et 1*10' longitude ouest, le 22 mai >836, avant midi, on aurait mesure' deux hauteurs du bord inférieur du Soleil t le navire étant élevé de 7 mètres au-dessus de la mer. Le chronomètre marquait

6Aa5' 17“ ir“ liant, obscr. 35*o5'5a*. ^ . * = 54<,34’ 6*

g.g.53 2e...., 63. 1^7 ...... iss a6.47.44

7.47.35 heure du milieu , ou ig*47,35* le ai mai a. 44. 36 = t, ao®34'3o* demi-temps en degré».

Nous supposons ici que z et z' ont été corrigés de la réfraction, de la parallaxe , du demi-diamètre et de la dépression. On présume que la montre retardede i*3o' sur le temps moyen du lieu ; en ayant égard à la longitude , on trouve que l’heure de Paris, correspondante au milieu des observations, est

22*2y'35*, t. moy. ,

et l’on en déduit la déclin. 0 =

et d = 69°33'44'.

Calcul de l’éq. (a).

Calcul de l’éq. (b).

Calcul de l’éq. (d).

si ad... T. 9717637

co» <2 . . .

•in <2

«in ï f . . . T. 54584a8

tang jt.

sin s

sin T. 6176065

çot 4- ■ •

moitié. . . .

T.94og585

co»-u..,.

'.rx

•in v

T.8g4ia53

Calcul de Véq. (c).

Calcul de Véq. (*).

sin...;

ay as ±

io3. ri .35

•in...,

somme =

a?7. g.aS

a. 9768678 moitié. = '

ii3.34.4a

h — / = ai. ai. 18

sin. . •

dSTér. =

*in>. , .

... sin ..

•in

sin

•in»

moitié

sin

-t = aaoSa'Sg'.S

448 NAVIGATION

. »■ Calcul d« l'éq.{{). *' •• t

J< sin* T. 910)534 ; • , • ' ..".il

md u.... T. 8980997, . V , . ' , ;v „ , 1

* stn c... —T. 8708439

*in . 1.9374093 p = Sg0 S8' 30' = 3* 3g' 53' . . .•

1” ohscrv. heure mile 8a lieu = 8. o. 7

b eq. da temps à 3itro' de Parie '= it.56.3o

heure moyenne dn lieu s 7.66.37

chronomètre marque = 6.35.17

retard sur le temps moyen du Heu. . . = 1 ,3i . 10

Lorsque l'heure qu’on avait d’abord supposée se trouve notablement différente de celle que le calcul donne, comme la déclin, du Soleil à l'instant du milieu peut en être altérée , il faut corriger les données, et refaire le calcul en partant de cette .nouvelle supposition.

La méthode que nous venons d’exposer serait exacte, si l’on avait observé une étoile à deux instans de son cours diurne ; mais comme la déclin, du Soleil varie beaucoup, surtout vers les équinoxes, la latitude qu’on trouve est affectée de la supposition que cette déclin, demeure constante. C’est surtout pour les observations de la Lune que cette remarque est importante. Si l’on veut donner à ce procédé toute la précision désirable, on ne doit donc pas considérer le triangle' ss’p .comme isoscèle. En nommant d et d les deux distances polaires , on résout ce triangle par la méthode que nous avons donnée cidessus, etFon doit remplacer les éq. (u) et (b) .par ’

iq » <• . . ' • ' 1 ....

sin ç> = cos j l\/ sin d.sinrf* ,

; î sin’; f = sin j (d -f- d! -f- 2p).sin \ {d d — a f>) ,

sint . siu d'

sin 4 — ■

sin

une fois qu’on a^et^» le reste de l’opération est le même que ci-devant. , . •

Ou peut même observer les hauteurs de deux étoiles diffé-

ASTTiOXGMlE NAlTlQUE.

rentes , dont d et d! sont les distances polaires ; eu faisant t = dijjfér. des asc. dr. d: temps écoulé ,

les éq. pre'cédenles sont applicables. On prend le signe quand l’astre observé le premier est le plus oriental, celui dont l’asc, dr. est la plus grande, et — dans l’autre cas. Nous n’insisterons pas sur cetie théorie , dont on trouvera une application dans notre Astronomie pratique, p. 226; les marins font rarement usage des observations de ce genre , parce qu’ils ne peuvent voir avec netteté les étoiles en même temps que l’horizon de la mer , et que leurs observations sont incertaines. Au reste, nos dernières éq. étant de. même forme que les éq. (d), (e), {/ ) , l’application ne peut offrir de difficulté. Nous n’avons pas parlé de cette méthode d’obtenir la latitude dans la Géomorphic astronomique , parce qu’on en a d’autres plus précises, lorsqu’on réside dans un observatoire stable; ce n’est qu’en mer que ce procédé peut avoir de l’utilité.

52t. On rencontre une difficulté dans l’application des méthodes précédentes. Comme le vaisseau n’est pas stationnaire dans la durée t qui sépare les deux observations , les hauteurs h et h' ne sont pas mesurées au-dessus du même horizon. Ainsi , avant d’appliquer les formules , il faut ramener l’une des hauteurs à l’horizon de l’autre , par ex. chercher ce qu’eût été la petite hauteur au même instant, si elle eût été immédiatement mesurée sur l’horizon de la grande {celle qui est la plus voisine du méridien). [Voy . fig. i/j5.)

Ainsi l’astre est en S, le zénith en z, sz est le compl. de k: quaud le Soleil est arrivé en I, le zénith s’est trouvé en T, et l’on veut avoir la hauteur que l’astre avait en S, mesurée sur ce nouvel horizon. Ainsi, l’on cherche la distance zénithale ,TS. Soient Sz = go° — h, ST — go° — H ; on connaît h, et l’on demande H, la direction de la route et sa longueur étant données.

Le triangle STz fort étroit est précisément de même espèce que celui qu’on a considéré n° 217, où l’éq. (A) p. 206 ex-

/J5o NAVIGATION.

prime la différ. des deux côtés presque égaux Sx, ST. Il suffit donc d’y remplacer Z et V par h et H ; nous bornerons la série à son i*r terme, qui a une précision suffisante :

H = h -f- a cos p , p = A — A' ,

A et A' sont les azimuts de l’astre et de la route, comptés du sud en allant vers le nord, ou réciproquement. On prend A avec le signe — , quand le méridien passe dans l’angle p = IzS = angle de la route avec le vertical du Soleil ; a est le chemin parcouru exprimé en milles ou minutes ; le terme a cos p est, en minutes, la correction de h.

Un navire suivait l’azimut A' = 28^47*30*0

La hauteur h a été prise l’azimut étant. , A = 56.55. o

et cette hauteur corrigée était h— 52°55' p = 28. 7-3o le vaisseau faisait 8, 1 milles à l’heure ; cos p 1 . g4543 en 2^4’ il a décrit 1 gT,4 milles 19', 4. . 1.28780

on demande quelle était la hauteur H I7',ii.i.233a3

du Soleil sur le premier horizon. Comme il y a 1 7', 1 1 de variation en hauteur, on trouve H = 5t.°3Y53", valeur qu’il faut adopter pour fc'dans les éq. p. 442 ct 44^-

Si la petite hauteur h a été observée la 1” (le matin) la réduction a cos p doit être ajoutée à h , quand l’arc p <( go°, et retranchée de h dans le cas contraire. Mais on opérera en sens opposé, lorsque la petite hauteur aura été prise le soir.

De la longitude du lieu.

522. Par les éclipses des satellites de Jupiter. Il est rare qu’on puisse faire usage de ces éclipses en mer, parce qu’il faut se servir d’une lunette d’environ 4 pieds de distance focale, et que les mouvemens du navire ne permettent pas de la diriger avec assez de stabilité pour permettre l’observation. Au reste, voici le calcul, qui est très facile.

L’heure de Paris à laquelle ces éclipses arrivent est prédite

dans la Conn. des Tems : la place de chaque satellite et le sens de sa marche y est indique'e par des configurations , afin de porter l’attention sur celui qui doit s’éclipser , ou reparaître après l’éclipse. On dirige la lunette quelque temps avant l’heure où l’on présume que l’éclipse doit arriver ; on a déjà obtenu l’heure du bord par d’autres observations. Ou note l’heure où le phénomène a eu lieu. Comparant cette heure à celle de Paris qui est indiquée dans la Conn. des Tems , la différ. est la longitude du lieu rapportée au méridien de cette ville.

523. Par des distances lunaires. Le procédé le plus usité en mer pour obtenir la longitude astronomiquement, consiste à mesurer l’arc de distance entre les centres de la Lune et du Soleil , ou le centre de la Lune et une étoile ou une planète , ainsi que les hauteurs de ces deux astres. Voici la théorie de ces opérations.

L’astre le plus rapproché de la Terre étant la Lune, le point du ciel auquel on la rapporte est très différent , selon les divers lieux d’où on l’observe. C’est cette parallaxe qui est ici mise à profit. Concevons que, d’un lieu quelconque, on ait mesuré l’arc Is = J' (fig. iS']) de distance apparente entre les centres l 3e la Lune et s d’un autre astre , et les hauteurs h et h' au même instant. Trois personnes sont employées ensemble à ces mesures ; mais une seule peut y suffire : car elle mesure d’abord les deux hauteurs , puis la distance S', et enfin de nouveau les deux hauteurs. Elle note les heures de ces cinq observations ; puis divisant les variations en hauteurs proportionnellement aux temps écoulés, elle réduit, par le calcul, les hauteurs h et h' à être contemporaines avec ê. On peut encore, si l’on veut, au lieu de mesurer les hauteurs, les déterminer par le calcul , puisque l’on connaît l’heure pour laquelle elles sont nécessaires (p. 355). Il s’agit ici de hauteurs apparentes, c.-à.-d., affectées de la réfractionet delà parallaxe.

524. Les deux astres sont vus en des points du ciel difFe — rens de ceux où on les verrait du centre de la Terre, s’il n’y avait pas d’atmosphère ; et comme la parallaxe lunaire abaisse

NAVIGATION

l’astre , et surpasse la réfraction qui l’élève, la Lune nous pa^raît en l plus basse qu’elle n’est pour un spectateur placé au centre de la Terre : celui-ci la verrait en mais le Soleil, au lieu d’être en s' , lui paraîtrait plus haut, en s. Nous appelons distance apparente £ , la distance des centres des deux astres, telle qu’on l’a mesurée actuellement; çt distance vraie A celle que trouverait un observateur situé au centre de la Terre, s’il n’y avait pas d’atmosphère. On entendra de même les expressions de hauteurs apparentes et hauteurs vraies.

Ainsi , /Y A est la distance vraie des deux astres. Les hauteurs vraies sont H et H', arcs connus puisqu’ils sont h et h' dégagés de la réfraction et de la parallaxe. Or il est possible de calculer A, arc dont nous nous servirons bientôt pour trouver la longitude du lieu : en sorte que le problème proposé se réduit à connaître la distance vraie A, quand on a mesuré la distance apparente ï.

Dans la fig. i5y, z est le zénith, p le pôle, pzm le méridien : les triangles sphériques z£r,z/Y donnent, éq. (3) p. 68,

cosJ' — sin h sin h' cos A — sinHsinH'

COS L2tS — . » t f ■■ Ti ti / y

cos h cos h cos H cos H

d’où en ajoutant i aux deux derniers membres,

cos -(- cos (A -f- h!) cos A -J- cos (H -+- H')

cos h cos h’ cos H cos H' ’

mais le t" numérateur est (éq. 1 1, p. 35)

= 2cosî (h-j-h’-j- ï) cos i (A+ h' — <f) = 2cosm.cos (m— S),

en faisant im — h -}~ h' -j- i'. (i)

Le numérateur du 2* membre devient (éq. 5 et 6, p. 35)

= a cos* i (H -f- H') — 2 sin* J A ;

donc

. , , . , t ... - xi/. cos H cos H' . „

sin* v A r= cos - (H -f- H ) cos m cos (m — /) .

* 2 cos h cos h

ASTRONOMIE KAUTIQCE.

Pour rendre l’éq. propre aux log.on pose

sm <p = et l’on a enfin

/cos H cos H . ..

V' ; rr cos m cos (m — J)

cos h cos h

cos j (H -f- H') siu \ A = cos | (H H') cos ç .

Ainsi les éq. (1) et (3) serrent à trouver les arcs auxiliaires m et <p , etl’éq. (3) donne ensuite A.

Maintenant que la distance vraie a est connue , c.-à-d. la distance qu’on observerait du centre de la Terre, s’il n’y avait pas d’atmosphère, on recourt à la Conn. des Tems , pour en tirer, à la date proposée , l’heure compte'e â Paris lorsquecette distance vraie a lieu : cet ouvrage contient les distances vraies des deux astres de 3 en 3 heures , et par interpolation il est aise' de trouver à quelle heure de Paris la dis tance ‘est L. On a donc l’heure de cette ville contemporaine A celle du lieu où l’on a mesuré «f1; ce sont des heures d’un même phénomène instantané; la différ. est donc celle des. longitudes.

Le 9 avril 1837, à 5129,36",8 temps moy., on suppose qu’on ait trouvé que les bords voisins du Soleil et de la Lune étaient distans de l’arc 54°3o'i2" : que la hauteur apparente du Soleil étaitL=2i05o'i4° ; et celle de la Lune, h'=z6i°io'io"; celle-ci était à l’est du Soleil , l’une et l’autre du côté ouest du méridien. La latitude, par estime, était et la longitude

24io' ouest. Quoique ces évaluations ne soient qu’approchées, elles suffisent pour trouver à peu près l’heure contemporaine de Paris (7*4° ) > et tirer de la Conn. des Tems les données relatives aux deux astres, ainsi qu’il suit.

O11 suppose que la distance observée entre les deux bords les plus voisins des astres est = 54°3o'i2''.

NAVIGATION

Di*t. observée 54*3o' 1 a",o

Demi-diam.O i5.5q ,o parai, horiz. éqnat 55.3t,t

Demi-diam. ( l5. 7,8 dim. dclat. (n° 385) . .. — 1,3

Dist.appar. S' = 55. 1.18,8 par. lioriz. du lieo... 55. 29, 8

h = ai.5o.if .... — a'af" H = 21*47. 5o h' = 61.10.10 ■+• 22. 2. H' = 61. 3a. 12

tn — 6g. o.5i,4 cos m. ....... T.553o47i

m — t = i3.5g.32j6 cos (m — t).... T. 9869185

cos H T. 9677837

cos H' ï. 6781506

cosk — 7.9676623

cos h' —T. 683a46i

H + H' 1= 83*ao'a" T. 5349915

moitié = 4 1 ■ 4° • 1 moitié T. 7674957

cos -(H + H') 7.8733333 -7.8733333